Tiểu luận môn xác suất thống kê Các quy luật phân phối

Sự ra đời của lýthuyết xác suất bắt đầu từ những thư từ trao đổi giữa hai nhà toán học vĩ đạingười Pháp là Pascal 1623 - 1662 và Fermat 1601 - 1665 xung quanh cáchgiải đáp một số vấn đề

LỜI MỞ ĐẦU

Xác suất thống kê là môn học có lịch sử phát triển lâu đời Lý thuyết xácsuất là bộ môn toán học nghiên cứu các hiện tượng ngẫu nhiên Sự ra đời của lýthuyết xác suất bắt đầu từ những thư từ trao đổi giữa hai nhà toán học vĩ đạingười Pháp là Pascal (1623 - 1662) và Fermat (1601 - 1665) xung quanh cáchgiải đáp một số vấn đề rắc rối nảy sinh trong các trò chơi cờ bạc mà một nhà quýtộc Pháp đặt ra cho Pascal

Năm 1812, nhà toán học Pháp Laplace đã dự đoán rằng “Môn khoa họcbắt đầu từ việc xem xét các trò chơi may rủi này sẽ hứa hẹn trở thành một đốitượng quan trọng nhất của tri thức loài người”

Ngày nay lí thuyết xác suất đã trở thành một ngành toán học quan trọng,được ứng dụng trong rất nhiều lĩnh vực của khoa học tự nhiên, khoa học xã hội,công nghệ, kinh tế, y học, sinh học, …

Việc học tập Bộ môn Xác suất và thống kê giúp cho sinh viên có đượcnhững bài học và ứng dụng thực tế về Đại số tổ hợp, lý thuyết xác suất, phépthử, biến cố, xác suất, đại lượng ngẫu nhiên, quy luật phân phối xác suất, vectorngẫu nhiên, giá trị kỳ vọng, phương sai…

Nhóm nhận thấy khi học Bộ môn Xác suất và thống kê giúp ích rất nhiềucho sinh viên chúng em không những trong thời điểm hiện tại mà còn về sau nàykhi giải quyết những vấn đề trong cuộc sống Nhóm xin gởi lời cảm ơn đặc biệt

đến Thầy Nguyễn Văn Phú, Thầy đã tận tình giảng dạy chúng em và giúp đỡ

nhóm hoàn thành tốt bài tập này./

NHẬN XÉT CỦA GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN

Mục lục:

Lời mở đầu Trang 2 Danh sách nhóm Trang 3

Nhận xét của GVHD Trang 4Mục lục Trang 5

Chương I: Đại cương về xác suất Trang 6

A Tóm tắt lý thuyết Trang 6

B Bài tập Trang 7

C Bài làm Trang 8 Chương II: Đại lượng ngẫu nhiên, vectơ ngẫu nhiên Trang 11

A Tóm tắt lý thuyết Trang 11

B Bài tập Trang 14

C Bài làm Trang 15 Chương III: Các đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên Trang 18

A Tóm tắt lý thuyết Trang 18

B Bài tập Trang 20

C Bài làm Trang 21 Chương IV: Các quy luật phân phối Trang 24

A Tóm tắt lý thuyết Trang 24

B Bài tập Trang 28

C Bài làm Trang 29 Chương V: Lý thuyết mẫu Trang 30

A Tóm tắt lý thuyết Trang 30

B Bài tập Trang 32

C Bài làm Trang 33 Chương VI: Lý thuyết ước lượng Trang 34

A Tóm tắt lý thuyết Trang 34

B Bài tập Trang 36

C Bài làm Trang 37 Chương VII: Kiểm định giả thuyết thống kê Trang 38

A Tóm tắt lý thuyết Trang 38

B Bài tập Trang 41

C Bài làm Trang 42

CHƯƠNG I ĐẠI CƯƠNG VỀ XÁC SUẤT A: TÓM TẮT LÝ THUYẾT

Ở đây m n là tần suất xuất hiện A khi lặp lại phép thử n lần

- Định nghĩa hình học của xác suất: P(A) ¿m(G)

m(H)

Ở đây hình học H biểu diễn tất cả các kết cục đồng khả năng của phép thử; cáckết cục thuận lợi cho A được biểu diễn bằng hình G ⊂ H m( H ) , m(G) là độ đo củacác hình này, chẳng hạn như độ dài, diện tích,thể tích

- Xác suất có các tính chất đơn giản: 0 ≤ P ( A )≤ 1; P (Ω)=1, P (∅)=0.

- Hoán vị: Một hoán vị của n phần tử là một cách sắp thứ tự n phần tử, vì vậy

nó là một chỉnh hợp chập n của n phần tử Số hoán vị của n phần tử P n=n!

- Nhị thức Newton:

Công thức nhị thức Newton: (a+b) n=C n0a n b0+C1n a n−1 b1+ +Cn n a0b n

→ C n0+C n1+…+C n n=(1+ 1)n= 2n

Tam giác Pascal: C n k=C n−1 k−1+C n−1 k

3 Biến cố ngẫu nhiên và xác suất của biến cố:

- Công thức cộng xác suất:

+ P(A+B)=P(A)+P(B) (2 biến cố xung khắc)

+ P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A.B)  P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)

b) Các chữ số không thể trùng nhau trong một bảng.

1.8 Có bao nhiêu trường hợp ta nhận được các số khác nhau khi tung cùng một

a) Có bao nhiêu điểm như vậy?

b) Có thể lấy một hệ gồm nhiều nhất mấy điểm như vậy sao cho không có bất cứhai điểm nào cùng nằm trong một mặt phẳng vuông góc với trục Ox?

c) Có bao nhiêu hệ gồm một số điểm như vậy mà trong mỗi hệ không có bất cứhai điểm nào cùng nằm trong mặt phẳng vuông góc với trục Ox?

1.10 Trên mặt phẳng có 10 điểm, trong đó có 4 điểm thẳng hàng, ngoài ra không

có bất cứ điểm nào nữa thẳng hàng Có bao nhiêu tam giác có ba đỉnh tại cácđiểm đã cho?

b) Có mấy cách lấy một lúc bốn bóng đèn sao cho trong đó có hai bóng 110V.c) Có mấy cách lấy một lúc bốn bóng đèn sao cho trong đó có ít nhất hai bóng110V.

Vậy số trường hợp xảy ra: 6.5 = 30 trường hợp

b) Gọi các số hiện ra khi tung cùng 1 lúc 3 con súc sắc lần lượt là: a1a2a3

Vậy số điểm thỏa yêu cầu: 9.9.9 = 729 điểm.

b) Không có bất cứ 2 điểm nào cùng nằm trong 1 mặt phẳng vuông góc với trục

Ox  các điểm đó có tọa độ x khác nhau

Vì x xó 9 cách chọn và xN nên có thể lấy một hệ gồm nhiều nhất 9 điểm như vậy

c) Gọi hệ thỏa yêu cầu bài toán là:

1.10 Chọn tam giác có 3 đỉnh tại các điểm đã cho tương đương với việc chọn ba

điểm không thẳng hàng từ các điểm đã cho

Bước 1: Chọn ba điểm tuỳ ý từ 10 điểm đã cho: C103 cách.

Bước 2: Chọn ba điểm thẳng hàng từ 10 điểm đã cho Vì có 4 điểm thẳng hàng nên sẽ có:

3 4

C cách.

Vậy số cách chọn thỏa đề bài: C103  C43  116cách chọn

1.11 a) Áp dụng Công thức Pascal:

n k

2 2

0 2

2 0

k n

i n i

n

k n

C cách.

Chọn 2 bóng 220V từ 14 bóng  có

2 14

C cách.

CHƯƠNG II ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VECTƠ NGẪU NHIÊN

A: TÓM TẮT LÝ THUYẾT:

2.1 Đại lượng ngẫu nhiên:

1 Định nghĩa và phân loại:

* ĐN: Một đại lượng nhận giá trị bằng số mà con số đó phụ thuộc vào kết cụccủa một phép thử ngẫu nhiên nào đó, được gọi là một ĐLNN

Người ta thường dùng các chữ cái hoa X, Y, …,Z để chỉ ĐLNN

x, y,…,z để chỉ các giá trị mà ĐLNN X có thể nhận

* Phân loại: ĐLNN X được gọi là rời rạc nếu tập các giá trị của nó là một tậphữu hạn hoặc vô hạn đếm được các giá trị "cách quãng nhau"

2 Bảng phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên rời rạc:

a) Quy luật phân phối xác suất:

ĐN: Quy luật PPXS của ĐLNN là sự tương ứng giữa các giá trị có thể có của nó

và các xác suất tương ứng với các giá trị đó

b) Bảng và hàm phân phối xác suất: P(X =x k)=p kvới k =1,2,…

Các xác suất của ĐLNN X thường được sắp thành bảng sau đây, gọi là bảngphân phối xác suất của X

2.2 Hàm phân phối xác suất, hàm mật độ xác suất:

1 Hàm phân phối xác suất:

ĐN: Hàm PPXS của ĐLNN X, kí hiệu là F(x), là xác suất để ĐLNN X nhận giá

* Các tính chất của hàm phân phối xác suất:

- Tính chất 1: Hàm PPSX luôn nhận giá trị trong [0;1]

- Tính chất 2: Hàm PPSX là hàm không giảm, tức là với x2 > x1 thì F(x2) ≥

2.3 Vectơ ngẫu nhiên:

2.3.1 Khái niệm vectơ ngẫu nhiên: Z = (X1, X2, , Xn)

2.3.2 Vectơ ngẫu nhiên rời rạc 2 chiều:

1 Bảng phân phối xác suất đồng thời:

3 Phân phối có điều kiện:

Bảng phân phối xác xuất của X với điều kiện Y = y i(j= ´ 1 , n)là:

4 Điều kiện độc lập của X và Y:

Hai đại lượng ngẫu nhiên X và Y gọi là độc lập nếu: f(x,y) = fx(x).fy(y)

Trong trường hợp này, với mọi khoảng A, B⊂ R, ta có:

Tức là xác suất của tích bằng tích của các xác suất

5 Hàm phân phối của (X,Y): F ( x , y )=P ( X <x , Y < y )=

2.4 Hàm đại lượng ngẫu nhiên:

2.4.1 Hàm của 1 đại lượng ngẫu nhiên:

với A=(u :φ (u)<x)

2.4.2 Hàm của 2 đại lượng ngẫu nhiên:

Với giá trị nào của A và B thì hàm F(x) là hàm liên tục?

b) Tính mật độ phân phối f(x) của X

2.11 Cho biến ngẫu nhiên X xó hàm phân phối

khi x < 0khi 0 ≤ x ≤ π4khi x > π4

khi x(−π

2 ,

π

2)khi x(−π

2 ,

π

2)

2.11 F(x¿={sin 2 x khi 0 ≤ x ≤ 0 khi x<0 π

4

1 khi x > π

4a) Hàm mật độ:

1( ) 1 cos 1 sin 1 2 1

2 ,

π

2)

 

2 2

2 2

21

2≤ x<

π

2¿khi x≥ π

2

CHƯƠNG III CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN

ii) E(X+Y) =E(X) + E(Y)

iii) E(CX) = CE(Y)

iv) E(XY) = E(X)E(Y) nếu X và Y độc lập

3.2 Phương sai:

1 Định nghĩa phương sai: D(X) = E[(X-E(X))2]

Ký hiệu: α = E(X), thì: D(X) = E[(X −α)2] = E(X −α)2

2 Tính chất của phương sai:

i) D(X) ≥ 0, D(C) = 0

ii) D(CX) = C2D(X)

iii) D(X) = E(X2) - (E(X))2

iv) D(X+Y) = D(X) + D(Y) nếu X và Y độc lập

D(X+C) = D(X)

3.3 Một số đặc trưng khác của đại lượng ngẫu nhiên:

1 Mode của đại lượng ngẫu nhiên: mod(X) = x k0

2 Trung vị của đại lượng ngẫu nhiên: P(X<m) ≤1

Khi: γ1=0 thì phân phối đối xứng

γ1> 0 thì phân phối lệch về bên phải

γ1< 0 thì phân phối lệch về bên trái

* Hệ số nhọn của X là: γ2=μ4

σ4 −3=μ4

μ22 −3Khi: γ2>0 có độ nhọn cao hơn phân phối chuẩn

γ2< 0 có độ nhọn thấp hơn phân chuẩn

3.4 Đặc trưng của vectơ ngẫu nhiên hai chiều và nhiều chiều:

3.4.1 Kỳ vọng: E(Z) = (E(X), E(Y)) ∈ R2

3.4.2 Kỳ vọng của hàm một vectơ ngẫu nhiên:

1 Trường hợp rời rạc: E(Z) = ∑

i

❑

z i P¿

2 Trường hợp liên tục: E(Z) = ∬

3.4.4 Covarian Ma trận tương quan.

Ta có covarian của Z là: cov(X,Y) = E[(X-E(X))(Y-E(Y))]

Biến đổi đơn giản: cov(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y)

Trường hợp rời rạc: E(XY) = ∑

Ta gọi ma trận tương quan là:

D(X,Y) = (cov (X , X ) cov (X , Y ) cov (Y , X ) cov (Y ,Y ))=(cov (X , Y ) D(X ) cov (X , Y ) D(Y ) )

ii) Rxy = ± 1 nếu và chỉ nếu X và Y tương quang tuyến tính, tức là tồn tại các

số A,B,C sao cho AX + BY = C

3.4.6 Vài đặc trưng của vectơ ngẫu nhiên nhiều chiều:

Cho vectơ ngẫu nhiên n chiều: Z = (X1, X2, , Xn)

nếu: (a1, a2, an) = (0,0, ,0) thì momen gọi là momen gốc

nếu: (a1, a2, an) = (E(X1), E(X2), , E(Xn)) thì momen gọi là momen trung tâm.

cov(Xi, Xj) = p1; cov(Yi, Yj) = p2; cov(Xi, Yj) = p3

Tìm hệ số tương quan của hai biến ngẫu nhiên:

u = (X1 + X2 + … + Xn) và v = (Y1 + Y2 + … + Yn)

3.16 Một hộp đựng ba bi đỏ, hai bi xanh và một bi vàng Lấy ngẫu nhiên ra từng

bi cho đến khi gặp bi đỏ thì dừng lại Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ số bi xanh, Y

là biến ngẫu nhiên chỉ số bi vàng đã lấy ra

a) Lập bảng phân phối xác suất đồng thời của X và Y

b) Tính hệ số tương quan giữa X và Y

c) Tính cov(X, Y)

d) Tìm D(X, Y)

3 3 1 1( ) 0 1 2

5 10 10 2

E X

D X D Y

d) D(X,Y) = (cov (X ,Y ) D(X ) cov (X , Y ) D (Y ) )=(9 /20 3 /403/ 40 3 /16)

CHƯƠNG IV CÁC QUY LUẬT PHÂN PHỐI

A: TÓM TẮT LÝ THUYẾT:

4.1 Các phân phối rời rạc:

1 Phân phối nhị thức:

p k=P ( X =k )=C n k p k q n−k , q=1− p , k = ´ 0 , n

Trường hợp này ta ký hiệu X B(n,p)

Định lý 4.1: Nếu X là số lần thành công trong dãy n phép thử Bernoulli với xác

3 Phân phối Poisson:

Đại lượng ngẫu nhiên X = {0, 1, 2, , n, } gọi là có phân phối Poisson nếu tồntại số a>0 sao cho: p k=P ( X =k )= e

−a

a k

k ! , k=0,1,2, …

Định lý 4.4: Nếu X P(a) thì E(X) = D(X) = a

4.2 Các phân phối liên tục:

4.2.1 Phân phối đều: f(x) = {b−a1 nếu x ∈[a , b]

0 nếu x ∉[a ,b ] } ký hiệu X U(a,b)

Định lý 4.5: E(X) = b+a2 , D(X) = (b−a)2

4.2.3 Phân phối chuẩn:

1 Phân phối chuẩn: f(x) = 1

f ( x) dx

Giữa hàm phân phối Gauss và tích phân Laplace có mối liên hệ:

F(u) = 12+Φ (u ) hay Φ (u )=F (u)−1

4.2.4 Phân phối "khi bình phương":

- Đại lượng ngẫu nhiên X2 gọi là phân phối "khi bình phương" n bậc tự do nếu:

X2 = X12 + X22 + + Xn2 trong đó X1, X2, Xn là các đại lượng ngẫu nhiên độclập có phân phối chuẩn chuẩn tắc

- Trong trường hợp này ta ký hiệu: X2 X2(n)

nếu x>0 ¿nếu x ≤ 0 ¿

ii) E(X2) = n; D(X2) = 2N

4.2.5 Phân phối Student:

Đại lượng ngẫu nhiên T gọi là phân phối Student n bậc tự do nếu T = U

Định lý 4.13 (Bất đẳng thức Chebyshev) Cho X là một đại lượng ngẫu nhiên

Khi đó, với mọi ε>0,ta có:

Định lý 4.15 (Bernoulli) Nếu m là số lần thành công trong dãy n

phép thử Bernoulli với xác suất thành công p thì:

lim

n → ∞ P( |m n−p|<ε)=1

3-Định lý giới giạn trung tâm:

Với các đại lượng ngẫu nhiên X1, X2, … , X k , … ta đặt:

với mọi α <β ,Φ là tích phân Laplace

Theo định lí,nếu n khá lớn,ta có:

Y n−e n

d n N (0.1) hay Y n N(e n , d n2)

Ta thường sử dụng trường hợp riêng sau đây

Định lý 4.17 Nếu E(X k)=a , D(X k)=σ2 thì mọi k thì, với n khá lơn,ta có:

1-Phân phối siêu bội và phân phối nhị thức

Định lý 4.18 Cho X H (N , M , n).Nếu n cố định và lim

N → ∞

M

N=p thì với k = ´ 0 , n, ta có:lim P(X =k )=C k p k q n−k

Theo định lý 4.18, nếu N khá lớn so với n thì có thể coi:

2- Phân phối nhị thức và phân phối Poisson:

Định lý 4.19 Cho X B(n , p) Nếu p →0 và np → λ khi n → ∞ thì với k = ´ 0 , n ta có:lim

3- Phân phối nhị thức và phân phối chuẩn:

Định lý 4.20 (Định lý Moivre - Laplace địa phương) Cho X B(n , p).Nếu n , k ∈ N

sao cho x= k −np

√npq bị chặn khi n → ∞ thì:

P ( X=k )= 1

√npq f(k−np√npq) λ n

trong đó λ n → 1 khi n → ∞ và f là hàm mật độ Gauss

Theo định lý 4.20,khi n khá lớn ta có công thức gần đúng:

trong đóλ → 1 khi n → ∞ và Φ là tích phân Laplace

Theo định lý 4.21,khi n khá lớn ta có công thức gần đúng:

B: BÀI TẬP:

4.11 Gieo 3200 lần một đồng xu cân đối, đồng chất X là biến ngẫu nhiên chỉ số

lần xuất hiện mặt sấp trong 3200 lần gieo đó Tìm xác suất sao cho giá trị của Xnằm trong khoảng 1600 +5√2, 1600+10√2

4.12 Người ta muốn khảo sát thời gian cháy trung bình của một lô bóng đèn

bằng phương pháp chọn mẫu Hỏi phải lấy mậu cỡ bao nhiêu để cho, với xácsuất không bé hơn 0.9876, có kết luận rằng trị số tuyệt đối của hiệu thời giancháy sáng trung bình của bóng đèn của toàn lô và kỳ vọng của nó không vượtquá 10 giờ, biết rằng độ lệch tiêu chuẩn của thời gian cháy sáng của bóng đèn là

80 giờ

CHƯƠNG V

LÝ THUYẾT MẪU A: TÓM TẮT LÝ THUYẾT:

5.1 Một số khái niệm về mẫu:

5.1.1 Tổng thể và mẫu:

Tập hợp có phần tử là tất cả các đối tượng mà chúng ta nghiên cứu gọi là tổng thể.Tổng thể còn được gọi là tập chính của đám đông

Số phần tử của tổng thể gọi là kích thước của tổng thể

Thống kê toán học cung cấp cơ sở toán học để, từ số liệu quan sát được trên một mẫu, cho ta phương pháp đánh giá theo xác suất về toàn bộ tổng thể

5.1.2 Các loại mẫu:

Mẫu mà chúng ta nghiên cứu được chọn theo một các thức nào đó mang tính ngẫu nhiên, khách quan, gọi là ngẫu nhiên

1 Phân loại mẫu theo phương pháp chọn mẫu:

- Mẫu không hoàn lại là mẫu được chọn bằng các phần tử đã lấy ra quan sát thì loại khỏi tổng thể rồi mới lấy phần tử tiếp theo (Còn gọi là mẫu không lặp)

- Mẫu hoàn lại là mẫu được chọn bằng cách phần tử đã lấy ra quan sát được b3 trở lại tổng thể rồi mới lấy phần tử tiếp theo (Còn gọi là mẫu lặp)

2 Phân loại mẫu theo mục đích nghiên cứu:

- Mẫu định tính: là mẫu mà ta chỉ quan tâm đến các phần tử của nó có một tính chất A nào đó hay không

Trường hợp này mẫu được cho dưới dạng:

+ Kích thước mẫu: n

+ Số phần tử có tính chất A: m

- Mẫu định lượng: là mẫu mà ta quan tâm đến một yếu tố về lượng của các phần tử như khối lượng, chiều dài, nhiệt độ Trường hợp này, một mẫu kích thước n được cho dưới dạng tổng quát X = (X1, X2, Xn) trong đo phần tử thứ i của mẫu nhận giá trị Xi (i = 1 , n´ )

- Phương sai mẫu:

Vì x i=h u i+x0, nên theo tính chất kỳ vọng và phương sai ta có:

5.3 Tính chất của đặc trưng mẫu:

5.3.1 Kỳ vọng và phương sai của đặc trưng mẫu:

1 Kỳ vọng và phương sai của tỷ lệ mẫu:

2 Kỳ vọng và phương sai của trung bình mẫu:

Trung bình mẫu tổng quát: X =´ 1

3 Kỳ vọng của phương sai mẫu:

Phương sai mẫu tổng quát: S2= n ^S2

5.3.2 Phân phối xác suất của các đặc trưng mẫu:

1 Phân phối xác suất của tỷ lệ mẫu: F N(p , f (1−f )

n )hay(F− p)√n

f (1−f ) N (0,1)

2 Phân phối xác suất của trung bình mẫu: X−a´

3 Phân phối xác suất của phương sai mẫu:

Nếu tổng thể có phân phối chuẩn, ta có:

Biểu diễn các điểm (x i , n i), i= ´ 1 , k , lên mặt phẳng tọa độ và nối các điểm (x i , n i)

và (x i+1 , n i+1), i= 1 , k−1´ bằng một đoạn thẳng, ta được một đường gấp khúc gọi là

đa giác tần số hay đa giác đồ

3 Tổ chức đồ: