Một số phương pháp của lý thuyết phát triển trong giải tích phức và giải tích clifford nhiều biến

Định lí Runge và phương trình Cauchy-Riman không thuần nhấtĐịnh lí: Cho  là một tập mở trong C và K là một tập con compac của  sao cho  \K liên thông.Khi đó mọi hàm chỉnh hình tron

ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP CHUYÊN NGÀNH

TOÁN TIN ỨNG DỤNG

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CỦA LÍ THUYẾT THÁC TRIỂN TRONG GIẢI TÍCH PHỨC VÀ

GIẢI TÍCH CLIFFORD NHIỀU BIẾN

Thầy hướng dẫn: GS.TSKH Lê Hùng Sơn Sinh viên thực hiện: Vũ Vệt Hùng

Lớp: Toán Tin KSTN - K51

MỤC LỤC

Mở đầu

Chương 0: Một số kiến thức giải tích thực

Chương 1: Đại số Clifford

Chương 2: Đa tạp và dạng vi phân

Phần I: Các phương pháp của lí thuyết thác triển trong giải tích phức nhiều biến

Chương 2: Giải tích phức một biến

1 Công thức tích phân Cauchy

Chương 4: Bài toán Cudanh

1 Hàm phân hình và bài toán Cudanh

2 Giải bài toán trong trên miền đa tròn

3 Lí thuyết bó và ứng dụng

Phần II: Giải tích Quaternion và giải tích Clifford

Chương 5: Định lí thác triển Hactog cho hàm chính quy Qaternion nhiều biến

1 Toán tử vi phân và hàm chính quy

2 Công tức Cauchy-Pompeu và toán tử tích phân Teodorescu

Phần III: Một số vấn đề liên quan và mở rộng

Chương 7: Toán tử vi phân và bài toán thác triển

Chương 8: Trường Vecto điện từ

  (x)Các không gian hàm



  là divergence

 

Áp dụng định lí trên ta có công thức tích phân từng phần

Định lí :( Công thức tích phân từng phần).Cho u w C,  1  khi đó

3 Phương trình Laplace và phương trình Poisson

a Nghiệm cơ bản của phương trình Laplace

Phương trình Laplace là phương trình đạo hàm riêng sau

, 2

x n x

b Nghiệm của phương trình Poisson

Phương trình Poisson là phương trình đạo hàm riêng sau

 với u:   R là hàm chưa biết, và f :   R là hàm đã biết

Ta cho nghiệm ở dạng tích chập

u x  x y f y dy

Áp dụng các định lí đã giới thiệu ta có thể chứng minh định lí sauĐịnh lí: Định nghĩa u như công thức trên và giả thiết 2 

0

f C  Khiđó

Do đó ta cần định nghĩa tích Clifford của các phần tử cơ sở.

Trước hết xét tích của 2 phần tử thuộc V Ta lấy: 1

Ta kết thúc phần này bằng việc nói tới khái niệm liên hợp trên A.Ta gọi là liên hợp và kí hiệu:

Định nghĩa: Hàm u C 1  được gọi là chỉnh hình nếu u/  z 0 trên

Các hàm nói tới xét trên tập xác định của chúng

2 Công thức tích phân Cauchy

Cho  là một tập mở bị chặn trên C.Giả sử rằng    C1

4 Định lí Runge và phương trình Cauchy-Riman không thuần nhất

Định lí: Cho  là một tập mở trong C và K là một tập con compac của

 sao cho  \K liên thông.Khi đó mọi hàm chỉnh hình trong một lân cận của K có thể xấp xỉ trên K bởi những hàm chỉnh hình trên .Chứng minh. Xem [1,tr 6]

Chương 3: Các định lí thác triển kiểu Hactog

1 Hàm chỉnh hình nhiều biến và định lí thác triển Hactog

Định nghĩa: Hàm C n-khả vi tại mỗi điểm của lân cận nào đó của điểm

z C n, được gọi là hàm chỉnh hình tại điểm đó.Hàm chỉnh hình tại mỗi diểm của tập mở nào đó  C n được gọi là chỉnh hình trên tập



Tập các hàm chỉnh hình trong miền D nào đó lập thành 1 vành kí hiệu

là H(D)

b Định lí thác triển kiểu Hactog

Định lí (Hactog): Giả sử cho các miền ' n 1( '), ( )

n

n n

2 Biểu diễn tích phân và định lí Xevery

Trong mục này ta đưa ra 1 công thức biểu diễn tích phân có tính chất tổng quát so với công thức tích phân Cauchy.Công thức đó là công thức Mactineli-Bockhone.Để làm điều đó ta cần tới công thức Green dạng phức tương tự thực

c Công thức Stoke

Kí hiệu d là phép lấy vi phân các dạng,  là phép tính topo lấy biên.Định lí: Giả sử trên đa tạp m chiều định hướng được M, cho dây chuyền p chiều  và dạng vi phân  bậc p-1 trên nó, nếu M, ,  ,

 thuộc lớp C1 thì:

2 2 1

1

( )( 1)

( 1)

v v v

Loại bỏ khỏi D một hình cầu tâm z.Kí hiệu D D\ { < }z 

Giả thiết hàm f chỉnh hình trên D, ta có 0, 0

v

f

f z

1 2

1

1 1 2

1

( 1)!

( 2 )( 1)!

( 1)

( 2 )

n

n v v

n n

v D n

v v

n n

v D

v D

là tại mỗi điểm S có:

Hệ quả: Nếu hàm f chỉnh hình khắp nơi trong miền DC n (n>1), có

thể trừ ra 1 tập con compac K của D, thì f thác triển được lên toàn

miền D

Chứng minh:

Để vận dụng định lí Xeveri, ta làm như sau: bọc ‘lỗ thủng’ compac K bởi 2 mặt trơn 2n-1 chiều S S1, 2D K\ ,sao cho chúng giới nội tương ứng các miền có phần bù liên thông G G và 1, 2 K G1 G2.

Đặt G G G 2 \ 1, vì f chỉnh hình trên G nên theo công thức

Mactineli-Bockhone đối với điểm z tùy ý thuộc G có:

Từ đó lại theo định lí Xeveri f đã được thác triển chỉnh hình khắp nơi

trongG Ta hoàn thành chứng minh.2

Bây giờ ta chứng minh hệ quả đã nói.Trong cách chứng minh tuân theo một quy trình mà ta gọi là lược đồ Homander.

Bổ đề:Đối với tập mở U R n tùy ý và tập con K compac của U tùy ý ,tồn tại hàm : n 0,1

x R

  



Chứng minh.Xem [1, tr 84]

Ta phát biểu lại hệ quả dưới dạng định lí

Định lí: Nếu hàm u chỉnh hình khắp nơi trong miền DC n (n>1), có thể trừ ra 1 tập con compac K của D, thì u thác triển được lên toàn miền D

 nên tồn tai một tập mở con của D\K trên đó v triệt tiêu, và

do đó U u 0 u.Theo định lí duy nhất ta có U = u trên D\K

Vậy U là thác triển của u.Ta hoàn thành chứng minh

Chương 4: Bài toán Cousin

1 Hàm phân hình và bài toán Cousin

a Hàm phân hình

Lớp hàm phân hình rộng hơn lớp các hàm chỉnh hình.Nó có thể được định nghĩa một cách địa phương như sau

Với mỗi z C n ta kí hiệu H z là tập các hàm chỉnh hình trong một lân cận của z.Trên H z xét quan hệ tương đương sau f ~g nếu f = g trong

một lân cận của z.Lớp tương đương tùy ý theo quan hệ này được gọi

là mầm hàm chỉnh hình tai z kí hiệu qua f z.Kí hiệu O z H z/ ~.Với cácphép toán trên các hàm được cảm sinh lên O z có thể xét như là vành giao hoán có đơn vị và không có ước của 0.Và do đó có thể xây dựng trường thương của O z mà ta kí hiệu là M z

Định nghĩa: Hàm phân hình  trên một tập mở  C n là ánh xạ

z M

   Nghĩa là  z M z với mọi z và với mỗi điểm của có một lân cận 

và các hàm f g H ,    sao cho  z f z/g z z,  .Tập các hàm phân hình trên  kí hiệu là M  

b Các bài toán Cousin

Xuất hiện một cách tự nhiên vấn để xây dựng hàm phân hình f xác

định trong toàn bộ miền các hàm phân hình đã cho ở địa phương một

hàm chỉnh hình.ta hiểu rằng f đã được xây dựng theo các phần chính

của nó

Bài toán Cousin cộng tính: Cho miền D thuộc đa tạp giải tích M và phủ mở U UA của miền đó.Trong mỗi U cho hàm phân hình f

sao cho thực hiện được điều kiện tương thích sau:

Trong giao U U U tùy ý, hiệu f  f là hàm chỉnh hình

Hãy xây dựng hàm phân hình f trong D sao cho trong mỗi U hiệu f

-f là hàm chỉnh hình

Giống như các định lí thác triển ta sẽ tìm câu trả lời cho câu hỏi là bài

toán Cousin có giải được hay không tức là có tồn tại hàm f hay

không

Trong trường hợp một chiều ta có

Định lí: (Mittac-Lefler) Với mọi miền phẳng D bài toán Cousin giải được

Trong giao U U U tùy ý, f / f là hàm chỉnh hình.

Hãy xây dựng hàm phân hình f trong D sao cho trong mỗi U thương/

f f là hàm chỉnh hình khác 0.

2 Giải bài toán trong trên miền đa đĩa

Trước hết ta đưa ra điều kiện cần và đủ để bài toán Cousin cộng tính giải được

Khi có các dữ kiện Cousin f trên các phủ U của miền D, trong mỗi giao U UU ta có thể xét hiệu

Ngược lại nếu tồn tại các hH U  thỏa mãn điều kiện thì ta lấy

f h f chính là nghiệm của bài toán Cousin.Ta hoàn thành chứng minh

Từ định lí trên có thể thấy việc giải được bài toán Cousin hoàn toàn phụ thuộc vào đối chu trình chỉnh hình tương ứng của nó.Nếu đối với một đối chu trình chỉnh hình nào đó điều kiện của định lí được thỏa mãn thì ta nói đối chu trình đó đối đồng điều với không.Do đó định lí còn có thể phát biểu:

“Để giải được bài toán Cousin cần và đủ là đối chu trình chỉnh hình tương ứng đồng điều với không”

Tiếp tục, kí hiệu Z U1  là nhóm các đối chu trình chỉnh hình.Trong nhóm này có nhóm con B U1 các đối chu trình đồng điều

không.Nhóm thương Z U1 /B U1  H U1  được gọi là nhóm đối đồng điều đối với phủ U của miền D.Rõ ràng điều kiện cần và đủ giải được bài toán Cousin là Z U1  B U1  hay là nhóm đối đồng điều là tầm thường H U 1  0

Trong các khái niệm trên nếu thay điều chỉnh hình bởi điều khả vi vô hạn thì ta có khái niệm đối chu trình vi phân, đối chu trình vi phân đồng điều không và nhóm đối đồng điều vi phân.Tuy nhiên các nhómnày luôn tầm thường

Định lí: Đối với phủ mở U tùy ý của miền D trên đa tạp khả vi vô hạn,đối chu trình vi phân tùy ý đồng điều không

Định lí: Nếu phương trình  f  với  xác định như trên giải được thì đối chu trình chỉnh hình h đồng điều không

Chứng minh

Đặt h g  f trên U ta có h  f g     0 và

h  h  g f  g  f h Ta có điều phải chứn minh

Tương tự định lí ( ) đã xét trong lược đồ Homander nhưng ở đây vế phải của phương trình không có giá compac.Để đơn giản ta xét D là tích của các miền phẳng đơn liên mà ta goi là đa đĩa

Định lí: Trên miền đa đĩa D phương trình Cauchy-Riman không thuầnnhất () có một nghiệm u C D

Xét các dạng vi phân cấp một song bậc (0,1) với hệ số trong lớp C,

nó có dạng

1

n

v v v

Định lí: Nhóm đối đồng điều chỉnh hình của phủ U bất kì của miền đa đĩa H U1  đẳng cấu với nhóm H1

Chứng minh.Xem [1, tr 260]

3 Lí thuyết bó và ứng dụng

Mục này sẽ áp dụng lí thuyết bó để giải quyết bài toán Cousin tổng quát

a Các khái niệm cơ bản

Định nghĩa: Bó của những cấu trúc đại số nào đó trên không gian tôpô

X (cơ sở của bó) là cặp  , lập nên từ không gian tôpô và ánh xạ

   (gọi là phép chiếu) nếu thực hiện được các điều kiện sau đây

i) Hình chiếu  là đồng phôi địa phương khắp nơi trên 

ii) Đối với mỗi điểm P thuộc X ,trong nghịch ảnh 1 

P   P

 gọi là thớ của bó trên P, đã đưa vào cấu trúc đại số

iii) Các phép tính đại số trong thớ liên tục trong tôpô 

Ví du:

1 Cho đa tạp giả tích phức V.Đặt O z V O z



  là tập các mầm hàm chỉnh hình trên V.Trên O ta đưa vào tôpô trong đó lân cận là tập các mầm thuộc một hàm chỉnh hình.Điều đó được làm như sau.Xét mầm tùy ý

z

f O và hàm tùy ý f biểu diễn nó.giả sử U là một lân cận tùy ý của

Tính chất đồng phôi địa phương có nghĩa là nếu hạn chế phép chiếu trên một lân cận nào đó U thì nó là đơn trị hai chiều.

Các phép tính đai số đối với các mầm xác định tại cùng một điểm là liên tục trong tôpô đã xét.Có nghĩa là nếu h z f zg z thì với lân cận tùy ý U h z tồn tại các lân cận V f z ,V g z sao cho với mọi f V f z

và g V g z ta có f g U h z Điều này có thể chứng minh không mấy khó khăn.Như vậy ta có bó các mầm hàm chỉnh hình

2 Tương tự ta có bó các mầm hàm phân hình M z V M z



  có thể xét như bó trường

f U   sao cho hợp  f là ánh xạ đồng nhất trong U

Như vậy có thể xem thiết diện chính là các hàm trên X.Tập tất cả các thiết diện của bó trên U kí hiệu là

  

Ta chú ý tính chất sau (do tính đồng phôi địa phương của phép chiếu),

nếu U liên thông và có P U sao cho f P  g P  thì f g trên U với f,g là các thiết diện nào đó trên U.Điều này cho phép cảm sinh các

phép toán trên các P lên U

Bó có thể xây dựng từ tiền bó thông qua giới hạn tôpô, điều này thực chất là cho trước các thiết diện.Ta nói tới các khái niệm này

Định nghĩa: Ta nói rằng trên không gian tôpô X đã xho tiền bó cấu trúc đại số nào đó nếu

i) Đã cho cơ sở  U các tập mở của tôpô X

ii) Kết hợp mỗi tập mở U của cơ sở với một cấu trúc đại số U

iii) Với mỗi cặp U,V thuộc  U sao cho V U kết hợ một đồng cấu

:

UV U V

   

dồng thời thực hiện được điều kiện bắc cầu sau đây: nếu W V U

thì UW  VW  UV

Ví dụ: Tiền bó được cho là là bộ các hàm chỉnh hình hay các thiết diện U O,  H U .Các đồng cấu ở đây là cá ánh xạ nhúng tự nhiên vành H U  vào H V  tương ứng mỗi hàm f với hạn chế của nó trên V

Bây giờ ta nói tới quá trình địa phương hóa đưa từ tiền bó về bó tương

tự như cách xây dựng bó O.

Giả sử cho tiền bó nào đó U trên không gian tôpô X Đối với mỗi

điểm P X ta xét cơ sở U P các lân cận của điểm này.Ta gọi hai phần

tử f  U U và g  V V là tương đương tại điểm P nếu tồn tại lân cận

    có thể xét như bó trên không gian X.Phép chiếu được

định nghĩa đơn giản là ánh xạ  P P.Tôpô trên  được xây dựng như sau.Với mỗi lân cận U U P lập ánh xạ UP:   U P cho tương ứng mỗi phần tử f  U với lớp tương đương f  P P chứa phần tử đó.Nhờ đó ta định nghĩa lân cận của f P là

Có thể chứng minh rằng các lân cận đã nói lập thành cơ sở tôpô của 

và trong tôpô đó phép chiếu là đồng phôi địa phương và các phép tính đại số liên tục

b Các nhóm đối đồng điều

Ta sẽ định nghĩa các nhóm này đối với phủ rồi nhờ giới hạn tôpô để chuyển nó sang toàn không gian

Giả sử X là không gian tôpô và trên nó cho bó nhóm Aben  xét phủ

mở U UA của không gian X và với mỗi số nguyên p 0 xây dựng đa chỉ số   1

Định nghĩa: Đối dây chuyền cấp p với hệ số trong bó  đối với phủ U

đã cho là hàm h, đặt tương ứng mỗi đa chỉ số  A p 1

 với thiết diện

Định nghĩa: Toán tử đối bờ là ánh xạ

Z U   C U    được gọi là nhóm các đối chu

trình.Đối chu trình h được gọi là đối đồng điều với không hay đối bờ

nếu tồn tại đối dây chuyền g sao cho g h Nhóm các đối bờ kí hiệu

là B U  p ,  Nhóm thương H U p ,   Z U p , /B U p ,  được gọi là

nhóm đối đồng điều thứ p đối với phủ U.

Trường hợp riêng p = 1 đối dây chuyền h được xác định trên các giao U

các tập của phủ sao cho h h 0.toán tử đối bờ chuyển chúng thành các dạng cấp 2  h h h h



    trong U UU U do đó các đối chu trình là các đối dây chuyền mà h hh  0 Đối bờ của đối dây chuyền  h cấp 0 là h h  h.Do đó đối chu trình đồng điều 0 cấp 1 là những cái mà h h h.Như vậy nhóm

chỉ là đối chu trình 0 vì không có các đối dây chuyền cấp -1.Do đó ta có

Định lí: Nhóm đối đồng điều không chiều với hệ số trong bó  trên không

gian X với phủ U tùy ý đẳng cấu với nhóm các thiết diện toàn cục của

 Ta nói phủ thứ hai mịn hơn phủ thứ nhất kí hiệu V U

nếu tồn tại ánh xạ : B A sao cho V U   ,    B.Ta lập đồng cấu

bằng cách cho tương ứng mỗi đối dây chuyền h đối dây chuyền

được gọi là nhóm đối đồng điều thứ p của không gian X

Nhận xét: Nếu với không gian X tồn tại các phủ U mịn tùy ý và

Trước hết ta định nghĩa ánh xạ bó.Cho hai bó  , và  , trên

cùng một không gian X.Ánh xạ bó     : là ánh xạ liên tục sao cho khắp nơi trong  có     

Chú ý rằng đối với mọi điểm P X ta có   P  P.Mặt khác nếu

U

f  thì   f liên tục trong U và    f   f là ánh xạ đồng nhất có nghĩa là  f  U

Ánh xạ bó sẽ là đồng cấu bó nếu nó bảo toàn các phép tính đại số trong mọi thớ, sau đó là đẳng cấu nếu nó là đơn trị hai chiều lên .Ảnh của đồng cấu bó có thể xem như bó con nên ta nêu ra khái niệm này.Ta nói  , là bó con của bó  , nếu 1) mở trong , 2)

   3)Với mọi P X thớ P là nhóm con của P.Khi đó ta có thể lập bó thương / P X P/ P



      với tôpô thương

Bây giờ ta nói tơis dãy khớp bó.giả sử cho hai đồng cấu nhóm Aben:

3 Nói chung tính khớp của dãy bó nhóm Aben

     

có nghĩa là  2 toàn cấu và  2   1 /  1 0

Sau đây là định lí quan trọng của lí thuyết bó

Định lí: Giả sử không gian X là Hauxdooff và có cơ sở đếm được các tập mở(hay X là nửa compac).khi đó mọi dãy khớp bó trên X