PHÂN DẠNG và GIẢI các bài TOÁN HÌNH học KHÔNG GIAN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TOẠ độ

PHÂN DẠNG và GIẢI các bài TOÁN HÌNH học KHÔNG GIAN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TOẠ độ PHÂN DẠNG và GIẢI các bài TOÁN HÌNH học KHÔNG GIAN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TOẠ độ PHÂN DẠNG và GIẢI các bài TOÁN HÌNH học KHÔNG GIAN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TOẠ độ PHÂN DẠNG và GIẢI các bài TOÁN HÌNH học KHÔNG GIAN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TOẠ độ PHÂN DẠNG và GIẢI các bài TOÁN HÌNH học KHÔNG GIAN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TOẠ độ PHÂN DẠNG và GIẢI các bài TOÁN HÌNH học KHÔNG GIAN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TOẠ độ

A ĐẶT VẤN ĐỀ

I Lời mở đầu:

Hình học không gian là một môn học khó đối với học sinh trung học phổ thông Đó là vì các em nắm không vững kiến thức của HHKG: Hệ thống các định nghĩa, định lí, tính chất của các đối tượng hình học…Nên đứng trước một bài toán HHKG các em thường lúng túng trong việc tìm ra lời giải, do thiếu phương pháp

Với mục đích:

+ Phân dạng bài tập về hình học không gian

+ Cung cấp một công cụ, một phương pháp giải toán cho học sinh

+ Giúp học sinh thấy được mối liên hệ giữa hình học và giải tích

+ Gây hứng thú học tập môn HHKG cho học sinh, để học si nh không còn cảm giác "sợ" HHKG

Tôi chọn đề tài: " PHÂN DẠNG VÀ GIẢI CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC

KHÔNG GIAN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ"

II Thực trạng của vấn đề nghiên cứu:

Trên thực tế đứng trước một bài toán hình học không gian học sinh

thường nghĩ ngay tới xem là bài toán đó có thể toạ độ hoá được hay không Tuy nhiên có một số vấn đề mà các em khó có thể giải quyết được đó là:

+ Một bài toán như thế nào thì có thể giải bằng phương pháp toạ độ

+ Việc chọn hệ trục toạ độ như thế nào cho phù hợp

+ Cách chuyển bài toán từ ngôn ngữ kình học không gian thuần tuý sang ngôn ngữ của hình học giải tích

III Kết quả của thực trạng:

Qua kiểm tra khảo sát chất lượng học sinh của lớp 12A2 khi chưa áp dụng

đề tài tôi thu được kết quả như sau:

Tổng số HS Loại kém Loại TB Loại khá Loại giỏi

2 Phân loại các bài tập:

* Dựa vào giả thiết của bài toán có thể chia làm hai loại:

Loại 1: Giả thiết bài toán có cho sẵn một góc tam diện vuông

Loại 2: Giả thiết bài toán không cho sẵn một góc tam diện vuông

* Dựa vào kết luận bài toán có thể chia thành các loại sau:

Loại 1: Các bài tập mang tính định lượng

Loại 2: Các bài tập mang tính định tính

Loại 3: Các bài tập về cực trị hình học

II Các biện pháp tổ chức thực hiện:

Do thời lượng các tiết học chính khoá không đủ để thực hiện, do đó tôi đã

sử dụng một số tiết học tự chọn và tiết học ôn tập để thực hiện đề tài

+) Nếu điểm M chia đoạn AB theo tỷ số k (k 1) tức là: MA k MB                            

thì toạ độ điểm M được tính theo công thức:

;1

;6

uur uuurg

uur uuur uuurg

b SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ GIẢI CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC

Bước 1: Chọ hệ trục toạ độ Oxyz thích hợp.

Thông thường gốc O là đỉnh của một góc tam diện vuông

Bước 2: Xác định toạ độ của các điểm có liên quan

Để xác định toạ độ các điểm có liên quan ta có thể dựa vào các yếu tố:

+) Ý nghĩa hình học của toạ độ điểm (nằm trên trục toạ độ, mặt phẳng toạ độ…)

+) Các quan hệ hình học (sự bằng nhau, vuông góc, song song, cùng phương, điểm chia đoạn thẳng theo tỷ số cho trước…)

+) Xem điểm là giao của 2 đường thẳng, của đường thẳng và mặt phẳngBước 3: Chuyển bài toán từ ngôn ngữ của HHKG thuần tuý sang ngôn ngữ của hình học giải tích

Bước 4: Sử dụng các kiến thức về toạ độ để giải quyết bài toán

Các dạng toán thường gặp:

* Các bài toán định lượng như:

- Độ dài đoạn thẳng

- Khoảg cách từ một điểm đến một đường thẳng hoặc một mặt phẳng

- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

- Góc giữa hai đường thẳng

- Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

- Góc giữa hai mặt phẳng

- Thể tích các khối đa diện

- Diện tích thiết diện

* Các bài toán định tính:

- Chứng minh các quan hệ song song, quan hệ vuông góc

- Bài toán cực trị, quỹ tích

1 CÁC BÁI TOÁN MANG TÍNH ĐỊNH LƯỢNG:

1.1 Các bài toán về khoảng cách:

* Khoảng cách giữa hai điểm (độ dài đoạn thẳng)

* Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

*Khoảng cách giữa hai đường thẳng

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a,

SA=a 3 và SA vuông góc với đáy.

a) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC)

b) Tính khoảng cách từ trọng tâm G của tam giác SAB đến mặt phẳng (SAC)

Giải:

Chọn hệ trục toạ độ sao cho:

A(0; 0; 0); B(a; 0; 0); D(0; a; 0); S(0; 0; a 3)  C(a; a; 0); (a>0)

yE

CB

x

x - y = 0Khi đó khoảng cách từ trọng tâm G đến mặt phẳng (SAC) :

;

6 2

a a

d G SAC   

* Nhận xét: Trong ví dụ 1 chúng ta thấy được lợi thế của phương pháp toạ độ thể hiện rất rõ ở câu 2 Nếu bằng phương pháp hình học không gian thuần tuý thì việc xác định hình chiếu vuông góc của G trên mặt phẳng (SAC) là rất khó khăn

Lợi thế đó còn thể hiện ở trong ví dụ sau:

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a,

SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = a Gọi E là trung điểm của cạnh CD Tính theo a khoảng cách từ điểm S đến đường thẳng BE.

Giải:

Chọn hệ trục toạ độ sao cho:

A(0; 0; 0); B(a; 0; 0); D(0; a; 0); S(0; 0; a); (a>0)  C(a; a; 0)

Vì E là trung điểm cạnh CD nên toạ độ điểm E là: ; ;0

phương của đường thẳng BE

yE

CB

x

* Một trong các bài toán thường sử dụng phương pháp toạ độ đó là các bài toán có liên quan đến hình hộp chữ nhật và hình lập phương

Ví dụ 3: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB = a, AD = 2a; AA' = a.

a) Tính theo a khoảng cách giữa AD' và B'C.

b) Gọi M là điểm chia đoạn AD theo tỷ số AM 3

MD  Hãy tính khoảng cách từ

M đến mặt phẳng (AB'C).

Giải:

Chọn hệ trục toạ độ sao cho:

A(0 ; 0; 0); B(a; 0; 0); D(0; 2a; 0);

A'(0; 0; a); (a>0)

 C(a; 2a; 0); B'(a; 0; a); D'(0; 2a; a)

phương của các đường thẳng AD' và B'C

Phương trình mặt phẳng (AB'C) là: 2(x- 0) - (y- 0) - 2(z - 0) = 0

Vì M, N là trung điểm của các

cạnh BC và DD' nên toạ độ của M, N là:

A

CDx

 ;  ; 2 3

6 3

a) Tính cosin góc giữa 2 đường thẳng AD và MN.

b) Tính góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng (AB'C) Từ đó suy ra MN song song với mặt phẳng (AB'C).

c) Tinh cosin góc giữa 2 mặt phẳng (AMN) và (ABCD)

Giải: Chọn hệ trục toạ độ sao cho:

A(0; 0; 0); B(a; 0; 0); D(0; a; 0); A'(0; 0; a); (a>0)

Khi đó: C(a; a; 0); B'(a; 0; a); C'(a; a; a)

a) Vì M, N lần lượt là trung điểm của các

D A

   là 1 véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (AB'C)

Gọi  là góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng (AB'C)

Từ đó suy ra đường thẳng MN song song với mặt phẳng (AB'C)

c) Ta có: A,B, C, D thuộc mặt phẳng z = 0 nên mặt phẳng (ABCD) có 1 véc tơ pháp tuyến là: k0;0;1

a SO

cạnh bên SC ABC và SC = 2 Gọi M là trung điểm của cạnh AC, N là trung điểm của cạnh AB.

a) Tính số đo góc giữa 2 đường thẳng SM và CN

b) Tính độ dài đoạn vuông góc chung của SM và CN.

b) Độ dài đoạn vuông góc chung của SM

và CN bằng khoảng cách giữa 2 đường

Ví dụ 8: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác cân AB

C

N

BS

a) Chứng minh rằng tam giác AB’I vuông tại A

b) Tính góc giữa 2 mặt phẳng (ABC) và (AB’I).

.sin 30

2 3 cos30

2 3

  là một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (AB’I)

véc tơ k0;0;1 là một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC)

Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng (AB’I) và (ABC) Khi đó:

10 40

Bao gồm:

+ Diện tích thiết diện

+ Thể tích các khối đa diện:

1

;2

;1

;6

ABC

ABCD ABCD

uur uuurg

uur uuur uuurg

g Trong mặt phẳng (P) cho một đa giác có diện tích S, hình chiếu của đa

giác đó lên mặt phẳng (Q) là một đa giác có diện tích S' Khi đó:

S' = S.cos ( là góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q))

Ví dụ 9: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh bằng a Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm các cạnh AD, CD Lấy P thuộc BB' sao cho BP = 3PB' Tính diện tích thiết diện do mặt phẳng (MNP) cắt hình lập phương.

Giải:

Nhận xét: Hình chiếu của thiết diện tạo thành

lên mặt phẳng (ABCD) chính là ngũ giác ABCNM

Gọi S là diện tích thiết diện, S' là diện

tích đa giác ABCNM,  là góc giữa 2 mặt

N

M

Ví dụ 10: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại A; AB = 3;

AC = 6, SA = 9 và SA vuông góc với (ABC) Gọi M, N, P, Q lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC, SAB, SAC, SBC Tính thể tích tứ diện MNPQ.

z

2 CÁC BÀI TOÁN ĐỊNH TÍNH:

2.1 Các bài tập chứng minh:

Bao gồm:

+ Chứng minh các quan hệ song song

+ Chứng minh các quan hệ vuông góc

Ví dụ 11: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của các cạnh BC và DD' Chứng minh rằng:

 D'(0; a; a); C(a; a; 0), C'(a; a; a)

Vì M, N là trung điểm của các

Ví dụ 12: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a,

SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Gọi M, N theo thứ tự thuộc các cạnh

và (SMN) vuông góc với nhau.

yN

B

a) cos2 cos2 cos22

b) SV2OABSV2OBC SV2OCA SV2ABC

A

x

B

y

2.2 Các bài toán quỹ tích:

Ví dụ 14: Cho hình trụ có hai đáy là hai đường tròn tâm O và O', bán kính bằng R , chiều cao hình trụ bằng h Trên hai đường tròn (O) và (O') có hai điểm di động A, B Gọi I, K theo thứ tự là trung điểm của OO' và AB.

a) CMR IK là đường vuông góc chung của OO' và AB.

x

O

O'

zB

b) Tính độ dài IK trong các trường hợp:

1) AB = k.h, với 1 k 1 4R22

h

2) OA O Buur uuur, '  

Từ đó suy ra quỹ tích điểm K khi AB di động

Giải: Chọn hệ trục toạ độ Oxyz với:

O' Oz Khi đó: O'(0; 0; h)

12

b) Gọi M là điểm trên cạnh SA, đặt AM = x 0 x a   Tính độ dài đường cao

DE của tam giác BDM theo a và x Xác định x để DE có độ dài lớn nhất, nhỏ nhất?

M

Ví dụ 16: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có các cạnh đều bằng

a Lấy E, F theo thứ tự thuộc BC’ và A’C sao cho EF// (ABB’A’) Tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng EF.

Giải: Chọn hệ trục toạ độ Axyz sao cho:

A(0; 0; 0); B(a; 0; 0); A’(0; 0; a)

A

E

1 Tỷ lệ học sinh có hứng thú với môn học tăng lên rõ rệt Trong mỗi bài tập tôi

cố gắng trình bày cho các em 2 cách giải: sử dụng phương pháp truyền thống và

sử dụng phương pháp toạ độ Do đó các em đánh giá được ưu điểm và nhược điểm của phương pháp này trong mỗi ví dụ

2 Số lượng các bài kiểm tra đạt điểm khá, giỏi tăng vượt trội Cụ thể:

Trong 3 bài kiểm tra khảo sát của học sinh lớp 12A2 thì kết quả thu được như sau:

II Ý kiến đề xuất:

Trong giới hạn của một sáng kiến kinh nghiệm tôi chưa đưa ra đầy đủ các

ví dụ hơn nữa Do đó tôi mong muốn được các đồng nghiệp đóng góp ý kiến để

đầ tài ngày cành hoàn thiện hơn và nó trở thành một phần tài liệu giảng dạy mônhình học không gian trong nhà trường

Tôi xin chân thành cảm ơn !

TRẦN VĂN THIẾT

MỤC LỤC

A ĐẶT VẤN ĐỀ

Trang