Tiểu luận môn xác suất thống kê Đại lượng ngẫu nhiên Vectơ ngẫu nhiên

Quyển bài tập bao gồm có 7 chương:  Chương I: Đại cương về xác suất  Chương II: Đại lượng ngẫu nhiên.. Vectơ ngẫu nhiên  Chương III: Các đặc trưng đại lượng ngẫu nhiên  Chương IV: Cá

LỜI MỞ ĐẦU

Hiện nay, một trong những bộ phận quan trọng của toán học phải được

nhắc đến đó là môn “Xác Suất Thống Kê ” Đây là một bộ môn nghiên cứu các

hiện tượng ngẫu nhiên được ứng dụng rộng rãi vào các ngành khoa hoc tự

nhiên, khoa học xã hội, y học, sinh học… Đặc biệt khi học “Xác Suất Thống

Kê ”, bộ môn này còn trang bị cho sinh viên chúng ta một số vấn đề cơ sở của

lý thuyết xác suất thống kê, để từ đó chúng ta có thể tiếp cận vào việc nghiêncứu lý thuyết vận dụng vào công tác phân tích số liệu, nghiên cứu phương phápthu thập thông tin chọn mẫu, xử lý thông tin, nhằm đưa ra những kết luận hoặcnhững quyết định cần thiết

Nhận biết được những ưu điểm của bộ môn này , để có thể am hiểu vànhận thức ngày càng cao hơn về những ưu điểm đó Hôm nay, được sự chỉ dẫn

của thầy bộ môn Th.S Nguyễn Văn Phú, Sinh viên nhóm 4 chúng em đã tiến

hành nghiên cứu và phân tích sâu hơn về “Xác Suất Thống Kê ” thông qua việc làm quyển bài tập lớn môn “Xác Suất Thống Kê” này nhằm để bổ sung

thêm cho sự hiểu biết của chúng em Quyển bài tập bao gồm có 7 chương:

 Chương I: Đại cương về xác suất

 Chương II: Đại lượng ngẫu nhiên Vectơ ngẫu nhiên

 Chương III: Các đặc trưng đại lượng ngẫu nhiên

 Chương IV: Các quy luật phân phối

 Chương V: Lý thuyết mẫu

 Chương VI: Lý thuyết ước lượng

 Chương VII: Kiểm định giả thuyết thống kêNhóm sinh viên chúng em xin chân thành cảm ơn sự chỉ dẫn tận tâm củathầy trong suốt thời gian vừa qua, nhưng với sự hiểu biết và lượng kiến thứccòn hạn hẹp, nhóm sinh viên chúng em vẫn chưa thể hoàn thành bài tập nàymột cách hoàn chỉnh nhất, vì vậy xin thầy thông cảm.Cuối cùng, nhóm sinhviên chúng em rất mong nhận được sự nhận xét và đánh giá của thầy cho quyểnbài tập này của chúng em

Xin chân thành cảm ơn!

TP.HCM, ngày 08 tháng 12 năm 2011

Sinh viên nhóm 04

CHƯƠNG I ĐẠI CƯƠNG VỀ XÁC SUẤT

Cơ sở lý thuyết :

I Các quy tắc đếm.

1 Quy tắc cộng:

Nếu 1 công việc được chia ra làm k trường hợp để thực hiện, trường hợp 1 cón1

cách thực hiện xong công việc,…, trường hợp k có n k cách thực hiện xong công việc

và không có bất kỳ một cách thực hiện nào ở trường hợp này lại trùng với 1 cách thựchiện ở trường hợp khác, thì có n1+n2+…+n k cách thực hiện xong công việc

A n k=n (n−1 )… (n−k +1)= n !

(n−k ) ! (k = 0 , n´ ¿

4 Chỉnh hợp lặp:

Một chỉnh hợp lặp chập k từ n phần tử là một bộ có kể thứ tự gồm k phần tử khôngcần khác nhau lấy từ n phần tử đã cho:

1 Phép thử ngẫu nhiên, biến cố:

Phép thử ngẫu nhiên là sự thực hiện những điều kiện đã đặt ra để nghiên cứu mộthiện tượng ngẫu nhiên nào đó Mỗi kết quả của phép thử gọi là 1 biến cố

Có 3 loại biến cố:_Biến cố trống(Ф)

_Biến cố chắc chắn(Ω) _Biến cố ngẫu nhiên

2 Biến cố bằng nhau:

Biến cố A gọi là kéo theo biến cố B nếu A xảy ra thì B xảy ra, ký hiệu A ⊂ B Nếuđòng thời có A ⊂ B và B ⊂ A thì các biến cố A và B gọi là bằng nhau, ký hiệuA=B

3 Các phép toán trên biến cố: Cho 2 biến cố A và B khi đó ta gọi:

Tổng của A và B hay A cộng B là biến cố xảy ra khi A xảy ra hoặc B xảy ra,

2 Định nghĩa hình học:

Ta gọi độ đo của 1 tập trên 1 đường là độ dài, trong một mặt là diện tích, trongkhông gian là thể tích của tập đó.Trong mặt phẳng các tập nằm trên 1 đường có độ đobằng 0, trong không gian các tập nằm trên 1 mặt có độ đo bằng 0

là tần suất xuất hiện của biến cố A trong n phép thử.

4 Định nghĩa theo tiên đề: thống nhất các định nghĩa trên ta được định nghĩa

theo tiên đề có 3 tính chất sau:

a 0 ≤ P(A)≤ 1 với mọi biến cố A

b P(Ω) = 1, P(Ф) = 0

c Nếu A và B xung khắc thì: P(A+B) = P(A) + P(B)

5 Xác xuất của biến cố đối lập: Với mọi biến cố A ta có:

P(A´)=1−P( A)

6 Các định lý cộng xác suất:

a Nếu A1, A2,… , A n là các biến cố đôi một xung khắc thì:

P(A1+A2+…+ A n)=P(A1)+P(A2)+…+P (A n)

b Với các biến cố tùy ý A và B ta có:

P(A+B) = P(A) + P(B) −¿ P(AB)

IV Xác suất có điều kiện :

1 Định nghĩa và công thức tính: Cho 2 biến cố A và B Ta gọi xác suất của

biến cố A khi biến cố B đã xảy ra là xác suất của A với điều kiện B, ký hiệu P¿.Công thức:

P¿

2 Định lý nhân xác suất, tính độc lập của các biến cố:

a Với các biến cố tùy ý A và B ta có:

3 Công thức xác suất đầy đủ Công thức Bayès:

a Công thức xác suất đầy đủ: Với mọi biến cố F ta có:

Có bao nhiêu cách sắp xếp 15 cuốn sách khác nhau vào 3 ngăn kéo sao cho ngănthứ nhất có 6 cuốn,ngăn thứ 2 có 7 cuốn

1.14

Có bao nhiêu người tham gia vào cuộc thi đấu cờ,nếu biết rằng cuộ đấu đó có tất

cả 10 ván cờ và mỗi đấu thủ phải đấu với mỗi đấu thủ khác 1 ván?

Trong 1 ngăn buồng trên xe lửa có 2 dãy ghế đối mặt nhau,mỗi dãy có 5 chỗ ngồi

có đánh số Trong số 10 hành khách vào ngăn đó có 4 người muốn quay mặt về hướngtàu đi, 3 người muốn quay mặt về hướng ngược lại Hỏi có thể có bao nhiêu cách sắpxếp chỗ ngồi cho họ sao cho các yêu cầu trên đều được thỏa?

1.17

Mô tả biến cố đối lập của các biến cố sau:

a)Hai mặt hình lật lên khi tung 2 đồng tiền kim loại

b)Được bi trắng khi rút 1 bi từ hộp gồm 2 bi trắng, 3 bi đen và 4 bi đỏ

c)Khi bắn 3 phát thì trúng cả 3

d)Ít nhất 1 phát trúng khi bắn 5 phát

e)Trúng không quá 2 phát khi bắn 5 phát

f)Đấu thủ thứ nhất thắng trong 1 ván cờ vua

1.18

Bắn 3 phát vào bia.Gọi A i là phát thứ i trúng (i=1,2,3) Biểu diễn các biến cố sauqua các A i và các biến cố đối lập của chúng:

1.13

Cách sắp xếp sách vào ngăn:

-Ngăn thứ I : Chọn 6 cuốn trong 15 cuốn =>C156 = 5005 (cách chọn)

-Ngăn thứ II : Chọn 7 cuốn trong 9 cuốn => C97 = 36 (cách chọn)

-Ngăn thứ III : Chọn 2 cuốn trong 2 cuốn => C22 = 1 (cách chọn)

Vậy số cách sắp xếp sách vào ngăn là :

Điều kiện {2≥ x x ≤ 1 => 2 ≤ x ≤1 ( vô lý )

Vậy phương trình vô nghiệm

Từ (1) và (2) => {8 m−3 n=6 2 m−n=0 {m=3 n=6 (thỏa điều kiện)

Vậy nghiệm của phương trình là: {m=3 n=6

1.16

Có tất cả 10 hành khách:

Gọi 4 người muốn quay mặt về hướng tàu đi là : A ; B ; C ; D

3 người muốn quay mặt về hướng ngược lại là : E ; F ; G

1.17 Mô tả các biến cố đối lập:

Hướng tàu đi

a) Gọi A là biến cố 2 mặt hình lật lên khi tung 2 đồng tiền kim loại =>biến cố đối

´A :là biến cố xuất hiện 2 mặt chữ hoặc 1 mặt hình và 1 mặt chữ lật lên

b) Gọi B là biến cố được bi trắng khi rút 1 bi từ hộp gồm 2 bi trắng ,3 bi đen và

4 bi đỏ => biến cố đối ´B là biến cố được bi đen hoặc bi đỏ khi rút 1 bi từ hộp

c) Gọi C là biến cố khi bắn 3 phát trúng cả 3 => biến cố đối C´ là biến cố ít nhất

f) Gọi F là biến cố đấu thủ thứ nhất thắng trong 1 ván cờ vua => biến cố đối F´

là biến cố đấu thủ đó thua hoặc hòa

1.18

Gọi A i là phát thứ i trúng (i=1;2;3)

Gọi ´A i là phát thứ I trật (i=1;2;3)

a) Gọi A là biến cố cả 3 phát đều trúng => A=A1A2A3

b) Gọi B là biến cố cả 3 phát đều trật => B=´A1A2´ ´A3

c) Gọi C là biến cố có ít nhất 1 phát trúng => C =A1+A2+A3

d) Gọi D là biến cố có it61 nhất 1 phát trật => D =´A2+ ´A3+ ´A1

e) Gọi E là biến cố không ít hơn 2 phát trúng => E = A1.A2+A2.A3+A1.A3

f) Gọi F là biến cố không quá 1 phát trúng => F=´A2A3´ ´A1 + A1+A2+A3

g) Gọi G là biến cố trúng không sớm hơn phát thứ 3 => G = ´A1A´2

CHƯƠNG II ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VECTƠ NGẪU NHIÊN

Cơ sở lý thuyết

I Đại lượng ngẫu nhiên

1 Định nghĩa và phân loại:

Giả sử A1, A2,… , A n là 1 nhóm đầy đủ các biến cố Khi đó có 1 quy tắc X đặt mỗi biến cố với A i với 1 số x i(i= ´ 1 , n) gọi là 1 đại lượng ngẫu nhiên Đại lượng ngẫu nhiên còn gọi là biến ngẫu nhiên Đại lượng ngẫu nhiên theo định nghĩa trên là đại lượng ngẫu nhiên bậc thang Đại lượng ngẫu nhiên tổng quát là giới hạn của 1 dãy các đại lượng ngẫu nhiên bậc thang.

2 Bảng phân phối xác suất các đại lượng ngẫu nhiên rời rạc:

Cho X ={x1, x2, … , x n ,…} là 1 đại lượng ngẫu nhiên rời rạc Đặt

p i=P(X =x i). Khi đó ta được bảng phân phối xác suất của X:

X x1 x2 … x n …

P p1 p2 … p n …

II Hàm phân phối xác suất Hàm mật độ xác suất

1 Hàm phân phối xác suất:

Cho X là 1 đại lượng ngẫu nhiên Ta gọi hàm:

2 Hàm mật độ xác suất của đại lượng ngẫu nhiên liên tục: Cho X là 1

đại lượng ngẫu nhiên liên tục, có hàm phân phối F(x) là 1 hàm có đạo hàm Khi

III Vectơ ngẫu nhiên

1 Khái niệm vectơ ngẫu nhiên: Cho các đại lượng ngẫu nhiên

X1, X2, … , X n xác định trên kết quả của 1 phép thử Khi đó ta gọi: Z =(

X1, X2, … , X n¿ là vectơ ngẫu nhiên n chiều.

2 Vectơ ngẫu nhiên rời rạc 2 chiều:

a Bảng phân phối xác suất đồng thời : Cho X ={x1, x2,… , x m}

Y ={ y1, y2, , y n}

Đặt p ij=P(X =x i , Y = y j);i= ´ 1, m ; j= ´ 1 , n; ta có bảng sau đây gọi là bảng phân phối xác suất đồng thời của Z = (X,Y):

Bảng xác suất của X với điều kiện của Y = y j(j= ´ 1 ,n) là:

d Điều kiện độc lập của X và Y:

3 Vectơ ngẫu nhiên liên tục 2 chiều:

a Hàm mật độ đồng thời : Hàm mật độ đồng thời của vectơ ngẫu nhiên

(X,Y) là hàm f(x,y) xác định trên toàn mặt phẳng có các tính chất:

IV Hàm và các phép toán trên các đại lượng ngẫu nhiên.

1 Hàm của một đại lượng ngẫu nhiên

a Trường hợp rời rạc :

Giả sử Y =φ ( x ), X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc Bằng cách tính các giá trị

φ(x i), ta tìm được các giá trị mà Y nhận Xác suất tương ứng để Y nhận Y i là:

P(Y = y j)= ∑

φ(x i)=y j

p i

b Trường hợp liên tục :

Giả sử Y =φ ( x ), X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ f X(x ) ta

có hàm phân phối của Y:

3 Phép toán các đại lượng ngẫu nhiên:

Cho hai đại lượng ngẫu nhiên X và Y Khi đó phân phối của X+Y chính làphân phối củaφ ( X , Y )= X +Y; phân phối của XY chính là phân phối của φ ( X , Y )= XY

Trường hợp X và Y rời rạc thì X+Y và XY có bảng phân phối xác suất lầnlượt là:

2.15

Cho biến cố ngẫu nhiên x có hàm phân phối:

F(x) = A + B arctg x; x∈ R

a) Tìm A,Bc) Tính xác suất (P(-1≤ x ≤ 1¿

BÀI LÀM

Áp dụng công thức Bernoulli:ta có xác suất để trong 3 phép thử độc lập có 2 lần

x nhập giá trị trong khoảng [1;3] => n =3 ; k = 2

 P3 (2,p) = C32p2q3−2 = 3(2627)2127 = 0,1030

2.15

a) Áp dụng biểu thức giới hạn F(+∞) = 1 ; F(-∞) = 0F(x) = F(+∞) = A + B arctg(+∞) = A + B π2 = 1 (1)

Do đó E(X) là một giá trị trung bình của các xi, mỗi xi được tính với tỷ trọng pi.

Vậy : kỳ vọng của đại lượng ngẫu nhiên là trung bình theo xác suất các giá trị có

thể nhận của đại lượng ngẫu nhiên đó

Trường hợp X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục thì vai trò của hàm mật độ xác suất

f(x) giống như bảng phân phối xác xuất, tổng (1) tương ứng với tích phân ∫

E(XY) = E(X)E(Y) nếu X và Y độc lập

II Phương sai

1 Định nghĩa phương sai

Cho x là một đại lượng ngẫu nhiên có kỳ vọng E(X) Khi đó ta gọi phương sai của

X là kỳ vọng của bình phương độ sai khác giữa X và E(X), ký hiệu là D(X) Vậy :

(iii) D(X) = E(X2) – ( E(X))2

(iv) D(X + Y) = D(X) + D(Y) nếu X và Y độc lập

D(X + C) = D(X)

III Một số đặc trưng khác của đại lượng ngẫu nhiên

1 Mốt của đại lượng ngẫu nhiên

Cho X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc có bảng phân phối xác suất :

X x1 x2 … xn …

P p1 p2 pn … Nếu p k0 = max pk thì ta gọi mốt của X là :

Mod(X) = x k0

Mốt của X gọi là số có khả năng nhất

Cho X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ f(x) Nếu f(x0) = maxf(x)thì ta gọi mốt của X là :

Mod(X) = x0

2 Trung vị của đại lượng ngẫu nhiên

Cho x là một đại lượng ngẫu nhiên Số m gọi là trung vị của X, ký hiệu làmed(X) nếu :

(X < m) ≤ 12 và P( X > m) ≤ 12

3 Momen trung tâm

Cho X là một đại lượng ngẫu nhiên có kỳ vọng E(X) = a Ta gọi momen trungtâm cấp k của X là :

µk = µk(X) = E(X – a)k

Ta gọi momen gốc cấp k là : ϒ k=E(X k

) Ta có : y1 = a Theo công thức nhị thức Newton :

Cho vecto ngẫu nhiên hai chiều Z = (X, Y); ta gọi kỳ vọng của Z là vecto

E(Z) = (E(X), E(Y)) ∈ R2

2 Kỳ vọng của hàm một vecto ngẫu nhiên

Ta cũng ký hiệu E(X/Y) là đại lượng ngẫu nhiên nhận giá trị E(X/y) khi Y = y

và E(Y/X) là đại lượng ngẫu nhiên nhận giá trị E(Y/x) khi X = x

 Đinh lý (công thức toàn phần )

E (E(X/Y)) = E(X)

4 Covarian Ma trận tương quan

Cho vecto ngẫu nhiên Z = (X,Y) Khi đó ta gọi covarian của z là :

Cov(X,Y) = E[(X−E ( X ))(Y −E (Y ))]

Bằng biến đổi đơn giản ta có

Cov(X,Y) = E(XY) – E(X)E(Y)Khi tính covarian, cần chú ý rằng trong trường hợp rời rạc thì :

Ta gọi ma trận tương quan (hay ma trận hiệp phương sai) của (X,Y) là :

D(X,Y) = (cov ( X , X ) cov ( X ,Y ) cov (Y , X ) cov (Y , Y )) = (cov ( X , Y ) D(Y ) D ( X ) cov ( X ,Y ))

Cho (X , Y) có hàm mật độ đồng thời

f (x , y ) = {8 xy nếu 0 ≤ y ≤ x ≤1 0 nơi khác

a) Tìm hàm mật độ có điều kiện f x

y=1/ 2(x)b) Tìm kỳ vọng có điều kiện E(X /Y =1

1 2

Cơ sở lý thuyết

I CÁC PHÂN PHỐI RỜI RẠC

1 Phân phối nhị thức

Đại lượng ngẫu nhiên rời rạc X = { 0, 1, 2, … , n } gọi là có phân phối nhị thứcnếu tồn tại số p ∈ (0, 1) sao cho:

2 Phân phối siêu bội

Đại lượng ngẫu nhiên X = {0, 1, 2, … , n} gọi là có phân phối siêu bội nếu tồntại các số tự nhiên N, M sao cho n ≤ M ≤ N và

Pk = P(X = k) = C M

k

C N −M n−k

C n N , k = 0, n

Trong trường hợp này ta ký hiệu X ~ H (N, M, n)

Định nghĩa trên là hợp lý vì theo định nghĩa tổ hợp và quy tắc nhân

Trong đó: p = M N , q = 1 – p.

3 Phân phối Poisson

Đại lượng ngẫu nhiên

X = {0, 1, 2, … , n, …}

Gọi là có phân phối Poisson nếu tồn tại số a > 0 sao cho

pk = P(X = k) = e−a a k

k ! , k = 0, 1, 2…

Trong trường hợp này ta ký hiệu X ~ P (a) Số a gọi là tham số của phân phối Poisson

Định nghĩa vừa nều là hợp lý vì ∑

II CÁC PHÂN PHỐI LIÊN TỤC

1 Phân phối đều

Đại lượng ngẫu nhiên X gọi là có phân phối đều trên đoạn [a, b] nếu hàm mật

độ của X là

f(x) = {b−a1 n ế u x ∈[a ,b ]

0 n ế u x ∉[a , b]

Trong trường hợp này ta ký hiệu X ~ U(a, b)

Định nghĩa vừa nêu là hợp lý vì

Đại lượng ngẫu nhiên X gọi là có phân phối mũ với tham số λ (𝜆 > 0) nếu hàmmật độ của X là

f(x) = {λ e−λx n ế u x ≥ 0

0 n ế u x<0

Trong trường hợp này ta ký hiệu X ~ E (𝜆)

Định nghĩa vừa nêu là hợp lý vì

3 Phân phối chuẩn

Đại lượng ngẫu nhiên X gọi là có phân phối chuẩn nếu hàm mật độ của X códạng

Vậy định nghĩa trên là hợp lý

Cũng áp dụng tích phân Poisson, dễ dàng nhận được:

 Định lý:

Nếu X ~ N (a, σ2) thì E(X) = a, D(X) =σ2

Theo định lý 4.7, nói X có phân phối chuẩn với kỳ vọng a, phương sai 𝝈2 có nghĩa là

X ~ N (a, 𝝈2)

4 Phân phối chuẩn chuẩn tắc

Đại lượng ngẫu nhiên X ~ N (0, 1) gọi là có phân phối chuẩn chuẩn tắc

Nếu X có phân phối chuẩn tắc thì hàm mật độ của X là

Mọi phân phối chuẩn đều có thể chuẩn tắc hóa nhờ định lý sau đây:

 Định lý : Nếu X ~ N (a, 𝝈2) thì Y X−a σ ~ N(0,1)

x2

2dt

Giữa hàm phân phối Gauss và tích phân Laplace có mối liên hệ

F(u) = 12 + Ф(u) hay Ф(u) = F(u) - 12

Hàm Ф(u) là hàm lẻ

6 Phân phối “khi bình phương”

Đại lượng ngẫu nhiên X2 gọi là có phân phối “ khi bình phương “ n bậc tự donếu

7 Phân phối student

Đại lượng ngẫu nhiên T gọi là có phân phối Student n bậc tự do nếu T = U

n → ∞ P( |m n−p|<ɛ) = 1

3 Định lý giới hạn trung tâm

Với các đại lượng ngẫu nhiên X1, X2, , Xk, ta đặt

BÀI TẬP CHƯƠNG IV

Đề bài:

4.13

Một cán bộ phòng thí nghiệm thục hiện việc chọn giống lúa Anh ta kiểm tra

10000 hạt lúa giống, xác suất để mỗi hạt đạt tiêu chuẩn là 0.2.Tìm xác suất sao cho độlệch giữa tần suất các hât lúa đạt tiêu chuẩn so với xác suất 0.2 không vượ quá 0.01