LÊ QUANG THIÊN TRƯỜNG TRUNG HỌC CỞ TRẦN NHÂN SỬ DỤNG KỸ NĂNG NHÂN LƯỢNG LIÊN HỢP ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ A.Lý do chọn đề tài: Phương trình vô tỉ là một nội dung khó đối học sinh lớp
Trang 1LÊ QUANG THIÊN TRƯỜNG TRUNG HỌC CỞ TRẦN NHÂN
SỬ DỤNG KỸ NĂNG NHÂN LƯỢNG LIÊN HỢP ĐỂ GIẢI PHƯƠNG
TRÌNH VÔ TỶ
A.Lý do chọn đề tài:
Phương trình vô tỉ là một nội dung khó đối học sinh lớp 9 Đứng trước một bài toán phương trình vô tỉ thường thì các em sẽ có nhiều phương pháp giải khác nhau khi biến đổi tương đương, dùng ẩn phụ, đánh giá, đưa về phương trình trị tuyệt đối Song có một cách khác dùng giải quyết bài toán dạng này rất hữu dụng và phù hợp tư duy các em học sinh lớp 9 đó là nhân lượng liên hợp
B Cơ sở lý luận:
Ta biết x=x0 nghiệm của phương trình f(x)=0 0
0
f (x ) 0
f (x) 0 (x x )p(x) 0
p(x) 0
Công cụ giải phương trình vô tỷ bằng phương pháp lượng liên hợp trên nhờ các hằng đẳng thức sau: A B A B (A;B 0, A B)
A B
C.Bài tập:
Dạng 1:Nhẩm nghiệm, lượng liên hợp có chứa một hằng số
Thí dụ 1: giải phương trình: 3x 1 6 x 3x 214x 8 0(*)
Ta tìm x 1: 6
3
rồi thế vào biểu thức 3x+1 và 6-x chứa trong căn nếu giá trị các biểu thức trên có dạng bình phương của một số hửu tỉ thỏa mãn phương trình trên thì giá trị của x vừa tìm là nghiệm phương trình.Dễ thấy x=5 là nghiêm phương trình (*) vì vậy ta đưa phương trình (*) về dạng
(x-5)f(x)=0 ,nhưng định lý Bezou chỉ đúng với f(x) là đa thức Nhưng vế trái phương trình là biểu thức vô tỷ Vậy cần cần xuất hiện nhân tử chung x-5 từ vế trái phương trình bằng lượng liên hợp Muốn vậy ta cần tìm hai số a;b dương sao cho hệ phương trình sau
có nghiêm x=5
Vậy:
Trang 22 (*) ( 3x 1 4) (1 6 x ) 3x 14x 5 0
(x 5)(3x 1) 0 3x 1 4 6 x 1
x 5 0
3x 1 0(**) 3x 1 4 6 x 1
Với 1 x 6 0 3x 1 19
3
nên (**) vô nghiệm
Nên (*) có nghiệm duy nhất là x=5
Thí dụ 2 :
Giải Phương trình: 2x2 11x 21 3 4x 4 3 (*)ĐK:x>0
Phân tích với x=3 là ngiệm phương trình mà giá trị của 34x 4 là 2
Do đó
2
3
3
3
3
3( 4x 4 2)( (4x 4) 2 4x 4 4) (*) (x 3)(2x 5)
(4x 4) 2 4x 4 4 12(x 3)
(x 3)(2x 5)
(4x 4) 2 4x 4 4
12
(4x 4) 2 4x 4 4
12
(4x 4) 2 4x 4 4
Đặt t=3 4x 4 nên 3 (4x 4) 2 2 4x 4 43 = t2 +2t +4 =(t+1)2+3
Do đó x >3 suy ra 34x 4 > 2
2
2
12
t 1 3
Với 0<x<3 thì ngược lại Nên (**) có nghiệm x=3
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x=3
Dạng 2:Nhẩm nghiệm, lượng liên hợp có chứa một biểu thức chứa biến
Thí dụ: 3
Giải phương trình: 3 2
4x 5x 1 3x 1 3x (*) Nhập vào casio và solve ta thấy nghiệm : x10; nhập (solve) lần hai ta thấy nghiệm: 2
1
x
4
Từ đó ta gọi ax+b là hạng tử cần đem liên hợp với căn thức giả sử x x1; 2 là nghiệm phương trình ta giải hệ sau: 1
2
0.25a b 0.5 b 1 (x )a b 3x 1
Suy ra hạng tử cần liên hợp với 3x 1 là 2x 1
Trang 33 2
2
2
2
2
1 (*) 4x 5x x 3x 1 (2x 1) (x )
3 (2x 1) 3x 1 4x 5x x 0
4x x
(x 1)(4x x) 0 (2x 1) 3x 1
1
(2x 1) 3x 1 (4x x) 0
1
x 1) 0(**) (2x 1) 3x 1
x 0(t / h)
1
x (t / h)
4
x
Thí dụ 4
giải phương trình: x2 x 1 (x 2) x 2 2x 2 0 (*)
Phân tích cách giải
Dùng máy tính bấm cho nghiệm của phương trình là một số thập phân
1
2
x 3,828427125
x 1,828427125
Dùng máy tính lưu lại nghiệm, cho 1 2 1 2
1 2
x ; x
x x 7
là nghiệm của phương trình 2
x 2x 7 0 Cho ta hướng giải như sau
Với x=-2 không là nghiêm của (*) nên x2 x 1 2
x 2
Giả sử biểu thức thêm vào hai vế phương trình là ax+b sau khi biến đổi để xuất hiện biểu thức m(x2-2x-7), Ta có:
2
2
x x 1
x 2
, Như vậy m(x2 2x 7 ) ( m hằng số dương ) là hiệu của tử biếu thức
2
x x 1 (ax b)(x 2)
x 2
; hoặc biểu thức m(
2
x 2x 7 ) có các hệ số tỉ lệ với biểu thức 2 2
x 2x 2 (ax b) Từ đó ax+b=3 Lời giải:
Với x=-2 không phải nghiệm phương trình nên(*) được viết dưới dạng:
2
2
2
x 2x 7 0
1
2
x
Trang 4Tuy nhiên nếu không dùng máy tính, ta cũng có thể tìm được biểu thức thêm vào lượng liên hợp, bằng cách như sau:
Gọi biểu thức thêm vào lượng liên hợp là ax+b, ta có
2
2
x x 1
x 2
2
(1 a)x (b 2a 1)x 1 2b (1 a )x (2 2ab)x 2 b
tử của hai vế phương trình có các hệ số tương ứng tỉ lệ nên:
1 a b 2a 1 1 2b
Tính nhẩm cho được a 0
b 3
Tiến hành cách giải như trên
Ngoài ra ta còn có cách khác tìm được tìm biểu thức thêm vào hai vế phương trình cho hằng số dương b ta có :
2
2
2 2
2
x x 1 bx 2b x 2x 2 b
( x 2x 2 b) 0; b 0)
x (1 b)x 1 2b x 2x 2 b
Bậy giờ ta xác định sao cho
x (1 b)x 1 2b 0 x 2x 2 b 0
b 3
b 3
b 3
Từ đó suy ra cách giãi như đã trình bày
Đối với những bài toán ta nhẩm nghiệm dễ dàng ta cũng thực hiện như sau, chẳng hạn
Thí dụ 5
Giải phương trình: x2 x211 31 ta thấy ngay nghiêm của nó là 5 và -5 vì vai trò của x như nhau Vậy phương trình có chứa nhân tử x2-25 và hạng tử thêm vào lượng liên hợp là 6 Nên
2
2
2
1 2
2 2
2
x 25
x 11 6
x 5
x 25 0 1
x 11 6
Ngoài ra có những bài toán có nghiêm kép nhưng khi nhẩm nghiệm ta chỉ thấy một còn
nghiệm còn lại chứa trong phương trình thư hai Chẳng hạn
Thí dụ 6
Giải phương trình: 2x 1 x2 3x 1 0(x 1)
2
Ta nhẩm được nghiệm là 1, tiến hành giải như sau
Trang 52x 1 1 2
2x 1 1
Nhận thấy phương trình trong ngoặc có nghiệm là 1 Nên phương trình đã cho có chứa nghiệm
kép Do đó phương trình đã cho có chứa thừa số : x2 2x 1 .Vậy ta tiến hành cách giải như sau:
2
2
( 2x 1) x
2x 1 x
x 1(t / h)
x 2 2(loai)
2
Vậy : x 1; x 2 2
Thí dụ: 7
Giải phương trình.: 3x 3x 1 1
3x 10 (*) Nhẩm ngiệm có 2 nghiêm x=0;x=5
Từ đó suy ra cách giải sau:
1 TXD : x
3
3x 10 3x 1 1
(1) 3x 10 3x 1 1 3x 10 5 3x 1 4
( 3x 10 5)( 3x 10 5) ( 3x 1 4)( 3x 1 4)
3x 15 0
0 3x 10 5 3x 1 4
3x 10 5 3x 1 4
x 5
x
Vậy phương trình có hai nghiệm: x=0;x=5
Dạng: 3 Đưa về hệ tạm
Nếu phương trình có dạng:
Trang 6
A 2
2
Thí dụ 8
giải phương trình: 2 2
2x x 9 2x x 1 x 4(*) Nhận xét: 2
2x -(x 9 2x2 x 1 ) =2(x+4) phương trình này có nghiệm với
x4 nhưng x=-4 không phải là nghiêm cửa phương trình vậy : 2
2x x 9
2
2x x 1 Do đó ta xét x>-4
Giải:
ĐK:
2
2
2x x 9 0
2x x 1 0
2
2
(*) ( 2x x 9 2x x 1)( 2x x 9 2x x 1) (x 4)( 2x x 9 2x x 1) 2x 8 (x 4)( 2x x 9 2x x 1) 2x x 9 2x x 1 2(**)
Tõ (*) vµ (**) ta cã hÖ ph ong trinh
2x x 9 2x x 1 2
2 2x x 9 x 6 2x x 9 2x x 1 x 4
2 2x
x 0
x 0
x 8
7 Thử lại:
x 0
8 x
7
Thí dụ: 9 giải hệ phương trình
x 1 y 2 3(1)
y 1 x 2 3(2)
ĐK: x 2
y 2
Từ hệ phương trình ta có:
x 1 x 2 y 1 y 2 (3)
( y 1 y 2)( y 1 y 2) ( x 1 x 2)( x 1 x 2)
x 1 x 2 y 1 y 2 (4)
Lấy (3) +(4) theo vế ta có: x 1 = y 1 x=y
Thay x=y vào (1) Ta có x 1 x 2 3
Trang 7x 3 x 3
Vậy phương trình đã cho (x;y)=(3:3)( sau khi thử lại)
Thí dụ 10 Giải phương trình:
(x 9) (2x 1) x 2x 8 (x 4)(x 2) Theo phương pháp hệ tạm ta có:
(*) ( x 9 2x 1)( x 9 2x 1) (x 4)( x 9 2x 1)
x 2x 8 (x 4)( x 9 2x 1 (x 2)(x 4) (x 4)( x 9 2x 1)
Với x-4=0 x 4 với x 4 Ta có:
(x 2) ( x 2 9 2x 1)(**) Từ (*) và (**) ta có hệ phương trình
2
2
x 1
x 5
x 5
Vậy phương trình có hai nghiệm:x=4;x=5