Tiểu luận môn xác suất thống kê CÁC ĐẠI LƯỢNG CŨA ĐẶC TRƯNG NGẪU NHIÊN

Trang bị cho sinh viên các khái niệm cơ bản của lý thuyết xác suất và thống kêtoán như: phép thử, biến cố, xác suất của biến cố, đại lượng ngẫu nhiên, tổng thể,mẫu,.... Biết các qui luật

kê Các kiến thức xác suất thống kê học được phải có tính thực tiễn để người học

có thể áp dụng vào thực tế của ngành học

Trang bị cho sinh viên các khái niệm cơ bản của lý thuyết xác suất và thống kêtoán như: phép thử, biến cố, xác suất của biến cố, đại lượng ngẫu nhiên, tổng thể,mẫu,

Trang bị cho sinh viên một số phương pháp cơ bản để tính xác suất của một biến

cố Biết các qui luật phân phối xác suất của một đại lượng ngẫu nhiên

Cung cấp những kiến thức cơ bản nhằm xây dựng và giải quyết những bài toán cơbản thường nảy sinh trong thực tế của ngành học như: bài toán ước lượng, bài toánxác định kích thước mẫu, bài toán kiểm định giả thiết

Nâng cao khả năng suy luận, phân tích của sinh viên

Trong bài làm của chúng em không tránh khỏi những sai sót,mong thầy cho ý kiến nhận xét , đánh giá để chúng em có thể rút kinh nghiệm cho lần sau Chúng em chân thành cảm ơn thầy!

MỤC LỤC

Chương 1: ĐẠI CƯƠNG VỀ XÁC SUẤT

I. Các quy tắc đếm 4

II. Biến cố………5

III. Định nghĩa xác suất………6

IV. Xác suất có điều kiện……….7

Chương 2: ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN,VECTƠ NGẪU NHIÊN I. Đại lượng ngẫu nhiên……….13

II. Hàm phân phối xác suất, Hàm mật dộ xác suất…….13

III. Vectơ ngẫu nhiên……… 14

IV. Hàm đại lượng ngẫu nhiên Phép toán trên các đại lượng ngẫu nhiên………… 16

Chương 3: CÁC ĐẠI LƯỢNG CŨA ĐẶC TRƯNG NGẪU NHIÊN I. Kỳ vọng………20

II. Phương sai………21

III. Một số đặc trưng khác của đại lượng ngẫu nhiên….22 IV. Đặc trưng của vectơ ngẫu nhiên hai chiều và nhiều chiều… 22

Chương 4:CÁC QUY LUẬT PHÂN PHỐI I. Các phân phối rời rạc……… 28

II. Các phân phối liên tục………29

III. Các định lý liên tục……….33

IV. Các công thức gần đúng……….33

Chương 5: LÝ THUYẾT MẪU I. Một số khái niệm về mẫu……… 36

II. Các đặc trưng mẫu……….37

III. Tính chất các đặc trưng mẫu……….38

IV. Đa giác đồ Tổ chức đồ………40

Chương 6: LÝ THUYẾT ƯỚC LƯỢNG

I. Ước lượng điểm………43

II. Ước lượng khoảng………43

Chương 7: KIỂM ĐỊNH GIẢ THIẾT THỐNG KÊ I. Kiểm định tỷ lệ………46

II. Kiểm định giá trị trung bình……… 47

III. Kiểm định phương sai……… 49

IV. Kiểm định quy luật phân phối……… 50

V. Kiểm định tính độc lập……….51

-0o0 -Chương 1: ĐẠI CƯƠNG VỀ XÁC SUẤT

3. Chỉnh hợp:

Một chỉnh hợp chập k từ n phần tử là một bộ có kể thứ tự gồm k phần tử khác nhau lấy từ n phần tử đã cho:

(k =

4. Chỉnh hợp lặp:

Một chỉnh hợp lặp chập k từ n phần tử là một bộ có kể thứ tự gồm k phần tử không cần khác nhau lấy từ n phần tử đã cho:

5. Hoán vị:

Một hoán vị từ n phần tử là một bộ có kể thứ tự gồm n phần tử khác nhau đã cho:

1. Phép thử ngẫu nhiên, biến cố:

Phép thử ngẫu nhiên là sự thực hiện những điều kiện đã đặt ra để nghiên cứu một hiện tượng ngẫu nhiên nào đó.Mỗi kết quả của phép thử gọi là 1 biến cố

Có 3 loại biến cố:_Biến cố trống(Ф)_Biến cố chắc chắn(Ω)

_Biến cố ngẫu nhiên

2. Biến cố bằng nhau:

Biến cố A gọi là kéo theo biến cố B nếu A xảy ra thì B xảy ra, ký hiệu A ⊂ B Nếu đòng thời có A ⊂ B và B ⊂ A thì các biến cố A và B gọi là bằng nhau, ký hiệu A=B

3. Các phép toán trên biến cố:

Cho 2 biến cố A và B khi đó ta gọi:

Tổng của A và B hay A cộng B là biến cố xảy ra khi A xảy ra hoặc B xảy ra,

ký hiệu A + B

Hiệu của A và B hay A trừ B là biến cố xảy ra nếu A xảy ra nhưng B không xảy ra, ký hiệu A – B

Tích của A và B hay A nhân B là biến cố xảy ra nếu A và B đồng thời xảy

ra, ký hiệu AB

Biến cố đối lập của A là biến cố xảy ra nếu A không xảy ra và không xảy ra nếu A xảy ra, ký hiệu

III. Định nghĩa xác suất:

1. Định nghĩa cổ điển:

Ta gọi các trường hợp đồng khả năng là các trường hợp mà khả năng của chúng ngang bằng nhau Ta gọi 1 trường hợp thuận lợi cho biến cố A nếu trường hợp này xảy ra thì A xảy ra

là tần suất xuất hiện của biến cố A trong n phép thử.

4. Định nghĩa theo tiên đề: thống nhất các định nghĩa trên ta được định nghĩa theo

tiên đề có 3 tính chất sau:

a. 0 P(A) 1 với mọi biến cố A

b. P(Ω) = 1, P(Ф) = 0

c. Nếu A và B xung khắc thì: P(A+B) = P(A) + P(B)

5. Xác xuất của biến cố đối lập: Với mọi biến cố A ta có:

6. Các định lý cộng xác suất:

a. Nếu là các biến cố đôi một xung khắc thì:

b. Với các biến cố tùy ý A và B ta có:

P(A+B) = P(A) + P(B) P(AB)

IV. Xác suất có điều kiện :

1. Định nghĩa và công thức tính: Cho 2 biến cố A và B Ta gọi xác suất của biến cố

A khi biến cố B đã xảy ra là xác suất của A với điều kiện B, ký hiệu Công thức:

2. Định lý nhân xác suất, tính độc lập của các biến cố:

a. Với các biến cố tùy ý A và B ta có:

b. Hai biến cố A và B gọi là độc lập nếu xác suất của biến cố này không phụ thuộc vào xác suất xảy ra của biến cố kia, tức là:

c. Nếu A và B độc lập thì:

3. Công thức xác suất đầy đủ Công thức Bayès:

a. Công thức xác suất đầy đủ: Với mọi biến cố F ta có:

b. Công thức Bayès: Với mỗi , ta có:

4. Công thức Bernoulli:

Trong đó : p = P(A)

q = 1 p

Bài tập:

Bài 1.42: có hai hôp bi cùng cở hộp 1 chứa 4 bi trắngvà sáu bi xanh, hộp 2 chứa 5

bi trắng và 7 bi xanh Lấy ngẫu nhiên một hộp, từ hộp đó lấy ngẫu nhiên một bi thìđược bi trắng, trả bi trắng đó vào hộp đã lấy ra Tìm xác suất để viên bi tiếp theo, cũng lấy từ hộng trên ra, là bi trắng

Bài 1.43: Xác suất để sản xuất ra một thiệt bị điện tử loại tốt là 1/3.tim xác suất để trong một lô 15 chi tiết có:

a) Năm chi tiết loại tốt

b) Từ bốn đến bảy loại tốt

Bài 1.44: Từ 1 ngăn gồm 20 quả cầu trắng và hai quả cầu đen, người ta rút ra 10 lần, mỗi lần 1 quả đồng thời hoàn lại sau khi rút Tính số lần chắc nhất xuất hiện một quả cầu đen và xác xuất tương ứng

Bài 1.45: Ở 1 đoạn đường phố trong 1 giây có 1 xe qua với xác xuất là p, không có

xe nào qua với xác suất q = 1- q, không phụ thuộc vào khoảng thời gian khác Một người đi bộ muốn băng qua đường cần có 3 giây không có xe nào đi ngang qua Tìm xác suất để người đi bộ đứng ở lề đường phải chờ :

a) 3 giây

b) 4 giây

c) 5 giây

Bài 1.46: Bài toán S.Pepys

Biến cố nào sau đây có xác suất lớn hơn;

a) Khi gieo 6 súc sắc cân đối, đồng chất thì có ít nhất một mặt trên có sáu chấm

b) Khi gieo12 súc sắc cân đối, đồng chất thì có ít nhất hai mặt trên có sáu chấm

c) Khi gieo18 súc sắc cân đối, đồng chất thì có ít nhất ba mặt trên có sáu chấm

là biến cố lấy được hộp i , i = 1,2

Gọi B là biến cố lấy được bi trắng lần 1

5 2

1 10

4 2

4910

4 2 1 )

(

)

| ( )

A B P A P

P(

49 25 20

4912

5 2 1 )

(

)

| ( ) ( )

B P

A B P A P

B

A

Vậy : P(C|B) =

408503 ,

0 2940

1201 12

5 49

25 10

4 49

Bài 1.43:

10 5

5 15 1

3

2 3

k

k

C P

3

2 3 1

Bài 1.44:

Gọi A là biến cố rút được quả cầu đen

p A

11

122

[(

0 1 ] ) 1 10

1 1

10

11 10

0 0

10

11

1011

1011

1

11

1011

1011

( q pq

P= −

c)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 Không có 3” nào liên tiếp mà ko có xe đi qua có 0 0 0

Vậy:

3 3 3

3 3 3

3 3 3

4

) 1

(

] )

(

1

[

) 1

(

pq pq

q

pq pq p

q

q

pq pq p q

a) Khi gieo 6 súc sắc cân đối tương ứng với gieo 6 lần 1 con súc sắc, suy ra số mặt 6 chấm xuất hiện là

số lần thành công trong dãy 6 phép thử Bernoulli với xác suất thành công :

; 6

5

; 6

1 6

5 6

1

1 1

1P −q = − = q =

n

b) Khi gieo 12 súc sắc cân đối tương ứng với gieo 12 lần 1 con súc sắc, suy ra số mặt 6 chấm xuất hiện

là số lần thành công trong dãy 6 phép thử Bernoulli với xác suất thành công :

1 6

1 6

; 3

5

; 3

7 6

5 6

5 3

1

2 2

a) Khi gieo 18 súc sắc cân đối tương ứng với gieo 18 lần 1 con súc sắc, suy ra số mặt 6 chấm xuất hiện là số lần thành công trong dãy 6 phép thử Bernoulli với xác suất thành công :

2

1 6

1 6

1 6

; 6

15

; 6

39 6

5 6

5 6

5 3

1

3 3

Từ (1), (2) và (3) suy ra số có khả năng nhất là 39/6 Vậy khi gieo 18 con súc sắc cân đối, đồng chất thì cho ta xác suất lớn hơn.

Chương 2: ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN,VECTƠ NGẪU NHIÊN

 Cơ sở lý thuyết:

I.Đại lượng ngẫu nhiên.

Định lý 2.1 Giả sử A1,A2, ,An là một nhóm đầy dủ các biến cố Khi đó có một quy tắc X đặt mỗi biến cố với Ai với một số (i=1…n ) gọi là một đại lượng ngẫu nhiên Đại lượng ngẫu nhiên còn gọi là biến cố ngẫu nhiên

II.Hàm phân phối xác suất, Hàm mật dộ xác suất.

1.Hàm phân phối xác suất

Ðịnh nghĩa: Hàm phân phối của biến ngẫu nhiên X , kí hiệu FX(x) xác định như sau:

- Khi đó, xác suất để X thuộc vào khoảng [) được xác định như sau:

III.vectơ ngẫu nhiên

1 Khái niệm vectơ ngẫu nhiên.

Cho các đại lượng ngẫu nhiên X1, X2,…… Xn xác định trên các kết quả của một phépthử Khi đó ta gọi: Z= (X1,X2,….Xn) là các vectơ ngẫu nhiên n chiều

2 Vectơ ngẫu nhiên rời rạc 2- chiều.

2.1 Bảng phân phối xác suất đồng thời.

xn

p11 p12 p1n

p21 p22 p2n

Bảng phân phối xác suất của X với điều kiện Y= yj j= 1 n.

Giả sử Y =,X là đại lượng ngẫu nhiên lien tục có hàm mật độ fx(x)

Từ miền giá trị của X ta tìm được miền giá trị của Y

Tìm hàm phân phối của Y:

Fy(x)=P(Y<x)=P, Với A = (u:

Lấy đạo hàm của Fy(x) ta có fy(x)

2. Hàm của hai đại lượng ngẫu nhiên.

Theo định nghỉa ta có hàm phân phối của Z:

Lấy đạo hàm Fz(z) ta tìm được hàm mật độ fz(z) của Z

Đề bài:

Bài 2.4: Xác suất để 1 người bắn trúng bia là p Người đó được bắn từng viên đạn

để bắn cho đến khi trúng bia Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ số bắn đạn trượt Hãy lập bảng phân phối cho biến ngẫu nhiên X

Bài 2.5: Gieo ba lần một lần một đồng tiền, xác suất mặt sấp xuất hiệp mỗi lần là 0,5 Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ số lần xuất hiện mặt sấp trong ba lần gieo

a) Hãy lâp dãy phân phối

b) Tìm hàm phân phối F(x)

Bài 2.6; Tiến hành thử độ tin cậy của năm máy Mỗi máy chỉ được thử nếu máy trước chịu đựng được phép thử Lập dãy phân phối của số máy được thử, biết xác suất chịu đựng được phép thử của mỗi máy là 0,9

125 0 5 0 ) (

)

0

3 2

=P A A A

P

125 0 5 0 ) (

)

3

(

375 0 5 0 3 (

)

2

(

375 0 5 0 3 (

)

1

(

3 3

2 1

3 3

2 1 3 2 1 3 2 1

3 3

2 1 3 2 1 3 2 1

+

=

=

= +

+

=

A A

A

P

P

A A A A A A A A

A

P

P

A A A A A A A A

; 875

,

0

2 1

; 5

,

0

1 0

; 125

)

5

(

0729 , 0 1 , 0 9 , 0 9 , 0 9 , 0 ) (

)

4

(

081 , 0 1 , 0 9 , 0 9 , 0 ) (

)

3

(

09 , 0 1 , 0 9 , 0 ) (

)

2

(

1 , 0 )

4 3 2 1

3 2 1

2 1

A

P

P

A A A

A

P

P

A A

Do đó E(X) là một giá trị trung bình của các xi, mỗi xi được tính với tỷ trọng pi.

Vậy : kỳ vọng của đại lượng ngẫu nhiên là trung bình theo xác suất các giá trị có

thể nhận của đại lượng ngẫu nhiên đó

Trường hợp X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục thì vai trò của hàm mật độ xác suấtf(x) giống như bảng phân phối xác xuất, tổng (1) tương ứng với tích phân Do đó :Nếu X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ f(x) thì kỳ vọng của X là

E(XY) = E(X)E(Y) nếu X và Y độc lập

II. Phương sai

1. Định nghĩa phương sai

Cho x là một đại lượng ngẫu nhiên có kỳ vọng E(X) Khi đó ta gọi phương saicủa X là kỳ vọng của bình phương độ sai khác giữa X và E(X), ký hiệu là D(X).Vậy :

(iii) D(X) = E(X2) – ( E(X))2

(iv) D(X + Y) = D(X) + D(Y) nếu X và Y độc lập

D(X + C) = D(X)III. Một số đặc trưng khác của đại lượng ngẫu nhiên

1. Mốt của đại lượng ngẫu nhiên

Cho X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc có bảng phân phối xác suất :

X x1 x2 … xn …

P p1 p2 pn …

Nếu = max pk thì ta gọi mốt của X là :

Mod(X) =

Mốt của X gọi là số có khả năng nhất

Cho X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ f(x) Nếu f(x0) = maxf(x) thì

ta gọi mốt của X là :

Mod(X) = x0

2. Trung vị của đại lượng ngẫu nhiên

Cho x là một đại lượng ngẫu nhiên Số m gọi là trung vị của X, ký hiệu làmed(X) nếu :

(X < m) ≤ và P( X > m) ≤

3. Momen trung tâm

Cho X là một đại lượng ngẫu nhiên có kỳ vọng E(X) = a Ta gọi momentrung tâm cấp k của X là :

µk = µk(X) = E(X – a)k

Ta gọi momen gốc cấp k là : Ta có : y1 = a

Theo công thức nhị thức Newton :

µn = E(X – a)n = E = akE(Xn-k)hay: µn = ϒn-k ϒ k

Cho vecto ngẫu nhiên hai chiều Z = (X, Y); ta gọi kỳ vọng của Z là vecto

E(Z) = (E(X), E(Y)) R2

2. Kỳ vọng của hàm một vecto ngẫu nhiên

Giả sử (X, Y) có hàm mật độ đồng thời là f(x, y) va Z = ϕ(X, Y) Khi đó ta có E(Z) = (x, y)f(x,y)dxdy

3. Kỳ vọng có điều kiện

a

Với các ký hiệu nhu7trong muc 2.3 ta có các kỳ vọng điều kiện

E(X/Y = yj) = , j = E(Y/X = xi) = , i =

b. Trường hợp liên tục

Với các kí hiệu như trong mục 2.3, ta có các kỳ vọng có điều kiện:

E(X/y) = E(X/Y = y) = (x)dxE(Y/x) = E(Y/X =x) = (y)dy

Ta cũng ký hiệu E(X/Y) là đại lượng ngẫu nhiên nhận giá trị E(X/y) khi Y = y

và E(Y/X) là đại lượng ngẫu nhiên nhận giá trị E(Y/x) khi X = x

 Đinh lý (công thức toàn phần )

E (E(X/Y)) = E(X)

4. Covarian Ma trận tương quan.

Cho vecto ngẫu nhiên Z = (X,Y) Khi đó ta gọi covarian của z là :

Cov(X,Y) = EBằng biến đổi đơn giản ta có

Cov(X,Y) = E(XY) – E(X)E(Y)Khi tính covarian, cần chú ý rằng trong trường hợp rời rạc thì :

Bài 3.5: Một dụng cụ đo có sai số hệ thống 3m với độ lệch chuẩnδ =20m

Tính xácsuất sao cho sai số của phép đo không vượt quá 5m vầ giá trị tuyệt đối

Bài 3.6: Người ta tiện một loiạ chi tiết có độ dài quy định là

cm

20

= α

, biết độ lệchchuẩn là δ =0.2cm

Tình xác suất để kích thước của chi tiết sản xuất ra lệch vớikích thước quy định không quá ±0,3cm

Bài làm

Bài 3.4:

1 ) (

∞

−

x

xe dx

x f

(

Hàm lẻ

Hàm chẵn

x x

x

e v dx e dv

xdx du

x u dx e

∞ +

−

∞ +

− +∞

∞ +

=+

0 0

0

2

0

0 0

0 2 0

2

|)(2

|2

|

|2

|2

|

x x

x

x x

x x

x

e xe

e

x

dx e xe

e x dx xe e

5

3 ).

2 2

2. Phân phối siêu bội

Đại lượng ngẫu nhiên X = {0, 1, 2, … , n} gọi là có phân phối siêu bội nếutồn tại các số tự nhiên N, M sao cho n ≤ M ≤ N và

Pk = P(X = k) = , k = Trong trường hợp này ta ký hiệu X ~ H (N, M, n)

Định nghĩa trên là hợp lý vì theo định nghĩa tổ hợp và quy tắc nhân

= = = 1

 Định lý :

Nếu X ~ H (N, M, n) thì

E(X) = np, D(X) = npq

Trong đó: p = , q = 1 – p.

3. Phân phối Poisson

Đại lượng ngẫu nhiên

II. CÁC PHÂN PHỐI LIÊN TỤC

1. Phân phối đều

Đại lượng ngẫu nhiên X gọi là có phân phối đều trên đoạn [a, b] nếu hàmmật độ của X là

f(x) =

Trong trường hợp này ta ký hiệu X ~ U(a, b)

Định nghĩa vừa nêu là hợp lý vì

Đại lượng ngẫu nhiên X gọi là có phân phối mũ với tham số (�> 0) nếu hàmmật độ của X là

f(x) = Trong trường hợp này ta ký hiệu X ~ E (�)

Định nghĩa vừa nêu là hợp lý vì

dx = -e- �x

 Định lý :

Nếu X ~ E (�) thì E(X) = , D(X) =

3. Phân phối chuẩn

Đại lượng ngẫu nhiên X gọi là có phân phối chuẩn nếu hàm mật độ của X códạng

f(x) = , �> 0Trong trường hợp này ta ký hiệu

Áp dụng tích phân Poisson

dt =

Và bằng phép đổi biến t = hay x = a + �t

Ta có = dt = 1

Vậy định nghĩa trên là hợp lý

Cũng áp dụng tích phân Poisson, dễ dàng nhận được:

 Định lý:

Nếu X ~ N (a, ) thì E(X) = a, D(X) =

Theo định lý 4.7, nói X có phân phối chuẩn với kỳ vọng a, phương sai �2 có nghĩa

là X ~ N (a, �2)

4. Phân phối chuẩn chuẩn tắc

Đại lượng ngẫu nhiên X ~ N (0, 1) gọi là có phân phối chuẩn chuẩn tắc.Nếu X có phân phối chuẩn tắc thì hàm mật độ của X là

f(x) = gọi là hàm mật độ Gauss Hàm mật độ Gauss là hàm chẵn, ta có

Giữa hàm phân phối Gauss và tích phân Laplace có mối liên hệ

F(u) = + Ф(u) hay Ф(u) = F(u) -

Hàm Ф(u) là hàm lẻ

6. Phân phối “khi bình phương”

Đại lượng ngẫu nhiên X2 gọi là có phân phối “ khi bình phương “ n bậc tự

do nếu

X2 = + + + Trong đó X1, X2, , Xn là đại lượng ngẫu nhiên độc lập có phân ph6i1 chuẩnchuẩn tắc

Trong trường hợp này ta ký hiệu: X2 ~ X2(n)

Ký hiệu Г(x) = e-tdt

7. Phân phối student.

Đại lượng ngẫu nhiên T gọi là có phân phối Student n bậc tự do nếu T = Trong đó : U ~ N (0, 1) và V ~ X2(n)

Trong trường hợp này ta ký hiệu: T ~ T(n)

3. Định lý giới hạn trung tâm.

Với các đại lượng ngẫu nhiên X1, X2, , Xk, ta đặt