Hình học tọa độ trong không gian và những sai lầm của học sinh

Hình học tọa độ trong không gian và những sai lầm của học sinh Hình học tọa độ trong không gian và những sai lầm của học sinh Hình học tọa độ trong không gian và những sai lầm của học sinh Hình học tọa độ trong không gian và những sai lầm của học sinh Hình học tọa độ trong không gian và những sai lầm của học sinh Hình học tọa độ trong không gian và những sai lầm của học sinh Hình học tọa độ trong không gian và những sai lầm của học sinh

Hình học tọa độ trong không gian và những sai lầm của học sinh

A.Lý do chọn đề tài:

- Toán học thường được xem là bộ môn khoa học căn bản, tuy vậy mỗi giờ học toán thường rất căng thẳng và thường học sinh quan niệm rằng toán học là những công thức, quy tắc,…

- Cùng một vấn đề, toán học bao giờ cũng có thể luận giải được bằng phương pháp giải tích, phương pháp đại số, phương pháp hình học, hoặc bằng sự kết hợp của các phương pháp đó

-Với phương pháp toạ độ trong không gian chúng ta đã có sự kết hợp của tất cả các phương pháp trên Việc làm này đã làm cho việc học hình học không bắt buộc phải tự dạy cụ thể và trực quan với những hình vẽ không gian 3 chiều, tránh được tính trừu tượng, nhằm đạt tới sự khái quát hoá của hình học không gian nói riêng và của toán học nói chung

- Lý thuyết của phương pháp toạ độ trong không gian bao gồm tất cả những lý thuyết của phương pháp toạ độ trong mặt phẳng và những lý thuyết mở rộng trong không gian với một khối lượng kiến thức đáng kể

- Bài tập của PP toạ độ trong KG rất đa dạng, số lượng tương đối nhiều Muốn giải tốt các bài tập này đòi hỏi học sinh phải biết nhận dạng các đối tượng cơ bản của HHKG, biết tìm sự liên hệ giữa chúng, biết kết hợp giữa PP toạ độ với HHKG

- Do thời gian phân phối chương trình cho phần này còn hạn chế: Có những bài

cả lý thuyết và bài tập chỉ có 1 tiết Bản thân một số giáo viên chưa nhiều kinh nghiệm Đa số học sinh học toán với kỹ năng tính toán kém, tư duy tưởng tượng HHKG không có, kiến thức HHKG lớp 11 nắm không vững , chỉ coi trọng công thức, chưa hiểu đúng vai trò của lý thuyết với bài tập …

- Qua nhiều năm giảng dạy và qua theo dõi các bài làm, bài kiểm tra của học sinh tôi nhận thấy các em có những sai lầm phổ biến sau:

1) Về lý thuyết:

Do trương trình sgk được viết ngắn gọn nên:

- Học sinh dễ ngộ nhận tất cả những khái niệm có trong HH phẳng là có trong HHKG Ví dụ như véc tơ pháp tuyến của đường thẳng

- Học sinh không biết nhận ra sự giống và khác nhau gữa các công thức tính theo toạ độ của PP toạ độ trong KG và PP toạ độ trong mặt phẳng Dẫn đến tâm

lý căng thẳng cho rằng công thức phải thuộc là quá nhiều, khó nhớ

- Các em không biết xâu chuỗi các kiến thức liên quan trong nhiều bài khác nhau

Ví dụ: có thể tìm được vtpt của mặt phẳng, nhưng khi tìm vtcp của đường thẳng thì lại khó khăn

- Kiến thức lý thuyết ở mỗi bài thường nhiều và tương đối khó, nhưng thời gian

để phân tích, chứng minh cho hs hiểu sâu lại không có

2) Về bài tập:

- Học sinh không nhớ nhiều các kiến thức về PP toạ độ trong mặt phẳng có liên quan đến PP toạ độ trong KG nên khi áp dụng làm các bài tập cụ thể gặp khó khăn

- Học sinh thường sử dụng công thức một cách khuôn mẫu, không biết vận dụng triệt để các kiến thức của hình học KG lớp 11 có liên quan

Ví dụ như khi tính thể tích một hình chóp học sinh thường áp dụng máy móc

công thức tính : [( , ) , ]

6

1

AD AC

AB mà đôi khi không ngĩ tới công thức tính thể tích hình chĩp : V= 1/6.h.dt(đáy)

Công thức được sử dụng đơn giản hơn nhiều

- Kỹ năng trình bày, diễn đạt của Hs chưa tốt Nhiều khi đứng trước một nội dung đã hiểu nhưng lại không biết diễn đạt như thế nào, hoặc nếu có thì diễn đạt không đủ ý, nhiều khi còn lủng củng

- Đa số các em không biết phân loại các dạng bài tập và các phương pháp chung cho từng loại bài tập đó Vì thế khi gặp các bài tập tương tự nhưng hỏi theo cách khác các em lại tưởng như đó là một loại bài tập mới

- Đứng trước một bài tập mà giả thiết cho là những toạ độ, phương trình của các đối tượng cơ bản trong KG, các em không biết liên hệ giữa giả thiết với kết luận như thế nào Tức là không biết bắt đầu từ đâu, không biết sử dụng trí tưởng tượng HHKG để vẽ hình và tìm mối liên hệ giữa các đối tượng đó.

Từ những nhận định trên, tôi xin đưa ra một số giải pháp nhằm khắc phục những thiếu sót của hs, giúp các em hiểu và giải được những bài tập loại này

Từ đó giúp các em phấn khởi hơn khi học môn Toán, tự tin hơn khi bước vào

kỳ thi học kỳ II, kỳ thi TN THPT, kỳ thi Đại học Những kỳ thi ma các bài tập loại này luôn luôn có

Đó là lý do tôi chọn đề tài trên

- Ngoài ra nếu không đổi mới phương pháp dạy thì không có thời gian để củng

cố các kiến thức liên quan và đưa ra các dạng bài tập thường gặp, đồng thời chỉ

rõ những dạng bài tập đó được vận dụng lý thuyết tương ứng nào

Chính vì vậy yêu cầu giáo viên khi dạy phần lý thuyết này trước hết phải phân

biệt cho học sinh rõ trọng tâm của mỗi bài, phải thể hiện cách ghi bảng sao cho học sinh ghi ít nhất nhưng trong tâm nhất để tránh mất thời gian

*) Khi dạy các công thức tính theo toạ độ như : biểu thức toạ độ của tích vô

hướng, độ dài vec tơ, góc giữa hai véc tơ, toạ độ véc tơ tổng, hiệu hai véc tơ,

điều kiện vuông góc giữa hai véc tơ, điều kiện cùng phương giữa hai véc tơ, phương trình tham số, phương trình chính tắc của đường thẳng, phương trình mặt cầu, phương trình đường tròn,…Giáo viên có thể đặt câu hỏi: Các công thức trên có quen không? Có những công thức nào không giống trong hình học phẳng? Giúp các em trả lời được các câu hỏi trên, như vậy giáo viên đã gợi cho học sinh thấy được sự giống và khác nhau với các công thức tương tự ở phương pháp toạ độ trong mặt phẳng Từ đó giúp học sinh dễ nhớ các công thức và tránh nhầm lẫn khi vận dụng.

*) Giáo viên phải hướng dẫn học sinh xâu chuỗi các kiến thức có liên quan trong nhiều bài khác nhau để có hướng chọn phương pháp khi gặp một bài tập

VD: Khi nhận biết về 3 véc tơ đồng phẳng thì có thể sử dụng định nghĩa nếu bài

toán có hình vẽ cụ thể cho trước, nhưng cũng có thể sử dụng định lý về điều kiện đồng phẳng của 3 véc tơ ( SGK.HH12.trang 71, dựa và tích có hướng của hai vectơ ) nếu giả thiết cho các véc tơ với những toạ độ của chúng

*) Ở mỗi một kiến thức lý thuyết cụ thể giáo viên có thể gợi ý cho học sinh các dạng bài tập áp dụng để từ đó khi bắt tay vào giải bài tập các em có định hướng

rõ ràng hơn

VD: Khi học về phương trình mặt phẳng gio vin cần cho học sinh biết rằng

một mặt phẳng xẽ xc định được khi biết một đường thẳng có hướng vuông góc với nó và một điểm nằm trên mặt phẳng, để học sinh biết được khi viết mộ phương trình mặt phẳng cần phải biết những yếu tố gì

*) Khi dạy có thể sắp xếp lại thứ tự trình bày của kiến thức trong SGK cho hợp

lý hơn với thực tế vận dụng kiến thức đó vào bài tập

VD: Khi xét vị trí tương đối của 2 đường thẳng trong KG không nên chỉ ra việc

cho 2 đt bởi PTCT như SGK mà cho:

Đt (d) qua M0(x0;y0;z0) , có VTCP u(a;b;c)

Đt (d’) qua M0’(x0’;y0’;z0’) , có VTCP u'(a;'b;'c')

( học sinh sẽ hiểu rằng đt cho bởi pt dạng nào đi nữa thì cũng phải khai thác từ mỗi đt một điểm và một VTCP của nó )

Gv sử dụng hình vẽ minh hoạ giúp các em phân biệt được hai khả năng:

2 đt cùng phương ( song song hoặc trùng) và 2 đ thẳng không cùng phương ( cắt hoặc chéo ), sau đó mới phân biệt rõ 2 vị trí tương đối trong mỗi khả năng trên Qua quá trình phân tích, so sánh các vị trí tương đối của các đt đi tới kết luận:

,

' :' :' : :

0

M u u

c b a c b a

+) (d) và (d’) chéo nhau ⇔ [ ]u,u M0M0' ≠ 0

Chú ý việc tính [ ]u,u M0M0' chỉ thực hiện khi hai véc tơ chỉ phương không cùng phương, tránh những phần tính toán thừa

*) Đổi mới phương pháp trong mỗi giờ dạy: Nếu bài lý thuyết quá dài không

thể đủ thời gian cho việc chứng minh các đlý, công thức một cách kỹ lưỡng thì

gv có thể chủ động soạn , dạy bằng giáo án điện tử

( tránh mất thời gian ghi bảng của cả gv và hs)

Ngoài ra còn có thể sử dụng được những hình vẽ sinh động minh hoạ cho phần chứng minh

Ví dụ:

*) Lập công thức tính thể tích của tứ diện:

So sánh thể tích của một tứ diện ABCD và thể tích của một khối hộp có

3 cạnh xuất phát từ đỉnh B là BA, BC, BD:

Coi ABCD là một hình chóp đỉnh A, đáy là ∆ABC, BCED là một đáy của

1

A

B C

-khi dạy xong một phần lý thuyết, ngoài việc củng cố những lý thuyết cơ bản, trọng tâm của bài , gv cần định hướng cho hs những thể loại bài tập có thể sẽ gặp mà vận dụng lý thuyết vừa học Nêu vấn đề về phương pháp để hs có hướng về nhà tự tìm hiểu và giải bài tập Trong giờ bài tập gv cùng các em giải quyết các vấn đề đó và cuối cùng chốt lại thành phương pháp cụ thể cho từng loại

VD: Khi học xong bài PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU, qua các ví dụ được thể

hiện trong bài gv có thể gợi ý cho hs nêu lại các dạng bài tập có thể hỏi Cụ thể

là những dạng bài tập sau:

+) Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu cho bởi pt dạng:

x2 + y2 + z2 -2ax – 2by – 2cz + d = 0 (1)

+) Tìm điều kiện của tham số để pt dạng (1) là pt của một mặt cầu

+) Xác định tâm và bán kính của đường tròn là giao tuyến của một mặt phẳng và một mặt cầu cho trước phương trình

+) Lập phương trình mặt cầu có tâm I(a;b;c) và tiếp xúc với mp (P) cho bởi pt :Ax + By + Cz + D = 0

+) Lập pt mặt cầu đi qua 4 điểm không cùng thuộc một mặt phẳng

+) Xét vị trí tương đối giữa một mặt cầu và một mặt phẳng đã cho pt

+) Viết pt tiếp diện của một mặt cầu cho trước tại một điểm cho trước hoặc tiếp diện song song với một mặt phẳng cho trước

Đồng thời nêu phương pháp cơ bản cho từng loại

- Khi ôn tập cần phân loại các dạng bài tập thường gặp khi thi, nhắc lại phương pháp giải cho từng loại, cho bài tập hs giải để ghi nhớ phương pháp và rèn luyện kỹ năng Cụ thể có những loại bài tập sau:

a) Viết pt của đường thẳng trong KG.

Phương pháp chung:

+) Xác định được VTCP và một điểm của đt rồi sử dụng PTTS hoặc PTCT để viết

+) Xác định được pt của 2 mặt phẳng cắt nhau theo giao tuyến là đường thẳng phải tìm (Chú ý sử dụng cho dạng bài tập viết pt đt là hình chiếu vuông góc của một đt cho trước trên một mặt phẳng cho trước)

b) Viết pt của mặt phẳng:

Phương pháp chung:

Từ giả thiết tìm được toạ độ một điểm và VTPT của mặt phẳng , sau đó sử dụng công thức: A(x – x0) + B(y - y0) + C( z – z0) = 0

Hoặc dùng VTPT viết pt mp ở dạng Ax + By + Cz + D = 0, thế toạ độ của điểm

mà mp đó đi qua vào pt để tìm D Từ đó kết luận pt của mp

c) Viết pt của mặt cầu:

d) Viết pt, xác định tâm và tính bán kính của đường tròn trong KG:

Phương pháp chung: Tìm được đường tròn là giao tuyến của một mặt phẳng và

một mặt cầu nào đó,suy ra pt đường tròn:







= + + +

= +

−

−

− + +

0

0 2

2 2

2 2 2

D Cz By Ax

d cz by ax z

y x

Lập hệ pt tìm toạ độ tâm H của đường tròn:

tC c z

tB b y

tA a x

kia, sử dụng công thức tính k/c từ một điểm đến một đt Khi 2 đt chéo nhau thì

sử dụng trực tiếp công thức k/c giữa 2 đt chéo nhau Khi 2 đt trùng nhau thì k/c giữa chúng bằng 0

Nếu là k/c giữa 2 mặt phẳng song song thì tính bằng k/c từ một điểm bất kỳ của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia

+) Xác định góc: Cách nhớ tóm tắt: Khi tính góc giữa hai đối tượng giống nhau thì tính côsin của góc đó còn tính góc giữa hai đối tượng khác nhau thì tính sin

+) Đôi khi còn dựa vào diện tích tam giác, thể tích khối hộp, thể tích khối chóp

để tính k/c giữa 2 đường thẳng chéo nhau, k/c từ một điểm đến một đường thẳng, k/c từ một điểm đến một mặt phẳng…

g) Tìm chu vi, diện tích tam giác, thể tích khối hộp, thể tích tứ diện.

Phương pháp chung: Sử dụng toạđộ của các véc tơ, tích vô hướng, tích có hướng của hai véc tơ, độ dài véc tơ và các công thức:

[AB AC] [BC BA] [CA CB]

2

1 ,

2

1 ,

, BB

, AA

' ' '

DC DB CD

CB BD

BC AC

AB

V

DC DA CD

CB BA

BC AD

AB V

h) Loại bài tập chứng minh:

+) Chứng minh hai đường thẳng vuông góc

Phương pháp: Lấy lần lượt trên hai đt hai véc tơ khác véc tơ không, tính tích vô hướng của chúng và khẳng định được bằng 0

+) Chứng minh hai đt song song

Phương pháp: Lấy lần lượt trên hai đt các véc tơ chỉ phương, dùng toạ độ chỉ ra hai véc tơ đó cùng phương và không cùng nằm trên một đt

+) Chứng minh 3 điểm thẳng hàng:

Phương pháp: Lấy hai véc tơ tạo bởi 3 điểm và chứng minh chúng cùng

phương

+) Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng:

Phương pháp: Lấy trên đt một véc tơ chỉ phương a, trên mặt phẳng lấy cặp véc

+) Chứng minh một đường thẳng song song với một mặt phẳng :

Phương pháp: Lấy trên đt một véc tơ chỉ phương a, trên mặt phẳng lấy cặp véc tơ chỉ phương { }b, c Chứng minh: đt không thuộc mặt phẳng và a⊥[ ]b,c , từ đó kết luận

II)Thời gian thực hiện:

- Tiết: 22 23 24 25: Hệ toạ độ ĐềCác vuông góc trong KG- toạ độ của

véc tơ và của đểm

- Tiết: 26, 27, 28: Phương trình tổng quát của mặt phẳng

- Tiết: 32, 33, 34, 35, 36, 37: Phương trình của đường thẳng

- Ôn tập chương

- Tiếp tục ôn trong thời gian học phụ đạo và ôn tập cuối năm

III) Một số sai lầm của học sinh khi giải bài tập và cách khắc phục:

Ví dụ 1: Viết pt mặt phẳng (P) đi qua điểm M(-1;2;3) và có VTPT n( 4 ; 5 ; 6 )

0 ) 6 ( 3 ) 5 ( 2 )

−

⇔

=

− +

− +

−

−

⇔

z y

x

z y

pt dạng:

4x+5y +6z + D =0

qua khi thế vào công thức.

*) Khắc phục:

Để tránh sự nhầm lẫn này

gv hướng dẫn học sinh sử dụng cách giải khác:

Sử dụng toạ độ VTPT viết

pt mp về dạng:

Ax+By+Cz+D=0Sau đó thế toạ độ của điểm M vào pt tìm D rồi kết luận ptmp

Điểm M (-1;2;3) thuộc (P) nên ta có :

4.(-1) +5.2 + 6.3 + D = 0

Bài tập tương tự: Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M(2;-2;5) và

vuông góc với đường thẳng có phương trình:

1 1

3 5

1

1 - z 3

9 - y 4

1) Tìm toạ độ giao điểm của đt ( )∆ và mặt phẳng ( )α

2) Viết phương trình đt ( )∆ ' là hình chiếu vuông góc của ( )∆ trên mặt phẳng( )α

3

1

1 3

9 4

12

z y x

z y

3

1

1 3

9 4

12

z y x

z y

x

Tìm được nghiệm là ( 0;0;-2)

∆

u

*) Cách khắc phục: Trước

khi giải bài tập loại này giáo viên lưu ý cho hs: Một đt trong KG chỉ có khái niệm VTCP mà không có khái niệm VTPT, vì một đt trong

KG có thể vuông góc với nhiều đt có phương khác nhau

Sử dụng hình vẽ để minh hoạ điều này:

Từ đó phân tích để hs hiểu được sự xác định của đt ( )∆ '

Mp ( )β đi qua điểm I

và nhận VTPT là

[ ], =(− 8 ; 7 ; 11)

= ∆ α

β u n n

Suy ra pt của mp ( )β là:-8(x – 0) +7(y –0)+11(z + 2) = 0

0 22 11 7

−

=

−

− +

0 22 11 7 8

0 2 5

3

z y x

z y x

Bài tập tương tự: Tìm phương trình hình chiếu vuông góc của đt (d) :

114

3 1

1 7

và (d) suy ra (P) là

mp chứa (d) và vuông góc với (d’), như vậy là đã ngộ nhận rằng (d’) luôn góc với (d) Thực tế

2 đt (d) và (d’) giả thiết cho có thể vuông góc với nhau cũng có thể không,

và ở bài này là không

Tương tự hs đã sai lầm ở sự xác định

của (d) và (d’) thì ( )∆ có VTCP

[ ]u d,u d' = ( 8 ; 4 ; 16 )

Hay u∆ =(2 ; 1 ; 4)Gọi (P) là mp chứa ( )∆ và (d) suy

ra (P) là mp qua M0 và nhận VTPT là: [u d,u∆ ]= ( 9 ; − 6 ; − 3 )hay

) 1

; 2

; 3 ( − −

0 16 3

có vuông góc với nhau hay không

Nếu chúng có vuông góc thì giải theo cách của các

em là đúng Còn nếu chúng chéo nhau và không vuông góc thì thông qua hình vẽ: Giả sử

đt ( )∆ đã dựng

được

với ( )∆ là đường

vuông góc chung của d và d’suy ra ( )∆ có VTCP là

[ ]u d,u d' = ( 8 ; 4 ; 16 )

Tiếp đến gv chỉ ra cho hs thấy mp (P) chứa ( )∆ và (d)

chính là mp chứa

M0 và song song với phương của u∆ nên

0 6 2

5(x -3) + 34(y -1) -11 (z -1) = 0( ) ( ) ( )

⇔

0 38 11 34 5

0 6 2

3 :

0 38 11 34 5

z y x

z y x pt

Q P

z y x

*) Cách 2: Gọi HK là đoạn vuông

góc chung của (d) và (d’) H thuộc (d) , K thuộc (d’)

t y

t x

9

2 3

s y

s x

3 1

2 1

7 3

( 7 ; 2 ; 3)

' −

⇒u d

H là một điểm thuộc (d) và K là một điểm thuộc (d’) suy ra:

t t t H

3 8

; 2 2 2

; 7 4

3 1

; 2 1

; 7 3

9

; 2 3

; 7

−

−

− + + +

⇒

+ +

−

− + +

KH là đường vuông góc chung