một số kinh nghiệm khi giải bài toán cơ học trong hệ quy chiếu quán tính và không quán tính

Lực quán tính này không phụ thuộc vào vị trí và vận tốc của vật trong hệ quy chiếu.- Trong hệ quy chiếu chuyển động quay đều với vận tốc gốc w  Lực quán tính tác dụng lên vật đứng yên

Lời nĩi đầu

Chuyển động là một khái niệm cơ bản trong cơ học Chuyển động của một vật thểlà sự thay đổi vị trí của vật đó so với các vật khác theo thời gian

Để xác định vị trí của một vật trong không gian ta cần chọn một vật làm mốc vàmột hệ trục tọa độ gắn với vật làm mốc nhằm xác định các tọa độ của vật đó Trongtrường hợp đã biết rõ qũy đạo thì chỉ cần chọn một điểm làm mốc và một chiều dươngtrên qũy đạo là đủ Khi nghiên cứu chuyển động của một vật là cho biết tọa độ của vậtđó ở những thời điểm khác nhau Muốn thế ta phải chọn gốc thời gian, thông thườngngười ta chọn gốc thời gian là thời điểm vật bắt đầu chuyển động và phải dùng đồng hồđể đo khoảng thời gian trôi qua tính từ gốc thời gian đến thời điểm mà ta quan tâm

Một sự kiện khá hiển nhiên là một vật đứng yên trong hệ quy chiếu này lại có thểchuyển động so với hệ quy chiếu khác Chẳng hạn, người ngồi trên toa xe lửa đangchuyển động sẽ nói rằng cái ghế anh ta đang đứng yên trong không gian, trong khi mộtngười đứng ở sân ga lại khẳng định cái ghế đó đang chuyển động Từ đó ta thấy rằng,chuyển động của một vật thể được nhận thấy theo cách khác nhau bởi hai người quansát đang chuyển động tương đối với nhau Rõ ràng chuyển động hay đứng yên chỉ cótính chất tương đối tùy theo hệ quy chiếu mà ta chọn

Vì vậy, đối với việc giải một bài toán cơ học, chọn hệ quy chiếu là công việc quantrọng đầu tiên Khi chúng ta chọn hệ quy chiếu thích hợp giúp cho việc giải bài toán trởnên đơn giản hơn rất nhiều Nhưng cơ học không phải là một môn học dễ, do đó vớinhững kiến thức đã có chúng tôi gặp phải không ít khó khăn trong việc vận dụng nóvào các bài toán cơ học hay giải thích các hiện tượng vật lý trong đời sống, trong tựnhiên Bên cạnh đó, việc cải cách nội dung chương trình bộ môn Vật lý ở cấp phổthông trung học đã đưa thêm một số kiến thức mới về cơ học nói chung, đặc biệt về hệquy chiếu không quán tính và lực quán tính nói riêng Những vấn đề này chưa đề cậptrong sách giáo khoa phổ thông mà chỉ nói đến ở chương trình các lớp chuyên Lý vàĐại học

Đứng trước những băn khoăn ấy, được sự hướng dẫn của thầy Dương Đào Tùng, tôi

quyết định nghiên cứu về đề tài “Một số kinh nghiệm khi giải bài toán cơ học trong hệ quy chiếu quán tính và không quán tính”.

Hy vọng rằng, qua đó tôi sẽ nắm được sâu sắc và kỹ càng hơn những kiến thức về

cơ học, mà trong đó đặc biệt là hệ quy chiếu quán tính và không quán tính Đây lànhững kiến thức quan trọng khi nói đến chuyển động cơ học, mà chúng sắp được triểnkhai đại trà vào sách giáo khoa phổ thông Vì thế, tôi mong rằng: luận văn này sẽ nhưmột tài liệu tham khảo, giúp các bạn sinh viên khoa Vậy lý bổ sung một số kiến thứccần thiết phục vụ cho việc giảng dạy sau này

PHẦN I

CƠ SỞ LÝ THUYẾT

A HỆ QUY CHIẾU QUÁN TÍNH

I KHÁI NIỆM HỆ QUY CHIẾU QUÁN TÍNH:

Ý nghĩa của định luật I Newton là ở chỗ nó định nghĩa một loại hệ quy chiếu, trongđó các định luật của Newton áp dụng được Do đó, định luật I Newton có thể phát biểunhư sau:

“Nếu hợp các lực tác dụng lên vật bằng không (0) thì có thể tìm được các hệ quychiếu, trong đó vật này không có gia tốc”

“Tồn tại những hệ quy chiếu mà đối với chúng, một vật sẽ bảo toàn vận tốc củamình, nếu không chịu tác dụng của vật khác, hoặc tác dụng của vật khác bù trừ lẫnnhau”

Những hệ quy chiếu trong đó định luật I Newton được nghiệm đúng gọi là hệ quychiếu quán tính hay hệ quy chiếu Galilée Và nếu đã tồn tại một hệ quy chiếu quántính thì sẽ tồn tại vô số hệ quy chiếu quán tính khác, đó là những hệ quy chiếu chuyểnđộng thẳng đều đối với một hệ quy chiếu quán tính mà ta đã xác định được

Theo cách định nghĩa này thì định luật I Newton là tiêu chuẩn xác định một hệ quychiếu là hệ quán tính hay không quán tính

* Vấn đề đặt ra là trong thực tế người ta xem những hệ quy chiếu nào là hệ quy chiếu quán tính:

Khi chưa có cách xác định một hệ quy chiếu theo nghĩa tuyệt đối người ta quy ướcchọn một số hệ quy chiếu mà ta có thể xem gần đúng là hệ quy chiếu quán tính

- Khi khảo sát chuyển động của các vật trên mặt đất hoặc ở lân cận mặt đất xảy ratrong một khoảng thời gian ngắn và trong khoảng không gian hẹp, người ta chọn hệ quychiếu gắn với mặt đất hoặc chuyển động thẳng đều so với mặt đất là hệ quy chiếu quántính Hệ quy chiếu này thường được sử dụng trong việc giải đa số các bài toán cơ học

- Hệ quy chiếu địa tâm: xem hệ quy chiếu gắn với tâm trái đất là hệ quy chiếu quántính Hệ quy chiếu này được dùng trong việc khảo sát chuyển động của các vệ tinhnhân tạo, mặt trăng, các con tàu vũ trụ bay quanh trái đất

- Hệ quy chiếu Copernic (hệ Nhật tâm): khi nghiên cứu phạm vi rộng như chuyểnđộng của các hành tinh, Newton chọn hệ quy chiếu lấy gốc ở tâm mặt trời và có ba trụctọa độ hướng về ba ngôi sao cố định ở rất xa mặt trời Hệ quy chiếu gắn với tâm mặttrời là hoàn toàn thích hợp để định luật quán tính được nghiệm đúng với độ chính xáccao trong các hiện tượng cơ học mà ta nghiên cứu

Các hệ quy chiếu trên thực ra không hẳn là hệ quy chiếu quán tính, chúng ta sẽ xétkỹ hơn ở phần III.

II NGUYÊN LÝ TƯƠNG ĐỐI GALILÉE:

Theo định luật thứ nhất của Newton, ta thấy rằng căn cứ vào chuyển động tự do củacác chất điểm thì không thể phân biệt được hệ quy chiếu quán tính này với hệ quychiếu quán tính khác Nói khác đi không có một hiện tượng vật lý hay hiện tượng tựnhiên nào có thể giúp ta phân biệt được hệ quy chiếu quán tính với nhau Đó là nội

dung của nguyên lý tương đối Galilee’: “Mọi hiện tượng cơ học xảy ra giống hệt nhau trong các hệ quy chiếu quán tính, nếu các điều kiện ban đầu giống nhau”.

Còn nếu các điều kiện ban đầu khác nhau Thì dĩ nhiên hiện tượng có những nétkhác nhau Thí dụ, người ở trong toa tàu chuyển động thẳng đều đối với Trái Đất sẽthấy hòn bi rơi thẳng đứng nhưng người đứng ở bên đường sẽ thấy hòn bi rơi theo qũyđạo parabol Đó là vì các điều kiện ban đầu khác nhau: đối với toa tàu hòn bi không cóvận tốc ban đầu, nhưng đối với Trái Đất nó có vận tốc ban đầu bằng vận tốc của toatàu

Điều này chứng tỏ rằng: dù cho quan điểm của những người quan sát, nghiên cứuhiện tượng trong hai hệ quy chiếu quán tính là hoàn toàn bình đẳng nhau nhưng các kếtluận của họ về một sự kiện là khác nhau Nhưng các kết luận trên đều đúng

Nguyên lý tương đối cho phép chọn một hệ quy chiếu quán tính bất kỳ khi nghiên

cứu một hiện tượng cơ học: “Mọi hệ quy chiếu quán tính là bình đẳng như nhau, không có hệ nào ưu tiên hơn hệ khác” Nhưng không được đưa ra các kết luận chung, đúng vô

điều kiện như người ta nói một cách tuyệt đối về vị trí trong không gian và về tốc độchuyển động Các khái niệm về vị trí không gian và tốc độ của chuyển động đều làtương đối Khi nói về các khái niệm tương đối như thế thì cần phải chỉ rõ chúng đượcxét trong hệ quy chiếu quán tính nào Việc không có một quan điểm đúng duy nhất vềchuyển động dẫn đến ta thừa nhận tính tương đối của không gian

III MỘT SỐ CÔNG THỨC ĐỘNG HỌC-ĐỘNG LỰC HỌC-CÁC ĐỊNH LUẬT NĂNG LƯỢNG TRONG HỆ QUY CHIẾU QUÁN TÍNH:

1 Công thức động học chất chất điểm:

1.1 Phương trình chuyển động và phương trình qũy đạo

- Dạng vectơ: r  r (t)

a Phương trình chuyển động

- Trong hệ tọa độ Descartes:

) (

) (

t z z

t y y

t x x

- Trong hệ tọa độ cầu:

) (

) (

t t

t r r









b Phương trình qũy đạo:

Khử t từ các phương trình trên ta sẽ được phương trình biểu thị quan hệ giữa các tọađộ x, y, z hoặc r,  ,  của chất điểm chuyển động

1.2 Vận tốc

a Vận tốc trung bình

t

r t

y e t

x V

dt

d e dt

dy e dt

dx dt

r d dt

V V

lim

dt

r d dt

v d t

v a

z y

y x

x e a e a e a e

dt

dv e dt

dv e dt

dv

Độ lớn:

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2

2 2

y d dt

x d a

a a

Có thể phân tích a thành 2 thành phần (trong chuyển động cong):

- Gia tốc tiếp tuyến:

a  

Về độ lớn:

2 2 2 2

dv a

a

Gia tốc tiếp tuyến đặc trưng cho sự thay đổi độ lớn của vận tốc theo phương qũy đạo.Gia tốc pháp tuyến đặc trưng cho sự thay đổi phương của vận tốc, nó bao giờ cũnghuớng về phía lõm của qũy đạo

2 Công thức động học chất điểm:

2.1 Các định luật Newton

a Định luật I

“Nếu không chịu tác dụng của lực nào hoặc nếu chịu tác dụng của các lực cân bằngnhau, một vật đang đứng yên sẽ tiếp tục đứng yên, đang chuyển động sẽ tiếp tụcchuyển động, thẳng đều”

Định luật 1 Newton bao gồm những nội dung sau:

- Khẳng định lực không phải là nguyên nhân của chuyển động mà là nguyên nhâncủa biến đổi chuyển động, tức là của gia tốc

- Nhờ tin vào định luật I mà Galilee’ và Newton đã phát hiện ra ma sát cản trởchuyển động của mọi vật

- Phát hiện ra quán tính của mọi vật

- Phát hiện ra hệ quy chiếu quán tính hoặc không quán tính

Tuy thí nghiệm lịch sử của Galilée thuộc loại thí nghiệm tưởng tượng và định luật INewton vẫn là định luật lý tưởng hóa Cho mãi đến ngày nay, bằng kỹ thuật tạo ra

“đệm không khí” người ta gần như loại bỏ được ma sát và do đó mới tạo ra được thínghiệm kiểm chứng một phần của định luật I Newton (trường hợp vật chịu các lực cânbằng) và người ta cũng đã chế tạo được các con tàu vũ trụ, như tàu Voyager đượcphóng năm 1977 bay về phía sao Hải Vương Trong khoảng không gian vũ trụ cách xacác vì sao, các con tàu vũ trụ chuyển động thẳng đều đối với hệ quy chiếu gắn với mặttrời mà không cần lực nào để duy trì chuyển động

b Định luật II

Trường hợp khối lượng của vật là không đổi:

d dt p d

Định luật III nói rằng, tác dụng của vật này lên vật khác bao giờ cũng là tác dụngtương hỗ và lực bao giờ cũng xuất hiện từng cặp trực đối, chứ không cân bằng

2.2 Một vài loại lực trong tự nhiên

a Lực hấp dẫn

m1 F12 F21 m2

12 3 12

2 1 12

r r

m m G

F 

Về độ lớn: 12 2

r

m m G

2

11 /10

.68,

P

.

r

r m G

2 9,8 /

s m R

M G

“Hợp lực của trọng lực và lực quán tính tác dụng lên một vật gọi là trọng lực biểukiến của vật”:

) (g a m F P

Lực kế đo trọng lượng biểu kiến của vật:

) ( g a m

P bk  

d Lực đàn hồi

Lực đàn hồi của lò xo xuất hiện ở cả hai đầu của lò xo và tác dụng vào các vật tiếpxúc (hay gắn) với lò xo làm lò xo biến dạng Khi bị dãn, lực đàn hồi của lò xo hướngvào trong lò xo, còn khi bị nén, lực đàn hồi của lò xo hướng ra ngoài

Theo định luật Hooke (trong giới hạn đàn hồi):

Fđh k  l

Trong đó:

- k: độ cứng (hệ số đàn hồi) của lò xo

- l l l o : độ biến dạng (độ dãn hay nén) của lò xo

Đối với dây cao su, dây thép… lực đàn hồi gọi là lực căng

Đối với các mặt tiếp xúc bị biến dạng khi ép vào nhau lực đàn hồi gọi là áp lực haylực pháp tuyến

e Lực ma sát

- Lực ma sát nghỉ:

Xuất hiện ở mặt tiếp xúc và giữ cho vật đứng yên khi nó bị một lực tác dụng songsong với mặt tiếp xúc

Hướng của nó ngược với hướng của lực tác dụng

Độ lớn của nó bằng độ lớn của lực tác dụng:

Fmsn= Ft (Ft : ngoại lực tiếp tuyến)

Có độ lớn cực đại:

Fms nghỉ cực đại = o.N hay Fms nghỉ  o.N (o:hệ số ma sát nghỉ)

Lực ma sát nghỉ cực đại lớn hơn lực ma sát trượt:

Fms nghỉ cực đại  Fmst

- Lực ma sát trượt:

Xuất hiện ở mặt tiếp xúc của hai vật đang trượt trên nhau

Có hướng ngược với hướng của vận tốc tương đối của vật này so với vật kia.

V

mst

F '

Độ lớn:

Fmstrượt   N : hệ số ma sát trượt

N: độ lớn của áp lực do vật nén lên bề mặt tiếp xúc

- Lực ma sát lăn: lực ma sát lăn xuất hiện khi một vật lăn

trên một vật khác để cản trở chuyển động lăn Lực ma sát lăn

cũng tỉ lệ với áp lực, nhưng hệ số ma sát lăn nhỏ hơn hệ số ma

sát trượt hàng chục lần

f Lực cản phụ thuộc vận tốc

V K

F c   1. (với V nhỏ)

V V K

F c   2. (với V lớn)

K1, K2: các hệ số tỉ lệ

3 Các định luật năng lượng

- Hệ cô lập là hệ không có tác dụng của ngọai lực

Ví dụ: tên lửa chuyển động trong khoảng không gian vũ trụ, xa các hành tinh

- Hệ cô lập cũng là hệ có các ngoại lực tác dụng nhưng các ngoại lực đó cân bằngnhau

Ví dụ: hệ vật chuyển động trên mặt phẳng ngang không có ma sát

- Trường hợp đặc biệt: một hệ lúc bình thường là không cô lập, trong một khoảngthời ngắn t trong hệ xảy ra va chạm hoặc phân hủy mạnh, sao cho nội lực tương tácgiữa các bộ phận của hệ có cường độ rất lớn vượt trội hẳn các ngoại lực Trong điềukiện đó trong khoảng thời gian t có thể coi hệ gần đúng là cô lập và áp dụng đượcluật bảo toàn động lượng

3.1 Định luật biến thiên và bảo toàn động lượng

- Định lý biến thiên động lượng viết dưới dạng:

m v m d v F dt d

p

d    hay F

dt p d



chỉ nghiệm chính xác trong trường hợp F không đổi Nếu F thay đổi trong quá trìnhtác dụng thì vẫn có thể áp dụng định lý biến thiên động lượng trong điều kiện t

không lớn và F là giá trị trung bình của lực tác dụng

- Đối với hệ cô lập:

V

msl

F Nms

F

const v

m

p 

3.2 Công cơ học

r d F

dz F dy F dx F

1 2

1 2

1

z

z z y

y y x

x x r

r

dz F dy F dx F dA A

Trường hợp F không đổi chuyển dời thẳng:



cos s F s F

A  ( : góc hợp bởi hướng của lực và hướng dịch chuyển)

- Công của trọng lực:

- Công của lực ma sát:

0



 F s K N s

3.3 Động năng-Thế năng-Định lý động năng

a Động năng-Định lý động năng

- Định lý động năng:

Wđ  m v22  m.v12 A

2

1 2 1

A: tổng công thực hiện của các lực tác dụng lên vật trong quá trình đó

b Thế năng trọng trường (thế năng hấp dẫn): tại vị trí có độ cao z

Wt = m.g.z (nếu chọn gốc thế năng là mặt đất)

- Thế năng đàn hồi của lò xo:

2

2

1

x K

Wt  (nếu chọn gốc thế năng ứng với vị trí lò xo không bị biến dạng)

3.4 Định luật biến thiên và bảo toàn cơ năng

Khi nói cơ năng của một vật chuyển động trong trọng trường của trái đất thì đó chínhlà cơ năng của hệ (vật+trái đất) có giá trị bằng:

Động năng của vật+Động năng trái đất+Thế năng tương tác giữa vật và trái đất

Nhưng ở đây động năng của trái đất bằng 0, vì ta đã chọn hệ quy chiếu gắn liền vớitrái đất và bỏ qua chuyển động quay của trái đất

a Cơ năng đàn hồi

2

2

1 2

1

x K V

m

Cơ năng trọng trường

z g m V m

b Định luật bảo toàn cơ năng

Nếu cơ hệ chỉ chịu tác dụng của lực thế hoặc các lực không thế nhưng không sinhcông thì cơ năng được bảo toàn:

A: công của các ngoại lực không phải là lực thế

3.5 Định luật biến thiên và bảo toàn momen động lượng

M dt

L d



i

i m V r

L . : momen động lượng của cơ hệ đối với điểm 0 (gốc của r i )

k k

k F r

M   : tổng momen của ngoại lực tác dụng lên cơ hệ đối với điểm 0.Trường hợp hệ cô lập, ngoại lực:

B THAY ĐỔI CÁC HỆ QUY CHIẾU

Ta biết hệ quy chiếu là vật thể để bạn gắn vào đó hệ trục tọa độ Hệ quy chiếuthông dụng đối với chúng ta trong chuyển động hằng ngày là hệ gắn với mặt đất Tuynhiên nếu bạn đi trên máy bay hay con tàu vũ trụ thì hệ quy chiếu gắn với mặt đất cóthể là hệ quy chiếu không tiện lợi nhất Nhưng khi đã chọn rồi thì phải luôn chú ý đếnsự lựa chọn của bạn và phải thận trọng tiến hành mọi phép đo của bạn đối với hệ quychiếu đã chọn

Trong một bài toán động học ta cần xác định quy luật biến đổi của vận tốc, gia tốccủa một chất điểm khi chuyển từ hệ quy chiếu này sang hệ quy chiếu khác Do đó tacần tìm công thức liên hệ giữa vận tốc gia tốc của chất điểm trong các hệ quy chiếuchuyển động tương đối với nhau

I CÔNG THỨC CỘNG VẬN TỐC

Công thức cộng vận tốc mà ta đề

cập chỉ áp dụng được nếu vận tốc

của vật chuyển động cũng như vận

tốc của hệ quy chiếu chuyển động

rất nhỏ so với vận tốc ánh sáng

Trong trường hợp một trong các

vận tốc đó lớn so sánh được với vận

tốc ánh sáng thì ta phải áp dụng

công thức cộng vận tốc của thuyết

tương đối

- Hệ quy chiếu (R1) xem như cố định

- Hệ quy chiếu (R2) di động

Xét hai hệ quy chiếu R1 và R2, ta có:

M O O O M

O1  1. 2 2.

1 1

1 1

/ 2 /

2 1 /

1 /

) (

R R

R R

dt

M O d dt

O O d dt

M O d M

2

R

O V dt

O O d

V M O dt

M O d dt

M O d

R R R R

R R R

2 / /

2 / /

2

/

2

1 2 2 1

2 2 1

()

Vậy sự tổng hợp vận tốc biểu thị bằng:

) ( )

( )

Trong đó: V e (M)là vận tốc kéo theo của điểm M nghĩa là vận tốc đối với R1 của

M, nếu nó cố định trong R2 (điểm trùng hợp)

- Các trường hợp đặc biệt:

Trường hợp R2 chuyển động tịnh tiến đối với R1:

O M

R

 2 / 1( )

1 2

Trường hợp R2 quay đối với R1 chung quanh một trục cố định:

Cho một chuyển động quay quanh trục Oz với vận tốc w:

z R

II CÔNG THỨC GIA TỐC

Ta trở lại biểu thức:

M O O

V M

V M

V /R R 2 /R R2/R1 2

1 2

)

Để đơn giản ta ký hiệu:

 có nghĩa là R2/ R1

V có nghĩa là V (M)

Tính đạo hàm trong R1 của mỗi số hạng

2 2

2 2

2

1

2

/ /

/ /

/

/

/

R R

R R

R R

R

V a

V dt

V d dt

V d

1

/ 2 /

/ 2

) ( )

(

R R

R

O a dt

O V d

d dt

M O d dt

M O d

R R

R

2 /

/

2 /

(

1 1

d M

O dt

M O d

R R

2 /

2 /

.

1 2

d M

O V

R

R .( )

/ 2

2 1

1 2

/ 2

/ 2 /

R R

R

dt

d M O O

a a

a / R1 : ký hiệu là a: gia tốc tuyệt đối

a / R2 : ký hiệu là a r : gia tốc tương đối

dt

d M O O

a M

a

R R

/ 2

/

2 ) ( ) (

a c(M)2...V/R2 : gia tốc coriolis (còn gọi là gia tốc phụ) xuất hiện dochuyển động quay của R2 so với một trục đi qua O1 trong hệ R1 và do sự chuyểnđộng của M trong hệ R2 có vận tốc tương đối V(M) /R2 không song song với 

Như vậy theo định luật coriolis thì gia tốc tuyệt đối là tổng hợp vectơ của 3 gia tốc:gia tốc tương đối, gia tốc kéo theo và gia tốc coriolis

) ( ) ( )

( )

a R  R  e  c

hay aa ra ea c

* Một số trường hợp đặc biệt:

- Trường hợp hệ quy chiếu R2 chuyển động tịnh tiến đối với hệ quy chiếu R1:

a 

Hệ quy chiếu R2 chuyển động thẳng đều so với hệ quy chiếu R1:

r a

O v d

Vậy gia tốc của một vật chuyển động bất kỳ là như nhau trong mọi hệ quy chiếu quán tính

- Trường hợp hệ quy chiếu (R2) quay tròn đều quanh 1 trục cố định với vận tốcgốc w so với hệ quy chiếu (R1) coi là đứng yên Giả sử vật chuyển động trong hệquy chiếu R2

c

e a a O

r

V w MH w

với: - H là hình chiếu của M lên trục quay

- MH vectơ bán kính vạch từ trục quay đến chất điểm M theo hướng vuông góc với trục quay

C HỆ QUY CHIẾU KHÔNG QUÁN TÍNH

I KHÁI NIỆM HỆ QUY CHIẾU KHÔNG QUÁN TÍNH

Như chúng ta đã biết các định luật Newton chỉ đúng trong hệ

quy chiếu quán tính, tức là hệ quy chiếu cố định hay chuyển

động thẳng đều đối với nhau Ta không thể áp dụng máy móc

định luật I và II Newton trong hệ quy chiếu không phải là hệ

quy chiếu quán tính Nhưng làm thế nào để biết được một hệ

quy chiếu nào đó là hệ quy chiếu quán tính hay không quán

tính? Không thể được nếu không dựa vào định luật I

Trong một toa tàu đang đứng yên hoặc chuyển động thẳng đều so với mặt đất, mọithí nghiệm cơ học đều tuân theo định luật I Một hòn bi đang đứng yên trên mặt bànnằm ngang sẽ đứng yên mãi Con lắc luôn có phương thẳng đứng Bây giờ con tàu tăng(giảm) tốc độ hoặc đổi hướng chuyển động Các hiện tượng cơ học diễn ra hoàn toànkhác trước Hòn bi thu gia tốc và chuyển động về phía ngược lại Con lắc lệch khỏiphương thẳng đứng về phía ngược lại Mặc dù, ta không thấy có vật nào ở xung quanhđã tác dụng lên chúng và gây ra gia tốc ấy Như vậy trong con tàu chuyển động có giatốc, các định luật Newton không được nghiệm đúng Hệ quy chiếu gắn với con tàu cógia tốc trong trường hợp này là hệ quy chiếu không quán tính

Vậy, hệ quy chiếu không quán tính đó là một hệ bất kỳ chuyển động có gia tốctương đối với hệ quy chiếu quán tính Các định luật Newton không nghiệm đúng trongcác hệ quy chiếu không quán tính

Hệ quy chiếu không quán tính đơn giản nhất là hệ quy chiếu chuyển động thẳng cógia tốc và hệ quy chiếu quay đều

Ta xét những trường hợp cụ thể:

- Trong hệ quy chiếu chuyển động thẳng với gia tốc a o :

Lực quán tính chỉ có một thành phần: F qt  m a o

 Lực quán tính có giá trị bằng tích khối lượng của vật với gia tốc của hệ và có chiềungược với chiều vectơ gia tốc của hệ đó

a

Lực quán tính này không phụ thuộc vào vị trí và vận tốc của vật trong hệ quy chiếu.

- Trong hệ quy chiếu chuyển động quay đều với vận tốc gốc w

 Lực quán tính tác dụng lên vật đứng yên chỉ có một thành phần F lt gọi là lựcquán tính ly tâm

HM w m

F lt 2



Lực này nằm trong mặt phẳng vuông góc với trục quay w có giá trị bằng m.w2.MH(với HM là khoảng cách từ trục quay đến chất điểm) có chiều hướng từ trục quay raphía ngoài Lực này phụ thuộc vào vị trí của vật trong hệ quy chiếu, nó càng lớn khi vật

ở xa trục và có tác dụng kéo vật ra xa trục quay

 Lực quán tính tác dụng lên vật chuyển động với vận tốc V (so với hệ quy chiếukhông quán tính) có 2 thành phần:

Về độ lớn: F c  2 m.w.v' sin ( là góc giữa w và v' )

 Lực quán tính coriolis luôn vuông gốc với phương chuyển động của vật nên nókhông sinh công, mà chỉ làm lệch qũy đạo mà thôi, không làm thay đổi độ lớn vận tốccủa vật chuyển động Như vậy, về tính chất lực quán tính coriolis phân biệt rõ với cáclực khác từ trước đến nay

* Lực quán tính ly tâm và lực ly tâm là hai hay chỉ là một?

Một số tác giả viết sách giáo khoa coi lực ly tâm là

phản lực của lực hướng tâm Để minh họa cho quan điểm

này ta xét thí dụ một người dùng dây buộc vào một vật

rồi cầm đầu kia của dây mà quay sao cho cả dây lẫn vật

đều quay tròn trong mặt phẳng nằm ngang Thông qua

dây, người tác dụng vào vật một lực ly tâm và ngược lại,

thông qua dây, vật cũng tác dụng lại vào người một phản

lực là lực ly tâm

Nhưng bây giờ ta xét trường hợp phức tạp hơn, dây quét thành một mặt nón xungquanh trục đối xứng thẳng đứng OO’ Hợp lực của trọng lực và lực căng tác dụng vàovật là lực hướng tâm Trong trường hợp này lực ly tâm là lực nào? Phản lực của lựchướng tâm là lực nào và đặt ở đâu? Phản lực của lực căng T là lực T' do vật kéodây, lực này tác dụng vào đầu tự do của dây và trực đối với lực T Phản lực của trọnglực P là lực P' do vật hút trái đất đặt ở tâm Trái Đất và trực đối với P Ta khôngthể tổng hợp 2 lực đặt vào hai vật khác nhau để trở thành lực ly tâm được

T

ht

F

P ht

F



'



Cho nên một số quan niệm khác cho rằng, coi lực quán tính ly tâm và lực ly tâm chỉlà một Lực ly tâm là tên gọi tắt của lực quán tính ly tâm Nó chỉ tồn tại trong hệ quychiếu quay vì nó không phải là lực thực gây ra bởi sự tương tác giữa các vật.

III CÔNG THỨC ĐỘNG LỰC HỌC-CÁC ĐỊNH LUẬT NĂNG LƯỢNG TRONG HỆ QUY CHIẾU KHÔNG QUÁN TÍNH

1 Công thức động lực học trong hệ quy chiếu không quán tính

Giả sử ta đã biết quy luật chuyển động của hệ quy chiếu không quán tính R đối vớihệ quy chiếu quán tính Rqt Ta hãy xác định phương trình động học trong hệ quy chiếuR

- Trong hệ quy chiếu quán tính Rqt, chuyển động của chất điểm tuân theo phươngtrình động lực học: m  a F

Trong đó:

a: gia tốc của chất điểm đối với hệ quy chiếu quán tính, đây là gia tốc tuyệt đối

:

F tổng vectơ các ngoại lực tác dụng vào vật

- Trong hệ quy chiếu không quán tính, chất điểm có gia tốc tương đối:

c e

a   

Ta đuợc:

c e

r F F F a

Ta xét một số trường hợp cụ thể:

 Hệ quy chiếu R chuyển động tịnh tiến với gia tốc a o so với hệ quy chiếu Rqt

 Hệ quy chiếu R quay đều quanh trục cố định so với hệ quy chiếu Rqt với vận tốcgốc w không đổi.

- Nếu vật đứng yên trong hệ quy chiếu R:

e w

F c   2 o. r  2 o.

2 Các định luật năng lượng trong hệ quy chiếu không quán tính

2.1 Trong hệ quy chiếu quán tính, người ta đã rút ra các định luật năng lượng từ các định luật Newton

Một hệ gồm nhiều chất điểm (hay nhiều vật mà ta có thể coi là chất điểm) tương tácvới nhau được gọi là một cơ hệ Lực tương tác giữa các chất điểm trong cơ hệ với nhauđược gọi là nội lực Lực tương tác giữa một chất điểm trong cơ hệ và các chất điểm ởngoài cơ hệ được gọi là ngoại lực

Các cơ hệ được phân thành 2 loại:

- Cơ hệ kín: là cơ hệ không có tương tác với các vật ở ngoài hệ

- Cơ hệ không kín: là cơ hệ có chịu tác dụng của các ngoại lực

Đối với các hệ kín: do các nội lực của hệ tồn tại theo từng cặp lực-phản lực trực đối

nhau và hệ không chịu tác dụng của các ngoại lực, nên tổng các lực tác dụng lên hệbằng không Vì vậy, các định luật bảo toàn được phát biểu như sau:

- Định luật bảo toàn động lượng: “Tổng động lượng của một hệ kín không biến đổitheo thời gian”



qty

- Định luật bảo toàn cơ năng: “Cơ năng của một hệ kín không biến đổi theo thờigian” hay “Khi một cơ hệ chỉ chịu tác dụng của những lực thế, cơ năng của hệ là mộtđại lượng không đổi”.

Wđ + Wt = W = const

- Định luật bảo toàn mômen động lượng: “Khi momen của các ngoại lực tác dụnglên cơ hệ bằng 0 đối với một điểm nào đó, thì momen động lượng của cơ hệ đối vớiđiểm đó không đổi”

const

L o 

Đối với các hệ không kín: do có các ngoại lực tác dụng lên hệ Vì vậy các định luật

bảo toàn được thay thế bằng định luật tổng quát hơn đó là các định luật biến thiên,chúng được phát biểu như sau:

- Định luật biến thiên động lượng: “Độ biến thiên động lượng của một cơ hệ trongmột khoảng thời gian bằng xung lượng của các ngoại lực tác dụng lên hệ trong khoảngthời gian đó”

dt F V m

d( ) 

- Định luật biến thiên cơ năng: “Độ biến thiên cơ năng của cơ hệ trong một khoảngthời gian bằng công của các lực khác không phải là lực thế tác dụng lên cơ hệ trongkhoảng thời gian đó”

d(Wđ + Wt) = dA

- Định luật biến thiên momen động lượng: “Độ biến thiên động lượng của cơ hệ đốivới một điểm nào đó trong một khoảng thời gian bằng xung lượng của tổng momen cácngoại lực đối với điểm đó trong khoảng thời gian đó”

dt M L

d  (e) hay OM F

dt

L d

.

.





2.2 Trong hệ quy chiếu không quán tính

Người ta đưa thêm vào các lực quán tính để vẫn có thể áp dụng được các định luậtNewton, nhưng lực quán tính không có phản lực Vì vậy trong hệ quy chiếu không quántính ngay cả khi không có ngoại lực tác dụng thì vẫn có lực quán tính tác dụng lên cơhệ, tổng ngoại lực tác dụng lên cơ hệ luôn khác không Do đó, trong hệ quy chiếukhông quán tính phát biểu các định luật năng lượng theo kiểu cơ hệ không kín và phảicộng thêm các lực quán tính vào các ngoại lực tác dụng lên hệ

- Định luật biến thiên động lượng: “Trong hệ quy chiếu không quán tính, độ biếnthiên động lượng của một cơ hệ trong một khoảng thời gian bằng xung lượng của cácngoại lực và các lực quán tính tác dụng lên hệ trong khoảng thời gian đó”

- Định luật biến thiên cơ năng: “ Trong hệ quy chiếu không quán tính, độ biến thiên

cơ năng của cơ hệ trong một khoảng thời gian bằng công của các lực khác không phảilà lực thế và công của lực quán tính tác dụng lên hệ trong khoảng thời gian đó”

d(W’đ + W’t) = dA + dAFie

- Định luật biến thiên momen động lượng: “Trong hệ quy chiếu không quán tính, độbiến thiên momen động lượng của cơ hệ đối với một điểm nào đó trong một khoảngthời gian bằng xung lượng của tổng momen các ngoại lực và momen của các lực quántính đối với điểm đó trong khoảng thời gian đó”.

)(

ic ie o

F F F OM dt

L d

A

 Thế năng của lực quán tính ly tâm: hệ quy chiếu không quán tính R quay với vậntốc w không đổi xung quanh một trục cố định Oz của Rqt.

z Rqt

PHẦN II MỘT SỐ KINH NGHIỆM KHI GIẢI BÀI TOÁN CƠ HỌC

TRONG HỆ QUY CHIẾU QUÁN TÍNH vàø

KHÔNG QUÁN TÍNH

A TÓM TẮT PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Để giải bài toán cơ học một cách có hệ thống, chính xác ta thường tiến hành một sốbước sau:

- Phân tích dạng bài toán

- Xác định các thông số của bài toán (thông số đã biết, thông số cần tìm)

- Lựa chọn hệ quy chiếu thích hợp

- Lựa chọn phương pháp giải

- Tiến hành giải tìm ra kết quả

Trong đó, việc quan trọng là nhất thiết phải xác định hệ quy chiếu Hệ quy chiếu làhệ trục tọa độ gắn vào một vật được coi là mốc và một đồng hồ để đo thời gian

Thí dụ: Xét chuyển động của một người đi từ mũi tàu tới đuôi tàu trong khi tàuchuyển động trên sông, ta có thể chọn hệ quy chiếu gắn với bờ sông hoặc hệ quy chiếugắn với tàu

Chọn hệ quy chiếu là hoàn toàn tùy ý nhưng bạn cần chọn sao cho việc giải quyếtbài toán là đơn giản nhất

Ta xét thí dụ đơn giản sau: sau khi gặp nhau ở giao lộ vuông góc nhau, một xe conchạy lên hướng Bắc với vận tốc V1 = 40km/h, còn xe tải chạy sang hướng Đông với vậntốc V2 = 30km/h Tìm khoảng cách giữa hai xe sau 2 giờ

Coi 2 xe như chất điểm

* Cách thứ nhất:

- Chọn hệ quy chiếu gắn với mặt đất

- Gốc tọa độ là giao lộ, chiều trục x là chiều Tây-Đông, chiều trục y là chiều Bắc

Nam Gốc thời gian: thời điểm 2 xe gặp nhau ở giao lộ

Phương trình chuyển động của xe con và xe tải:

x = 30t

y = 40t

Do đó tại thời điểm t hai xe cách nhau một đoạn:

t y x

- Trong hệ quy chiếu này, gốc tọa độ gắn với xe tải, chiều dương trục x là chiều từ

xe tải tới xe con

- Nếu chọn như vậy thì vận tốc của xe con đối với xe tải là:

V con/tải V con/đất V đất/tải V con/đất  V tải/đấtV1  V2

Suy ra:

h km V

V

2 2

- Theo cách thứ hai ngoài kết quả định lượng ta còn biết được quan sát viên ngồitrên xe tải (gốc tọa độ) thấy xe con chạy theo hướng Tây Bắc nghiêng với trục NamBắc mộc góc  bằng:

40

30

1

2 arctg V

V arctg 





Như vậy cách chọn hệ quy chiếu thứ hai mang lại nhiều thông tin hơn

Bên cạnh đó, chúng ta thường dùng một số phương pháp để giải bài toán cơ học, đólà phương pháp động học, phương pháp động lực học và phương pháp năng lượng

I ĐỐI VỚI HỆ QUY CHIẾU QUÁN TÍNH

Chọn hệ quy chiếu (thường chọn hệ quy chiếu gắn với mặt đất), gốc thời gian Xácđịnh các dữ liệu và yêu cầu của bài toán

1 Phương pháp động học

Phương pháp động học xác định các đại lượng đặc trưng của chuyển động dựa trênnhững công thức về: vận tốc, gia tốc, quãng đường…

Phương pháp động học có phạm vi áp dụng hẹp, nó chỉ giúp ta giải quyết những bàitoán động học tương ứng (bài toán chuyển động thẳng, bài toán chuyển động cong)

Thực ra, trong hầu hết các bài toán cơ học dù có sử dụng phương pháp khác thì tacũng phải vận dụng một số công thức của động học khi tiến hành giải bài toán

2 Phương pháp động lực học

Phương pháp động lực học dựa trên cơ sở các phương trình của 3 định luật Newton,đặc biệt là phương trình: n F m a

i

.1







Phương pháp động lực học được áp dụng cho những bài toán liên quan đến lực tác dụng-nguyên nhân làm thay đổi chuyển động của cơ hệ Phương pháp động lực học gồm các bước:

- Xác định lực tác dụng vào cơ hệ và biểu diễn chúng trên hình vẽ

- Viết các phương trình động lực học dưới dạng vectơ

- Chiếu các phương trình vectơ vừa viết xuống hệ trục tọa độ thích hợp để được cácphương trình đại số

- Dựa vào điều kiện ban đầu để tìm ẩn bài toán (biết lực xác định chuyển động, biếtchuyển động xác định lực) và nhận xét kết quả

3 Phương pháp năng lượng

Về nguyên tắc, có thể sử dụng phương pháp động lực học để giải bài toán cơ học.Nhưng trong trường hợp cơ hệ phức tạp, việc phân tích đầy đủ, chính xác các lực tácdụng lên cơ hệ tương đối khó Do đó việc giải bài toán cơ học thường nhanh gọn hơnnhờ sử dụng phương pháp năng lượng Đặc biệt hiệu quả trong những trường hợp cáclực biến thiên không xác định

Phương pháp này dựa trên cơ sở vận dụng các định lý, định luật biến thiên, định luậtbảo toàn trong vật lý

3.1 Vận dụng các định lý biến thiên

a Định lý biến thiên động lượng

- Cơ sở: d P F t

- Vận dụng: Áp dụng cho những bài toán liên quan đến động lượng biến thiên

b Định lý động năng

- Cơ sở Wđ2 - Wđ1 = A

Wđ1, Wđ2: động năng của vật ở trạng thái (1) và trạng thái (2)

A : tổng công của ngoại lực tác dụng vào hệ

- Vận dụng: Áp dụng cho những bài toán mà các thông số có liên quan đến độngnăng, quãng đường dịch chuyển

c Định lý về momen động lượng

3.2 Vận dụng các định luật bảo toàn

Các định luật bảo toàn có bản chất là các định luật biến thiên nhưng thỏa một sốđiều kiện nào đó thì trở thành định luật bảo toàn

a Định luật bảo toàn cơ năng

- Cơ sở: W = const

- Vận dụng: Áp dụng cho những cơ hệ có lực thế tác dụng (P) hoặc có thêm cáclực khác mà các lực này không sinh công trong quá trình chuyển động (N, f msn, )

Khi áp dụng định luật bảo toàn cơ năng ta chỉ cần quan tâm đến các thông số có liênquan đến hai trạng thái đang xét, mà không cần quan tâm đến quá trình biến đổi trunggian của hệ

Nếu muốn tiếp tục tìm các lực (lực ma sát nghỉ, lực căng dây…) thì phải vận dụngcác phương trình động lực học

b Định luật bảo toàn năng lượng

- Cơ sở: “Trong một hệ kín có sự chuyển hóa năng lượng từ dạng này sang dạngkhác nhưng năng lượng tổng cộng được bảo toàn”

- Vận dụng: đây là định luật phổ biến, tổng quát của tự nhiên

Ta xét đối với các bài toán cơ học: khi cơ hệ có nội lực là lực ma sát (như lực ma sáttrượt sinh công âm…) thì cơ năng của hệ không bảo toàn nữa Lực ma sát đã thực hiệncông âm, tương ứng với sự tỏa ra nhiệt lượng bằng công đó Lúc này, ta áp dụng địnhluật bảo toàn năng lượng

c Định luật bảo toàn động lượng

Định luật này cho phép giải những bài toán mà phương pháp động lực học không thểáp dụng được, điển hình là các bài toán va chạm và bài toán các hạt vi mô

Khi xác định động lượng ta phải chỉ rõ động lượng của vật được tính với mốc nào(nghĩa là vận tốc được tính với mốc nào) Khi nói động lượng của vật mà không chỉ rõmốc ta hiểu mốc tính động lượng là Trái Đất Định luật bảo toàn động lượng chỉ ápdụng được cho hệ cô lập (hệ kín)

Khi áp dụng định luật bảo toàn động lượng thường tiến hành theo các bước sau:

- Xác định xem hệ có đủ điều kiện để động lượng được bảo toàn hay không

- Chọn mốc tính vận tốc (cũng là mốc cho động lượng) Chọn trục và chiều trục chocác V , xác định vận tốc và động lượng mỗi vật

- Xác định vectơ tổng động lượng P của cơ hệ ngay trước và ngay sau khi xảy ratương tác

- Xác định ẩn số, lập phương trình bảo toàn động lượng cho cơ hệ rồi giải

II ĐỐI VỚI HỆ QUY CHIẾU KHÔNG QUÁN TÍNH

Trong thực tế, khi một vật thực hiện một chuyển động phức tạp đối với các hệ quychiếu không quán tính thì sự mô tả chuyển động đó trong một hệ quán tính sẽ rất phứctạp Mô tả chuyển động đó trong một hệ không quán tính sẽ đơn giản hơn rất nhiều,nhưng lại không thể khảo sát bằng các định luật của Newton bởi vì hệ quy chiếu khôngquán tính không phải là hệ kín Để vẫn duy trì được các định luật thứ nhất và thứ hai

của Newton như đối với các hệ quán tính, người ta đưa thêm vào loại lực đặc biệt gọi làlực quán tính.

1 Phương pháp động học

Phương trình chuyển động của chất điểm trong hệ quy chiếu không quán tính đượcmô tả tương đối phức tạp hơn so với trong hệ quy chiếu quán tính Ở phần sau, chúng tasẽ xét một vài bài toán cụ thể

2 Phương pháp động lực học

Một số bước tương tự như trong hệ quy chiếu quán tính nhưng phương trình động lựchọc trong hệ quy chiếu không quán tính ngoài sự có mặt của các lực tương tác, còn phảikể thêm lực quán tính F q khi xác định tổng lực

q

F F a

m  

Trong đó:

a: gia tốc của chất điểm trong hệ quy chiếu không quán tính

F : tổng ngoại lực tác dụng lên chất điểm

Một số trường hợp cụ thể:

- Nếu hệ quy chiếu (R) chuyển động thẳng với gia tốc a o:

Phương trình động lực học trong hệ quy chiếu không quán tính:

qt

F F a

m  

với F qt  m.a o

 m.aF m.a o

- Nếu hệ quy chiếu (R) chuyển động quay đều với vận tốc gốc w:

+ Chất điểm đứng yên trong hệ (R):

Phương trình động lực học:

lt

F F a

m  

với F lt m.w2.HM

 : lực quán tính ly tâmhay m.a F m.w2 HM

.a F m w2 HM m w V

với F lt m.w2.HM



)'.(

2m w V

F c  : lực quán tính coriolis

3 Phương pháp năng lượng

Trong hệ quy chiếu không quán tính ta áp dụng các định lý, định luật biến thiên vàlưu ý rằng phải kể thêm lực quán tính vào các ngoại lực tác dụng lên hệ

3.1 Vận dụng định lý động năng

F

F A A v m v

m 12 '22 

2

1 ' 2

A : công của lực quán tính kéo theo

3.2 Vận dụng định luật biến thiên cơ năng

ie

F

F A A W

W2'  1'  ' 

Trong đó:

' ,

A : công của các lực không phải là lực thế

Tuy nhiên, việc áp dụng định lý động năng sẽ đơn giản hơn so với áp dụng định luậtbiến thiên cơ năng

3.3 Định lý về momen động lượng

Aùp dụng định lý về momen động lượng đối với một trục cố định trong hệ quy chiếukhông quán tính R

R

R o

F F F OM dt

L d

/ /

ic

F : lực quán tính coriolis

III MỐI QUAN HỆ GIỮA HỆ QUY CHIẾU QUÁN TÍNH VÀ HỆ QUY CHIẾU KHÔNG QUÁN TÍNH

Với nội dung của thuyết tương đối rộng, Einstein đã đề ra nguyên lý tương đương:

“Chuyển động tự do trong hệ quy chiếu không quán tính giống như chuyển động của vật trong hệ quy chiếu quán tính với trường ngoài là trường hấp dẫn”.

Như vậy xét về mặt cơ học thì chuyển động tự do của các vật trong trường hấp dẫnđều (có gia tốc trọng trường g ) hoàn toàn giống như chuyển động của chúng trong hệquy chiếu không quán tính (chuyển động với cùng gia tốc g ) Ta nói có sự tươngđương giữa trường hấp dẫn và trường quán tính Einstein lý luận rằng: mọi người quansát quán tính hay không quán tính đều có khả năng tìm ra các định luật vật lý Nếu điềuđó không đúng thì rõ ràng chúng ta đã không thể tìm ra định luật vật lý nào hết vì quảđất của ta là hệ quy chiếu không quán tính Nghĩa là khẳng định giữa hệ quy chiếuquán tính và hệ quy chiếu không quán tính có mối quan hệ với nhau

Ở đây, ta chỉ xét trong cơ học Newton Một số đại lượng vật lý như: lực, khối lượng,thời gian trong cơ học Newton đều bất biến nghĩa là chúng có giá trị bằng số như nhaukhi đo chúng ở các hệ quy chiếu khác nhau Ngoài ra, gia tốc cũng là đại lượng bấtbiến trong các hệ quy chiếu quán tính Những đại lượng khác: vận tốc (gia tốc), độ dịch

chuyển, động năng, công có giá trị khác nhau ở các hệ quy chiếu khác nhau, những đạilượng này không bất biến Thế nhưng các định luật vật lý có dạng không thay đổi trongmọi hệ quy chiếu Đó là nội dung của nguyên lý bất biến:

“Các định luật vật lý phải có dạng như nhau trong mọi hệ quy chiếu Có nghĩa là mặc dù một số đại lượng vật lý có những giá trị khác nhau trong các hệ quy chiếu khác nhau nhưng các định luật vật lý vẫn phải đúng trong mọi hệ”.

Ta thử phân tích thí dụ minh họa: người thứ nhất đi bằng thang máy với tốc độ khôngđổi và cầm một quyển sách Người thứ hai đứng ở ban công đối diện quan sát người thứnhất khi thang máy đi được độ cao h Các mối quan hệ cộng động năng sẽ như thế nàokhi áp dụng cho quyển sách khi nhìn từ hai hệ quy chiếu này?

- Đối với quan sát viên đứng ở thang máy (người thứ nhất): Hệ quy chiếu của tôi làthang máy Tôi tác dụng một lực hướng lên vào quyển sách, nhưng lực này không thựchiện công vì quyển sách không chuyển động trong hệ quy chiếu của tôi Trọng lượngcủa quyển sách tác dụng xuống, không sinh công cũng vì lý do như trên Như vậy côngtoàn phần thực hiện trên quyển sách bằng không Theo định lý động năng thì: Wđ2=Wđ1nghĩa là động năng của quyển sách không thay đổi, động năng của quyển sách luônbằng không ở hệ quy chiếu của tôi

- Đối với quan sát viên đứng ở ban công (người thứ hai): hệ quy chiếu của tôi là bancông Tôi thấy người kia tác dụng lực F vào quyển sách Trong hệ quy chiếu của tôiđiểm tác dụng của F chuyển động và công mà lực F thực hiện khi quyển sách đi lênđộ cao h là:A F  mgh

Trọng lực của quyển sách thực hiện công:

Theo định lý động năng: Wđ2 = Wđ1

Như vậy: động năng của quyển sách không thay đổi Trong hệ quy chiếu của tôiđộng năng của quyển sách là 2

2

1

v

m và vẫn giữ nguyên như thế

Mặc dù hai người quan sát viên không thống nhất với nhau về độ dịch chuyển và động năng của quyển sách nhưng họ đều đồng ý định lý động năng là đúng trong hệ quy chiếu tương ứng của họ.

Như vậy, một lần nữa chúng ta khẳng định, mọi phương trình vật lý có dạng nhưnhau trong mọi hệ quy chiếu Điều này không có nghĩa là mọi hệ quy chiếu là tươngđương nhau trong không gian, kết quả đo sẽ khác nhau nhưng dạng của phương trình thìkhông đổi

B MỘT SỐ DẠNG BÀI TOÁN CƠ HỌC

Dạng 1: Bài Toán Động Học

I CÁC BÀI TOÁN MẪU

 Bài toán chuyển động cong

 Bài toán 1: Bùn văng từ bánh xe

Một chiếc xe bò lăn đều trên con đường nằm ngang nhớp nháp bùn Hỏi nước bùn từbánh xe văng ra lên tới độ cao cực đại bằng bao nhiêu?

Lời Giải Nhận xét:

Ta không thể chọn gốc tọa độ ở điểm xuất phát của qũy đạo giọt bùn, vì nó văng ra

ở những điểm khác nhau của bánh xe với vận tốc khác nhau Do đó ta sẽ chọn gốc tọađộ ở tâm của bánh xe, tức là sẽ khảo sát chuyển động của giọt bùn, trong hệ quy chiếuquán tính gắn liền với xe chuyển động thẳng đều đối với mặt đất Và tất nhiên, độvăng cao của giọt bùn không phụ thuộc vào việc ta xét chuyển động của nó trong hệquy chiếu gắn với mặt đất hay hệ quy chiếu gắn liền với bánh xe chuyển động thẳng.Nếu xe chuyển động với vận tốc Vo và

bánh xe lăn không trượt thì trong hệ quy

chiếu được chọn, vận tốc của mọi điểm ở

vành bánh xe đều bằng Vo Vì: bánh xe lăn

không trượt

ds

ds '

dt V R

R

x o  



sin

R

y o 



cos

Suy ra thời gian giọt bùn lên đến độ cao cực đại:



cos

g

V t gt

g

V

2 sin sin

2

2 2

2

Từ (4) ta thấy độ cao cực đại của giọt bùn phụ thuộc vào góc  , tức là phụ thuộcvào điểm mà nó bị văng ra Ta tìm điểm mà giọt bùn văng ra có độ cao lớn hơn so vớitất cả các điểm khác Biểu thức (4) là tam thức bậc hai đối với sin  và có giá trị lớnnhất bằng:

g

V V

gR

o 22

2 2

2 max   tại sin 2

gR  tức là xe lăn nhanh

Từ biểu thức (1): thay (3) vào (1) và kết hợp sin 2

.

g

V V



x

Như vậy độ cao cực đại mà giọt bùn đạt tới nằm phía trên trục bánh xe

 Khi giải bài toán này ta sử dụng các phương trình chuyển động (1) và (2), mô tảsự phụ thuộc của các tọa độ của vật chuyển động vào thời gian Các phương trình nàycho ta mọi thông tin về chuyển động của vật Trong bài toán vừa xét, chúng ta khôngcần quan tâm tới sự phụ thuộc vào thời gian mà chỉ quan tâm đến độ cao cực đại màgiọt bùn có thể đạt tới Do đó để đơn giản ta sử dụng định luật bảo toàn

Aùp dụng định luật bảo toàn cơ năng tại điểm giọt bùn văng và tại điểm cao nhất củaquỹ đạo:

Chọn gốc thế năng ở mức ngang với trục bánh xe

E1 = E2

 2 max

2

1

sin

.

2

2 2

2 max    

Như trên ta tìm được:

V V

gR

o 22

2 2

 Bài toán 2: Một quả bóng được ném vào rổ và từ rổ rơi

xuống theo phương thẳng đứng không vận tốc đầu Vào

đúng thời điểm đó tại một điểm cách rổ một khoảng l

người ta ném một quả bóng tennis vào quả bóng rổ đang

rơi xuống Hỏi phải ném quả bóng tennis với vận tốc ban

đầu bằng bao nhiêu để nó đập vào quả bóng rổ ở điểm

cách rổ một khoảng h?

Tìm độ lớn Vo và góc hợp bởi V và phương nằm ngang o

Lời giải

- Nếu giải bài toán trong hệ quy chiếu gắn với mặt đất

Khi quả bóng tennis đập vào quả bóng rổ ở độ cao h:

2

1

V h

t V

H  o sin 

Lập tỉ số (4)/(3) ta được:

2

2 H l

H tg







Từ đó ta nhận thấy rằng hướng vận tốc ban đầu của quả bóng

tennis V trùng với hướng từ điểm ném đến rổ Vậy ta phải ném o

quả bóng tennis đúng theo hướng tới rổ Để tìm V o ta rút t từ

phương trình (1) thay vào phương trình (4):

g

h V

H  o sin  2

h

g l g h H

V o

2 2





- Nếu giải bài toán trong hệ quy chiếu gắn với quả bóng rổ

Như vậy ta xét chuyển động của quả bóng tennis đối với quả bóng rổ

Vận tốc ban đầu của quả bóng tennis so với quả bóng rổ:

 Trong hệ quy chiếu này quả bóng tennis chuyển động thẳng đều với vận tốc V o.Đương nhiên V o phải hướng đúng vào rổ và sau thời gian

l

V o

2

 Bài toán 3: Từ một điểm người ta ném đồng thời hai vật với

vận tốc đầu V o bằng nhau nhưng dưới các góc khác nhau

2

1 ,

 so với phương ngang Tính:

a Vận tốc chuyển động tương đối giữa hai vật

b Khoảng cách giữa 2 vật trong khi đang chuyển động

Lời giải Cách 1: chọn hệ quy chiếu gắn với mặt đất

12

V : vận tốc của vật 1 so với vật 2

2

1,V

V : vận tốc của vật 1, 2 so với đất

Câu a: Theo công thức cộng vận tốc

2 1

V1y  o sin 1 V2y V o sin 2  gt

Thế vào (1) và (2) ta được:

) cos

12x V o   

V

) sin (sin

sin sin

cos

2 12

2 12 12

Câu b: Khoảng cách giữa 2 vật

2 2 1 2 2

1 sin

2cos(

2  1 2





Cách 2: Chọn hệ quy chiếu gắn với vật 2

Đây là hệ quy chiếu không quán tính chuyển động với gia tốc g so với mặt đất Trong hệ quy chiếu này vật 2 đứng yên còn vật 1 chịu tác dụng của 2 lực cân bằng, đó là trọng lực P  m g và lực quán tính F qt  m g Do đó vật 1 chuyển dộng thẳng đều

so với vật 2 với vận tốc:

2 1

12 V V

V   : không đổi

Tương tự như trên ta tìm được:

)2cos(

Vì vật 1 chuyển động thẳng đều so với vật 2 nên dễ dàng ta tìm được khoảng cách giữa 2 vật:

t V

2cos(

 Bài toán 4: Rơi tự do trên xe lửa

Một xe lửa chạy trên con đường thẳng với vận

tốc không đổi V o Một hành khách thả một viên

bi từ A với vận tốc ban đầu bằng không Tìm

điểm B mà viên bi chạm sàn toa xe?

Lời giải:

- Đối với hệ quy chiếu R2 gắn với xe lửa: đang tịnh tiến thẳng đều đối với hệ quychiếu Trái Đất Như vậy hệ R2 là hệ quán tính: Sự rơi trong R2 là thẳng đứng (trục ABlà thẳng đứng trong R2)

- Đối với hệ quy chiếu R1 gắn với mặt đất: trong hệ quy chiếu này viên bi được némvới vận tốc ban đầu mà thành phần nằm ngang làV o Trong hệ quy chiếu này chuyểnđộng của viên bi như vật được ném ngang

Có phương trình qũy đạo: 2

2

2V x

g y

o



Điểm B gắn vào xe lửa, ở phía dưới điểm A, có một vận tốc V o đối với R1 Như vậyviên bi và điểm B vẫn ở trên một đường thẳng đứng như cùng nhau và cuối cùng thìgặp nhau

Nhận xét:

Như vậy, người ở trên toa xe lửa chuyển động thẳng đều đối với Trái Đất sẽ thấyviên bi rơi thẳng đứng, nhưng người đứng dưới đất thấy nó rơi theo đường cong Qũyđạo chỉ được xác định trong từng hệ quy chiếu xác định

 Bài toán chuyển động thẳng

 Bài toán 5: Hai chất điểm chuyển động trên cùng một đường thẳng với các vận tốc

đầu V1,V2 ngược chiều nhau hướng đến nhau, độ lớn V1,V2 Gia tốc của chúng

2

1, a

a không thay đổi và ngược chiều với các vận tốc đầu tương ứng V1,V2 Khoảngcách ban đầu giữa hai chất điểm phải có giá trị nhỏ nhất là bao nhiêu để chúng khônggặp nhau khi chuyển động?

Giải

Bài toán yêu cầu tìm khoảng cách giữa

hai chất điểm do đó chọn hệ quy chiếu

không quán tính gắn với vật 2

Vận tốc ban đầu tương đối: V12 V1 V2

O 2 2 12

12 2





 O (V V )2 2(a1 a2).s

2 1 2

2

)(

2 1

2 2 1

a a

V V S

2

)(

2 1

2 2 1 min

a a

V V l







Nhận xét :

Bài toán rất đơn giản khi ta biết cách chọn hệ quy chiếu thích hợp

II NHẬN XÉT

Thông thường, các bài toán động học được xét trong hệ quy chiếu quán tính gắn vớimặt đất Tuy nhiên, trong một số trường hợp ta nên thay đổi cách chọn hệ quy chiếu,bài toán sẽ trở nên đơn giản và mang ý nghĩa hơn

III BÀI TẬP TỰ GIẢI

Bài 1: Từ một khí cầu đang bay lên cao theo phương thẳng đứng với vận tốc đều là

v=5m/s, người ta thả nhẹ nhàng một vật có khối lượng m sao cho vận tốc của khí cầukhông đổi

O

1

a V1 V 2 a2

a) Sau 2 giây vật cách khí cầu bao nhiêu mét?

b) Tính chiều dài tổng cộng vật đã đi được đối với đất trong thời gian trên

Đáp số: a) S = 20m

b) d = 12,5m

Bài 2: Máy bay ở độ cao h = 500m, bay theo phương nằm ngang Với vận tốc 100m/s

(coi qũy đạo của máy bay và tàu trên cùng một mặt phẳng thẳng đứng)

a) Phải thả vật khi máy bay cách tàu theo phương nằm ngang một khoảng baonhiêu?

b) Tính góc giữa vectơ vận tốc của vật và mặt phẳng nằm ngang khi vật rơi đến độcao h = 0m trong 2 trường hợp:

- Với người đứng trên tàu

- Với người đứng trên bờ

Cho g = 10m/s2 Bỏ qua sức cản của không khí

Đáp số: a) d = 900m

b)   48o;   45o

Bài 3: Một chiếc tàu đi dọc theo xích đạo về hướng Đông với vận tốc vo = 30km/h.Một luồng gió thôi từ hướng Đông Nam theo phương hợp với xích đạo một góc   60o

với vận tốc 15km/h Đối với hệ quy chiếu gắn liền với chiếc tàu Hãy xác định vận tốc

v’ của luồn gió đối với tàu và góc ' giữa hướng gió và xích đạo

Bỏ qua tác dụng của chuyển động quay của Trái Đất quanh trục

Đáp số: V' 40km/h

o

19 ' 



Bài 4 : Một xe con chuyển động thẳng đều với vận tốc vo thì người lái xe nhìn thấymột xe tải đang chuyển động thẳng đều, cùng chiều, phía trước với vận tốc V1 (V1<Vo).Nếu thời gian phản ứng của người lái xe con là  (tức là thời gian xe con vẫn giữnguyên vận tốc Vo) và sau đó hãm phanh Hỏi khoảng cách tối thiểu của hai xe kể từlúc người lái xe con nhìn thấy xe tải là bao nhiêu để không xảy ra tai nạn?

Đáp số: dmin  (V o V1)  ( 2 a. V o V1)

Dạng 2: Vật Chuyển Động Trên Nêm

 Hệ hai vật chuyển động tương đối nhau

Câu a: Một nêm ABC có AB = l, AC = h đặt trên mặt

sàn nhẵn nằm ngang có khối lượng m2 Đặt tại đỉnh A của

nêm một vật có khối lượng m1 rồi buông cho nó trượt

xuống dọc theo mặt AB Tìm thời gian để vật đi tới B và

quãng đường nêm đã đi được trong thời gian đó Cho hệ số

ma sát giữa vật và mặt nêm là k

Câu b: Cũng cơ hệ tương tự trên nhưng bỏ qua ma sát giữa vật và mặt phẳng nêm.

Hỏi khi vật m trượt tới đầu dưới của nêm thì nêm có vận tốc theo phương ngang bằngbao nhiêu? Vectơ vận tốc v1 của vật m1 lập với phương nằm ngang một góc bằng baonhiêu?

Giải

Vì không có ngoại lực theo phương nằm ngang nên khối tâm của cả hệ không dichuyển theo phương ngang Khi m chuyển động xuống dọc theo mặt nêm, thì khối tâmcủa nêm dịch chuyển sang phải

Câu a:

Cách 1: Chọn hệ quy chiếu quán tính gắn với mặt đất

Các lực tác dụng lên cơ hệ được biểu diễn như hình vẽ

 N' 1 là áp lực của m lên M

 N1'   N1 là phản lực của M tác dụng lên m được

xuất hiện theo định luật III Newton

 N là phản lựccủa mặt sàn tác dụng lên nêm M.2

 f ms1và f ms2 là lực ma sát do m và M chuyển động

tương đối với nhau

Phương trình động lực học cho cơ hệ:

1 1 1 1

1 N f m a

2 2 1 1 2

1 2

1

m

N k

m

N a

a

a x x

) 1 1 )(

cos (sin

2 1

a y  y  (cos  sin )

1

1 1

m m k

N g k

m

N

)11)(

cos(sin

)sin(cos

2 1

1 1

Ta tìm được N1:

)1()cos(sin

sincos

2 1

1 1

m

m tg

k k

g m N

Thế biểu thức của N1 vào (5) tìm được gia tốc a2 của nêm đối với đất

Thế biểu thức của N1 vào (6), (7) ta tìm được a12x, a12y

2 12 2 12

2 2

1

a

l t t a

Quãng đường nêm đã đi được trong khoảng thời gian đó:

)

2 ( 2

1 2

1

12 2

2

l a t

a

Nhận xét

Khi chọn hệ quy chiếu quán tính gắn với mặt đất bài toán trở nên phức tạp hơn

Cách 2: Chọn hệ quy chiếu không quán tính gắn với mặt nêm

Khi vật m chuyển động dọc xuống mặt nêm, nêm dịch chuyển tịnh tiến sang phảivới gia tốc a2 so với đất

Trong hệ quy chiếu gắn với nêm vật m1 ngoài chịu tác dụng của các lực

a : gia tốc của vật m1 đối với nêm

Phương trình động lực học viết cho vật m1:

12 1 1

1 1

1gsin kN m a cos m a

0 sin

)cos

Phương trình động lực học chuyển động của nêm:

2 2 1 1 2

2 N f' N' m a

P   ms  

Chiếu lên phương chuyển động với chiều (+) là chiều chuyển động của nêm:

2 2 1

2

2 1

2 sin cos sin

)coscos

.(sin

m m

k m

k g

m a

2 2

1

a

l t t a

) 2 ( 2

1 2

1

12 2

2 2

a

l a t

a

Nhận xét: Bài toán đơn giản hơn khi ta chọn giải trong hệ quy chiếu không quán

tính gắn với nêm

Câu b: Cách trả lời đơn giản nhất là áp dụng định luật bảo toàn động lượng trong hệ

quy chiếu quán tính gắn với mặt đất và mối quan hệ động học giữa vận tốc của vật m1và nêm

Gọi V vận tốc của vật m1 1 so với đất

V vận tốc của nêm m2 2 so với đất tại thời điểm vật m1 rơi đến chân nêm

Vận tốc của vật m1 đối với nêm:

2 1

12 V V

Chiếu lên hệ trục tọa độ Oxy:

y y

x x

V V

V V

V

1 12

2 1

1 12

12

V V

V V

V tg

x

y x

tg V V V

V tg

x x

x x

1

2 1

2 1 1

1 1

2 2

2 1

m

m V

V V

m V m

2 2 2

2 1 1

2

1 2

1

v m v

m gh

2 2 2

2 1

2 1 1

2

1 ) (

2

1

v m v

v m gh

Từ (2) và (3) ta có:

2 1

2 2 2 2

1 2 2

1

2 1

2

1 1

2

m

m m

m m gh

1 2 2

1 2

m m

m

gh V

Tìm gia tốc mỗi vật? Tìm lực ép của m1 lên giá đỡ m2

Gọi a1, a2 là gia tốc của vật m1, m2 đối với hệ cố định.

a12 là gia tốc của vật 1 đối với vật 2

Các lực tác dụng được biểu diễn trên hình vẽ

Bài toán trở nên đơn giản khi chọn hệ quy chiếu

không quán tính gắn với m2 Vật m1 ngoài chịu tác

dụng của trọng lực P , phản lực 1 N , lực ma sát1

1

ms

F , còn có thêm lực quán tính F qt  m1.a2

Phương trình động lực học cho cơ hệ:

1 gsin K gcos 4,05m/s

a    

Để tìm a2, ta viết phương trình động lực học của vật m2 so với mặt phẳng nghiêng:

2 2 2 1 1 2

2 1 2 1

1 2

2 sin cos ( ) cos 3,12m/s

m

g m m K g

m K g

m

Lực ép của m1 lên giá đỡ m2:

N g

Ta có thể xét xem áp lực này có thể gọi là trọng lượng của vật m1 hay không?

Theo khái niệm trọng lực biểu kiến:

qt

F P

P1 '  1 

 Giá trị của trọng lượng biểu kiến

o qt

qt P F F

Nhận xét: Khi xét trong hệ quy chiếu không quán tính gắn với vật m2 bài toán đượcgiải quyết nhanh gọn và mang lại nhiều thông tin hơn.

 Bài toán 3: Cho cơ hệ như hình vẽ Hệ số ma sát giữa m

và M là K1, giữa M và mặt phẳng ngang là K2 Tác dụng

vào vật M một lực F hợp với mặt phẳng ngang một góc

 Khi  thay đổi xác định giá trị nhỏ nhất của F để vật

M có thể trượt khỏi m

Các lực tác dụng lên cơ hệ được biểu diễn trên hình

Trong đó:

 N là áp lực của m lên M1'

 N1 N1' là phản lực của M lên m được xuất hiện

theo định luật III Newton

 N là phản lực do mặt sàn tác dụng lên M.2

 f ms1 & f ms2 là lực ma sát do m và M chuyển động

tương đối với nhau

 f ms2là lực ma sát giữa tấm ván M và mặt sàn

Cách 1: Chọn hệ quy chiếu quán tính gắn với mặt sàn

Phương trình động lực học cho cơ học:

1 1 1

1 N f' m.a

2 1 1 2 2 2

1 f P N N ' M .a f

(

2

2 1

K

g m M K K F









 thay đổi, Fmin khi (cos  K2sin  ) đạt cực đại Đặt y cos  K2sin 

Để y đạt cực trị: y'   sin K2 cos  0  tg K2

(cos

sincos

))(

(

2 1 2

2 2 1 min K K M m g K K M m g

với 2

2

1 1

1 cos

2 1 min

1

))(

(

K

g m M K K F









Cách 2: Chọn hệ quy chiếu không quán tính gắn với vật M

Trước hết tìm gia tốc a2 của vật M so với đất

Tương tự như trên ta tìm được:

M

F K M m g K mg K F

F qt   hướng sang trái

Phương trình động lực học trong hệ quy chiếu không quán tính:

12 1

Để vật M có thể trượt khỏi m:

a12 < 0 (so với chiều dương trục Ox)

 K1g > a2



M

F K M m g K mg K F

K

g m M K K F

2 1 min

1

))(

(

K

g m M K K F

Việc chọn hai hệ quy chiếu trên là hoàn toàn tương đương nhau

 Hệ ba vật chuyển động tương đối với nhau

 Bài toán 4: Có 3 tấm gỗ giống nhau có khối lượng bằng nhau: tấm 1 nằm trên tấm 2;tấm 2 và tấm 3 nằm trên mặt phẳng nằm ngang Bỏ qua ma sát giữa tấm 1 với tấm 2,giữa tấm 2 và tấm 3 với mặt bàn Cho hệ tấm 1 và tấm 2 chuyển động với vận tốc V o

đến va chạm vào tấm 3 đang đứng yên Sau va chạm, tấm 2 và tấm 3 dính vào nhau (vachạm mềm) Mặt trên của tấm 3 nhám nên giữa tấm 1 với tấm 3 có hệ số ma sát là K.Một lúc sau, tấm 1 dừng lại đối với tấm 2 và tấm 3 sau khi tấm 1 đã hoàn toàn trên tấm

3 tìm chiều dài của mỗi tấm