lời giải bài toán dao động tự điều hòa trong cơ học lượng tử và so sánh với cơ học cổ điển

LỜI GIẢI BÀI TOÁN DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HOÀVÀ NHỮNG KHÁC BIỆT VỚI DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HOÀ TRONG CƠ HỌC CỔ ĐIỂN Đặng Quang Đông TÓM TẮT Bài toán dao động tử điều hoà là bài toán cơ bản trong cơ h

LỜI GIẢI BÀI TOÁN DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HOÀ

VÀ NHỮNG KHÁC BIỆT VỚI DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HOÀ TRONG CƠ HỌC CỔ ĐIỂN

Đặng Quang Đông TÓM TẮT

Bài toán dao động tử điều hoà là bài toán cơ bản trong cơ học cổ điển, cũng như trong cơ học lượng tử Nhiều bài toán trong lĩnh vực vật lí hạt nhân nguyên tử

có thể đưa về dạng dao động tử điều hoà Điều này lí giải tại sao mô hình dao động tử điều hoà có vai trò quan trọng trong vật lí Trong bài báo này, tôi trình bày về lời giải bài toán dao động tử điều hoà một chiều (có mở rộng về dao động tử điều hoà ba chiều) và sự khác nhau giữa dao động tử điều hoà trong cơ học cổ điển và cơ học lượng lử

Abstract

The harmonic oscillator problem is a basic problem in classical physics and quantum mechanics Many nuclear physics’ problems can be solved like the harmonic oscillator in quantum mechanics It is a reason why the Harmonic oscillator has an important role in physics In this paper, I represent the solution

of the harmonic oscillator problem in one-dimension space, expanse in three-dimension space and the difference from the harmonic oscillator in classical physics

1 Bài toán dao động tử điều hoà trong cơ học cổ điển

Trong cơ học cổ điển, dao động tử điều hoà là một hệ cơ học thực hiện dao động được mô tả bởi những hàm số điều hoà theo thời gian, mà cụ thể ở đây là hàm sin và cos Ví dụ như con lắc đơn, con lắc lò xo nằm ngang, dao động điện

từ trong mạch lò xo…

Xét hạt khối lượng m dao động dọc theo trục x dưới tác dụng của lực F=-kx với

k là hằng số dương, thường gọi là hệ số đàn hồi, x là độ dịch chuyển khỏi vị trí cân bằng đặt tại gốc toạ độ x=0 Hệ như vậy gọi là dao động tử điều hoà[1].

Phương trình của dao động tử điều hoà theo cơ học cổ điển là

F=m ´x = m d

2

x

d t2 + k

Đặt ω2

m>0, trong đó ω=√m k là tần số dao động

Nghiệm của phương trình, có dạng:

x a t 

Ta có F=-gradV(x)= −dV (x )dx nên thế năng của dao động tử điều hoà

Động năng của hạt được tính theo công thức: T = m ´x

2

ma2ω2sin2(ωt +φ)

2

Năng lượng toàn phần của hạt: E = T + V = ma22ω2

Ứng với một giá trị , năng lượng có thể có những giá trị liên tục, tỉ lệ thuận với a [1]

Nhiều vấn đề trong vật lí hạt nhân nguyên tử có thể đưa về những dao động tử điều hoà tuyến tính - những dao động nhỏ xung quanh vị trí cân bằng (ví dụ như dao động của hạt nhân nguyên tử, dao động nhiệt trong tinh thể, dao động của các nút mạng tinh thể xung quanh vị trí cân bằng…) Điều này lí giải tại sao mô hình dao động tử điều hoà có vai trò quan trọng trong vật lí.[1]

Nhưng trong thực tế, dao động của những hệ thực không phải bao giờ cũng điều hoà và thế năng của hệ không có dạng parabol như (1) Tuy nhiên, nếu hệ thực

đó dao động với biên độ nhỏ thì ta có thể sử dụng khai triển Taylor cho hàm thế năng của nó [1]

V ( x )=∑

i=0

∞

1

i!

∂ i V(x0)

∂ x0i (x −x0)

i=V(x0)+V '(x0) (x−x0)+V ''

(x0)

2 (x−x0 )2+…

Do x0 là điểm cực tiểu nên V’(x0)=0, đặt k=V’’(x0)  0 và bỏ qua những số hạng khai triển từ bậc 3 trở lên thì ta sẽ thu được thế năng có dạng V(x)=k x22

[1]

2 Bài toán dao động tử điều hoà trong cơ học lượng tử

2.1 Dao động tử điều hoà một chiều

Bài toán dao động tử điều hoà một chiều là bài toán hạt có khối lượng m chuyển động trong hố thế một chiều V(x)=k x22

Hamiltonian của bài toán có dạng ^H=−ħ

2

2 m

∂2

∂ x2 +m ω2x^2

2

Phương trình Schrodinger của bài toán có dạng

(−ħ2 m2

∂2

∂ x2+

mω2^x2

2 )( x , t )=¿E( x ,t )

Xét trong trường dừng không phụ thuộc thời gian, ta tách biến

với (t )= Aexp(−iEtħ )

(−ħ2 m2

∂2

∂ x2+

mω2

^

x2

Trong đó, En là năng lượng ở trạng thái dừng ❑n ( x ) Trong phương trình này có nhiều hằng số nên rất khó để giải Tôi đã đưa phương trình (2) về dạng không thứ nguyên bằng cách chuyển sang biến số mới x= √mω ħ u, ε= 2 E

ħ ω (3) ta được phương trình (xem phụ lục 1): [2]

∂2(u)

Hàm sóng (x) phải thoả điều kiện chuẩn hoá ∫

−∞

+∞

❑¿(u )(u )dx=1 và điều kiện hữa hạn x→ ±∞lim (u )=0 Giải bài toán trên, tôi được nghiệm (xem phụ lục 2): [2]

(u)=Aexp (−u

2

Để giải phương trình (4), tôi biểu diễn hàm sóng của bài toán thông qua hàm sóng dưới đây [2](u )=s (u)exp(−u

2

Và thế (6) vào phương trình (4) ta được: ∂2s

∂u2 −2u ∂ s

Ta tìm nghiệm phương trình trên dưới dạng chuỗi luỹ thừa [1]

s (u)=∑

i=0

∞

Thay (8) vào (7) ta được:

i=0

∞

((i+1 )(i +2) a i+2−(2i +1−ϵ )ai)u i=0

Để cho đẳng thức trên đúng với mọi u, hệ số của từng số hạng ở vế trái của phương trình trên phải bằng 0

(i +1)(i +2) a i +2−(2 i+1−ϵ ) ai=0

=> a i+2= 2 i+1−ϵ

(i+ 1)(i +2) a i: đây là công thức truy hồi Công thức này cho phép tính tất

cả các hệ số a i của chuỗi (4) nếu ta biết cụ thể a0 và a1 Để nghiệm thu được có ý nghĩa vật lí, ta phải xét [1]

lim

i → ∞ a i+ 2 ≈ 2i

i2 a i=

a i i

2

Nên a i ≈ C

(i

2!) và s(u)≈ C∑i

u i

(i

2!)

i

u 2 n (n !)=C eu2

Khi u ∞ thì phương trình (6) sẽ tiến tới vô hạn và điều này trái với điều kiện hữa hạn của hàm sóng (u) Để nghiệm thu được hữa hạn tại vô cực, chuỗi vô hạn (8) phải rút về một đa thức, nghĩa là ta phải ngắt chuỗi này tại một số hạng nào

đó Ta ngắt chuỗi tại số hạng thứ n, nghĩa là an≠0 nhưng an+2=0 [1]

Suy ra a n+2= 2 n+1−ϵ

(n+1) (n+2) a n=0 nên ϵ=ϵ n=2 n+1 (n=0, 1, 2…)

Suy ra ϵ n=2 E n

Vậy ta đã thu được năng lượng bị lượng tử hoá của hệ và các mức năng lượng cách đều nhau.

Khi n=0 thì ϵ=1 và a2=0, a1=a3=a5=…=0 => s(u)=a0

❑0(u )=a0e

−u2

2

Khi n=1 thì ϵ=3 và a3=0, a0=a2=a4=…=0 => s(u)=a1u

❑1(u)=a1u e

−u2

2

Làm tương tự, ta có bảng sau: [2]

n 2 E n

n ( x ) e

x2

2a2

a

a2 −2¿

Ở đây Hn(u) là đa thức Hermite thứ n Ta có hệ số Nn [2]:

N n=(mω πħħ )14(2n n !)

−1 2

Vậy từ (3), (5), (9) hàm sóng tổng quát là

❑n ( x , t )= 1

√2n n!√mω πħħ

H n exp ⁡(−mω

2

−i(n+1

2)ωt )

Và E n=(n+1

2.2 Dao động tử điều hoà ba chiều

Xét một hạt khối lượng m chuyển động trong trường thế dạng

+ω2z z2

) ¿ Hamiltonian của hạt là

^

2

2 m(

∂2

∂ x2+

∂2

∂ y2+

∂2

∂ z2)+

m

2 (ωx

2

x¿¿2+ω2y y2+ω2z z2) ¿ Phương trình Schrodinger của bài toán có dạng

¿E( x ,t )

Xét trong trường dừng không phụ thuộc thời gian, ta tách biến

( x ,t )= X ( x ) Y ( y ) Z( z) (t ) (8) với (t )= Aexp(−i(Ex+E y+E z)t

Giải bài toán trên, ta được kết quả (làm tương tự như dao động tử điều hoà một

chiều):

❑n ( x , y , z ,t )=

( √2n n !1√mω πħħ )3H nxexp(−mω2 ħ x

2 −i(n x+ 1

2)ωt) H nyexp(−mω

2 −i(n y+ 1

2)ωt) H nz exp ⁡(−mω

2 −i(n z+ 1

2)ωt)

Và E n=(n x+ 1

2)ħ ω x+(n y+ 1

2)ħ ω y+(n z+ 1

2)ħ ω z

3 Những điểm khác biệt giữa dao động tử điều hoà trong cơ học cổ điển và

cơ học lượng lử:

- Đồ thị trên [3] cho ta biết

xác suất tìm thấy hạt (đường nét đứt là xác suất trong cơ học cổ điển,

đường liền nét là xác suất trong cơ học lượng tử) Rõ ràng xác suất tìm

hạt trong cổ điển và lượng tử là khác nhau Trong miền cấm cổ điển

(miền ngoài 2 đường thẳng vuông góc), thì xác suất cổ điển bằng 0, còn

xác suất tìm hạt trong cơ học lượng tử khác 0 Khi x∞ thì xác suất

trong cơ lượng tử tiến nhanh về 0 Nhưng khi n∞ (đồ thị dưới) [3] thì

“khúc đuôi” của đường cong xác suất lượng tử càng ngắn, phân bố xác

suất lượng tử hầu như trùng với phân bố xác suất cổ điển [1]

- Sự khác biệt tiếp theo giữa dao động tử điều hoà trong cơ học cổ điển và

cơ học lượng tử là ở trạng thái cơ bản Trong cơ học cổ điển thì ở trạng thái cơ bản, năng lượng bằng 0 Trong cơ học lượng tử thì năng lượng ở trạng thái cơ bản lại bằng ħω Năng lượng của hệ trong cơ học cổ điển thì liên tục, còn trong cơ học lượng tử thì năng lượng này lại gián đoạn và các mức năng lượng cách đều nhau.[1]

4 Phụ lục tính toán

4.1 Phụ lục 1 [2]

Ta định nghĩa hằng số a=√mω ħ có thứ nguyên chiều dài Ta đặt u= x

a=√mω ħ x, suy

ra u không có thứ nguyên Ta đã biết ħω có thứ nguyên năng lượng nên ta đặt ,

ε= 2 E

ħω Rõ ràng ε không có thứ nguyên.[2]

Thế u= x

a=√mω ħ x=¿x

2

=(mω ħ )u2

= ¿d x2

=(mω ħ )du2, ε= 2 E

ħω vào phương trình

(−ħ2 m2

∂2

∂ x2 +mω2^x2

2 )❑n ( x )=¿En ❑n ( x ), ta được:

(−ħω2

∂2

∂u2+

ħωu2

2 )❑ ❑( x )=ħωϵ

2 ❑( x )=¿

∂2(u)

∂u2 =(u

2 −ϵ )(u)

4.2 Phụ lục 2 [2]

∂2(u)

∂ u2 =(u

2 −ϵ)(u)

lim

u →± ∞

(u2−ϵ)≈ u2

u →± ∞

∂2 (u)

Suy ra (u)=Aexp(u2

2 ) Sau đó đạo hàm, ta có:

∂

∂2

∂u2 =(+ ❑2u2)

u →± ∞

∂2(u)

∂u2 ≈❑

So sánh (*) và (**) ta có ❑2=1= ¿ =± 1

Nên ta có nghiệm phương trình là (u)=Bexp(u22) +Aexp(−u22).

Nghiệm trên phải hữa hạn tại vô cực nên ta bỏ thành phần đầu của nghiệm trên Vậy nghiệm là (u)=Aexp(−u22)

Tài liệu tham khảo

1 Dũng, H (1999) Nhập môn Cơ học lượng tử (Tập 1) NXB GIÁO DỤC.

2 Allan, A (2013) Quantum Harmonic Oscillator: Brute Force Method (Lecture 8, MIT OpenCourseWare) Massachusetts Institute of Technology

3 http://comp-physics.blogspot.com/2013/01/maple-qho.html