Tiểu luận môn Xác suất thống kê ĐẠI CƯƠNG VỀ XÁC SUẤT

Hàng ngày, trong nhiều hoạt động của con người thường phải đối mặt với những tình huống không thể dự đoán trước một cách chính xác, nhưng để tính toán tỉ lệ thành công, thất bại ngẫu n

GVHD: NGUYỄN VĂN PHÚ NHÓM SINH VIÊN THỰC HIỆN:NHÓM 1

L I NÓI Đ U ỜI NÓI ĐẦU ẦU

“Xác suất - thống kê” thuộc môn “Toán ứng dụng”

Bộ môn ”Xác suất - Thống Kê” mang tính thực tiễn cao, các bài toán về "Xác Suất - Thống Kê" thường gặp trong cuộc sống, lý thuyết ”Xác suất - Thống Kê” được ứng dụng hầu hết trong các ngành khoa học Hàng ngày, trong nhiều hoạt động của con người thường phải đối mặt với những tình huống không thể dự đoán trước một cách chính xác, nhưng để tính toán tỉ lệ thành công, thất bại ngẫu nhiên gần chính xác nhất thì không thể nào thay thế được bàng một bộ môn nào khác.Chỉ cỏ thể là “Xác suất- Thống Kê” sẽ giúp ta thực hiện điều đó một cách khoa học và toàn diện nhất.

Qua hệ thống lý thuyết củng một số bài tập ví dụ thực tiễn,chúng tôi mong muốn đem đến cho các bạn một cách hoàn thiện nhất những lý thuyết cơ bản của bộ môn Hệ thống bài giảng thông được thông qua các chương sau:

▪ Chương 1: ĐẠI CƯƠNG VỀ XÁC SUẤT

▪ Chương 2: ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VECTƠ NGẪU NHIÊN

▪ Chương 3: CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN

▪ Chương 4: CÁC QUY LUẬT PHÂN PHỐI

▪ Chương 5: LÝ THUYẾT MẪU

▪ Chương 6: LÝ THUYẾT ƯỚC LƯỢNG

▪ Chương 7: KIỂM TRA GIẢ THUYẾT THỐNG KÊ

Trong quá trình thực hiện, dù đã cố gắng hết công sức cũng như thời gian, tuy nhiên để thực hiện một cách hoàn hảo mà không có sai sót gì là điều dường như không thể.Vì vậy mong quý thầy cô,các bạn thông cảm và xem xét bỏ qua.

Tp.Hcm,ngày 08 tháng 12 năm 2011

Thân ái

CHƯƠNG 1

ĐẠI CƯƠNG VỀ XÁC SUẤT

- Định nghĩa thống kê của xác suất: P(A) ≈ m

n

Ở đây m n là tần suất xuất hiện A khi lặp lại phép thử n lần

- Định nghĩa hình học của xác suất: P(A) ¿m(G)

Số tổ hợp chập k của n phần tử: C n k

= n !

k !(n−k ) !

- Chỉnh hợp: Một chỉnh hợp chập k của n phần tử là một bộ gồm kphần tử (lấy từ n phần tử) có 2 tính chất: khác nhau, kể thứ tự.

Số chỉnh hợp chập k của n phần tử: : A n k= n !

( n−k )!

- Hoán vị: Một hoán vị của n phần tử là một cách sắp thứ tự n phần

tử, vì vậy nó là một chỉnh hợp chập n của n phần tử Số hoán vị của nphần tử P n=n!

Bài 1.25 Trong mặt phẳng ta kẻ những đường thẳng song song cách đều

nhau 1khoảng 2a, gieo ngẫu nhiên 1cây kim có độ dài bằng 2t ( t<α) lênmặt phẳng ấy Tìm xác suất dể cây kim cắt 1 đường thẳng

Giải:

Ω{0≤ h=IH ≤ a 0≤ α ≤ π

Diện tích D=∫

0

t sin αdαα=2 t

Vậy: P(A)=2t a

Bài 1.26 Chọn ngẫu nhiên 1 điểm A trên đoạn [0,1], tức là với cùng 1

khả năng như nhau A có thể là bất cứ điểm nào trong đoạn [0,1] Điểm

A chia đoạn [0,1] thanh 2 đoạn nhỏ: Gọi T1 là 1 đoạn ngắn hơn và T2 làđoạn dài hơn.Tìm P( T1<x) và P(T2<x) cho mọi số thực x

Ta không thể tìm được điểm A sao cho T2 <x

Bài 1.27 Cho hình vuông mỗi cạnh dài 1 đơn vị Lấy ngẫu nhiên 1 điểm

A trong hình ấy,tức là với cùng 1 khả năng như nhau A có thể có là bất

cứ điểm nào trong hình vuông ấy.Tìm xác suất của các biến cố sau:

a) Khoảng cách từ A đến 1 cạnh hình vuông không quá x

b)Khoảng cách từ A đến cạnh gần nhất không quá x

c)Khoảng cách từ A đến tâm hình vuông không quá x

d)Khoảng cách từ A đến 1 điểm cố định của hình vuông không quá x

c)Lá thư thứ nhất và lá thư thứ hai đúng người nhận

d) Chỉ 1 lá thư đúng người nhận

Giải:

a Gọi A là biến cố cả 5 lá thư đều vào đúng người nhận

Bỏ ngẩu nhiên 5 lá thư vào 5 phong bì  Đặt 5 lá thư khác nhau vào 5

vị trí khác do đó ta được 5! Cách = 120 cách

Vậy P(A)=5!1 =1201

b Gọi B là biến cố lá thư thứ nhất đúng người nhận

Gọi 5 lá thư là A,B,C,D,E

Để cả 5 lá đều đúng người nhận thì A1,B2,C3,D4, E5

(A1 : Bức thư A vào vị trí 1)

Gọi Pi là xác suất để chỉ lá thưi thứ I đúng người nhận là i=1,5

Th2: A1B4: cũng có 3 cách chọn

Th3: A1B5: cũng có 3 cách chọn

Bài 1.29 Xếp ngẫu nhiên 5 người lên 7 toa tàu được đánh số.Tìm xác

suất các biến cố sau :

a) Năm người lên cùng 1 toa

b) 5 người lên 5 toa đầu

c)5 người lên 5 toa tàu khác nhau

d)A và B cùng lên toa đầu

e) A và B lên cùng toa

f) A và B lên cùng toa ngoài ra không có ai khác lên toa này

Giải:

Gọi 7 toa tàu lần lượt là 1,2,3,4,5,6,7

Gọi 5 người lên tàu là A,B,C,D,E

vậy A có 7 cách chọn B,C,D,E cũng vậy

=> có 75c á ch ch ọ n

a.Gọi F là biến cố 5 người lên cùng 1 toa

A có 7 cách chọn

B,C,D,E chỉ có 1 cách chọn

=> Số cách chọn 7

Vậy P(F)=775. 1

74=

1 2401

b Gọi I là biến cố 5 người lên 5 toa đầu

Đặt 5 người vào 5 vị trí khác nhau =>> ta được 5! Cách

=>Vậy P(I)= 5!75 = 120

16807

c.Gọi K là biến cố 5 người lên 5 toa khác nhau

Đặt 5 vị trí trong 7 vị trí đặt 5 người khác vào => A75c á ch

f.Gọi J là biến cố A,B lên cùng toa, ngoài ra không có người khác lêntoa này

Bài 1.30 Cho 1 hộp bi cùng cỡ gổm 3 bi xanh, 4 bi trắng va 5 bi đỏ.Từ

hộp rút ngẫu nhiên, lần lượt không hoàn lại từng bi cho đến khi được biđỏ thì dừng lại.Tìm xác suất để:

a) Có 2 bi trắng vá 1 bi xanh đ ược rút ra

b) Không có bi trắng nào được rút ra

Giải:

Gọi Ai là biến cố lần thứ i bốc được bi trắng

Gọi Bi là biến cố lần thứ i bốc được bi xanh

Gọi Ci là biến cố lần thứ i bốc được bi trắng

a.Gọi D là biến cố có 2 bi trắng và 1 bi xanh được rút ra

P(D)=P(A1.A2.B3.C4+A1.B2.A3.C4+B1.A2.A3.C4)=P(A1.A2.B3.C4)+P(A1.B2.A3.C4)+P(B1.A2.A3.C4)=

1

22=0,04545

b.Gọi E là biến cố không có bi trắng nào rút ra

P(E)=P(C1+B1C2+B1B2C3+B1B2B3C4)

2.1 Đại lượng ngẫu nhiên:

1 Định nghĩa và phân loại:

* ĐN: Một đại lượng nhận giá trị bằng số mà con số đó phụ thuộc vàokết cục của một phép thử ngẫu nhiên nào đó, được gọi là một ĐLNN.Người ta thường dùng các chữ cái hoa X, Y, …,Z để chỉ ĐLNN

x, y,…,z để chỉ các giá trị mà ĐLNN X có thể nhận

* Phân loại: ĐLNN X được gọi là rời rạc nếu tập các giá trị của nó làmột tập hữu hạn hoặc vô hạn đếm được các giá trị "cách quãng nhau"

2 Bảng phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên rời rạc:

a) Quy luật phân phối xác suất:

ĐN: Quy luật PPXS của ĐLNN là sự tương ứng giữa các giá trị có thểcó của nó và các xác suất tương ứng với các giá trị đó

b) Bảng và hàm phân phối xác suất: P(X =x k)=p kvới k =1,2,…

Các xác suất của ĐLNN X thường được sắp thành bảng sau đây, gọi làbảng phân phối xác suất của X

2.2 Hàm phân phối xác suất, hàm mật độ xác suất:

1 Hàm phân phối xác suất:

ĐN: Hàm PPXS của ĐLNN X, kí hiệu là F(x), là xác suất để ĐLNN

X nhận giá trị nhỏ hơn x, với x là một số thực bất kì

- Cho X là một ĐLNN rời rạc thì hàm PPSX của X được định nghĩabằng công thức: F(x) = ∑x

k<x

P k

* Các tính chất của hàm phân phối xác suất:

- Tính chất 1: Hàm PPSX luôn nhận giá trị trong [0;1]

- Tính chất 2: Hàm PPSX là hàm không giảm, tức là với x2 > x1 thì F(x2) ≥ F(x1)

* Hệ quả: 1 P ( a≤ X ≤ b)=F (b)−F (a)

2.3 Vectơ ngẫu nhiên:

2.3.1 Khái niệm vectơ ngẫu nhiên: Z = (X1, X2, , Xn)

2.3.2 Vectơ ngẫu nhiên rời rạc 2 chiều:

1 Bảng phân phối xác suất đồng thời:

3 Phân phối có điều kiện:

Bảng phân phối xác xuất của X với điều kiện Y = y i(j= ´ 1, n)là:

4 Điều kiện độc lập của X và Y:

Hai đại lượng ngẫu nhiên X và Y gọi là độc lập nếu: f(x,y) = fx(x).fy(y)Trong trường hợp này, với mọi khoảng A, B⊂ R, ta có:

Tức là xác suất của tích bằng tích của các xác suất

5 Hàm phân phối của (X,Y): F ( x , y )=P ( X <x , Y < y )=∫

2.4 Hàm đại lượng ngẫu nhiên:

2.4.1 Hàm của 1 đại lượng ngẫu nhiên:

B BÀI TẬP:

Bài 2.7 Hai cầu thủ bong rổ lần lượt ném bóng vào rổ cho đến chừng

náo 1 người ném vào rổ thì thôi, người thứ nhất ném trước Lấp bangphân phối của số lần ném của mỗi người., nếu xác suất lọt rổ của ngườithứ nhất là 0,4 và người thứ hai là 0,6

Giải:

Xác suất lọt rổ của người thứ nhất là P1 = 0,4

Xác suất không lọt rổ của người thứ nhất là q1 = 0,6

Xác suất lọt rổ của người thứ hai là P2 = 0,6

Xác suất không lọt rổ của người thứ nhất là q2 = 0,4

a/ gọi X là biến cố ngẫu nhiên chỉ số lần ném của người thứ nhất

Bài 2.8 Một bia gồm miền tròn A và 2 vành khăn B,C như hình vẽ Mỗi

phát đạn tr1ung miền A được 10 điểm, trúng miền B được 5 điễm vàtrúng miền C được 2 điểm Xác suất trúng A,B,C là : 0,5; 0,3; 0,2 Lấpdãy phân phồi của tổng số điểm đạt được khi bán 3 phát đạn

Giải:

Gọi X là biến cố ngẫu nhiên chỉ tổng số điểm đạt được

Bắn 3 viên đạn khác nhau vào 3 vị trí

( với * là số viên đạn bắn ra)

Bài2.9 Từ 1 lô sản phẩm 100 chiếc có 10 phế phẩm, người ta chọn ngẫu

nhiên 5 chiếc để kiểm tra chất lượng.hảy lập dãy phân phối của số phếphẩm trong mẫu chọn ra

Gọi X là biến cố ngẫu nhiên chỉ số phế phẩm trong mẫu chọn ra

Gọi 0,1,2,3,4,5 là 5 chiếc để chọn kiểm tra chất lượng trong một lô sảnphẩm

ii) E(X+Y) =E(X) + E(Y)

iii) E(CX) = CE(Y)

iv) E(XY) = E(X)E(Y) nếu X và Y độc lập

3.2 Phương sai:

1 Định nghĩa phương sai: D(X) = E[(X-E(X))2]

Ký hiệu: α = E(X), thì: D(X) = E[(X −α)2] = E(X −α)2

2 Tính chất của phương sai:

i) D(X) ≥ 0, D(C) = 0

ii) D(CX) = C2D(X)

iii) D(X) = E(X)2 - (E(X))2

iv) D(X+Y) = D(X) + D(Y) nếu X và Y độc lập

D(X+C) = D(X)

3.3 Một số đặc trưng khác của đại lượng ngẫu nhiên:

1 Mode của đại lượng ngẫu nhiên: mod(X) = x k0

2 Trung vị của đại lượng ngẫu nhiên: P(X<m) ≤1

Khi: γ1=0 thì phân phối đối xứng

γ1>0 thì phân phối lệch về bên phải

γ1<0 thì phân phối lệch về bên trái

* Hệ số nhọn của X là: γ2=μ4

σ4−3=

μ4

μ22−3

Khi: γ2> 0 có độ nhọn cao hơn phân phối chuẩn

γ2<0 có độ nhọn thấp hơn phân chuẩn

3.4 Đặc trưng của vectơ ngẫu nhiên hai chiều và nhiều chiều:

3.4.1 Kỳ vọng: E(Z) = (E(X), E(Y)) ∈ R2

3.4.2 Kỳ vọng của hàm một vectơ ngẫu nhiên:

1 Trường hợp rời rạc: E(Z) = ∑

( y ) dαx

3.4.4 Covarian Ma trận tương quan.

Ta có covarian cua Z là: cov(X,Y) = E[(X-E(X))(Y-E(Y))]

Biến đổi đơn giản: cov(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y)

Trường hợp rời rạc: E(XY) = ∑

Từ định nghĩa ta có: D(X) = cov(X,X)

Ta gọi ma trận tương quan là:

D(X,Y) = (cov (X , X ) cov (X , Y ) cov (Y , X ) cov (Y ,Y ))=(cov (X , Y ) D(X ) cov (X , Y ) D(Y ) )

3.4.5 Hệ số tương quan:

Ta gọi số: Rxy = √cov ( x , y) D ( X ) D(Y )=E ( XY )−E ( X ) E(Y )

σ ( X ) σ (Y ) là hệ số tương quan giữa X và Y

Định lý 3.4: Với mọi (X,Y), ta có:

i) |Rxy| ≤ 1

ii) Rxy = ± 1 nếu và chỉ nếu X và Y tương quang tuyến tính, tức là tồn tại các số A,B,C sao cho AX + BY = C

3.4.6 Vài đặc trưng của vectơ ngẫu nhiên nhiều chiều:

Cho vectơ ngẫu nhiên n chiều: Z = (X1, X2, , Xn)

nếu: (a1, a2, an) = (0,0, ,0) thì momen gọi là momen gốc

nếu: (a1, a2, an) = (E(X1), E(X2), , E(Xn)) thì momen gọi là

momen trung tâm

3 Ma trận tương quan:

Ta gọi ma trận tương quan hay ma trận hiệp phương sai của Z là:

E(Z) = E(3X2 - 2XY + Y2 -3)

=3E(X2) - 2E(XY) +E(Y2)-3

Mà D(X) = E(X2) - (E(X))2

⇔ E¿2) = D(X) + (E(X))2 =8

E¿2) = D(Y) + (E(Y))2 =25

Vậy E(Z) = 3.8 -2(-11) +25 -3 =68

Bài 3.14: Giả sử X1,X2, ,Xp; Y,Y,…,Yq; Z1,Z2,…,Zr là các biến ngẫu

nhiên độc lập và có phương sai bằng 1 Chứng minh rằng hệ số tươngquan của hai số ngẫu nhiên:

Trường hợp này ta ký hiệu X B(n,p).

Định lý 4.1: Nếu X là số lần thành công trong dãy n phép thử

Bernoulli với xác suất thành công p thì X B(n,p)

Định lý 4.2: Nếu X B(n,p) thì E(X) = np và D(X) = npq

2 Phân phối siêu bội: p k=P ( X =k )= C M

3 Phân phối Poisson:

Đại lượng ngẫu nhiên X = {0, 1, 2, , n, } gọi là có phân phối

Poisson nếu tồn tại số α >0 sao cho: p k=P ( X =k )= e−a a k

k ! , k=0,1,2, …

Định lý 4.4: Nếu X P(a) thì E(X) = D(X) = a

4.2 Các phân phối liên tục:

4.2.1 Phân phối đều: f(x) = {b−a1 n ế u x ∈[a ,b ]

0 n ế u x ∉[a , b] } ký hiệu XU(a,b)

Định lý 4.5: E(X) = b+a2 , D(X) = (b−a)12 2

4.2.2 Phân phối mũ: f(x) = {λ e−λx n ế u x ≥ 0

0 n ế u x ≤ 0} ký hiệu X E(λ).Định lý 4.6: Nếu X E(λ) thì E(X) = 1λ , E(X) = λ12

4.2.3 Phân phối chuẩn:

1 Phân phối chuẩn: f(x) = 1

- Đại lượng ngẫu nhiên X gọi là phân phối "khi bình phương" n bậc tự do nếu:

X2 = X12 + X22 + + Xn2 trong đó X1, X2, Xn là các đại lượng ngẫunhiên độc lập có phân phối chuẩn chuẩn tắc

- Trong trường hợp này ta ký hiệu: X2 X2(n)

Ký hiệu: Γ (x ) là hàm gama Γ ( x )=∫

0

+∞

t x−t e−t

dtĐịnh lý 4.11 Cho X X2(n) khi đó

n ế u x >0 ¿n ế u x ≤ 0 ¿

ii) E(X2) = n; D(X2) = 2N

4.2.5 Phân phối Student:

Đại lượng ngẫu nhiên T gọi là phân phối Student n bậc tự do nếu T =

U

√V /n trong đó: U N(0,1) và V X2(n)

Trường hợp này ta ký hiệu: T T(n)

Định lý 4.12 Cho T T(n) Khi đó

với mọi k) Khi đó với mọi ε>0, ta có:

n → ∞

2-Định lý Bernoulli:

Định lý 4.15 (Bernoulli) Nếu m là số lần thành công trong dãy n

phép thử Bernoulli với xác suất thành công p thì:

lim

n → ∞ P( |m n−p|<ε)=1

3-Định lý giới giạn trung tâm:

Với các đại lượng ngẫu nhiên X1, X2, … , X k , … ta đặt:

với mọi α <β ,Φ là tích phân Laplace

Theo định lí,nếu n khá lớn,ta có:

Y n−e n

dα n N (0.1) hay Y n N(e n , dα n2

)

Ta thường sử dụng trường hợp riêng sau đây

Định lý 4.17 Nếu E(X k) =a , D(X k) =σ2 thì mọi k thì, với n khá lơn,ta có:

1-Phân phối siêu bội và phân phối nhị thức

Định lý 4.18 Cho X H (N , M , n).Nếu n cố định và lim

N → ∞

M

N=p thì với k = ´ 0, n,

ta có:

2- Phân phối nhị thức và phân phối Poisson:

Định lý 4.19 Cho X B(n , p) Nếu p →0 và np → λ khi n → ∞ thì với k = ´ 0, n ta có:

3- Phân phối nhị thức và phân phối chuẩn:

Định lý 4.20 (Định lý Moivre - Laplace địa phương) Cho X B(n , p)

trong đó λ n → 1 khi n → ∞ và f là hàm mật độ Gauss

Theo định lý 4.20,khi n khá lớn ta có công thức gần đúng:

C n k p k q n−k ≈ 1

√npq f(k −np√npq), k = ´ 0, n

Định lý 4.21 (Định lý Moivre - Laplace tích phân).Với giả thiết như

trong định lý 4.20 ta có:

P(k1≤ X ≤ k2)=λ n[Φ(k2 −np

√npq )−Φ(k1 −np

√npq ) ]

trong đóλ → 1 khi n → ∞ và Φ là tích phân Laplace

Theo định lý 4.21,khi n khá lớn ta có công thức gần đúng:

Hai công thức gần đúng sau cùng này thường chỉ sử dụng khi p

không quá gần 0 hoặc 1,vì trong trường hợp đó sai số là lớn

a Không ít hơn ba hạt bị hỏng

b Có đúng sáu hạt bị hỏng

c Có không quá 15 hạt bị hỏng

c P(X≤ 15¿ = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) +P(X=5) + P(X=6) + P(X=7) + P(X=8) + P(X=9) + P(X=10) +P(X=11) + P(X=12) + P(X=13) + P(X=14))

5.1 Một số khái niệm về mẫu:

5.1.1 Tổng thể và mẫu:

Tập hợp có phần tử là tất cả các đối tượng mà chúng ta nghiên cứu gọi là tổng thể.Tổng thể còn được gọi là tập chính của đám đông

Số phần tử của tổng thể gọi là kích thước của tổng thể

Thống kê toán học cung cấp cơ sở toán học để, từ số liệu quan sát được trên một mẫu, cho ta phương pháp đánh giá theo xác suất về toàn

bộ tổng thể

5.1.2 Các loại mẫu:

Mẫu mà chúng ta nghiên cứu được chọn theo một các thức nào đó mang tính ngẫu nhiên, khách quan, gọi là ngẫu nhiên

1 Phân loại mẫu theo phương pháp chọn mẫu:

- Mẫu không hoàn lại là mẫu được chọn bằng các phần tử đã lấy raquan sát thì loại khỏi tổng thể rồi mới lấy phần tử tiếp theo (Còn gọi

là mẫu không lặp)

- Mẫu hoàn lại là mẫu được chọn bằng cách phần tử đã lấy ra quan sát được b3 trở lại tổng thể rồi mới lấy phần tử tiếp theo (Còn gọi là mẫu lặp)

2 Phân loại mẫu theo mục đích nghiên cứu:

- Mẫu định tính: là mẫu mà ta chỉ quan tâm đến các phần tử của nócó một tính chất A nào đó hay không

Trường hợp này mẫu được cho dưới dạng:

+ Kích thước mẫu: n

+ Số phần tử có tính chất A: m

- Mẫu định lượng: là mẫu mà ta quan tâm đến một yếu tố về lượng của các phần tử như khối lượng, chiều dài, nhiệt độ Trường hợp này,một mẫu kích thước n được cho dưới dạng tổng quát X = (X1,

X2, Xn) trong đo phần tử thứ i của mẫu nhận giá trị Xi (i = 1, n´ )