Nhận dạng lớp hệ phương trình sử dụng được số phức; cách chuyển từ bài toán đơn thuần số thực sang số phức; đúc rút kinh nghiệm, tìm ra bản chất

Nhận dạng lớp hệ phương trình sử dụng được số phức; cách chuyển từ bài toán đơn thuần số thực sang số phức; đúc rút kinh nghiệm, tìm ra bản chất Nhận dạng lớp hệ phương trình sử dụng được số phức; cách chuyển từ bài toán đơn thuần số thực sang số phức; đúc rút kinh nghiệm, tìm ra bản chất Nhận dạng lớp hệ phương trình sử dụng được số phức; cách chuyển từ bài toán đơn thuần số thực sang số phức; đúc rút kinh nghiệm, tìm ra bản chất Nhận dạng lớp hệ phương trình sử dụng được số phức; cách chuyển từ bài toán đơn thuần số thực sang số phức; đúc rút kinh nghiệm, tìm ra bản chất

ĐẶT VẤN ĐỀ

I/ MỞ ĐẦU

Trong mấy năm gần đây trong đề thi Đại học hay xuất hiện câu giải hệ phương trình không mẫu mực Theo nhận định chung, các câu này thường là câu khó đối với thí sinh Việc giải câu này bằng các phương pháp truyền thống tôi xin không được bàn luận ở đây Trong quá trình luyện thi cho học sinh phần hệ phương trình, ngoài các cách truyền thống, để tăng thêm công cụ và tạo niềm

hứng thú cho học sinh tôi đã đưa thêm công cụ Số phức vào việc giải hệ phương trình.

Thực tế trong qua trình giảng dạy phần này có một số khó khăn như, trong

đề thi Đại học câu Số phức thường không khó, vì lý do đó các học sinh không giành nhiều thời gian, tâm sức vào phần Số phức nhưng vẫn đạt dược điểm tối

đa cho câu Số phức ; sách tham khảo cũng ít đề cập đến vấn đề này, nếu có

thường không được tác giả đi sâu, lý giải cụ thể nên học sinh cũng không thấy rõ

vai trò của Số phức và việc vận dụng cũng khó; chưa có đề thi Đại học nào mà việc giải hệ phương trình đã xử dụng công cụ Số phức Chính vì những khó

khăn đó tôi phải bắt đầu từ những hệ phương trình giải bằng cách truyền thống

sau đó giải cách hai bằng công cụ Số phức, cho học sinh so sánh và gây sự tò

mò cho việc xử dụng Số phức Bước tiếp theo sẽ vận dụng Số phức vào những

ví dụ khó hơn và thấy rõ vai trò của nó thông qua các ví dụ này

Trong quá trình vận dụng tôi thường tập trung vào việc Nhận dạng lớp hệ

phương trình sử dụng được số phức; cách chuyển từ bài toán đơn thuần số thực sang số phức; đúc rút kinh nghiệm, tìm ra bản chất

II/ THỰC TRẠNG:

1/ Thực trạng và hậu quả:

- Học sinh không nắm vững công cụ Số phức

- Không nhận ra được những loại hệ phương trình nào thì sử dụng được Số phức.

- Nếu đọc được bài giải nào về ứng dụng Số phức vào việc giải hệ phương trình thì không hiểu rõ bản chất, mà thường là giải câu nào biết câu đó.

2/ Tên đề tài:

Đứng trước thực trạng và hậu quả trên tôi chọn đề tài:

"

Ứng dụng số phức trong giải hệ phương trình không mẫu mực"

GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

I/ Lý thuyết:

1/ Kiến thức bổ trợ:

1.1/ Giải phương trình bậc hai:

- Dạng: az2+bz c+ =0

- Cách giải:

Tính D =b2- 4ac, hoặc tính

2 b

2

æö÷ ç

D =ç ÷çè ø÷

2a

- ± d

2a

- ± - d

D =d< Þ =

+/ Nếu D =a + b, tìm w sao cho i 2 b w

2a

- ±

1.2/ Giải phương trình bậc cao:

- Dạng: z3= +a bi

+/ Ta có

3

3

z r cos( k2 ) isin( k2 )

+/ Cho k={0;1;2} ta được 3 nghiệm

- Dạng: z4 = + (giải tương tự)a bi

- Dạng: az3+bz2 + + = (giải như trên R) cz d 0

quả sau

z x yi

z (x y ) 2xyi

z (x 3xy ) (3x y y )i

z (x 6x y y ) 4(x y xy )i

=

-1 x yi

-2 2

iz xi y

=

-+

=

+

3/ Nhận dạng: Những hệ phương có những dấu hiệu sau thì có thể dùng số phức

+/ Có nhiều biểu thức như dạng trên (tất nhiên không có i)

+/ Đưa về phương trình bậc 3 mà máy tính cầm tay không cho nghiệm +/ Mẫu có biểu thức x2+y2 hoặc đưa được về dạng này

II/ Một số ví dụ và bài tập tương tự:

ïï

ïî

Hướng dẫn:

- Nhận dạng: Trong hệ phương trình chứa các biểu thức

2 2

x - y +2xy;x± , nên có thể dùng số phức.y

- Đặt z= + Þx yi z2=x2- y2+2xyi;iz= -xi y

- Hệ phương biến đổi về

2 2

2xyi 4xi 10yi 4i 0

ïï

ïî

2 2 (x y 2xi) 10(x yi) 4(xi y) 21 4i 0

- Thay vào ta được: z2- 2(5 2i)z+ +21 4i+ =0

- Giải phương trình bậc hai ẩn z ta được z= ±(5 2 2) i(2 2 2)+ ±

- Kết luận: Hệ phương trình có hai nghiệm x 5 2 2

ìï = ± ïí

ï = ± ïî

- Lưu ý: Hệ phương trình trên có thể giải bằng phương pháp phân tích

phương trình (2) thành nhân tử (thêm bớt hoặc xem phương trình (2) là phương trình bậc hai)

2xy 2x y 1

11

6

ïï ïí

ïïî

6

ĐS: 1; 5 ; 1; 3

- Lưu ý: Hệ phương trình trên có thể giải bằng phương pháp phân tích

phương trình (1) thành nhân tử

Ví dụ 2: Giải hệ phương trình

3 2

=-ïí

=-ïî

Hướng dẫn:

- Nhận dạng: Chúng ta dễ dàng đưa về phương trình đẳng cấp bậc 3 nhưng

khi dùng máy tính cầm tay để tìm nghiệm thì máy tính không cho kết quả

- Đặt z= + Þx yi z3=(x3- 3xy ) (3x y y )i2 + 2 - 3

- Hệ phương biến đổi về

y i 3x yi i 3

=-ïí

=-ïî

- Trừ hai phương trinh ta được phương trình: z3=- +1 i 3

- Giải phường trình trên bằng lượng giác

Ta có z3 2 1 3i 2 cos 2 k2 i.sin 2 k2

= -çç + ÷= çç + p +÷÷ çç + p÷÷

z 2 cos 2 k2 i.sin 2 k2

é æp pö÷ æp pö÷ù

2 cos i.sin

2 cos i.sin

2 cos i.sin

ïï

ïï

ïïî

- Kết luận: Hệ phương trình có 3 nghiệm

(x;y) 2cos ;2sin ; 2cos ;2sin ; 2cos ;2sin

=íïççè ÷÷øèçç ÷÷øèçç ÷÷øýï

- Lưu ý: Hệ phương trình trên có thể giải bằng phương pháp giải phương

trình bậc 3 tổng quát (xem Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình -

Bài tập 2: Giải hệ phương trình

2.1/

-ïí

-ïî

Đáp số: (x;y)={(1;0);( 1;0);(1;1)- }

2.2/

=-ïí

ïî

Ví dụ 3: Giải hệ phương trình

4 2 2 4

3 3

ïí

=-ïî

Hướng dẫn:

- Nhận dạng: Trong hệ phương trình chứa các biểu thức

x - 6x y +y ;x y xy

Đặt z= + Þx yi z4=(x4- 6x y2 2 +y ) 4(x y xy )i4 + 3 - 3

- Từ hệ phương trình nhân thêm 4i vào phương trình (2) ta được

4 2 2 4

4x yi 4y xi 4i 3

ïí

=-ïî

- Cộng vế với vế ta được

- Kết luận: Hệ phương trình có 4 nghiệm

Bài tập 3: Giải hệ phương trình

ïí

=-ïî

Ví dụ 4: Giải hệ phương trình

2 2

2 2

3x y

x 3y

ïí

ïî

Hướng dẫn:

- Nhận dạng: Trong hệ phương trình chứa các biểu thức 2 1 2

x +y , nên có thể dùng số phức

- Đặt z x yi z x yi;1 x yi i2 2; xi2 y2

- Nhân phương trình (2) với i, ta được

2 2

2 2

3x y

xi 3yi

ïí

ïî

- Cộng vế với vế đưa về (x yi) 3(x yi)2 2 xi2 y2 3

- Thay vào ta được: z 3 i 3

z

- Giải phương trình bậc hai ẩn z ta được z= +2 i;z 1 i=

Kết luận: Hệ phương trình có hai nghiệm (x;y)={(2;1);(1; 1)- }

- Lưu ý: Hệ phương trình trên có thể giải bằng phương pháp giải phương

trình bậc 3 tổng quát (xem Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình - Nguyễn Văn Mậu)

Bài tập 4: Giải các hệ phương trình sau

4.1/

2 2

2 2

16x 11y

11x 16y

ïí

ïî

z

-Đáp số: (x;y)={(2; 3);(5;2)- }

4.2/

2 2

2 2

78y

78x

ïí

ïî

4.3/

2 2

2 2

9x 10y

10x 9y

ïïí

ïïî

Ví dụ 5: Giải hệ phương trình

1

1

ïï

ïïî

Hướng dẫn:

- Nhận dạng: Trong hệ phương trình chứa các biểu thức 1

x+y, nên có thể

đưa về chứa 2 1 2

u +v để dùng số phức.

- Điều kiện: x, y³ 0;x+ ¹y 0

- Đặt u x 0

ìï = ³

ïïí

ïïî

- Thay vào hệ phương trình ta được

2 2

2 2

u 1

v 1

ïí

ï çè + ÷ø ïî

- Hệ phương biến đổi về

2 2

2 2

u

vi

ïí

ïî

- Đặt z u vi 1 u vi2 2

+

- Đưa về phương trình z 1 2 i4 2

- Giải phương trình bậc hai ẩn z ta được u, v Thay u,v tìm x,y

- Kết luận: (x;y) 1 2 ;2 2 2

÷

- Lưu ý: Hệ phương trình trên có thể giải bằng phương pháp biến đổi tương

đương

Bài tập 5: Giải các hệ phương trình sau

5.1/

3

5x y 3

5x y

ïï

=-ï çè + ÷ø

ïïî

10

æ ö÷

çè ø

5.2/

7

2x 5y 7

2x 5y

ïï

ïïî

5

æ ö÷

çè ø

5.3/

15

x 2y 15

x 2y

ïï

ïïî

C KẾT LUẬN

I/ Kết quả thực nghiệm:

Việc thực hiện dạy thực nghiệm năm học 2012-2013 tại lớp 12A1, tôi so sánh với lớp 12A1 năm học 2011-2012 Tôi thu được kết quả như sau

TT Năm học Lớp Sĩ số

Yếu Trung bình Khá, Giỏi Số

lượng Tỉ lệ % Số lượng Tỉ lệ % Số lượng Tỉ lệ %

II/ Kiến nghị:

- Đối với nhà trường: Việc viết sáng kiến kinh nghiệm phải là yêu cầu bắt buộc đối với mọi giáo viên, để giáo viên làm quen với công việc nghiên cứu khoa học Để tránh hình thức các sáng kiến kinh nghiệm phải được báo cáo trước tổ chuyên môn Các sáng kiến kinh nghiệm có giải cấp trường nhà trường khen thưởng kịp thời Những sáng kiến kinh nghiệm mang tính đối phó phải được nhắc nhở để rút kinh nghiệm cho năm sau

- Đối với Sở: Để tạo điều kiện cho giáo viên trong tỉnh được học hỏi kinh nghiệm lẫn nhau thông qua việc viết sáng kiến kinh nghiệm, các sáng kiến kinh nghiệm có giải tỉnh nên được biên soạn thành tài liệu và bắt buộc các nhà trường phải mua để giáo viên được tham khảo

III/ Lời tác giả:

Việc vận dụng Số phức vào giải hệ phương trình chưa được áp dụng vào

việc giải hệ phương trình trong thi Đại học trong những năm trước đây, nhưng

việc trang bị thêm công cụ Số phức đã giúp cho học sinh hứng thú Đặc biệt những hệ phương trình mà việc dùng Số phức để giải mang tính đặc hiệu thì

càng làm cho học sinh thêm yêu thích Việc tạo hứng thú cho học sinh là mục đích mà ngành GD&ĐT cũng như toàn xã hội ta đang hướng tới Tuy nhiên do nhiều lý do, nên bài viết này không tránh khỏi thiếu sót Tôi mong nhận được sự thông cảm và đóng góp ý kiến từ các đồng nghiệp và các em học sinh

Tôi xin cam đoan đây là SKKN do tôi viết, không sao chép nội dung của người khác

Người viết:

Nguyễn Duy Trình