PHƯƠNG PHÁP DẠY VÀ HỌC MÔN TOÁN TRONG TRƯỜNG PHỔ THÔNG.

Đặc trưng cơ bản của phương pháp dạy học đổi mới Phương pháp dạy học đổi mới trong môn Toán nói chung, phân môn Đại số nói riêng cần thể hiện các đặc trưng cơ bản sau: Dạy học thông qua

PHƯƠNG PHÁP DẠY VÀ HỌC MÔN TOÁN TRONG TRƯỜNG PHỔ THÔNG.

I-Đổi mới phương pháp dạy học Toán ở trường THCS.

Hướng đổi mới phương pháp dạy học môn toán ở trường THCS hiện nay

Hướng đổi mới phương pháp dạy học hiện nay là:

1 Tích cực hóa hoạt động của học sinh, khơi dậy và phát triển khả năng tự học nhằm hình thành tư duy tích cực, độc lập, sáng tạo;

2 Nâng cao năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề;

3 Rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn;

4 Tác động đến tình cảm, đem lại niềm tin, hứng thú học tập cho học sinh

Do đặc trưng riêng của phân môn đại số, việc dạy học cần chú trọng:

1 Kết hợp giữa ôn cũ và giảng mới

2 Thực hiện vừa giảng vừa luyện, kết hợp ôn tập, từng bước hệ thống hóa kiến thức

3 Rèn luyện các kĩ năng cơ bản của phân môn Đại số:

1 Kĩ năng tính toán không dụng cụ và có dụng cụ (bảng số, máy tính bỏ túi), lập bảng, biểu

2 Kĩ năng thực hiện các phép biến đổi đồng nhất

3 Kĩ năng giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình

4 Kĩ năng đọc và vẽ đồ thị của hàm số

5 Kĩ năng chứng minh: đẳng thức, bất đẳng thức, tính chia hết

6 Kĩ năng toán học hóa các tình huống thực tế, giải bài toán bằng cách lập phương trình, vẽ đồ thị

Đặc trưng cơ bản của phương pháp dạy học đổi mới

Phương pháp dạy học đổi mới trong môn Toán nói chung, phân môn Đại số nói riêng cần thể hiện các đặc trưng cơ bản sau:

Dạy học thông qua các hoạt động của học sinh

Dạy học toán thực chất là dạy hoạt động toán học Học sinh là chủ thể của hoạt động học, cần phải được cuốn hút vào những hoạt động học tập do giáo viên tổ chức và chỉ đạo, qua đó, học sinh tự lực khám phá điều mình chưa biết chứ không phải thụ động tiếp thu những tri thức đã được sắp đặt Giáo viên không cung cấp, áp đặt kiến thức có sẵn mà hướng dẫn học sinh phát hiện và chiếm lĩnh tri thức, rèn luyện kĩ năng thông qua các hoạt động, hình thành thói quen vận dụng kiến thức toán học vào học tập các môn học khác và vào thực tiễn

Dạy học chú trọng rèn luyện phương pháp tự học

Trong hoạt động dạy học theo phương pháp đổi mới, giáo viên giúp học sinh chuyển từ thói quen học tập thụ động sang tự học chủ động Muốn vậy, cần truyền thụ những tri thức phương pháp để học sinh biết cách học, biết cách suy luận, biết cách tìm lại những điều đã quên, biết cách tìm tòi để phát hiện kiến thức mới

Trong phân môn Đại số, các tri thức phương pháp thường là những quy tắc, quy trình, nói chung là các phương pháp có tính chất thuật toán Tuy nhiên, cũng cần coi trọng các phương pháp có tính chất tìm đoán (ví dụ phương pháp tổng quát của Polya để giải bài tập toán học) Học sinh cần được rèn luyện các thao tác tư duy: phân tích, tổng hợp, đặc biệt hóa, khái quát hóa, tương tự, quy lạ về quen, Việc nắm vững các tri thức phương pháp nói trên tạo điều kiện cho học sinh có thể tự đọc hiểu được tài liệu, tự làm được bài tập, nắm vững và hiểu sâu các kiến thức cơ bản đồng thời phát huy được tiềm năng sáng tạo của bản thân

Tăng cường học tập cá thể phối hợp với học tập hợp tác

Phương pháp dạy học đổi mới yêu cầu học sinh ”nghĩ nhiều hơn, làm nhiều hơn, thảo luận nhiều hơn” Điều đó có nghĩa là học sinh phải có sự cố gắng trí tuệ và nghị lực cao trong quá trình tự lực tiếp cận tri thức mới, phải thực sự suy nghĩ và làm việc một cách tích cực, độc lập, đồng thời phải có mối quan hệ hợp tác giữa các cá nhân Lớp học là môi trường giao tiếp: thày-trò, trò-trò, do đó cần phát huy tích cực của mối quan hệ này bằng các hoạt động hợp tác, tạo điều kiện cho mỗi người nâng cao được trình độ qua việc vận dụng vốn hiểu biết và kinh nghiệm của từng cá nhân và tập thể

Kết hợp đánh giá của thày với tự đánh giá của trò

Trong phương pháp dạy học đổi mới, để phát huy vai trò tích cực chủ động của học sinh, giáo viên cần hướng dẫn học sinh phát triển khả năng tự đánh giá để tự điều chỉnh cách học của mình Giáo viên có thể yêu cầu học sinh tự đánh giá bài làm của bản thân, nhận xét góp ý bài làm, cách phát biểu của bạn, phê phán các sai lầm và tìm nguyên nhân, nêu cách sửa chữa sai lầm

Biện pháp

Để thực hiện đổi mới phương pháp dạy học thể hiện được đầy đủ các đặc trưng nói trên, giáo viên cần kế thừa, phát huy các mặt tích cực trong phương pháp truyền thống

(thuyết trình, đàm thoại, trực quan, ) đồng thời mạnh dạn áp dụng các xu hướng dạy học hiện đại Hai xu hướng sau đây đang được vận dụng rộng rãi và tỏ ra có hiệu quả, thích hợp với định hướng đổi mới phương pháp dạy học hiện nay

1 Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề

2 Dạy học hợp tác trong nhóm nhỏ

II-Biện pháp rèn cho học sinh kỹ năng trình bày bài làm môn Toán.

Học Toán cũng nhưng học các môn khoa học khác, việc rèn cho học sinh có thói quen trình bày bài làm một cách logic, khoa học và chặt chẽ là cần thiết Quan trọng hơn, qua việc rèn luyện đó, học sinh dần dần thói quen suy nghĩ nghiêm túc, cẩn thận và tác phong làm việc khoa học

Qua thực tế giảng dạy môn Toán, tôi nhận thấy một số biện pháp/yêu cầu đơn giản và hiệu quả cao Đặc biệt, các biện pháp này tỏ ra rất hiệu quả với đối tượng học sinh có

tư duy tốt nhưng cách trình bày bài làm và kĩ năng tính toán thì ẩu thả Thú vị hơn nữa, ngay cả với những học sinh có chữ viết xấu, rất xấu, sau một thời gian rèn theo các biện pháp này thì chữ viết được cải thiện đáng kể

Buổi học đầu tiên của khóa học/năm học, bạn hãy dành một lượng thời gian thỏa đáng

để bạn và các học sinh có thể hiểu nhau, bạn hãy "thỏa thuận" với học sinh một cách rõ ràng và nghiêm túc các yêu cầu dưới đây, hãy yêu cầu các em ghi ngay vào trang đầu của quyển vở Trong quá trình giảng dạy của mình, bạn thường xuyên nhắc nhở và kiểm tra việc học sinh thực hiện các yêu cầu đó như thế nào, đặc biệt là các buổi học đầu tiên

Các yêu cầu

1 Vở nháp phải dày, thước kẻ phải có

2 Ghi chép đầy đủ, chính xác những gì giáo viên yêu cầu ghi chép

3 Không tẩy, xóa trong bài làm, dù trong vở ghi hay trong bài làm kiểm tra Mỗi

chỗ tẩy, xóa đều bị trừ điểm

4 Trình bày hay, được làm mẫu, bài làm có lối trình bày hay được biểu dương và

trình bày trước tập thể

5 Khuyến khích phong cách riêng, hãy đề cao việc học sinh có lối, phong cách

trình bày riêng của mình

Giải thích các yêu cầu

Yêu cầu (1) là tiền đề bắt buộc để thực hiện các yêu cầu khác Hãy nhấn mạnh cho học sinh rằng, KHÔNG được xé vở nháp Hãy phân tích cho các em hiểu rằng, vở nháp còn giá trị hơn cả vở ghi, vì vở nháp thể hiện cả quá trình tư duy, tìm tòi lời giải bài toán còn vở ghi chỉ thể hiện được kết quả của cả quá trình đó Ví dụ dễ hiểu là, hãy so sánh 2 bài làm cùng được điểm 10 có cùng cách giải giống nhau của hai học sinh khác nhau, vậy bạn nào học tốt hơn? Câu trả lời là, chỉ căn cứ vào bài làm thì không phân biệt được

ai hơn ai, nhưng nếu tham khảo thêm vở nháp ta sẽ biết ai giỏi hơn! Nhưng nếu cả hai đều không ghi nháp thì sao?

Vở nháp phải dày? Hãy nói với học sinh của bạn rằng, nếu mỗi môn học đều cần có một quyển vở nháp thì vở nháp có dày không?

Yêu cầu (2) là mức độ thấp nhất, mức độ bắt chước chính xác những chuẩn mực về cách trình bày của giáo viên Giáo viên nên chuẩn bị sẵn và có thói quen trình bày các bài giải một cách mẫu mực

Yêu cầu (3), nghe có vẻ lạ Một yêu cầu không có trong bất cứ quy chế nào[2], vì thế chúng ta mới "thỏa thuận" với học sinh về điều này, hãy làm cho các em hiểu giá trị của

nó và chấp nhận nó một cách tự nhiên Đây là yêu cầu "cốt lõi" trong tất cả các yêu cầu, học sinh sẽ phải nháp, nháp và nháp trước khi nhấc bút ghi vào bài làm Nếu coi quá

trình nháp chính là quá trình phân tích, mày mò, tìm tòi lời giải thì việc trình bày bài làm vào vở là tổng hợp, nhìn lại tư duy Nó không chỉ giúp bài làm của học sinh mạch

lạc, sạch sẽ mà còn giúp học sinh kiểm tra lại, chính xác hóa lời giải và đôi khi là phát hiện hướng đi, lời giải khác

Thêm nữa, với học sinh "ẩu thả", nếu có điều kiện thời gian, bạn hãy thường xuyên yêu cầu các em trình bày ra nháp và bạn kiểm tra, đến khi nào các em trình bày trong vở nháp mà cũng không hề có tẩy xóa và hợp lý thì mới cho trình bày vào vở ghi Hãy lặp lại yêu cầu này, càng nhiều lần càng tốt ngay từ những buổi học đầu tiên

Yêu cầu (4), ồ thật hiển nhiên Hãy dạy cho các em biết trân trọng cái hay cái đẹp và ghi nhận những nỗ lực, cố gắng tạo ra cái hay, cái đẹp và có thái độ, việc làm tích cực tạo cái hay, cái đẹp

Yêu cầu (5), đây là yêu cầu cao nhất là kết quả cần đạt tới của cả quá trình học tập, yêu cầu thể hiện tính sáng tạo, thể hiện cái tôi Nếu như các yêu cầu (2), (3), (4) ít nhiều vẫn mang tính "bắt chước", thì yêu cầu này là "thói quen" Tư duy là tư duy của cái tôi, mỗi người đều có lối tư duy khác nhau, học sinh cũng vậy Nhiệm vụ của các nhà giáo

chúng ta là phát hiện ra đặc thù tư duy của các em, giúp các em hoàn thiện và phát triển

nó một cách phù hợp nhất

Chú thích

1 ↑ "Trong giờ học, trước mặt học sinh phải có cuốn SGK và ngoài ra nhất thiết phải có giấy nháp và bút viết Không nên bắt học sinh ghi chép lại những điều đã

có trong SGK

2 ↑ À, bạn sẽ thắc mắc rằng việc mỗi chỗ tẩy, xóa đều trừ điểm là "hơi quá", là

"phạm luật"

III-Phương pháp dạy học toán cho học sinh trung bình.

Một trong những hoạt động cơ bản của học sinh trong học tập môn toán ở trường phổ thông là hoạt động giải toán Đây là hoạt động phức tạp bao gồm nhiều thành tố tham gia, mà lâu nay đã được các chuyên gia trong lĩnh vực phương pháp dạy học nghiên cứu

và chỉ rõ

Thực tiễn dạy học lâu nay ở nước ta, theo nội dung, chương trình và SGK đã ban hành, hoạt động học và giải toán của học sinh đối tượng trung bình cơ bản diễn ra theo trình tự: quan sát, tiếp thu kiến thức; làm bài có sự hướng dẫn; tự làm theo mẫu; độc lập làm bài, tuân theo quá trình nhận thức chung là đi từ Algôrit đến Ơritstic

Để thích ứng với quá trình học tập đó của đa số học sinh, kinh nghiệm của giáo viên dạy giỏi cho thấy, quá trình dạy cũng phải được tiến hành theo 4 giai đoạn như sau:

Giai đoạn 1: Quan sát, tiếp thu

Giáo viên giúp học sinh nắm kiến thức cơ bản, tối thiểu, cần thiết

• Giáo viên cần kết hợp vừa giảng vừa luyện, phân tích chi tiết, cụ thể, giúp học sinh hiểu khái niệm không hình thức

• Đồng thời với cung cấp kiến thức mới là củng cố khắc sâu thông qua ví dụ và phản ví dụ Chú ý phân tích các sai lầm thường gặp

• Tổng kết tri thức và các tri thức phương pháp có trong bài

Đây là giai đoạn khó khăn nhất, giai đoạn làm quen tiến tới hiểu kiến thức mới, đồng thời là giai đoạn quan trọng nhất, giai đoạn cung cấp kiến thức chuẩn cho học sinh Kinh nghiệm cho thấy khi hoàn thành tốt giai đoạn này học sinh sẽ tiếp thu tốt hơn ở các giai đoạn sau

Giai đoạn 2: Làm theo hướng dẫn

Giáo viên cho ví dụ tương tự học sinh bước đầu làm theo hướng dẫn, chỉ đạo của giáo viên

Học sinh bước đầu vận dụng hiểu biết của mình vào giải toán Giai đoạn này thường vẫn còn lúng túng và sai lầm, do học sinh chưa thuộc, chưa hiểu sâu sắc Tuy nhiên giai đoạn 2 vẫn có tác dụng gợi động cơ cho giai đoạn 3

Giai đoạn 3: Tự làm theo mẫu

Giáo viên ra một bài tập khác, học sinh tự làm theo mẫu mà giáo viên đã đưa ra ở giai đoạn 1 và giai đoạn 2

Giáo viên tạm đứng ngoài cuộc Ở giai đoạn này học sinh độc lập thao tác Học sinh nào hiểu bài thì có thể hoàn thành được bài tập, học sinh nào chưa hiểu bài sẽ còn lúng túng Giáo viên có thể nắm bắt được việc học tập cũng như mức độ hiểu bài của cả lớp

và từng cá nhân thông qua giai đoạn này, từ đó đề ra biện pháp thích hợp cho từng đối tượng Giai đoạn 3 có tác dụng gợi động cơ trung gian Giáo viên thường vận dụng giai đoạn này khi ra bài tập về nhà

Giai đoạn 4: Độc lập làm bài tập

Giáo viên nên ra cho học sinh:

• Hoặc là một bài tập tương tự khác để học sinh làm ngay tại lớp

• Hoặc là bài tập ra về nhà tương tự với bài được học, nhằm rèn luyện kĩ năng

• Hoặc là bài kiểm tra thử

• Hoặc là đề thi của năm học trước, nhằm kích thích học tập bộ môn

Giai đoạn này có tác dụng gợi động cơ kết thúc một nội dung dạy học Giáo viên

thường vận dụng giai đoạn này trong kiểm tra

Cách dạy học toán theo bốn giai đoạn như trên, tuy chưa thoát ly cách dạy học truyền thống, nhưng đã phần nào tỏ ra có hiệu quả thiết thực đối với SGK đã được biên soạn lâu nay, phù hợp với hình thức dạy học theo tiết (45 phút), phù hợp với trình độ nhận thức của đối tượng học sinh diện đại trà trong học tập môn toán

Để có thể dạy học theo bốn giai đoạn như trên đòi hỏi giáo viên phải:

• Hiểu sâu sắc kiến thức và các tri thức phương pháp

• Trong soạn bài, giáo viên cần chuẩn bị cả bốn loại bài tập cho 4 giai đoạn, bên cạnh đó còn phải biết phân bậc bài tập cho từng đối tượng học sinh trong lớp

• Và phải biết điều hành các đối tượng học sinh trong một lớp cùng hoạt động bằng cách giao cho mỗi loại đối tượng một dạng bài tập phù hợp với nhận thức của họ,

có như thế giờ học mới sinh động và lôi cuốn

IV-Tạo tình huống có vấn đề trong dạy học môn Toán.

Để thực hiện dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề, điểm xuất phát là tạo ra tình huống

có vấn đề, tốt nhất là tình huống gây được cảm xúc và làm cho học sinh ngạc nhiên

Dưới đây là một số cách thường dùng để tạo ra các tình huống có vấn đề

Các cách thường dùng

1 Dự đoán nhờ nhận xét trực quan, thực hành hoặc hoạt động thực tiễn

2 Lật ngược vấn đề

3 Xem xét tương tự

4 Khái quát hóa

5 Khai thác kiến thức cũ đặt vấn đề dẫn đến kiến thức mới

6 Nêu một bài toán mà việc giải quyết cho phép dẫn đến kiến thức mới

7 Tìm sai lầm trong lời giải

Các ví dụ

Dự đoán nhờ nhận xét trực quan

Ví dụ 1

Hình thành quy tắc cộng hai số nguyên khác dấu

Một em bé đang đứng ở khoảng giữa của một cầu thang Nếu quy ước lên 2 bậc viết là +2, xuống 3 bậc viết là -3 Hãy nêu nhận xét về số bậc lên xuống của em bé trong các trường hợp sau:

1 Lên 2 bậc rồi lên tiếp 3 bậc

2 Xuống 2 bậc rồi xuống tiếp 3 bậc

3 Lên 2 bậc rồi xuống 2 bậc

4 Lên 2 bậc rồi xuống 3 bậc

Từ đó dẫn đến việc phát hiện ra quy tắc cộng hai số nguyên khác dấu

Ví dụ 2

Hình thành khái niệm bằng nhau

Khi dạy bài ”Bằng nhau, dấu =”,

• Vào lớp GV có thể hỏi: các con cho cô biết 1 kg sắt (hoặc sách) và 1 kg bông (gòn) bên nào nặng hơn?

• HS có thể trả lời như sau:

1 Sắt (sách) nặng hơn, trường hợp này GV cho HS dùng hai tay cầm 2 vật và so sánh để đi đến kết luận 1 kg sắt (sách) = 1 kg bông

2 Bông gòn nhiều hơn, trường hợp này GV giải thích cho HS về khái niệm nặng

chứ không phải là nhiều và tiếp tục cho trẻ tự cân bằng tay để đi đến kết luận

3 Bằng nhau, trường hợp này GV phải hỏi vì sao, để xem HS có hiểu đúng bản chất vấn đề không

Ví dụ 3

Hình thành bảng cộng phạm vi 7

Trong một lớp học, khi dạy bài cộng trong phạm vi 7 GV có thể cho mỗi nhóm học sinh dùng hai cái ”xúc sắc” Một cái HS dùng để quay, một cái dùng để chọn (mặt có dấu chấm cho phù hợp) Khi mặt ”xúc sắc” hiện lên một chấm (.) thì HS tìm ở ”xúc sắc” còn lại mặt 6 chấm để chung vào rồi viết 1 + 6 = 7 Và cứ tuần tự như thế, HS tự thiết kế bảng cộng trong phạm vi 7 chứ không phải GV thuyết giảng cho cả lớp GV chỉ điều chỉnh khi cần thiết hoặc hướng dẫn riêng cho một HS chậm hơn các bạn Ở lớp này

HS là chủ thể tạo ra tri thức trên cơ sở tự tin, hứng thú khi tự mình tìm cách giải quyết tình huống

Lật ngược vấn đề

Đặt vấn đề nghiên cứu mệnh đề đảo sau khi chứng minh một tính chất, một định lí

Ví dụ 1

Hình thành định lí đảo của định lí Pitago

Đặt vấn đề: “Trong tam giác vuông bình phương cạnh huyền bằng tổng các bình

phương của hai cạnh góc vuông”

Vậy ngược lại “Nếu một tam giác có bình phương một cạnh bằng tổng các bình phương của hai cạnh còn lại thì tam giác đó có là tam giác vuông không?”

Ví dụ: tìm hai số a và b sao cho a + b = 3

Trường hợp đặc biệt, c = 0, ta có khái niệm số đối

Ví dụ 4

Cho hai vector , ta có vẽ được vector tổng của chúng Ngược lại, cho trước một vector ,

ta có thể vẽ được hai vector sao cho không?

• Có hai khả năng: và cùng phương; và không cùng phương

• Giáo viên tổ chức sao cho học sinh gặp cả hai tình huống

• Qua đó, giới thiệu trường hợp hai được gọi là "phân tích một vectơ thành hai vectơ không cùng phương"

Trường hợp đặc biệt, , ta có khái niệm vectơ đối

Ví dụ 5

Ta đã biết: Nếu thì và cùng phương Ngược lại, nếu và cùng phương liệu có tồn tại một

số k để ?

Ví dụ 6

Khi biết tọa độ của một vectơ pháp tuyến và tọa độ một điểm M của đường thẳng Δ ta

viết được phương trình tổng quát của nó

Ngược lại, khi biết phương trình tổng quát của một đường thẳng ta có thể tìm được tọa

độ của một vectơ pháp tuyến và tọa độ một điểm của nó không?

Khi biết tọa độ của một vectơ chỉ phương và tọa độ một điểm M của đường thẳng Δ ta

viết được phương trình tham số của nó

Ngược lại, khi biết phương trình tham số của một đường thẳng ta có thể tìm được tọa độ của một vectơ chỉ phương và tọa độ một điểm của nó không?

Xem xét tương tự

Ví dụ

Hình thành hằng đẳng thức bình phương của một hiệu hai biểu thức:

Từ hằng đẳng thức “Bình phương của một tổng hai biểu thức” có thể suy ra hằng đẳng thức “bình phương của một hiệu hai biểu thức” không?

Khái quát hóa

Ví dụ

Hình thành hằng đẳng thức n phương của một hiệu hai biểu thức Từ:

có thể dự đoán:

Khai thác kiến thức cũ đặt vấn đề

Ví dụ 1: Hình thành phương pháp giải toán bằng phương trình

Giải bài toán:

“Vừa gà vừa chó

Bó lại cho tròn

Ba mươi sáu con

Một trăm chân chẵn”

Hỏi có mấy con gà, mấy con chó?

Sau khi học sinh giải xong bằng phương pháp giả thiết tạm đã biết, giáo viên đặt vấn đề

“phiên dịch” ngôn ngữ thông thường sang ngôn ngữ Đại số, từ đó dẫn đến kiến thức mới: “Giải bài toán bằng phương trình”

Ví dụ 2: Hình thành khái niệm phương trình tham số của đường thẳng

Giải bài toán: “Cho đường thẳng d đi qua điểm và có vectơ chỉ phương Điểm M(1;2)

có nằm trên đường thẳng d không?”

Dự kiến:

• Nếu học sinh trả lời “Viết phương trình tổng quát của đường thẳng rồi thay tọa độ

của M vào phương trình đó” thì giáo viên công nhận là đúng Liệu có cách nào khác, không cần viết phương trình tổng quát của đường thẳng d

• Nếu học sinh trả lời “Viết phương trình tham số của đường thẳng d” thì giáo viên

có thể hỏi lại “vậy phương trình tham số của đường thẳng là gì đó chính là nội dung bài học hôm nay”

• Sau đó phát biểu bài toán tổng quát: “Cho đường thẳng d đi qua điểm và có vectơ chỉ phương Tìm điều kiện để điểm M(x;y) nằm trên đường thẳng d

Nhận xét: Cách dạy này có hai chức năng: một là kiểm tra bài cũ tạo tiền đề, hai là tạo

ra một vấn đề từ đó đi đến kiến thức mới Với hai chức năng như thế giúp cho học sinh thấy được mối liên hệ giữa kiến thức cũ và kiến thức mới một cách trực quan Hiểu được nguồn gốc và bản chất của kiến thức

Ví dụ 3: Hình thành các quy tắc tính đạo hàm

Sau khi học sinh biết đạo hàm của một số hàm số thường gặp Giáo viên có thể đặt vấn

đề như sau để dẫn đến các quy tắc tính đạo hàm của hàm số:

Ta đã biết đạo hàm của: và thế còn:

* (đạo hàm của một tổng)

* (đạo hàm của một hiệu)

* (đạo hàm của một tích)

* (đạo hàm của một thương)

Ví dụ 4: Hình thành các phép toán giới hạn của hàm số

Cách đặt vấn đề giống như ví dụ hình thành các quy tắc tính đạo hàm

Ví dụ 5: Hình thành khái niệm hai phân số bằng nhau (lớp 6)

Đặt vấn đề:

• Ở lớp 5 ta đã biết thế nào là hai phân số bằng nhau với tử số và mẫu số là các số

tự nhiên

• Thế còn đối với các phân số mà tử số và mẫu số là các số nguyên thì sao, ví dụ:

hai phân số và có bằng nhau không và làm thế nào để biết điều đó?

• Đó chính là nội dung của bài học hôm nay!

Ví dụ 6: Hình thành khái niệm phép chia có dư

Sau khi học sinh biết thế nào là phép chia hết, giáo viên tổ chức cho học sinh quan sát:

“Hai phép chia sau:

• Từ đó giới thiệu phép chia hết, phép chia có dư

Nhận xét: GV nên cho học sinh quan sát không chỉ với hai phép chia mà càng nhiều

càng tốt trong đó chia ra làm hai loại Loại có dư và loại không có dư Biện pháp tổ chức tối ưu là cho làm việc nhóm trong đó mỗi thành viên của nhóm tự cho một phép chia

Nhận xét: ở câu a ta có phép trừ: 5 – 2 = 3

Khái quát và ghi bảng:

Cho hai số tự nhiên a và b, nếu có số tự nhiên x sao cho b + x = a thì có phép trừ

Khái quát và ghi bảng:

Cho hai số tự nhiên a và b (b≠0), nếu có số tự nhiên x sao cho b.x = a thì có phép chia hết a : b = x

Ví dụ 9: Hình thành khái niệm vectơ đối (tương tự khái niệm phép trừ, số đối)

Tình huống:

Cho vectơ , xét xem có vectơ nào mà

Nêu một bài toán mà việc giải

Ví dụ 1: Hình thành phương pháp chứng minh

Bài toán: Cho A = 2000.2000 và B = 1999.2001 Hãy tìm cách nhanh nhất để so sánh

hai phép tính trên

Bài toán này đòi hỏi học sinh phải phát hiện đặc điểm của các số đã cho:

Nếu đặt 2000 = n thì A = n2 còn B = (n - 1)(n + 1) = n2 - 1 Như vậy A lớn hơn B

một đơn vị

Ví dụ 2: Hình thành khái niệm phương trình tổng quát của đường thẳng

Bài toán: “Cho đường thẳng d đi qua điểm và có vectơ pháp tuyến Điểm M(1;2) có nằm trên đường thẳng d không?”

Từ đó dẫn đến giải quyết bài toán tổng quát hơn đó là: “Tìm điều kiện để một điểm

M(x;y) nằm trên đường thẳng d biết vectơ pháp tuyến và một điểm mà nó đi qua.”

Ví dụ 3: Hình thành phép cộng hai số nguyên khác dấu

Kiểm tra bài cũ: “Cộng hai số nguyên cùng dấu”:

Bài tập 26: “Nhiệt độ hiện tại của phòng là -5°C Nhiệt độ sắp tới tại đó là bao nhiêu biết nhiệt độ giảm 7°C?”

Sau đó giáo viên đặt vấn đề (vừa phát biểu và dùng phấn sửa dấu trừ thành dấu cộng):

• “Vậy nhiệt độ sắp tới là bao nhiêu biết nhiệt độ vẫn giảm 7°C và nhiệt độ hiện tại của phòng là +5°C”

• Muốn biết nhiệt độ sắp tới tại phòng là bao nhiêu, ta đặt phép tính gì?

• GV ghi đầu bài: §5 Cộng hai số nguyên khác dấu

Nhận xét: Cách làm này khá phổ biến và hay được dùng trong dạy học vì nó cho phép

thực hiện đồng thời một lúc hai chức năng: một là kiểm tra bài cũ (tạo tiền đề) và hai là đặt vấn đề vào bài mới Hơn nữa thực tế chứng tỏ học sinh rất thích thú cách đặt vấn đề như trên vì nó gây được sự ngạc nhiên và hứng thú cũng như sự tò mò

Ví dụ 4: Hình thành công thức cộng lượng giác

Bài toán: Không dùng máy tính, hãy tính các giá trị lượng giác:

Dự kiến:

• Câu a là quen thuộc: học sinh sẽ giải bằng cách quy gọn góc dẫn về góc đặc biệt

• Câu b tình hình lại khác: sau khi quy gọn góc bài toán trở thành tính giá trị lượng giác của một góc không đặc biệt :

• Vấn đề chính là ở chỗ ta chưa biết cosin của cung 15° bằng bao nhiêu?

• Nhưng nhận xét rằng 15° = 60° - 45° = 45° - 30° tức là góc cần tính được biểu diễn qua hiệu của hai góc đặc biệt (hai góc đã biết giá trị lượng giác)

• Điều đó có nghĩa là nếu ta xây dựng được công thức biểu diễn cos15° qua giá trị lượng giác của các góc 60°, 45° và 30° thì bài toán được giải quyết

Từ đó giáo viên khái quát hóa:

“Biết giá trị lượng giác của các cung a và b Dùng công thức gì để tính các giá trị lượng giác của các cung a + b và a – b”

Chú ý: Ở các bài trước học sinh đã biết phương pháp để tính giá trị lượng giác của một

góc đó là phải quy góc đó về các góc đặc biệt hay các góc đã biết giá trị lượng giác

Tìm sai lầm trong lời giải

Ví dụ 1: Hình thành quy tắc nhân hai vế của một bất đẳng thức với một số âm

Bài toán: Chứng minh rằng: “Bất kì số nào cũng không lớn hơn 0”

Vậy trong mọi trường hợp ta đều có a ≤ 0 (đpcm)

Ví dụ 2: Hình thành khái niệm hàm số hợp và công thức đạo hàm của hàm số hợp

• Sau khi học sinh biết công thức đạo hàm của một số hàm số thường gặp và các

quy tắc tính đạo hàm tương ứng Giáo viên tổ chức và yêu cầu học sinh tính đạo hàm của các hàm số sau:

• Chia lớp làm 4 nhóm:

o Nhóm 1: tính đạo hàm câu a bằng định nghĩa

o Nhóm 2: tính đạo hàm câu a bằng công thức hàm số thường gặp

o Nhóm 3: tính đạo hàm câu b bằng định nghĩa

o Nhóm 4: tính đạo hàm câu b bằng công thức hàm số thường gặp

• Giáo viên tổ chức cho các nhóm trao đổi, so sánh kết quả và tìm sai lầm trong lời giải

• Từ đó đi đến kết luận: “Không áp dụng công thức đạo hàm của các hàm số

thường gặp cho các hàm số này được” vì đó không phải là các hàm số thường

gặp

• Vậy chúng được gọi là các hàm số gì và muốn tính đạo hàm của các hàm số đó ta phải áp dụng công thức nào?

V-Cách nhìn mới về tiến trình dạy học khái niệm toán học.

Các khái niệm cơ sở

Cơ chế hoạt động của một khái niệm

• Ngược lại, nếu chủ thể ý thức được về việc sử dụng khái niệm và có thể trình bày hay giải thích nó, thì ta nói đến cơ chế “công cụ tường minh”

Ví dụ: Tại Cộng hòa Pháp, trong một tình huống bàn về diện tích của một hình vuông ở lớp 7, trước câu hỏi: ”Có hay không một hình vuông diện tích là 12?”, một học sinh trả lời: ”Nếu cạnh là 3 cm thì diện tích là 9, còn nếu cạnh là 4 cm thì diện tích là 16 Do đó, khi cạnh thay đổi từ 3 đến 4, phải có một thời điểm mà diện tích là 12”

Ở đây, học sinh đã dùng một cách ngầm ẩn khái niệm “hàm số liên tục trên một

khoảng” và tính chất của nó, nhưng không ý thức về việc vận dụng này

Cơ chế đối tượng

Khái niệm có cơ chế “đối tượng”, khi mà nó là đối tượng nghiên cứu được định nghĩa, được khai thác các tính chất,

Hình thức thể hiện của khái niệm

Y.Chevallard (1991) phân biệt ba kiểu khái niệm khác nhau:

• Khái niệm ”protomathématique” (tạm dịch là ”tiền toán học”): đó là các khái niệm có tên, không có định nghĩa Chúng chỉ hiện diện một cách ngầm ẩn (khái niệm hàm số liên tục ở ví dụ trên)

• Khái niệm ”paramathématique” (tạm dịch là ”gần toán học”): có tên nhưng

không có định nghĩa Chúng là công cụ của toán học, nhưng không phải là đối tượng nghiên cứu (khái niệm ”tham số”, )

• Khái niệm ”mathématique” (tạm dịch là toán học”): có tên và có định nghĩa Chúng vừa là đối tượng vừa là công cụ của hoạt động toán học

Việc phân biệt các kiểu khái niệm như trên chỉ là tương đối, vì nó phụ thuộc vào cấp độ, thời gian, phạm vi toán học, vào chủ thể của hoạt động,

Các tiến trình dạy học khái niệm

Ta phân biệt hai tiến trình chủ yếu trong dạy học các khái niệm toán học:

• ”Đối tượng Công cụ”

• ”Công cụ Đối tượng Công cụ”

Tiến trình Đối tượng Công cụ

Trong tiến trình này, khái niệm xuất hiện trước hết như đối tượng nghiên cứu, sau đó mới được sử dụng như là công cụ tường minh để giải quyết các vấn đề

Cần phân biệt hai con đường khác nhau của tiến trình này