khắc phục hiện tượng phương sai sai số thay đổi thảo luận kinh tế lượng

Phương sai của sai số thay đổi có thể do một trong các nguyên nhân sau: •Do bản chất của các mối quan hệ kinh tế: có nhiều mối quan hệ kinh tế đã chứa đựng hiện tượng này. Chẳng hạn mối quan hệ giữa thu nhập và tiết kiệm, thông thường thu nhập tăng thì mức độ biến động của tiết kiệm cũng tăng. •Do kỹ thuật thu thập số liệu được cải tiến, dường như giảm. Kỹ thuật thu thập số liệu càng được cải tiến sai lầm phạm phải càng ít hơn. •Do con người học được hành vi trong quá khứ. Chẳng hạn, lỗi của người đánh máy cáng ít nếu thời gian thực hành càng tăng… •Phương sai của sai số thay đổi cũng xuất hiện khi có các quan sát ngoại lai. Quan sát ngoại lai là các quan sát khác biệt rất nhiều (quá nhỏ hoặc quá lớn) với các quan sát khác trong mẫu. Việc đưa vào hay loại bỏ các quan sát này ảnh hưởng rất lớn đến phân tích hồi quy. •Một nguyên nhân khác là mô hình định dạng sai. Có thể do bỏ sót biến thích hợp hoặc dạng giải tích của hàm là sai.

Đề tài:

Hiện tượng phương sai sai số thay đổi

1 Cách khắc phục hiện tượng phương sai sai số thay đổi

2 T.m bộ số liệu (bản chất chứa hiện tượng phương sai sai số thay đổi), phát hiệnhiện tượng này, sau đó tìm cách khắc phục

A:CƠ SỞ LÝ THUYẾT

I, Bản chất, nguyên nhân, hậu quả khi xảy ra hiện tượng

1 Bản chất

Hiện tượng phương sai của sai số thay đổi xảy ra khi giả thiết:

Var(Ui/Xi) = E(Ui2) = σ2 bị vi phạm, nghĩa là Var(Ui/Xi) = E(Ui2) = σi2

2 Nguyên nhân

Phương sai của sai số thay đổi có thể do một trong các nguyên nhân sau:

đựng hiện tượng này Chẳng hạn mối quan hệ giữa thu nhập và tiết kiệm, thông thườngthu nhập tăng thì mức độ biến động của tiết kiệm cũng tăng

số liệu càng được cải tiến sai lầm phạm phải càng ít hơn

máy cáng ít nếu thời gian thực hành càng tăng…

sát ngoại lai là các quan sát khác biệt rất nhiều (quá nhỏ hoặc quá lớn) với các quan sátkhác trong mẫu Việc đưa vào hay loại bỏ các quan sát này ảnh hưởng rất lớn đến phântích hồi quy

hoặc dạng giải tích của hàm là sai

3 Hậu quả

nhưng không hiệu quả

& F mất ý nghĩa

không đáng tin cậy

2.Phát hiện phương sai sai số thay đổi

2.1Phương pháp đồ thị phần dư

Bước 2: Sắp xếp các eitheo chiều tăng của biến Xij nào đó

Bước 3: Vẽ đồ thị của ei2theo biến Xij đã sắp xếp đó Khi đó ta nhận được 5 dạng đồ thịsau:

2.2Phương pháp sử dụng tiêu chuẩn kiểm định

2.2.1Kiểm định Park

biến giải thích X.Dạng hàm mà ông đề nghị là :

Các bước tiến hành kiểm định Park

Bước 1:Ước lượng hồi quy gốc,cho dù có hay không tồn tại hiện tượng phương sai

của sai số thay đổi

Bước 2: Từ hồi quy gốc,thu được các phần dư sau đó bình phương chúng được e i2rồiđến lấy lnσe i2

Bước 3: Ước lượng hồi quy trong đóbiến giải thích ( X i)là biến giải thích trong hồiquy gốc,nếu có nhiều biến giải thích có thể ước lượng hồi quy đối với mỗi biến giải thích,hoặc có thẻ ước lượng hồi quy đối với mỗi biến giải thích, trong đó vớiY^i là Y iđã đượcước lượng

Bước 4: Kiểm định giả thiết H o : β2=0 nghĩ là không có hiện tượng phương sai của sai

số thay đổi.Nếu có tồn tại mối liên hệ có ý nghĩa về mặt thống kê giữa ln e2vàlnσX i Thì giảthiết H o:β2= 0có thể bác bỏ trong trường hợp này ta phải tìm cách khắc phục

Bước 5: Nếu giả thiết H o:β2= 0 được chấp nhận thì β1 trong hồi quy (3) có thể đượcgiải thích như là giá trị của phương sai không đổi (β1=ln σ2)

2.2.2Kiểm định Glejser

hồi quy gốc theo phương pháp bình phuong nhỏ nhất Glejser đã đề nghị hồi quy giá trịtuyệt đối của ei đối với biến Xi nào đó mà có thể kết hợp chặt chẽ với σ i2

Trong thựcnghiệm Glejser sử dụng một trong số hàm hồi quy phụ sau:

|e i|=β1+β2X i+V i|e i|=β1+β2√X i+V i|e i|=β1+β2 1

X i+V i

ta kết quả tốt trong việc phát hiện phương sai sai số thay đổi Do vậy mà kiểm địnhGlejser được sử dụng như một công cụ để chuẩn đoán trong mẫu lớn.

Kiểm định Goldfeld – Quandt

Nếu giả thiết rằng phương sai của sai số thay đổi σ i2 có thể liên hệ dương với mộttrong các biến giải thích trong mhhq thì ta có thể sử dụng kiểm định này

Các bước kiểm định Goldfeld - Quandt gồm các bước sau:

Bước 1: Sắp xếp các quan sát theo giá trị tăng dần về giá trị của biến X.

Bước 2: Bỏ c quan sát ở giữa theo cách sau:

Đối với mô hình 2 biến George G.Judge đề nghị:

C = 4 nếu cỡ mẫu khoảng n = 30

C = 10 nếu cỡ mẫu khoảng n = 60

Và chia số quan sát còn lại thành 2 nhóm, trong đó mỗi nhóm có nσ−c2 quan sát

Bước 3: Sử dụng phương pháp bình phương bé nhất ước lượng tham số hàm hồi quy

đối với nσ−c2 quan sát đầu và cuối: thu được tổng bình phương các phần dư của RSS1,RSS2 tương ứng Trong đó RSS1 đại diện cho RSS2 từ hồi quy tương ứng với các giá trị

của Xi nhỏ hơn RSS2 - ứng với các gái trị Xi nhỏ hơn Bậc tự do tương ướng

thỏa mãn thì F tuân theo phân phối F với bậc tự do ở tử số và mẫu số là (n-c-2k)/2, nghĩa

là F có phân phối F(df,df)

Trong ứng dụng nếu F tính được lớn hơn điểm giớ hạn F ở mức ý nghĩa mông muốn,thì chúng ta có thể từ bỏ H0: phương sai có điều kiện không đổi nghĩa là có thể nói có thểphương sai số thay đổi

Chú ý rằng trong trường hợp các biến giải thích X nhiều hơn 1 thì việc sắp xếp cácquan sát trong kiểm định ở bước 1 có thể làm đối với một biến bất kỳ trong các biến giảithích đó Chúng ta có thể tiến hành kiểm định Park đối với mỗi biến X

Chú ý : Theo kinh nghiệm của các nhà kinh tế lượng thì số quan sát bị loại bỏ khoảng20% tổng số quan sát mà không nhất thiết mà không phải bỏ đi các quan sát ở giữa

Trong trường hợp đó cần phải xác định số bậc tự do cho thích hợp Các thử nghiệmtheo phương pháp Monte Carlo thì c = 8 nếu n khoảng 30; c =6 nếu n khoảng 60

Kiểm định White

Kiểm định BJG cần U có phân bố chuẩn, White đề nghị một thủ tục không đòi hỏi U

có phân bố chuẩn.kiểm định này là kiểm định tổng quát về sự thuần nhất của phương sai.Xét mô hình sau đây:

Y1=β1+β2X2+β3X3+U i(1)

Bước 1: Ước lượng (1) bằng OLS Từ đó thu được các phần tử dư tương ứng e i

Bước 2: Ước lượng mô hình sau đây:

e i2=α1+α2X2+α3X3+α4X42+α5X52+α6X2X3+V i(2)

(2) có thể số mũ cao hơn và nhất thiết là phải có hệ số chặn bất kể mô hình gốc có haykhông có hệ số chặn

R2là hệ số xác định bội thu được từ (2)

Bước 3:Với H0: phương sai của sai số không đổi, có thể chia ra rằng: nσ R2 có phânxấp xỉ χ2(df ) Df bằng số hệ số của mô hình (2) không kể hệ số chặn

Bước 4: Nếu nσ R2 không vượt quá giá trị χ2(df ) , thi giả thiết H0 không có cơ sơ đểbác bỏ Điều này nói trong mô hình (2): α1=α2= =α6=0 Trong trường hợp ngược lạigiả thiết H0 bị bác bỏ

Ta nhận thấy rằng bậc tự do của tăng nhanh khicos thêm biến độc lập Trong nhiềutrường hợp người ta có thể bỏ các số hạng có chứa tích chéo X i X j, i j Ngoài ra trườngtrường hợp có sai lầm định dạng, kiểm định White có thể đưa ra nhận định sai lầm làphương sai của sai số thay đổi trong trường hợp phương sai của sai số là đồng nhất

Kiểm định dựa trên biến phụ thuộc

Kiểm định này dựa trên ý tưởng cho rằng phương sai của yếu tố ngẫu nhiên phụ thuộcvào các biến độc lập có hay không có trong mô hình, nhưng không biết rõ chúng là nhưngbiến nào Vì vậy, thay vì xem xét quan hệ đó, người ta xét mô hình sau đây:

α i2=α1+α2(E(Y i) )2

Trong mô hình trên, σ i2 và E(Yi) đều chưa biết, do đó sử dụng các ước lượng của nó là

e i2 và Y^i2

Bước 1: Ước lượng mô hình ban đầu bằng OLS Từ đó thu được eivà Y^i

Bước 2: Ước lượng mô hình sau đây bằng OLS:

H0: Phương sai của sai số không thay đổi

H1: Phương sai của sai số thay đổi

 Kiểm định χ2

nR2 có phân phối xấp xỉ χ2 (1) Nếu nR2 lớn hơn χ α2 (1) thì H0 bị bác bỏ.

 Kiểm định F

F=( α^2

se(α^2) )2có phânσ bố F (1, nσ−2)

Nếu F >Fα(1, n-2) thì hệ số α2 ≠ 0, có nghĩa H0 bị bác bỏ

2 Phương pháp khắc phục hiện tượng phương sai sai số thay đổi

Như chúng ta đã biết,phương sai của sai số thay đổi làm cho các ước lượng không còn

là ước lương hiệu quả nữa Vì thế biện pháp khắc phục là hết sức cần thiết.Việc chữachạy căn bệnh này phụ thuộc chủ yếu vào liệu,được biết hay chưa.Ta phân biệt 2 trườnghợp

1. σ i2Đã biết

Khi đã biết chúng ta có thể dễ dàng khắc phục căn bệnh đó bằng cách sử dụng phươngpháp bình phương nhỏ nhất có trọng số đã trình bày ở trên

2. σ i2Chưa biết

muốn sử dụng phương pháp bình phương nhỏ nhất có trọng số thì chúng ta cần có nhữnggiải thiết nhất định về σ i2và biến đổi mô hình hồi quy gốc sao cho mô hình đã đươc biếnđổi này thoả mãn giả thiết phương sai của sai số không đổi.Phương pháp bình phươngnhỏ nhất sẽ đươc áp dụng cho mô hình đã được biến đổi như đã chỉ ra trước đây,phươngpháp bình phương nhỏ nhất có trọng số là phương pháp bình phương nhỏ nhất áp dụngcho tập số liệu đã được biến đổi

Chúng ta sẽ minh họa cho các phép biến đổi này qua việc sử dụng mô hình hồi quy 2biến mà ta gọi là mô hình gốc:

Y i=β1+β2X i+U i

Giả sử mô hình này thỏa mãn các giả thiết của mô hình hồi quy tuyển tính cổ điển trừgiả thiết phương sai của sai số không đổi.Chúng ta xét 1 số giải thiết sau về phương saicủa sai số.Những dạng này tuy chưa bao quát được tất cả nhưng phổ biến

Giả thiết 1: Phương sai của sai số tỉ lệ với bình phương của biến giải thích.

E(U i2)=σ2X i2 (6.41)

Nếu bằng phương pháp đồi thị hoặc tiếp cận Park hoặc Glejser …chỉ cho chúng tarằng có thể phương sai U itỉ lệ với bình phương của biến giải thích X thì chúng ta có thểbiến đổi mô hình gốc theo cách sau:

Chia 2 vế của mô hình gốc cho X i(X i#0)

itheo X1

i.Chú ý rằng trong hồi quy đã được biển đổi thì

chặn trong mô hình hồi quy gốc.Di đó để trở lại mô hình hồi quy gốc chúng ta phải nhân

cả 2 về của (6.38) đã được ước lượng vớiX i

Giả thiết 2: Phương sai của sai số tỉ lệ với biến giải thích X:

E(U i2)=σ2X i

Nếu sau khi ước lượng hồi quy bằng phương pháo bình phương nhỏ nhất thôngthường, chúng ta vẽ đồ thị của phần dư này với biến giải thích X và quan sát hiện tượngchỉ ra phương sai của sai số liên hệ tuyến tính với biến giải thích hoặc bằng cách nào đó

có thể tin tưởng như vậy thì mô hình gốc sẽ được biển đổi như sau:

Với mỗi i chia cả 2 về của mô hình gốc cho √X i (với √X i>0)

Giả thiết 3: Phương sai cua sai số tỉ lệ với bình phương của giá trị kì vọng của Y,

nghĩa là E(U i2

)2=(E(Y i))2

Khi đó thực hiện phép biến đổi biến số như sau :

thuộc vào β1 và β2trong đó β1 và β2lại chưa biết

Như chúng ta đã biết ^β i=^β1+ ^β2X ilà ước lượng của E(Y¿ ¿i).¿Do đó có thể tiến hànhtheo 2 bước sau:

Bước 1: Ước lượng hồi quy ban đầu bằng phương pháp bình phương bé nhất thông

thường, thu được Sau đó sử dụng để biến đổi mô hình hồi quy gốc thành dạng như sau:

Giả thiết 4 Hạng hàm sai

Đôi khi thay cho việc dự đoán về người ta định dạng lại mô hình ,Chẳng hạn thay choviệc ước lượng hồi quy gốc có thể chúng ta sẽ ước lượng hồi quy

lnσY i=β1+β2ln X i+U i

Việc ước lượng hồi quy có thể làm giảm phương sai của sai số thay đổi do tác độngcủa phép biến đổi loga.Một trong những ưu thế của phéo biến đổi loga là hệ số góc là hệ

số góc β2 là hệ số co dãn của Y đối với X

PHẦN THỰC HÀNH BÀI TẬP (Có kết hợp sử dụng và minh hoạ bằng phần mềm Eview 6.0)

BẢNG THỐNG KÊ DOANH THU CỦA 50 doanh nghiệp mỹ năm 2009

1052.1

232.6

35.9

27

1911.2

406.1

26.63

4

42905

8235

27.4

29

3318.3

162.6

7.35

6

7

4365.2

427.8

14.1

32

859

7

145.9

268

9

2346.8

205.1

9.2

34

935

5

266.5

67.61

1

12

10800

428

5.3

37

2826.2

228.5

16.51

14

1461.4

165.6

16.7

39

21565

942

12.41

1

7 1 8 2.5 2 24 09 0.91

19

4726.7

200.3

6.6

44

14143

1898

242

0

5223.2

475.5

15.5

45

2229

131

20.72

22

47

3278.6

534.9

18.92

24

59804

1280

3.8

49

6012.4

448.2

14.82

5

15403

2915

31.7

50

71759.9

503.4

1.3Nguồn www.businessweek.comVới Y tổng doanh thu của doanh nghiệp

X là tổng chi phí của doanh nghiệp

Z là tổng lợi nhuận của doanh nghiệp

Đơn vị triệu USD

Phát hiện hiện tượng phương sai sai số thay đổi (mức ý nghĩa α = 5%))

Để phát hiện hiện tượng phương sai sai số thay đổi, trước tiên ta cần xác định hàm hồiquy mẫu:

^

Y i= ^β1+ ^β2X i+ ^β3Z i

Sau khi hồi quy ta được hàm hồi quy mẫu là:

^

Y i=13781.62+8,112808 Xi−541.8025 Zi

 Tính các phần dư ei

Tại cửa sổ Equation chọn Frocs  Make Residual Series…  Điền tên là ei/OK.

 Ước lượng các giá trị ^y

Từ cửa sổ Equation hồi quy, chọn ForecastForecast name là yf, OK

Gõ vào ô Enter Equation: ei2 = ei^2 OK

1.1 Kiểm định dựa vào đồ thị

Để nhận định về phương sai thay đổi cách đơn giản là đánh giá qua đồ thị phần dư

Tại cửa sổ equation vào View/Actual, Fitted,Residual Graph

Qua đồ thị có thể thấy sự dao động không đồng đều của sai số quanh giá trị trung bình

là 0.( Hai đường nét đứt là giá trị +- Ϭ^ ) Từ đó có thể kết luận tồn tại hiện tượng sai số thay đổi

1.2 Kiểm định Park:

hồi quy mô hình trên với từng biến giải thích là x và z

b1: ước lượng mô hình gốc để thu được phần dư ei Tạo biến ei= resid ; ei2= ei^2( phần này đã làm ở trên )

b2: ước lượng mô hình : ln(ei2) =β 1 + β2lnXi + vi

ta sẽ hồi quy mô hình trên bằng cách đưa trực tiếp các biến log(ei2) c log(x) vào cửa

sổ equation specification (hoặc thay x là z).Đầu tiên vào quick/estimate equation/nhập têncác biến vào ô equation specification/nhấn ok

sau đó cửa sổ equation hiện ra:

Kết quả cho ra với biến giải thích là x:

Kết quả cho ra với biến giải thích là z:

b3: dùng kiểm định T để kiểm định giả thiết Ho:β 2=0 ( Không có hiện tượng phươngsai của sai số thay đổi ) Nếu giả thiết này bị bác bỏ thì kết luận có hiện tượng phươngsai của sai số thay đổi

- Đối với biến giải thích là x: p_value = 0.7051> 0.05 do đó chưa đủ cơ sở để bác bỏHo

- Đối với biến giải thích là z: p_value = 0.003< 0.01 do đó có cơ sở chắc chắn để bác

bỏ Ho Suy ra có hiện tượng phương sai của sai số thay đổi, do biến z

1.3 Kiểm định Glejser

ta có thể làm một trong các cách sau:

a Tại vùng gõ lệnh ta gõ: LS ABS(EI) C X, Enter

Từ kiểm định Glejser ta nhận thấy: P – Value = 0.0130 < 0.05

 Kết luận: Có phương sai sai số thay đổi

1.4 Kiểm định G – Q

Bước 1: Sắp xếp theo giá trị tăng dần của X ta được bảng sau:

Sau khi hồi quy mô hình gốc ta được

Bước 2: Loại bỏ 10 quan sát giữa đó là các quan sát từ 21- 30 Bước 3: Chia tập số liệu làm đôi, ước lượng 2 hồi quy

Ta có bảng kết quả ước lượng sau:

Ước lượng hồi quy thứ hai trên tập số liệu gồm 20 quan sát cuối:

Ta được bảng kết quả ước lượng sau:

Ta có:

r2= 0,228365

Từ bảng trên ta có RSS2=3,78 10−9 (2) Df=17

Từ cửasổ Equation (cửa sổ mô hình hồi quy ấy) chọnView > Residual Tests

>Heteroskedasticity Tests.Trong ô Test type chọn white sauđónhấn ok

Sau khi nhấn ok ta được kết quả:

 Bước 3: Xétgiảthuyết H0: phươngsaisaisốkhôngđổi.

H1: phương sai sai số thay đổi

Ngược lại thì giả thiết H0 bị bác bỏ khi đó kết luận có hiện tượng phương sai sai số thay đổi

Ta có: χ tnσ2∈W α⇒ Chấpnhận H1, bácbỏ H0

Hay p-value = 0,0007< α =0,005 ⇒ bácbỏ H0, chấpnhận H1

KL: vậy mô hình có tồn tại hiện tượng phương sai của sai số thay đổi.

Hoặc :Từ kiểm định White ta có : R2= 0,261710

x20,05(5)=11,07

nR2>x20,05(5) → có cơ sở bác bỏ giả thiết H0

1.6 Kiểm định dựa trên biến phụ thuộc

Giữ ctrl rồi chọn ei2 đến yf2 sau đó nháy chuột trái 2 lần chọn open Equation thu được bảng kết quả:

Có R2 = 0,226052

- Kiểm định  2

Ta thấy: nR2 = 50 0,226052 = 11.3026 Mà: Χ2

0,05(1)= 3,84146Suy ra: nR2 > Χ2

0,05 (1)=> H0 bị bác bỏ => có hiện tượng phương sai của sai số thay đổi

Trong 2 trường hợp này cả kiểm định 2 và F đều cho thông tin bác bỏ H o Vậy kết luận có hiện tượng phương sai của sai số thay đổi.

2.Khắc phục hiện tượng phương sai sai số thay đổi

Ta thấy n=50 khá là lớn Với giả thuyết 3: Phương sai của sai số tỉ lệ với bình

phương của giá trị kỳ vọng của Y, dù (Y^i) không chính xác làE(Yi), chúng chỉ là ước lượng vững nghĩa là khi cỡ mẫu tăng lên vô hạn thì chúng hội tụ đến E(Yi) vì vậy phép biến đổi này phù hợp trong thực hành với cỡ mẫu tương đối lớn nên nhóm chọn giả thuyết 3 này để khắc phục

Hồi quy mô hình trên xảy ra hiện tượng phương sai của sai số thay đổi tiến hành khắc phục:

Xét mô hình:

^

Y i=13781.62+8,112808 Xi−541.8025 ZiGiả thiết 1: Phương sai của sai số tỷ lệ với

bình phương của biến giải thích:

Mô hình hồi quy có dạng:

Dùng kiểm định White để kiểm tra lại:

Vào View- Residual Tests- Heteroskedasticity Tests- White- ok

Từ kiểm định White trên ta thấy:

P_value=0.9478 > 0.05

phục

Giả thiết 2:Phương sai của sai số tỉ lệ với biến giải thích X:

Áp dụng vào ví dụ trên ta có mô hình hồi quy có dạng: