TIỂU LUẬN cơ kết cấu NÂNG CAO áp dụng “limit analysis” cho bài tóan kết cấu ứng suất phẳng, phương pháp đường tốc độ bất liên tục

Tính vị trí trục trung hòa đàn hồi và trục trung hòa dẻo của tiết diện đã cho.. Suy ra mômen giới hạn đàn hồi Me, và momen chảy dẻo Mp ứng với lúc tiết diện bị chảy dẻo hoàn toàn.. BÀI T

L1 K

1 Tính vị trí trục trung hòa đàn hồi và trục trung hòa dẻo của tiết diện đã cho Suy ra mômen

giới hạn đàn hồi Me, và momen chảy dẻo Mp ứng với lúc tiết diện bị chảy dẻo hoàn toàn

2 Phân tích đàn dẻo bằng phương pháp ma trận độ cứng (hoặc PTHH) theo sơ đồ và dữ kiện

được phân công.Từ đó suy ra hệ số tải trọng giới hạn, λP0gh

3 Vẽ biểu đồ quan hệ giữa hệ số tải trọng λ - chuyển vị của K (điểm đặt của P) khi λ tăng từ 0

 λP0gh

4 Tìm tải trọng giới hạn bằng phương pháp tổ hợp cơ cấu

5 Nhận xét – Kết luận

σ p=350 MPa , E=200 GPa

Kích thước dầm và tải trọng ban

L 1 (m) L 2 (m) q 0 (kN/m) P 0 (kN) b(mm

)

t(mm )

h(mm )

C BÀI TOÁN TẤM CHỊU UỐN

Xác định tải trọng giới hạn cho các tấm tròn hoặc vành khăn hoặc chữ nhật chịu uốn theo số

liệu được phân công

Dữ kiện hình

học Tiêu chuẩn chảy dẻo a(m) b(m) Tresca VonMise

BÀI LÀM

A LÝ THUYẾT

1 Áp dụng “limit analysis” cho bài tóan kết cấu ứng suất phẳng, phương pháp đường tốc

độ bất liên tục.

 Phương pháp đường tốc độ bất biến liên tục

a Phương pháp tỉnh: ( sử dụng các đường bất liên tục về ứng suất )

- Tưởng tượng các khối có ứng suất không đổi sao cho giữa các khối sự truyền của các vectơứng suất ( , ) n n là tuyệt đối liên tục

- Sắp xếp sao cho trường ứng suất thỏa mãn tiêu chuẩn chảy dẽo

- Trường ứng suất này phải cân bằng với tải trọng bên ngoài, hệ số tải trọng tương ứng tạonên một cận dưới 

- Cực đại hóa  đối với các tham số hình học định bởi các khối

b Phương pháp động: ( sử dụng các đường bất liên tục về vận tốc )

- Tưởng tượng một tập hợp các đường trượt có thể và khả dĩ động

- Tính toán công suất tiêu tán dẽo, WI., dọc theo các đường bất liên tục vận tốc trên

- Tính toán công suất bên ngoài, WE. , cần thiết để tạo ra các đường này

- Cân bằng công suất tiêu tán dẽo và công suất bên ngoài ta tìm được cận trên của hệ số tảitrọng ,

- Cực đại hóa các hệ số đối với các thông số hình học xác định các đường trượt để có lờigiải xấp xỉ của lời giải chính xác bởi cận trên

T v

Một tấm phẳng bề rộng L bề dày e, có vết nứt chiều dài a nằm song song với bề rộng và chịu kéobởi lực phân bố đều theo phương dài ( như hình vẽ ).

a L

2k 2k

2k 2k

k

Trường ứng suất hợp lệ

a Phương pháp tĩnh học: ( Theo tiêu chuẩn Tresca )

- Giả định trường ứng suất có dạng như hình vẽ

- Sự cân bằng theo phương dọc trục:

 Cơ cấu trượt:

- Tấm trượt dọc theo mặt phẳng AB và CD, vuông góc với mặt phẳng và tạo ra góc 

- Vận tốc trượt trên mặt phẳng v

L

 A

v

- Với =45o :

* Kết hợp với Von Mises:

+ Năng lượng tiêu tán:

1

* Kết hợp với Von Mises:

+ Năng lượng tiêu tán:

2 Trình bày tiêu chuẩn chảy dẻo Mohr-Coulomb trong mặt phẳng độ lệch ứng suất.

Tiêu chuẩn Mohr – Cloumb, ra đời năm 1900, có thể được xem như là 1 sự tổng quát hóacủa Tiêu chuẩn Tresca Lý thuyết của Mohr áp dụng được cho những biến dạng dẻo đầu tiên của

cả vật liệu dẻo, vật liệu dòn Để tiện lợi, trong phần này ta dùng thuật ngữ “ phá hỏng” để chỉtrường hợp này hay trường hợp kia của hiện tượng này Cả hai tiêu chuẩn được dựa trên sự giả

trong khi Tiêu chuẩn Tresca giả định rằng giá trị tới hạn (giới hạn) của ứng suất cắt là một hằng

số, Tiêu chuẩn Mohr cho rằng sự phá hỏng của ứng suất cắt  giới hạn trong một mặt phẳng làmột hàm của ứng suất đơn trong cùng một mặt phẳng tại một điểm, tức là:

 

f

Trong đĩ, f   là một hàm xác định bằng thực nghiệm (kinh nghiệm)

Dưới dạng Mohr là đồ thị biểu diễn tình trạng của ứng suất Cơng thức (2.1) cĩ nghĩa

là sự phá hủy của vật liệu sẽ xảy ra nếu bán kính của vịng trịn lớn nhất chính là tiếp tuyếnđường cong bao f  

được biểu diễn như (Hình 2.1)



 = f(

 = f(



Đường bao phá hủy

Hình 2.1: Đồ thị biểu diễn Tiêu chuẩn Morh Coulomb

Tương phản với Tiêu chuẩn Tresca, nĩ xem rằng Tiêu chuẩn Mohr cho phép tác động (hiệuquả) của ứng suất chính hoặc ứng suất thủy tĩnh

Hình thức đơn giản nhất của đường bao Mohr f  

là một đường thẳng, được minh họa ở(Hình 2.2) Cơng thức cho đường bao thẳng thì được biết như là cơng thức của Coulomb, cĩ từnăm 1773;

Trong trường hợp đặc biệt của những vật liệu không ma sát, mà cho  0 trong công thức(2.2) làm giảm ứng suất cắt lớn nhất của Tiêu chuần Tresca,  c, và hệ số dính của đất trở nên

bằng với ứng suất chảy dẻo trong lực cắt thuần túy c k

3 1

1 sin

1 sin

c t

f m f

Hình 2.3: Tiêu chuẩn Morh Coulomb trong mặt phẳng tọa độ: 

f'c

f'c 0.2 0.6 1.0

0.2 0.6 1.0

5.9 1.7

m=1.0

Để chứng minh hình dạng bề mặt phá hủy của khơng gian 3 chiều của Tiêu chuẩn Mohr –Coulumb, chúng ta dùng lại cơng thức sau:

Hình 2.4a: Mặt phẳng =

Chỉ cĩ hai độ dài đặc trưng được yêu cầu vẽ hình lục giác này, những độ dài  và t0  , mà0

cĩ thể nhận được trực tiếp từ cơng thức (2.12) với  0, 0 ,0 0, và  0, 60 ,0  c0

Dùng cơng thức (2.5) và (2.6), chúng ta cĩ các hình thức thay thế sau đây cho  và t0  trên mặt0phẳng  :

' 0

6 1 sin

2 6 cos

c t

6 1 sin

2 6 cos

c c

3 sin

3 sin

t c

trở nên giống hệt (đồng nhất) với hình lục giác của Tiêu chuẩn Tresca, vì nĩ phải

Hình 2.5: Những đường cong phá hủy cho Tiêu chuẩn Mohr Coulomb

trong những mặt phẳng độ lệch

'f'c

0.2 0.6

1.0 0.8

60°

30°

Để có được một xấp xỉ tốt hơn khi những ứng suất kéo xảy ra, thì đôi khi cần thiết để kết hợpTiêu chuần Mohr – Coulomb với một ngưỡng lực kéo tối đa Cần lưu ý rằng tiêu chuẩn này kếthợp là một tiêu chuẩn ba tham số Chúng ta cần hai trạng thái ứng suất để xác định các giá trị của

c và  và một trạng thái để xác định ứng suất kéo cực đại

B BÀI TOÁN DẦM

1 Xác định vị trí trục trung hòa đàn hồi và dẻo

1.1 Xác định vị trí trục trung hòa đàn hồi

Tiết diện có một trục đối xứng, trục trung hòa đàn hồi xác định như sau:

Gọi yc là khoảng cách từ trục trung hòa của tiết diện đến cạnh dưới của tiết diện (hình vẽdưới)

Gọi Sx là moment tĩnh tiết diện đối với trục đi qua biên dưới của tiết diện

Ta có:

S x=∑F i y i

trong đó: F i : diện tích tiết diện thứ i

y i: khoảng cách từ trọng tâm tiết diện thứ i đến cạnh dưới tiết diện

Khi đó moment tĩnh của tiết diện là:

Vậy trục trung hòa cách mép dưới tiết diện một khoảng yc = 0.3386 m.

1.2 Xác định vị trí trục trung hòa dẻo

Khi tiết diện đã hoàn toàn hóa dẻo, hợp lực của các nội lực phải bằng không nên trục trung

hòa dẻo phải chia đôi tiết diện làm hai phần bằng nhau

Gọi yp là khoảng cách từ trục trung hòa dẻo đến điểm O

Ta có :

(y p−0.01)×0.01+0.24 × 0.01= F

2=

0.01222

y p=0.38 m

Moment chống uốn dẻo hay môđun dẻo MP của tiết diện được tính như sau:

M p=σ p × Z

Thực hiện phân tích đàn hồi trên dầm đã cho ban đầu.

Phân tích đàn hồi kết cấu

P K

o

0 0

 Phần tử 3,4: L1 = L2 = 1m

[K3]=[K4]=EI[ 12.0006.000 4 0006.000 −12.000−6.000 2.0006.000

−12.000 −6.000 12.000 −6.0006.000 2.000 −6.000 4 000 ]

 Phần tử 4:

EI{ 00

−0.353

−0.010}={ 0.5150.520

−0.5150.510 }

 Phần tử 2:

00.040 }={−0.485−0.510

EI{ 0.0400

−0.052

−0.038}={ 0.6300.393

−0.6300.237 }

Để tìm được nội lực chính xác của các phần tử trong trường hợp phần tử có lực phn bố tcdụng cần cộng thm thnh phần nội lực do tải trọng ny qui đổi về 2 nút ( 2 đầu phần tử ) khi xem tất cảcác nút được gắn cứng

{g03

g4

g5}={ 0.6300.393

−0.6300.237 }+

0.400

−0.067}={ 1.0300.460

−0.2300.170 }

EI{−0.052−0.038

0.0000.113 }={−0.170−0.237

0.1700.067 }

Để tìm được nội lực chính xác của các phần tử trong trường hợp phần tử có lực phn bố tcdụng cần cộng thm thnh phần nội lực do tải trọng ny qui đổi về 2 nút ( 2 đầu phần tử ) khi xem tất cảcác nút được gắn cứng.

{ q02L

q0L212

0.400

−0.067}={−0.2300.170

0.5700.000 }

2m 2m 2m

P K

EI {−528.913−14.969

59.877

−77.341

−57.382169.651 }

Chuyển vị tại điểm K lúc nút 1 bắt đầu chảy dẻo:

−770.915763.431 }

g4

g5}=1496.923 ×{ 1.0300.460

−0.2300.170 }={1541.831688.585

−344.292254.477 }

853.2460.000 }

c Vecơ tải trọng

{P}=1496.923 ×{ −10

−0.0667

−0.800.0667 }={−1496.9230.000

−99.795

−1197.5380.00099.795 }

 Phần tử 2:

[K2]=EI[ 1.5001.500 1.5002.000 −1.500−1.500 1.5001.000

−1.500 −1.500 1.500 −1.5001.500 1.000 −1.500 2.000 ]

 Phần tử 3,4:

[K3]=[K4]=EI[ 12.0006.000 4 0006.000 −12.000−6.000 2.0006.000

−12.000 −6.000 12.000 −6.0006.000 2.000 −6.000 4 000 ]

b Ma trận độ cứng tổng thể :

[K]=EI[1.875 0.7500.750 3.500 1.5001.000 0.0000.000 0.000 0.0000.000 0.000

1.500 1.000 6.000 −6.000 2.000 0.0000.000 0.000 −6.000 24.000 0.000 6.0000.000 0.000 2.000 0.000 8.000 2.0000.000 0.000 0.000 6.000 2.000 4.000]

e Độ gia tăng nội lực trong các phần tử: [Δvg]i=[K]i{Δvv}i

EI {0.0000.000

−0.7000.106 }={0.0000.342

−0.3420.683 }

0.658 }

EI{ 0.0000.156

−0.008

−0.053}={ 0.7170.567

−0.7170.150 }

Nội lực do tải trọng ngoài gây ra:

0.400

−0.067}={ 1.1170.633

−0.3170.083 }

EI{−−0.0080.053

0.0000.056 }={−0.083−0.150

0.0830.067 }

Nội lực do tải trọng ngoài gây ra:

−0.067}={−0.0830.317

0.4830.000 }

Bước 5:

Chuyển vị và nội lực ở giai đoạn này xác định bằng cách nhân với giá trị

λ2=21.906 Khi đó ta được:

EI {−15.3342.312

3.408

−0.183

−1.1561.217 }

b Độ gia tăng nội lực trong các phần tử: [Δvg]i=[K]i{Δvv}i

−7.48514.969}

−6.9371.826 }

10.5880.000 }

c Vecơ tải trọng

{P}=21.906×{ −10

−0.0667

−0.800.0667 }={−21.9060.000

−1.460

−17.5250.0001.460 }

d Vecơ tải trọng tích lũy giai đoạn này

{P}={−21.9060.000

−1.460

−17.5250.0001.460 }+{−1496.9230.000

−99.795

−1197.5380.00099.795 }={−1518.8290.000

−101.255

−1215.0630.000101.255 }

EI{−15.3342.312

3.408

−0.183

−1.1561.217 }= 1

EI {−544.247−12.657

63.285

−77.524

−58.538170.868 }

Chuyển vị tại điểm K lúc nút 1 bắt đầu chảy dẻo:

−7.48514.969}={ 778.400778.400

−778.400778.400 }

 Phần tử 2:

−6.9371.826 }={1566.293702.459

−351.229256.302 }

863.8340.000 }

 Phần tử 2:

[K2]=EI[ 0.3750.000 0.000 −0.3750.000 0.000 0.7500.000

−0.375 0.000 0.375 −0.7500.750 0.000 −0.750 1.500 ]

 Phần tử 3,4:

[K3]=[K4]=EI[ 12.0006.000 4 0006.000 −12.000−6.000 2.0006.000

−12.000 −6.000 12.000 −6.0006.000 2.000 −6.000 4 000 ]

b Ma trận độ cứng tổng thể :

(bỏ hàng và cột bằng 0( hàng 2 và cột 2))

[K]=EI[0.3750.750 5 5000.750 −6.000 2.000 0.0000.000 0.000 0.000

0.000 −6.000 24.000 0.000 6.0000.000 2.000 −6.000 8.000 0.0000.000 0.000 6.000 0.000 4.000]

f Độ gia tăng nội lực trong các phần tử [Δvg]i=[K]i{Δvv}i

 Phần tử 1: tại thanh 1 đã hóa dẻo ở 2 đầu nên độ gia tăng nội lực bằng 0.

EI {−0.0004.800

0.0001.067 }={−1.0000.000

0.000

−0.400}={ 0.6000.533

−0.6000.067 }

Nội lực do tải trọng ngoài gây ra:

{M}4=

{ q02L

q0L212

0.400

−0.067}={ 1.0000.600

−0.2000.000 }

Do nút 1 và nút 2 đã hóa dẻo nên ta không xét hệ số tải trọng tại nút 1 và nút 2.

Hệ số tải trọng tại các nút được chia cho moment dẻo “còn lại”, nút 3, 4

EI{−182.2600.000

40.50212.657

Chuyển vị tại điểm K lúc nút 1 bắt đầu chảy dẻo:

y λ3=v1=−726.597

EI =−5.887 ×10

−3m

−7.5940.000 }

d Vecơ tải trọng

{P}=37.971 ×{−1.000−0.067

−0.8000.0000.066 }={−37.791−2.531

−30.3770.0002.531 }

−37.971

−22.782}={1634.640778.400

−389.200233.520 }

856.2400.000 }

f Vectơ tải trọng tích lũy trong giai đoạn này:

−103.787

−1254.4400.000103.787 }

Đến đây thì cơ cấu phá hủy

-θ

-θ-θ

2θ2θ

- Số phương trình độc lập: e = m-h = 2

a Cơ cấu dầm 1: khớp dẻo hình thành tại nút 1, 2, 3

Nội công suất ảo:

b Cơ cấu dầm 2: nút dẻo hình thành tại nút 3, 4, 5

Nội công suất ảo:

- Do 1 2 nên khớp dẻo xuất hiện ở cơ cấu dầm 1 trước , nghĩa là khớp dẻo hình thànhtrước tiên ở nút 1, 2, 3 trong khi đó khớp dẻo chưa thể hình thành ở nút 4

- Khi đó 3 khớp dẻo 1, 2, 3 thẳng hành hệ trở thành biến hình hệ đạt đến cơ cấu phá hủyVậy

min λ1+ ¿ =2 Mp=2× 778.4=1556.8 ¿

Mr Mp

M Mp

- M p

- M p

A B

Von Mises

Tresca



b b

a a

b b

a a

W0

r

C BÀI TOÁN TẤM CHỊU UỐN

Tìm tải trọng giới hạn của tấm tròn hai liên kết đầu tựa đơn chịu tải trọng phân bố theochu vi như hình vẽ theo tiêu chuẩn Tresca

Dữ kiện hình học

Tiêu chuẩn chảy dẻo

a(m) b(m) Tresca VonMise

Cơ cấu phá hủy Tiêu chuẩn chảy dẻo

1 Xác định cận trên của tải trọng giới hạn

Giả sử cơ cấu phá hủy như sau:

.

.

00

d dr



r P

Kết hợp điều kiện biên

0

0

tại r a tại r

Cơng suất tiêu tán dẻo trên tồn tấm:

r P

Giá trị cận dưới và cận trên bằng nhau Vậy tải trọng giới hạn thực là:

2.11.5(2.1−1.5)M P ≈ 2.33 M P

%Phuong trinh can bang tai cac nut: [K]*{v}={g}

% Giai phuong trinh theo chuyen vi

v=inv(K)*g

%Khop deo hinh thanh tai nut 1

%Phan tich dan hoi voi ket cau da thay doi

6*L3 2*L4^2 -6*L4 4*L4^2]%ma tran cung phan tu 4

% Thiet lap ma tran do cung tong the

%Phuong trinh can bang tai cac nut: [K]*{v}={g}

% Giai phuong trinh theo chuyen vi

Ktongthe=K

%giai phuong trinh can bang tai cac nut

%Do gia tang ve chuyen vi

%Khop deo hinh thanh tai nut 1

%Phan tich dan hoi voi ket cau da thay doi

6*L3 2*L3^2 -6*L3 4*L3^2]%ma tran cung phan tu 3

K4= E*J/L4^3*[12 6*L4 -12 6*L4;

6*L4 4*L4^2 -6*L4 2*L4^2;

-12 -6*L4 12 -6*L4;

6*L3 2*L4^2 -6*L4 4*L4^2]%ma tran cung phan tu 4

% Thiet lap ma tran do cung tong the

%Phuong trinh can bang tai cac nut: [K]*{v}={g}

% Giai phuong trinh theo chuyen vi

%giai phuong trinh can bang tai cac nut

%Do gia tang ve chuyen vi

%Vector tai trong tich luy

G3=G1+G2;

G3(2,:)=[]

G5=G3+G4

%Khop deo hinh thanh tai nut 3

%Lamda gioi han

Lgh=lamda1+lamda2+lamda3

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Bùi Công Thành Cơ kết cấu nâng cao Nhà xuất bản đại học quốc gia TP Hồ Chí Minh,

2004

2 Chen W F & Han D R J Plasticity for Structural Engineers Springer – Verlag, 1990

3 Đỗ Kiến Quốc Đàn hồi ứng dụng Nhà xuất bản đại học quốc gia TP Hồ Chí Minh, 2004

4 David V.Hutton Fundamentals of Finite Element Analysis,New York, 2004