kinh nghiệm giảng dạy một số bài toán về phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) kinh nghiệm giảng dạy một số bài toán về phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) kinh nghiệm giảng dạy một số bài toán về phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) kinh nghiệm giảng dạy một số bài toán về phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) kinh nghiệm giảng dạy một số bài toán về phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x)
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
TRƯỜNG THPT TRIỆU SƠN 2
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
KINH NGHIỆN GIẢNG DẠY MỘT SỐ BÀI TOÁN
VỀ PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN
Trang 2A ĐẶT VẤN ĐỀ
I LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Trong các kì thi Tốt nghiệp và Đại học (ĐH), Cao đẳng (CĐ) các khối A,
B, D môn Toán đóng một vai trò quan trọng Trang bị những kiến thức, phươngpháp, kĩ năng và phát triển tư duy, trí tuệ cho học sinh là mục tiêu hàng đầutrong các mục tiêu dạy học môn Toán nói chung và chương trình lớp 11, 12phần phương trình tiếp tuyến nói riêng Phương trình tiếp tuyến (Pttt) của đồ thị
hàm số y = f(x) là một phần quan trọng trong chương trình toán THPT có thể
phát triển khả năng tư duy Toán học cho học sinh, được áp dụng nhiều trong các
kì thi Tốt nghiệp và ĐH-CĐ, nhưng thời lượng nội dung này rất ít, học sinh cònlúng túng khi lựa chọn một phương pháp phù hợp để giải một số bài toán vềphương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số Từ những kinh nghiệm giảng dạy,tích lũy chuyên môn, phụ đạo học sinh yếu kém và bồi dưỡng học sinh khá giỏilớp 12, luyện thi Tốt nghiệp, ĐH-CĐ, tôi đã lựa chọn và phân dạng cho mỗi bàitoán về phương trình tiếp tuyến từ đơn giản đến phức tạp, để giúp cho mọi đốitượng học sinh không bị thụ động vì sự đa dạng của bài toán, là liều thuốc bìnhtĩnh để học sinh dựa vào chính mình trong hoạt động học tập và khảo thí Từ đó,
tôi đã lựa chọn đề tài "kinh nghiệm giảng dạy một số bài toán về phương trình
tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x)" mong muốn giúp học sinh yêu thích môn
Toán, học sinh đang học lớp 12, ôn thi Tốt nghiệp và ĐH-CĐ làm tài liệu thamkhảo đển ôn luyện kiểm tra kiến thức của mình, vững vàng, tự tin, thành côngtrong học tập và khảo thí
Tôi xin giới thiệu một số bài toán về "phương trình tiếp tuyến của đồ thị
hàm số y = f(x)" là những bài toán tôi tham khảo, tổng hợp, tích lũy trong các kì
thi và quá trình giảng dạy lớp 12, ôn thi Tốt nghiệp, Đại học - Cao đẳng
II PHẠM VI ĐỀ TÀI VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
1 Phạm vi đề tài
- Tập trung vào đối tượng học sinh lớp 12, ôn thi Tốt nghiệp THPT và Đại học - Cao đẳng
Trang 3- Chỉ chủ yếu đề cập đến phương pháp giải một số bài toán về phương trình (pt) tiếp tuyến của đồ thị hàm số và một số bài tập có liên quan.
2 Phương pháp nghiên cứu
- Kinh nghiệm giảng dạy
II THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ
Sau nhiều năm trực tiếp tham gia giảng dạy môn Toán lớp 12 ở trườngTHPT Triệu Sơn 2, Tôi nhận thấy trình độ nhận thức, kĩ năng thực hành,phương pháp tư duy, của một số học sinh về các bài toán tiếp tuyến của đồ thịhàm số còn yếu, do một số nguyên nhân sau:
Trang 4- Học sinh học kém, nắm kiến thức cơ bản không vững, chưa chủ động học tậpmột cách tích cực, ngại phát hiện và giải quyết những vấn đề mới dựa trên nềntảng kiến thức cũ,
- Thời lượng dành cho nội dung này rất ít
- Tài liệu tham khảo còn chung chung
Dựa trên tình hình thực tế đó tôi đã nghiên cứu, tìm tòi, tích lũy và đưa raphương pháp chia thành bốn bài toán về phương trình tiếp tuyến để mọi đốitượng học sinh dễ tiếp cận, dễ tiếp thu, chủ động, tích cực trong học tập
Sau đây là một số bài toán về "phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
y = f(x)" và phương pháp giải mà tôi đã tích lũy được từ kinh nghiệm giảng dạy
và đã sử dụng để dẫn dắt học sinh thực hiện trong thời gian qua
1 Cơ sở lí thuyết
- Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) là đường thẳng dạng y = kx + b, k là hệ
số góc
- Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị y = f(x) tại tiếp điểm là k = f ' x 0
x0: là hoành độ tiếp điểm
- Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại tiếp điểm M0 (x0; f (x0))
Trang 5a) Tại O(0; 0) y'(0) = 0; Phương trình tiếp tuyến là: y = 0;
b) Tại M(2; 4) y'(2) = 0; Phương trình tiếp tuyến là: y = 4.
Ví dụ 2 Cho hàm số y = x3 - 3x2 + 2 (C) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ
y (C) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C)
tại giao điểm của đồ thị với trục tung
Giải Gọi M là giao điểm của đồ thị(C) với trục tung;
Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình:
1 1
x y x
x
x y
M(0; -1) Ta có 12
2 '
x x
f f' ( 0 ) 2 Pt tiếp tuyến là y = 2x - 1.
Ví dụ 2 Cho hàm số y = (1 - x)2(4 - x) (C) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) tại giao điểm của (C) với trục hoành.
Giải Hàm số (C) viết lại là: y = -x3 + 6x2 - 9x + 4
Tọa độ giao điểm của (C) với trục hoành là nghiệm của hệ phương trình:
4 9
6 2
3
y x y
x x
0
; 1
Trang 6Ví dụ 3 Cho hàm số y x x
2
2 3
y x
x
x y
Có hai tiếp tuyến cần tìm là
2
3 4
(C) Viết phương trình tiếp tuyến d của
đồ thị (C) tại điểm uốn và chứng minh rằng d là tiếp tuyến của (C) có hệ số góc
nhỏ nhất (Trích đề thi ĐH, CĐ khối B năm 2004)
Giải
* Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị hàm số (C) tại điểm uốn
Điểm uốn của (C) là
2
; 2
I , y'(2) = - 1 Pt tiếp tuyến là y x38
* Chứng minh d là tiếp tuyến của (C) có hệ số góc nhỏ nhất
Gọi k1 là hệ số góc của tiếp tuyến d k1 = -1
Gọi k2 là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại mọi x
k2 = y'(x) = x2 - 4x + 3 Xét hiệu k1 - k2 = - 1 - (x2 - 4x + 3) = - (x - 2)2 0, x k1 k2, x
xảy ra x = 2 (là hoành độ tiếp điểm) k1 là bé nhất
Vậy tiếp tuyến của (C) tại điểm uốn có hệ số góc nhỏ nhất.
Ví dụ 5 Cho hàm số y = - x3 + 3x2 + 4 (C).
a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thi hàm số (C) tại điểm uốn.
b) Chứng minh rằng trong các tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) thì tiếp tuyến tại
điểm uốn có hệ số góc lớn nhất
Đáp số (ĐS)
* Phương trình tiếp tuyến d của (C) tại điểm uốn là y 3 x 3
* Tương tự ví dụ 4 k1 = 3 và k2 = y'(x) = -3x2 + 6x ;
Trang 7k1 - k2 = 3(x - 1)2 0,x k1 k2 x
k1 là lớn nhất
Vậy tiếp tuyến của (C) tại điểm uốn có hệ số góc lớn nhất
Chú ý: Cho hàm số y = ax 3 + bx 2 + cx + d a 0
* Nếu a > 0 thì tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc bé nhất.
* Nếu a < 0 thì tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc lớn nhất
2.2 Dạng 2: Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C): y = f(x) tại điểm có hoành độ x0
Cách giải: + Tính f ' x f ' x 0
+ Thay x0 vào (C) tìm y0
+ Thay x0; y0; f ' x 0 vào y = f ' x 0 (x - x0) + y0 rồi kết luận
Ví dụ 1 Cho hàm số y = x3 - 3x + 5 (C) Hãy viết phương trình của đồ thị hàm
số (C) tại điểm có hoành độ x0 = 1
Giải
Phương trình tiếp tuyến có dạng: y = f ' x 0 (x - x0) + f(x0)
+) Ta có f ' x = 3x2 - 3 f' 1 = 0
+) Thay x0 = 1 vào (C), ta được y0 = f(1) = 3
+) Do đó, phương trình tiếp tuyến cần tìm: y = 0(x - 1) + 3 y = 3
, ta có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến
của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ bằng 1 ĐS: y = -
+ 2x2 - 3x (C) Viết phương trình tiếp tuyến của
đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x0, biết rằng f '' x 0 = 6
Giải Ta có f ' x = - x2 + 4x - 3; f '' x = - 2x + 4 f '' x 0 = -2x0 + 4
Từ giả thiết, ta có f '' x 0 = 6 - 2x0 + 4 = 6 - 2x0 = 2 x0 = - 1
y0 = 163 , và f' 1= - 8 Vậy phương trình tiếp tuyến là y = - 8x - 38
Trang 82.3 Dạng 3: Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm
f' 4 = 51 Phương trình tiếp tuyến là y = 51 (x - 4) + 1 y = 51 x + 51
Một số bài tập liên quan đến bài toán 1
IAB có diện tích nhỏ nhất.
Giải Ta có 2
2
1 '
3 2
;
0
0 0
1
0
0 0 2
2 2
; 2
x y
2
3 2 2 2 2
2 2
0
0 0
2
3 2 2
x
x x
IM
M là trung điểm của AB.
Trang 9S Dấu " = " xảy ra khi
2 0
2 0
2
1 2
* M là trung điểm của đoạn thẳng AB.
* Diện tích tam giác AIB không đổi, I là giao điểm hai tiệm cận của (C).
* Tìm tọa độ điểm M sao cho chu vi tam giác IAB đạt giá trị nhỏ nhất
Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm vừa tìm được
b) Chứng minh rằng không có tiếp tuyến nào của đồ thị (C) đi qua giao điểm của
hai tiệm cận
c) Chứng minh rằng trên đồ thị (C) có vô số cặp điểm mà tiếp tuyến tại hai điểm
đó song song với nhau, đồng thời đường nối các cặp điểm đó đồng quy
Giải Ta có:
12
2 '
3
;
0
0 0
x
x x
M ; x0 1
a) Tiệm cận đứng của (C) là 1: x = 1, tiệm cận ngang của (C) là 2: y = 1
Phương trình tiếp tuyến d tại M là
3 1
2
0
0 0 2
1
0 0 2
0 x x x x
y x A A A
x x y
B B
Trang 100 0
* Gọi C là chu vi tam giác IAB, ta có:
Phương trình tiếp tuyến tại M1; M2 là y x 2 2
b) Phương trình qua giao điểm I(1; 1) của hai tiệm cận là d1: y = k(x - 1) + 1.
d1 là tiếp tuyến của (C) Hệ
x k x
x
2 ) 1 ( 2
1 ) 1 ( 1 3
có nghiệm Thay (2) vào
1
2 1
x x
x
x
phương trình vô nghiệm
Vậy không có tiếp tuyến nào của đồ thị (C) đi qua giao điểm của hai tiệm cận.
c) Tâm đối xứng của (C) là giao điểm I(1; 1) của hai tiệm cận của (C)
* Gọi M là điểm bất kì thuộc đồ thị (C) có hoành độ
là x M = x0 Gọi M' đối xứng với M qua I M' (C),
Ta có xM' + xM = 2 xI = 2 xM' = 2 - x0
Hệ số góc của tiếp tuyến tại M là
0 2
/ 1
1
2 0
x y
1 2
2 0
2
x x
nhau Vậy trên đồ thị (C) có vô số cặp điểm như vậy đối xứng nhau qua giao điểm I của hai tiệm cận, tiếp tuyến tại hai điểm đó song song với nhau và đường nối các cặp điểm trên đồng quy tại I.
Lưu ý: Với hai số dương a, b thỏa mãn ab = S (không đổi) thì biểu thức
C = a + b + a 2 b2nhỏ nhất khi và chỉ khi a = b.
I
O
(C)(1)
(2)
Trang 11a) Chứng minh rằng trên đồ thị (C) có vô số cặp điểm mà tiếp tuyến tại hai điểm
đó song song với nhau, đồng thời đường nối các cặp điểm đó đồng quy
b) Gọi M là điểm thuộc đồ thị (C), tiếp tuyến tại M cắt hai tiệm cận tại A, B.
Chứng minh rằng:
* M là trung điểm của đoạn thẳng AB.
* Diện tích tam giác AIB không đổi, I là giao điểm hai tiệm cận của (C).
* Tìm tọa độ điểm M sao cho chu vi tam giác IAB đạt giá trị nhỏ nhất c) Chứng minh rằng không có tiếp tuyến nào của đồ thị (C) đi qua giao điểm của
x
x x
Đồ thị (C) có tâm đối xứng là giao điểm I(1; 2) của hai tiệm cận của (C),
Điểm M' đối xứng với M qua I M' (C).
0 '
1 2
2 2
x y
y y
x x
x x
M I M
M I M
1
2
; 2 '
x
x x
2 2
2
1
2 1
2
2 2 2
2
'
x
x x x
x x
= f ' x( ) Tiếp tuyến tại M và M' song
song với nhau.Vậy trên đồ thị (C) có vô số cặp điểm như vậy đối xứng nhau qua
giao điểm I của hai tiệm cận và tiếp tuyến tại cặp điểm đó song song với nhau.
x
x x
Tiệm cận đứng của (C) là 1: x = 1; tiệm cận xiên của (C) là 2: y = x + 1.
Phương trình tiếp tuyến d tại M là
2
0
2 0 0 2
0 0
2 0
x x y
0
0
x x
A Gọi B d 2 B(2x0 - 1; 2x0)
Trang 12và IB 2 2x0 1 Ta có: sinAIB sinn1 ,n2 là không đổi, với n1 1 ; 0 ;
IB
*) Gọi C là chu vi IAB Ta có: C IAIBAB Mà:
2
1 2 2 2
; 2
1 1
2
2
1 2 2 2
; 2
1 1
Khi đó: C 4 4 2 2 2 ( 2 1 )
c) Giao điểm I của hai đường tiệm cận của (C) là I(1; 2),
Đường thẳng d' đi qua I(1; 2) có hệ số góc k có phương trình: ykx 1 2
d' là tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:
x x
x k x
x
2 2 2
1 2
2 1 1
Giải hệ ta được x = x - 1 (vô lí) phương trình vô nghiệm Vậy không có tiếp
tuyến nào của đồ thị (C) đi qua giao điểm hai tiệm.
Câu hỏi tương tự như bài 1, 2, 3 cho các hàm số sau: 2 1
, (ad 0), đều có chung một số tính chất sau:
M là trung điểm của AB.
Trang 131 Trên đồ thị có vô số cặp điểm mà tiếp tuyến tại hai điểm đó song song với nhau, đồng thời đường nối các cặp điểm đó đồng quy tại giao điểm của hai tiệm cận của nó.
2 Tiếp tuyến của đồ thị tại mọi điểm M thuộc đồ thị hàm số đều:
+ Cắt hai tiệm cận tại hai điểm A, B thì M là trung điểm của đoạn AB.
+ Tạo với hai đường tiệm cận một tam giác có diện tích không đổi.
+ Tạo với hai đường tiệm cận một tam giác có chu vi nhỏ nhất khi và chỉ khi
IA = IB, I là giao điểm của hai đường tiệm cận, A và B lần lượt là giao điểm của tiếp tuyến với hai đường tiệm cận).
+ Không đi qua giao điểm của hai tiệm cận.
3 Bài toán 2: Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x), biết
hệ số góc của tiếp tuyến
3.1 Dạng 1: Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x), biết hệ
số góc của tiếp tuyến bằng k
Cách giải:
* Cách 1: Tìm hoành độ tiếp điểm x0
+ Tính y' = f ' x Giải phương trình f ' x = k tìm x = x0
+ Thay x0 vào phương trình y = f(x) tìm y0
+ Thay x0; y0; k vào phương trình y = k(x - x0) + y0 ta được tiếp tuyến cần tìm
* Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc
+ Gọi phương trình tiếp tuyến d của đồ thị (C) là y = kx + b (1)
+ d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) Hệ phương trình sau có nghiệm:
b kx x
f
' (Nghiệm x của phương trình là hoành độ tiếp điểm)
+ Giải phương trình f' (x) k tìm x thế vào phương trình f(x) kxb tìm b + Thế b vào (1) ta được phương trình tiếp tuyến cần tìm.
Ví dụ 1 Cho hàm số y = - x4 - x2 + 2 (C) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C), biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng - 6.
Giải * Cách 1 Ta có y' = - 4x3 - 2x
Giải phương trình - 4x3 - 2x = - 6 x = 1, Thay x = 1 vào (C),được y(1) = 0
Trang 14Phương trình tiếp tuyến là y = - 6(x - 1) + 0 y = - 6x + 6.
* Cách 2 Gọi phương trình tiếp tuyến d của đồ thị (C) là y = kx + b + d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) Hệ phương trình sau có nghiệm:
4
6 2
3
2 4
x x
b x x
1 2 '
0 0
2 0 0
1
1 2 )
( '
4 0
0 0
0 0
y x
y
x Tiếp tuyến là y = -x - 4, y = -x + 4.
* Cách 2 Gọi phương trình tiếp tuyến d của đồ thị (C) là y = - x + b
+ d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) Hệ phương trình sau có nghiệm:
1 (
1 2 1 4 3
2 2
2
x
x x
b x x
x x
Giải hệ phương trình tìm được:
+ Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = - x - 4 và y = - x + 4.
3.2 Dạng 2: Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x), biết hệ
số góc k thỏa mãn điều kiện P cho trước
Cách giải: + Tính y' = f ' x
+ Lập hệ thức k thỏa mãn điều kiện P, tìm k
+ Áp dụng dạng 1 tìm phương trình tiếp tuyến của (C).
Ví dụ 1 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C): 12
tuyến: a) Song song với đường thẳng d: 3x - y + 4 =0;
b) Vuông góc với đường thẳng d': x + 27y - 2 = 0
Giải Ta có:
12
3 '
x y
a) Vì tiếp tuyến song song với d, nên tiếp tuyến có hệ số góc là k = 3;
* Cách 1: Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình: k
x 12
3,x 1
x = 0; b = - 4
x = 2; b = 4
Trang 154 2
y x
y x
Phương trình tiếp tuyến là y = 3x + 10 và y = 3x - 2.
* Cách 2: Gọi phương trình tiếp tuyến d của đồ thị (C) là y = 3x + b (1)
+ d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) Hệ phương trình sau có nghiệm:
1
(
3
3 1
2
2
x
b x x
x
, (x 1) Giải hệ phương trình tìm được:
+ Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 3x + 10 và y = 3x - 2.
b) Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d', nên có hệ số góc là k = 27.
Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình
4
8 3
2
y x
y x
Phương trình tiếp tuyến là y = 27x + 10, y = 27x + 46.
* Cách 2: Gọi phương trình tiếp tuyến d của đồ thị (C) là y = 27x + b (1)
+ d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) Hệ phương trình sau có nghiệm:
1
(
3
27 1
2
2
x
b x x
x
,(x 1) Giải hệ phương trình ta được
+ Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 27x + 10 và y = 27x + 46.
Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến đó có hệ số góc bé nhất.
Giải Gọi tiếp tuyến cần tìm có hệ số góc là k.
y x
y x
Chú ý: Tiếp tuyến (T) đường thẳng d k T k d = - 1;
Tiếp tuyến (T) // đường thẳng d k T = k d
Ví dụ 3 Cho hàm số
2 2
2 3 2
2 2
y (C) Chứng minh rằng tại các giao điểm của (C) với trục hoành các tiếp tuyến với (C) vuông góc với nhau.