bài toán hai vật trường xuyên tâm

BÀI TOÁN HAI VẬT- 1TRƯỜNG XUYÊN TÂM Giới thiệu: Trong phần này ta xét chuyển động của hai vật dưới lực tương tác của chính hai vật đó.. Mục tiêu:  Giải bài toán hai vật bằng cách s

BÀI TOÁN HAI VẬT- 1

TRƯỜNG XUYÊN TÂM

Giới thiệu:

Trong phần này ta xét chuyển

động của hai vật dưới lực tương

tác của chính hai vật đó Bài

toán này có tầm quan trọng lớn

lao về mặt lý thuyết Trong phần

này chúng ta sẽ nghiên cứu các

quy luật chuyển động của hai

vật, tìm phương trình chuyển

động của hai vật, Nghiên cứu

tác dụng của trường xuyên tâm

mà cụ thể là lực hấp dẫn

Mục tiêu:

 Giải bài toán hai vật bằng cách sử dụng hệ quy chiếu khối tâm và chuyển động tương đối của hai vật

 Sử dụng các định luật bảo toàn trong việc giải các bài toán hai vật và bài toán trường xuyên tâm

 Xác định quỹ đạo chuyển động của hạt trong trường xuyên tâm cụ thể là trường hấp dẫn.

z

2

F

M2

x

M1

1

F

1

r

2

r

I PHƯƠNG TRÌNH CHUYỂN ĐỘNG CỦA HAI VẬT

Xét hai vật M1 và M2 có khối lượng lần lượt là m1 và m2 chuyển động dưới tác dụng của cặp lực trực đối F ,1 F Phương trình định luật II Newton viết cho hai vật là: 2

'' ''



Cộng hai phương trình trên vế theo vế và lưu ý

F F  Ta có:

m r m r F F  (2)

Gọi G là khối tâm của hai vật M1 và M2, đặt r là G

vecto hướng từ O đến G Ta có:

(m m r) G m rm r (3) Lấy đạo hàm (3) theo t đến cấp hai và kết hợp với phương trình (2) ta suy ra:

'' 0

G

Như vậy chuyển động của khối tâm hai vật là một chuyển động thẳng đều Vị trí của tâm G tại thời điểm t được xác định theo công thức:

( ) (0)

r t r v t (5)

Từ hệ phương trình (1) ta có:

'' ''

Mà: r   r2 r1 r''r2''r1'' nên:

2

1 1 ''

Đặt

   ta thu được r''F2 (6)

Giải phương trình (6) ta được r t mô tả chuyển động tương đối của M( ) 2 đối với M1, kết hợp với phương trình (5) ta thu được phương trình mô tả chuyển động của từng vật

Hình 1 Tương tác giữa hai vật

Ta có: m GM1 1m GM2 2 0 suy ra:

,

Do đó vị trí của hai hạt tại thời điểm t là:

2

1

( )

( )

G

G

m

m





(7)

II CÁC ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN TRONG CHUYỂN ĐỘNG CỦA HAI VẬT

1 Bảo toàn động lượng

Hệ hai hạt được giả thiết là cô lập trong hệ quy chiếu nghiên cứu, tức không có ngoại lực tác dụng, do đó động lượng được bảo toàn Biểu thức (3) và (4) chứng tỏ điều đó

2 Bảo toàn momen động lượng

Ta thấy rằng momen lực của F F1, 2 đối với khối tâm G bằng 0 Do đó momen động lượng của hai hạt đối với tâm G bảo toàn

L m GM v m GM v 

1G, 2G

v v là vận tốc tương đối của M1 và M2 đối với khối tâm Tính GM GM1, 2 theo r ta có:

 2 1 

=r v Gv G rv (8)

Momen động lượng là một vecto bất biến luôn vuông góc với

hai vecto vị trí khối tâm và vận tốc tương đối của hai hạt Do

đó chuyển động của hai hạt luôn nằm trong mặt phẳng chứa

tâm G và vuông góc với vecto không đổi L G

z

z

L

y

θ r

Chọn hệ quy chiếu tâm tỉ cự (G; e , x e y,e ) như hình vẽ: z

Biểu thức vận tốc trong hệ tọa độ cực là:

'' r '

v r e r e

Do đó biểu thức của momen động lượng sẽ là:

L re r e r e  r e (9)

Sự bảo toàn vecto momen động lượng kéo theo định luật về diện tích hay còn gọi là định luật II Kepler Gọi dS là diện tích mà r quét trong thời gian dt Ta có:

2 1 '

z

L

r



C gọi là hằng số diện tích được xác định từ điều kiện ban đầu

Lưu ý: chúng ta có thể thiết lập các công thức trên bằng cách xét trực tiếp chuyển động tương đối của M2 đối với M1 (bạn đọc tự thiết lập)

3 Bảo toàn cơ năng

a Động năng của cơ hệ đối với tâm G

Ta đã thay thế chuyển động tương đối của hai hạt M1 và M2 bằng chuyển động của hạt M quanh tâm G như vậy động năng của hệ đối với tâm G là:

2

1 2

K

E  v (11) Thật vậy, động năng của hai hạt đối với tâm G là:

v ,

  Từ đó suy ra:

   2 2 2

K

E  v   r  r 

b Thế năng tương tác giữa hai vật:

Các lực tương tác giữa hai vật sẽ phát sinh một thế năng E r sao cho: T( )

và

Như vậy năng lượng trong chuyển động là:

   2 2

1

E  r  r E r

Mà: Cr2' nên biểu thức năng lượng viết lại là:

 2 2

2

C

r





Năng lượng này được bảo toàn trong chuyển động

c Thế năng hiệu dụng

Thế năng hiệu dụng là hàm số của r được xác định bởi:

2 2

1

( ) 2

C

r



Còn cơ năng được viết gọn lại là:

 2

1 '

E  r E (15)

III CHUYỂN ĐỘNG CỦA HẠT DƯỚI TÁC DỤNG CỦA LỰC XUYÊN TÂM

Trong phần trên ta đã tìm được một số phương trình quan trọng trong chuyển động của hạt ảo M dưới tác dụng của lực xuyên tâm Tiếp theo ta sẽ tìm phương trình tổng quát của hạt chuyển động dưới tác dụng của lực xuyên tâm

1 Giới hạn chuyển động của hạt dưới tác dụng của lực xuyên tâm

Từ phương trình (15) ta suy ra:

2

dr

E E dt

   

Từ các điều kiện ban đầu đã cho ngăng lượng E được xác định Khi đó chuyển động của hạt được xác định bởi vecto vị trí r sao cho:

hd

EE (17)

Các giá trị r cho EE hd xác định các giới hạn chuyển động xuyên tâm của hạt Rõ ràng khi

hd

EE thì theo (16) ta có dr

dt =0, hàm số r(t) từ đồng biến sẽ thành nghịch biến hoặc ngược lại,

khi đó hạt sẽ quay ngược trở lại Tuy nhiên ta không thể kết luận hạt sẽ đứng yên tại giới hạn đó bởi vì thành phần vận tốc tiếp tuyến không bằng không tại giới hạn đó: v r ' C 0

r

2 Phương trình tổng quát của hạt chuyển động trong trường xuyên tâm

Biểu thức (16) cho ta:

 

2

hd

dr

E E

dt     (18)

Dấu “+” hay “-“ tùy thuộc vào hạt chuyển động lại gần hay ra xa tâm lực Từ (18) ta có thể tìm được thời gian hạt chuyển động giữa hai điểm bất kỳ và tìm được phương trình quỹ đạo của hạt Thật vậy, tách biến phương trình (18) lấy tích phân hay vế ta được:

 

0

0

2

r

r

hd

dr

t t

E E



  



Ehd

E1

E2

rmin(1) rmin(2) r

O

Hình 3 Các trạng thái khuếch tán

Các hạt từ vô cùng chuyển động đến

rmin(1) hay rmin(2) tùy vào năng lượng của

chúng rồi quay trở lại vô cùng

Ehd

r E1

E2

O rmin

rmin

rmax rmax

Hình 4 Các trạng thái liên kết

Các hạt chuyển động giữa các điểm giới hạn rmin và rmax

Để tìm được phương trình quỹ đạo ta khử biến t nhờ hằng số diện tích:

 

2

2

hd

dr dr d C dr

E E

dt d dt r d



Suy ra:

0

2 0

2 2

2

2

z r

L dr r L k E



 

  

 

Dấu “+” hay “-“ trong (20) phụ thuộc vào chiều quay ban đầu của hạt Bởi vì chiều quay của hạt

2

dt r



 có dấu không đổi nên tích phân trên chỉ lấy theo một dấu duy nhất là “+” hoặc “-“

IV BÀI TẬP

Bài 1: Chứng minh rằng chuyển động tương đối của hai hạt không phụ thuộc vào tác dụng của

trường trọng lực

Bài 2: Hai hạt M1 và M2 có khối lượng lần lượt là m1 và m2, có điện tích q1 và q2 trái dấu nhau, được thả ra dồng thời không vận tốc đầu, ở khoảng cách r0 giữa hai hạt Xét trong hệ quy chiếu phòng thí nghiệm được coi là hệ quy chiếu quán tính

a) Tìm thời điểm t0 hai hạt gặp nhau? Từ đó chứng tỏ rằng bình phương của thời gian đi hết quãng đường tỷ lệ với lập phương quãng đường đi

b) Tìm khoảng cách r1 mà ta phải thả các hạt không vận tốc đầu để thời gian gặp nhau của hai hạt là t1=8t0?

Bài 3: Dao động của một hệ

Hai vật M1 và M2 có khối lượng lần lượt là m1 và m2 được nối với nhau bằng một lò xo có độ cứng k và chiều dài tự nhiên l Các vật trượt không ma sát trên một trục nằm ngang Tại thời điểm t=0 vật m1 được truyền cho một vận tốc v0 Hãy xác định:

a) Chuyển động của khối tâm của hệ

b) Quy luật biến thiên chiều dài l(t) của lò xo

Bài 4: Xét hệ cô lập gồm hai hạt khối lượng m1 và m2 tương tác với nhau theo quy luật của lực hút r -2, hai vật dịch chuyển sao cho khoảng cách giữa hai hạt không đổi và bằng r0 Gọi v0 là vận tốc ban đầu của khối tâm Chọn hệ quy chiếu phòng thí nghiệm sao cho v G v e0 x

a) Chứng minh rằng vận tốc tương đối của hai hạt luôn vuông góc với vecto vị trí của hai hạt

b) Xét trong hệ quy chiếu khối tâm, tìm phương trình chuyển động của hạt 2 so với hạt 1 bằng cách dùng hạt ảo M

c) Từ đó suy ra chuyển động của từng hạt trong hệ quy chiếu phòng thí nghiệm

Bài 5: Trong hệ quy chiếu quán tính phòng thí nghiệm, xét hai hạt M1 và M2 có khối lượng m1

và m2 mang điênh tích cùng dấu q1 và q2 Ở thời điểm ban đầu, hai hạt được buông ra ở khoảng cách r giữa chúng Bỏ qua tác dụng của trọng lực Tính các vận tốc giới hạn của chúng

1 và 2

v v  bằng hai cách:

a) Sử dụng bảo toàn năng lượng trong hệ quy chiếu phòng thí nghiệm

b) Bằng cách khảo sát chuyển động của hạt ảo M trong hệ quy chiếu khối tâm Nhận xét kết quả của hai cách giải

Bài 6: Một sợi dây không khối lượng dài l không dãn được luồn qua một lỗ nhỏ trên mặt bàn

nằm ngang, một phần được thả xuống và một phần nằm trên mặt bàn Hai đầu của dây được nối

với hai vật khối lượng m1 và m2 Vật m1 nối với đầu thả tự do Lúc t=0 người ta thả tự do m1 không vận tốc đầu, đồng thời truyền cho m2 một vận tốc v0 vuông góc với r0(r0 là vị trí ban đầu của m2)

a) Với giá trị vc nào của v0 thì m1 đứng yên? Khi đó m2 chuyển động như thế nào?

b) Tính thế năng hiệu dụng của hệ?

c) Biện luận chuyển động của m2 theo giá trị của vận tốc ban đầu v0

Bài 7: Hai hạt M1 và M2 có khối lượng lần lượt là m1 và m2 mang điện tích cùng dấu q1 và q2 Điện tích q1 chuyển động từ rất xa đến gần điện tích q2 đứng yên Tìm khoảng cách gần nhất giữa hai điện tích trong quá trình chuyển động

TRƯỜNG HẤP DẪN 2

Giới thiệu Mục tiêu

Kepler (1571-1630), trong

khoảng năm 1604 đến 1618 đã

phát biểu ba định luật thực

nghiệm về chuyển động của các

hành tinh Ba định luật này được

rút ra từ kết quả quan sát của

nhà thiên văn người Đan Mạch

Tycho-Brahe (1546-1601) khi

ông thực hiện quan sát Sao Hỏa

Chính từ các định luật thực

nghiệm này mà Newton đã xây

dựng nên môn cơ học của chính

mình và lý thuyết của ông về sự

hấp dẫn vào năm 1687 Lực hấp

dẫn truyền tác dụng đi tức thời

mà không cần một điểm tựa đã

gây nhiều tranh cãi Tuy nhiên

chính sự phù hợp lý thuyết của

ông với các định luật thực

nghiệm càng làm cho các nhà

khoa học đương thời phải chấp

nhận

 Định nghĩa bài toán Kepler

 Sử dụng các định luật bảo toàn trong việc thiết lập phương trình quỹ đạo của hạt dưới tác dụng của trường hấp dẫn

 Khảo sát các loại chuyển động Kepler.

I LỰC HẤP DẪN-THẾ NĂNG HẤP DẪN

Xét hai chất điểm M1 và M2 khối lượng lần lượt là m1

và m2 Lực hấp dẫn do m1 tác dụng lên m2 cách m1 một

khoảng r là:

1 2

Thế năng tương tác giữa chúng là:

( ) k

E r

r

  (22)

Lực hấp dẫn đóng vai trò không đáng kể ở thế giới quy mô,

nhưng lại đóng vai trò chủ yếu ở thế giới vĩ mô khi mà vật chất

trung hòa về điện Trong các phần tiếp theo chúng ta sẽ nghiên

cứu về trường hấp dẫn của những hệ vĩ mô như các hành tinh,

mặt trời, trái đất, các sao chổi

II CHUYỂN ĐỘNG TRONG TRƯỜNG HẤP DẪN

1 Bài toán Kepler

Một chuyển động gọi là chuyển động Kepler khi nó được thực

hiện dưới tác dụng lực xuyên tâm biến thiên theo r2 với tâm

lực cố định

Ý nghĩa của bài toán Kepler: bài toán Kepler có một ý

nghĩa rất lớn về mặt lý thuyết, bởi lẻ nó liên quan đến một

loạt các bài toán vật lý từ vi mô đến vĩ mô, nếu không nói

là toàn cầu: tương tác hạt tới-hạt bia, tương tác hành

tinh-vệ tinh, chuyển động của các sao đôi

2 Chuyển động trong trường hấp dẫn

Vấn đề: Một hạt khối lượng μ chuyển động dưới tác dụng

của lực hấp dẫn có tâm lực cố định Vị trí ban đầu của hạt

được xác định trong tọa độ cực là (r0,θ0), vận tốc ban đầu

là v0(hình vẽ) Tìm phương trình quỹ đạo của hạt

M2

M1

F

r

O

E(r)

r

O

Hình 5 Đồ thị lực và thế năng tương tác theo r

z

z

L

y

x

θ0

α Hình 6

Ta bắt đầu bằng định luật bảo toàn momen động lượng L t z( )L z(0) Phương trình (9) cho ta:

2

Từ đây ta suy ra định luật II Kepler:

2

0 0

z

L



Như vậy hạt chuyển động với một vận tốc diện tích không đổi 1 0 0sin

2 2

dS C

r v

Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng từ phương trình (13) ta có:

0 0

Trong tọa độ cực biểu thức của vận tốc là: v2 r'2(r')2 Do đó biểu thức năng lượng sẽ là:

2 2

2 '

z





Như vậy thế năng hiệu dụng sẽ là:

2 2 2

z hd

E



  Ta thấy Ehd sẽ triệt tiêu tại giá trị

2 1 2

z

L r

k



 Từ đó ta có biểu thức

1

2

1

hd

r

  Giá trị cực tiểu của Ehd là 41

k r

 tại r=2r1

Trước khi tiếp tục ta hãy dự đoán giới hạn chuyển động của

hạt

 Xét trường hợp: E0

Hạt chuyển động đến gần tâm lực giá trị rmin rồi chuyển động ra xa vô cùng Hạt ở trạng thái khuếch tán

 Xét trường hợp:

1

0 4

k E r

Hình 7 Thế năng hiệu dụng theo r

Hạt chuyển động giới hạn trong khoảng rmin gọi là khoảng cách cận tâm và rmax gọi là khoảng cách viễn tâm

Ta tiếp tục với vấn đề trên, áp dụng công thức (20) ta có:

0

2 0

2 2

2

2

z r

L dr r L k E



 

 

Khi đó phương trình (26) có thể viết gọn lại là:

 0 2 2

d u B

 

Hình 8 Trạng thái khuếch tán Hình 9 Trạng thái liên kết

Ehd

Ehd

rmin

r1 2r1

E

2r1

r1 rmin rmax

E

Đổi về biến r và lưu ý rằng hàm cos là hàm chẵn nên:

 0

p r



  (29)

Trong đó:

2

1 L z p

B k

2 2

2

1 EL z

A e

   (30)

b) Cách 2: Dùng bất biến vecto Runge-Lenz

Phương trình định luật II Newton viết cho hạt là:

2 r

dv k

e

dt r

Nhân tích hữu hướng hai vế cho L z  r2 'e z ta được:

2

r

de

Chia hai vế cho kμ, chuyển vế và lưu ý rằng L là vecto không đổi ta có: z

1

0

z r

d

v L e

dt k

Như vậy vecto A 1v L z e r

k

  là một vecto không đổi theo thời gian được xác định từ các điều kiện ban đầu Gọi là vecto Runge-Lenz

Để tiện dùng sau này ta hãy phân tích những thành phần của nó:

Trong hệ tọa độ nghiên cứu ta chọn hệ trục tọa độ sao cho thẳng hàng và cùng chiều với trục

Ox Như vậy góc giữa và là θ

Nhân vô hướng A r Ta thu được:

2

cos L z ' L z.L z



Từ đó ta được:

1 cos 1 cos

z

L

p k

r



So sánh với công thức (29) ta thấy các kết quả hoàn toàn trùng khớp nhau, thật vậy:

2

2 2

2

2 2

1

z

EL

k





Như vậy chúng ta đã tìm được phương trình chuyển động của hạt trong trường hấp dẫn Quỹ đạo

của hạt là một đường cônic có thông số

2

1 L z p

B k

  và tâm sai

2 2

2

1 EL z

e

k



III CÁC QUỸ ĐẠO CHUYỂN ĐỘNG

1 Chuyển động hypecbol

Khi e>1 tức năng lượng E>0 thì quỹ đạo của hạt là một

nhánh hypecbol bao lấy tâm lực G (hình 10) Phương

trình của nó là:

p r





Góc nghiêng của hai tiệm cận được xác định:

1

c

  

Khoảng cách tiếp cận ngắn nhất:

1

p

e



2 Chuyển động elip

P

b a

a

O

H

K

c

Hình 10 Chuyển động hypecbol

y

x

a

b

c p

P

Q

Phương trình quỹ đạo là:

p r



 (e<1) đây chính là nội dung định luật I Kepler

 Điểm cận tâm P: min (1 )

1

p

e



 Điểm viễn tâm Q: ax (1 )

1

m

p

e



Ta có:

2

C

dS dt lấy tích phân trong toàn chu kỳ ta được:

2

C

  , suy ra

2

C  a

Mà thông số

2

z

L

p





   nên:

2 2



 Khử b

C từ hai biểu thức trên ta suy ra định

luật III Kepler

3

4

onst

T

c

 

 Khi e=0 tức năng lượng

2

2 z 4

E



      Khi đó hạt sẽ chuyển động tròn với bán kính 2r1

 Khi e=1 thì quỹ đạo là một nhánh parabol

IV BÀI TẬP

Bài 1: Sự tương tự giữa trường hấp dẫn và điện trường

a) Điện tích q1 được giữ cố định trong không gian Điện tích q2, khối lượng m2 chuyển động

từ xa vô cùng với vận tốc ban đầu v0 Thông số va chạm ( khoảng cách từ q1 đến giá của

v0) là b Tính khoảng cách gần nhất mà q2 đến gần được q1

b) Ban đầu q2 cách q1 khoảng r0 và chuyển động với vận tốc v0 trực giao với r0 Hãy tìm các giới hạn chuyển động của q2 theo v0 và r0

Bài 2: Vệ tinh chuyển động tròn

a) Một vệ tinh khối lượng m quay tròn xung quanh Trái đất Tính vận tốc vc và chu kỳ T của

nó theo gia tốc trọng trường tại mặt đất g0=9.81m/s2 và bán kính Trái đất là 6370km b) Trong trường hợp ở câu trên hãy suy ra định luật III Kepler:

2

T c

r  Với r là bán kính quỹ đạo Tính hằng số đó

Tính vc và T của một vệ tinh ở độ cao h=500km

Bài 3: Sự lệch đường của một sao băng

Một sao băng cso khối lượng m, nhỏ không đáng kể so với khối lượng MT của Trái đất Thông số chạm của nó bằng OH=b Hãy tính:

a) Bất biến vecto Runge-Lenz của chuyển động

b) Khoảng cách tiếp cận nhỏ nhất rmin cũng như giá trị

nhỏ nhất của b để sao băng đi vòng quanh Trái đất mà

không va vào nó

c) Độ lệch của sao băng trong trường hấp dẫn của Trái

đất trong trường hợp b>bmin

Bài 4: Vệ tinh nhân tạo

Vệ tinh nhân tạo đầu tiên có viễn điểm cao hA=327km và cận

điểm hP=180km

a) Hãy xác định các đặc trưng hình học a, b, c, p, và e của quỹ đạo của nó, biết bán kính

O

H