Tổng hợp bài tập và đáp án môn phương pháp tính

Xác định các chỉ số đáng tin trong cách viết thập phân của các số sau... Sử dụng công thức đánh giá sai số tổng quát, tính sai số của nó và so sánh với sai số tính công thức đánh giá sai

CHƯƠNG I SỐ GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐ

BÀI TẬP:

1: cho a=1,85 với sai số tương đối là  a 0,12%

Tính sai số tuyệt đối của a

Sử dụng khái niệm làm tròn lên ~a=a+ ¿¿ và làm tròn xuống ~a=a− ¿¿

c) a ≤ 12.8713 khi làm tròn lên ta được a ≤ 12.88

d)a ≥ 1.2354 khi làm tròn xuống ta đượca ≥ 1.23

3 Xác định các chỉ số đáng tin trong cách viết thập phân của các số sau

CHƯƠNG II PHƯƠNG PHÁP PHI TUYẾN BÀI TẬP:

1 Tìm những khoảng cách li nghiệm thực của các phương trình sau đây:

d) 4 sin x+1−x=0

Vậy khoảng cách li nghiệm là [ −1;0 ]

và [ 2;3 ] .

e) 1−x−e−2 x=0

Vậy khoảng cách li nghiệm là 0 và [ 0,5;1 ] .

Vậy khoảng cách li nghiệm là [ −2;−1 ] và [ 3;4 ] .

Vậy khoảng cách li nghiệm là [ 0,4;0,5 ] .

2 Sử dụng phương pháp chia đôi tìm nghiệm gần đúng ở lần lập thứ 5 (x5) của phươngtrình √ x−cos x=0 trong [ 0;1 ] Sử dụng công thức đánh giá sai số tổng quát, tính sai số

của nó và so sánh với sai số tính công thức đánh giá sai số của phương pháp chia đôi

3 sử dụng phương pháp chia đôi tìm nghiệm gần đúng với sai số nhỏ hơn

10−2 của các phương trình sau:

a)x tan x trong[4,4.5];

∆ x2=0.5

23 =0.625>10−3

f(7116)=−0.892<0

→ f(7116) f (4.5)<0

b) 2+cos(e x¿−2)−ex¿ = 0 trong đoạn [0,5: 1,5]

Đặt:

|x4−x3|= 8,22.10-4 < 10-3 (thỏa điều kiện).

 Kết luận: Phương trình x3 – 3x2 – 5 = 0 trong đoạn [3,4], với x0 = 3,5 ,có hệ số co q=10

27.Nghiệm gần đúng x4 = 3,426267187 có sai số ∆ = 8,22.10-4 < 10-3

|1,324939363−1,357208808| =0,0002510259419 ¿10−3

thỏa điều kiện

 Kết luận: phương trình x3 – x – 1 = 0 trong đoạn [1,2], với x0 = 1,5 Hệ số co q= 1

10−3¿10−3

6 Xét phương trình x + e x

=¿ 2 Hãy chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm duy nhất trong

đoạn [0,1] Nếu sử dụng công thức lặp x n+1= 2 −¿ e x n ta có thể tìm được nghiệm gần đúng củaphương trình này hay không? Nếu không hãy chỉ ra công thức lặp khác tốt hơn Hãy giải thíchtại sao?

a) e x2x2cosx 6 0 trong đoạn [1;2]

b) ln(x-1) + cos(x-1) = 0 trong đoạn [1,3;2]

c) 2xcos2x - (x-2)2 = 0 trong đoạn [2,3] và [3,4]

d) (x-2)2 – ln x = 0 trong đoạn [1,2] và [e,4]

x

e x

 f”(x)= e x 2x2 2sinx

P ( x )=10 x3−8.3 x2+2.295 x−0.21141=0 có nghiệm ´x=0.29 Sử dụng phương pháp Newton

với giá trị lặp ban đầu x0=0.28 để tìm nghiệm này Giải thích điều kiện xảy ra

P '(x4)=0.27−0=0.27

Vậy đa thức nội suy p(x) hội tụ về nghiệm khác là 0.27

Hiện tượng mỗi lần lặp đều cho giá trị như nhau

Giải thích do chọn sai điểm Fourier

11 Trong hệ các phương trình sau đây, hãy tìm x1 , y1theo phương pháp Newton.

CHƯƠNG III HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH BÀI TẬP:

1 Sử dụng phương pháp phần tử trội giải các hệ phương trình sau đây:

13

17

−1]→ h3=h2−h3

↔[2 −1.5 30 −1.5 7

:::

17

24

24

l43

000

1] U = [u11

000

u12

u22

00

−312

−1

24

l32

l42

001

l43

000

1] =[u11

000

u12

u22

00

 u44 =- 3

11Vậy ta có:

−1

30

0011522

000

1] U = [1

000

1300

−1

−22230

26

−√63

0 √112

−5√1122

3√1122

0 0 √1311

2092500

2

3√1122

1 2

0 √11

2

−5√11 22

3√11 22

209 2500

5√143 26

( 2 ) ( 2 ) (1)

3 ( 3) ( 2 )

0,1375 0,19375

1 0,625

0, 413125 0,325

j j

0,148398 0,1375

1 0,625

0, 405156 0, 4131250,007969

1 0,625

j

j j

j j

j j

j j

(1) (1) (1) ( 0)

3 ( 2 ) (1)

sè :

0,6 2,5 0,9

1

2,2 0,9

1,25 0,85 0,9

0,275

0,225 2,665 C

0,425 1,015 9.

0,096693 0,049309

0,000934 0,000476

0,25 0,5

.0,

1 0,5

j j

0,015625 0,015625

0,015625 0,015625 C

0 0,12109375 0,25 0,12890625 0,00390625

Chọn x0=¿

CHƯƠNG IV NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM

1 Xây dựng đa thức nội suy lagrange cho các bảng số sau và sử dụng chúng để xấp xỉ giá trị

= −18 (x3 −¿ 1,75x2 + 0,75x)

 P32( x)= (x−x0)(x−x1) (x−x3)

(x2−x0) (x2−x1) (x2−x3)

= ( x−0 )( x−0,25)( x−1)(0,75) (0,75−0,25 )(0,75−1)

2 Với các hàm f(x) đã cho dưới đây, chọn x0=0, x1=0,3, x2=0,6 và x3=0.9 xây dựng đa thức

nội suy lagrange và xấp xỉ giá trị của hàm tại x=0,45.Tìm sai số thực sự của giá trị gần đúnga) f(x) = cosx b) f(x) = √1+x c) f(x)=ln(1+x)

3 Cho các bảng giá trị sau của hàngf ( x ) Sử dụng đa thức nội suy Lagrange tính gần đúng giá

trị của hàm tại x¿ So sánh với giá trị chính xác

Áp dụng đa thức nội suy Lagrange

Câu 3 : Cho các bảng giá trị sau của các hàm f (x ) Sử dụng đa thức nội suy Lagrange tính

gần đúng giá trị của hàm tại x¿

So sánh với giá trị chính xác

0,754338 1,132647

0,6 0,3TÝnh tØ sai ph©n cÊp 2 cña f(x):

, , 0,0;0,3;0,6

,, ,

0,816609 0,767844

2,6 2,4TÝnh tØ sai ph©n cÊp 2 cña f(x):

1,103638 1,092348

1 0,75TÝnh tØ sai ph©n cÊp 2 cña f(x):

, , 0;0,25;0,5

,, ,

, , 0,25;0,5;0,75

, , 0,123676 0,157012

0,75 0,25, , 0,5;0,75;1

, , 0,04516 0,123676, ,

, , , 0;0,25;0,5;0,75

, , , , 0,066672 0,136616

0,75 0, , , 0,25;0,5;0,75;1

112

c1=14

d1=c2−c1

3 h1

=

−143.2=

−124

3 =

−15

c1=−35

d2=c3−c2

3 h2 =

15

8 Xác định spline bậc 3 tự nhiên g(x) nội suy các bảng số:

d0=c1−c0

3 h0 =

−3−32

−32

g o ( x )=1+( x−0 )+3

2¿Với k=1

 g1( x)=2−1

2( x−1)−3¿Vậy g(x)=¿

9 Một spline bậc 3 tự nhiên xây dựng trên [0,2] có dạng:

x k y k=2231.55

CHƯƠNG V ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN

BÀI TẬP:

1 Sử dụng các công thức sai phân hướng tâm, tính gần đúng đạo hàm cấp 1 và 2 của các đạo

hàm sau đây tại điểm x0 đã cho với bước h lần lượt là 0,1 0,01 và 0,001

51

5 ⇒ y8= f ( x8)= f ( 23 5 ) =0 ,24140

a) Sử dung công thức hình thang

b) Sử dung công thức simpson

5 Xác định các giá trị của n và h cần thiết để xấp xỉ tích phân ∫

1

2

xlnx dx với sai số nhỏ hơn

10−5 và tính giá trị gần đúng của tích phân

(a) Sử dụng công thức hình thang

ta có: sai số được đánh giá bởi

7 Sử sụng công thức Gauss bậc ba để xấp xỉ các tích phân trong câu 2 So sánh với các kết

quả trong câu 2 và 3

CHƯƠNG VI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

0.00000.00910.01430.01730.01890.01960.01980.0197

0.00000.00480.00970.01460.01940.02430.02920.03410.03900.04390.0488

d) y '=cos2 x +sin 3 x , 0 ≤ x ≤1, y (0)=1 với h=0.1

Ta có:

0 ≤ x ≤ 1→{a=0 b=1

2 Sử dụng phương pháp Euler cải tiến để xấp xỉ nghiệm của các bài toán Cauchy sau đây và

x , 1 ≤ x ≤ 2, y(1) = 2, với h = 0,1; y(x) = xlnx+2 x

d) y’ = cos2x + sin3x, 0 ≤ x ≤ 1, y(0) = 1, với h = 0,1

Giải:

a) y’ = xe3x – 2y, 0 ≤ x ≤ 1, y(0) = 0, với h = 0,1

20,029155

0 5.0,1 0, 5

0, 4 2.0,157728 0, 5 2(0,157728 0,1(0, 4 2.0,157728))0,157728 0,1

b) y’ = 1+(x - y)2, 2 ≤ x ≤ 3, y(2) = 1, với h = 0,1

2,0 1,000000 1,000000 0,0000002,1 1,190500 1,190909 0,0004092,2 1,366038 1,366667 0,0006292,3 1,530029 1,530769 0,0007402,4 1,684925 1,685714 0,0007892,5 1,832533 1,833333 0,0008012,6 1,974210 1,975000 0,0007902,7 2,110997 2,111765 0,0007682,8 2,243706 2,244444 0,0007382,9 2,372979 2,373684 0,0007053,0 2,499329 2,500000 0,000671

1 1

1 1

1

0 0

( , ) ( , ( , ))

2(1 )

21; (1) 2

1 0

( , ) ( , ( , ))

2cos 2 s in3 cos 2 s in3

20; (0) 1

1 0,1.

2 1.113779

5 Xét bài toán biên

y -y'-2y= cos {x} , 0≤x≤ {π} over {2} over {2

y0=−0.3 , y(π2)=−0.1

Có nghiệm y ( x )=−0.1(sin x +3 cos x).Sử dụng phương pháp sai phân hữu hạn xấp xỉ

nghiệm gần đúng và so sánh với nghiệm chính xác trong các trường hợp sau

-0,3-0,3098076211-0,2366025404-0,1

00,00040306950,0002830570

6 Xét bài toán biên

y - y '- 2 y = cos {x} , 0 ≤ x ≤ {π} over {2} over {2

y0=−0.3 , y(π2)=−0.1

Có nghiệm y ( x )=−0.1(sin x +3 cos x).Sử dụng phương pháp sai phân hữu hạn xấp xỉ

nghiệm gần đúng và so sánh với nghiệm chính xác trong các trường hợp sau

 {y1=−0,3102106906

y2=−0,2363194834

00,5241,0471,571

-0,3-0,3102106906-0,2363194834-0,1

-0,3-0,3098076211-0,2366025404-0,1

00,00040306950,0002830570

7 Sử dụng phương pháp sai phân hữu hạn xấp xỉ nghiệm của các bài toán sau với h= 0,1

0, 40190,3030

0, 21930,14880,08970,04060.0000

y y y y y y y y y y y

y y y y y y y y y y y