Tiểu luận môn phương pháp tính Số gần đúng và sai số

Giáo trình gồm 6 chương : Chương 1: Số gần đúng và sai số Chương 2: Phương trình phi tuyến Chương 3: Hệ phương trình đại số tuyến tính Chương 4: Nội suy và xấp xỉ hàm Chương 5: Đạo hàm v

GVHD: ThS NGUYỄN VĂN PHÚ NHÓM SINH VIÊN THỰC HIỆN:NHÓM 1

Mục đích của giáo trình là cung cấp cho sinh viên các thuật toán

để giải quyết một số bài toán cơ bản trong kỹ thuật Do đó, trong khitrình bày không đi sâu vào những vấn đề lý thuyết mà chú trọng xâydựng thuật toán cùng với điều kiện hội tụ của phương pháp

Giáo trình gồm 6 chương :

Chương 1: Số gần đúng và sai số

Chương 2: Phương trình phi tuyến

Chương 3: Hệ phương trình đại số tuyến tính

Chương 4: Nội suy và xấp xỉ hàm

Chương 5: Đạo hàm và tích phân

Chương 6 : Phương trinh vi phân

Khi thưc hiện giáo trình chúng em đã vận dụng những kiến thức

và sự giúp đỡ của thầy Nguyễn Văn Phú Tuy nhiên, thiếu sót là điềukhông thể tránh khỏi Chúng em rất mong nhận được những ý kiếnđóng góp của thầy cô và các bạn

Thân ái

Tp.Hcm,ngày 08 tháng 12 năm 2011

Ý kiến của giảng viên:

MỤC LỤC

Lời mở đầu Trang 2 Chương 1: Số gần đúng và sai số Trang 3 Chương 2: Phương trình phi tuyến Trang 6

Chương 3: Hệ phương trình đại số tuyến tính Trang 15 Chương 4: Nội suy và xấp xỉ hàm Trang 23 Chương 5: Đạo hàm và tích phân Trang 32 Chương 6: Phương trình vi phân Trang 39

CHƯƠNG 1

SỐ GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐ

LÝ THUYẾT:

1.1 SAI SỐ:

Độ sai lệch giữ giá trị gần đúng và giá trị chính xác được gọi là sai số

Số a được gọi là số gần đúng của số chính xác A, kí hiệu là a ≈ A (đọc

là a xấp xỉ A),nếu a khác A không đáng kể và được dùng thay thế cho

A trong tính toán Đại lượng ∆ = |a-A| được gọi là sai số thật sự của sốgần đúng a Trong thực tế, do không biết A, ta ước lượng một đạilượng dương ∆a càng bé càng tốt thoã điều kiện

Trong nhiều trường hợp, nếu không biết A,ta có thể thay thếδa=¿a∨ ∆ a¿¿

1.2 BIỂU DIỄN SỐ THẬP PHÂN

bất kì một số thập phân a nào cũng có thể viết dưới dạng

làm tròn một số thấp phân a theo cách viết (1.5) là bỏ một số các chữ

số bên phải a sau dấu chấm thập phân để được một số ~a ngắn gọn hơn

và gần đúng nhất so với a

Ta thấy: a− ¿≤ a<a+ ¿¿

¿và chọn số làm tròn là a− ¿¿hoặc a+ ¿¿theo điều kiện:¿

Có thể phát biểu ngắn gọn như sau: Để làm tròn đến chữ số thứ k saudấu chấm thập phân, ta xét chữ số thứ k+1 là α k+1 Nếu α k+1 ≥ 5,ta tăng

α k .lên một đơn vị; còn nếu α k+1< 5, giữ nguyên chữ số α k.Sau đó bỏ phầnđuôi từ chữ số α k+1trở đi Sai số thực sự của ~a so với a được gọi là sai

số làm tròn

θ~a=|a−~a|

Khi đó sai số tuyệt đối của ~a so với A được đánh giá như sau

|~a− A∨≤|~a−a∨¿+|a-A|≤ θ~a+∆a=∆ã

Vì θ ~a ≥ 0 nên ∆ã≥ ∆a Do đó sau đó khi làm tròn sai số tăng lên Cho nêntrong thực tế tính toán ta tránh làm tròn các phép toán trung gian,chỉnên làm tròn kết quả cuối cùng

Trường hợp làm tròn số trong bất đẳng thức,ta sử dụng các khái niệmlàm tròn lên và làm tròn xuống Làm tròn lên ~a=a+ ¿¿hay làm tròn xuống

~

a=a− ¿¿cần lưu ý đến chiều bất đẳng thức

Cho a ≈ A với sai số tuyệt đối ∆a.Trong cách viết thâp phân(1.5)của sốa

,chữ số α k được gọi là đáng tin, nếu

∆a≤1

210k

Trong trường hợp ngược lại, chữ số α kđược gọi là không đáng tin

1.3 BIỄU DIỄN SỐ THẬP PHÂN TRONG MÁY TÍNH:

Trên đây chúng ta đã trình bày cách viết số thập phân Tuy nhiên,việcthực hiện trên máy tính phức tạp hơn.Theo quy ước ,số thực dấu chấm

động được thể hiện trong máy tính dưới dạng nhị phân và gồm baphần:phần dấu,phần mũ và phần định trị.

Sử dụng khái niệm làm tròn lên ~a=a+ ¿¿ và làm tròn xuống ~a=a− ¿¿

(c) a ≤ 12.8713 khi làm tròn lên ta được a ≤ 12.88

(d)a ≥ 1.2354 khi làm tròn xuống ta đượca ≥ 1.23

Mục đích của chương này là tìm nghiệm gần đúng của phương trình:

f ( x )=0

với f ( x ) là hàm liên tục trên khoảng đóng hay mở nào đó

Nghiệm của phương trình là giá trị ´x sao cho f ( ´x )=0 Trong giáo trìnhnày ta chỉ xét những nghiệm đơn cô lập Về mặt hình học, nghiệm củaphương trình là hoành độ giao điểm của đường cong y=f ( x ) với trụchoành Khoảng đóng [a , b](đôi khi ta cũng xét khoảng mở (a , b)) mà trên

đó tồn tại duy nhất nghiệm của phương trình được gọi là khoảng cách

ly nghiệm Vì ta chỉ xét nghiệm đơn của phương trình, nên nếu hàm

f (x) liên tục trên khoảng cách ly nghiệm [a , b] thì f ( a) f (b)<0 Thôngthường,để tìm nghiệm của phương trình chúng ta tiến hành các bướcsau:

Bước 1: Tìm tất cả các khoảng cách ly nghiệm của phương trình

Bước 2: Trong từng khoảng cách ly nghiệm, tìm nghiệm gần đúng củaphương trình bằng một phương pháp nào đó với sai số cho trước

Định lý 2.1 Nếu hàm f (x) liên tục trên đoạn [a , b] và các giá trị của

Ý nghĩa hình học của định lý là: một đường cong liên tục nói hai điểmở hai phía của trục hoành sẽ cắt trục hoành ít nhất tại 1 điểm Nếuđường cong là đơn điệu thì điểm cắt là duy nhất

Định lý 2.2 Giả sử hàm f (x) liên tục trên đoạn [a , b] khả vi trong (a , b).Nếu x¿ là nghiệm gần đúng của nghiệm chính xác ´x trong [a , b] và

∀ x ∈[a , b], |f '(x )|≥ m>0 Thế thì ta có công thức đánh giá sai số tổng quátnhư sau:

¿x¿

− ´x ∨≤¿f (x¿

) ∨¿

m¿

2.2 Phương pháp chia đôi

Xét phương trình có nghiệm chính xác ´x trong khoảng cách ly nghiệm

[a , b] và f ( a) f (b)<0 Đặt a0=a , b0=b , d0=b0−a0=b−a và x0 là điểm chính giữađoạn [a0, b0] Tính giá trị f (x0) Nếu f(x0)=0 thì x0 chính là nghiệm vàdừng lại Ngược lại ta xét dấu của f (x0) Nếu f(x0)f(a0)<0, đặt a1=a 0 , b1=x0.Nếu f(x0)f(b0)<0, đặt a1=x0, b1=b0.Như vậy ta thu được [a1, b1]∁ [a0, b0] và độdài d1=b1−a1=d0

2.3 Phương pháp lặp đơn

Đây là phương pháp phổ biến để giải phương trình trong khoảng cách

ly nghiệm [a , b] Trước tiên ta chuyển phương trình về dạng tươngđương trong [a , b]

x=g ( x )

Khi đó nghiệm của phương trình còn gọi là điểm bất động của hàm

g(x ).Chọn một giá trị ban đầu là x0∈[a , b]tuỳ ý Xây dựng dãy lặp {x n}n=1 ∞

theo công thức lặp

x n=g(x n−1)∀ n=1,2,3 …

Bài toán khảo sát sự hội tụ của dãy {x n}n=1 ∞ , dãy có hội tụ về nghiệm củaphương trình hay không; sự hội tụ và giới hạn phụ thuộc ntn vào giátrị lặp ban đầu x0; và cuối cùng là công thức đánh giá sai số.

Định nghĩa 2.1 Hàm g(x ) được gọi là hàm co trong đoạn [a , b] nếu tồn tại số q :0 ≤ q ≤ 1 , gọi là hệ số co, sao cho:

∀ x1, x2∈[a , b],∨g(x1)−g(x2)∨≤ q∨x1−x2∨ ¿

Định lý 2.3 Nếu g(x ) là hàm co trên [a , b] , thì nó liên tục trên đó.

Định lý 2.4 Nếu hàm g(x ) liên tục trên [a , b] ,khả vi trong (a , b) và

∃ q :0 ≤q ≤ 1 sao cho ∀ x ∈ (a , b) ,|g ( x )|≤ q , thì g(x ) là hàm co trên [a , b] với hệ số co là q

Định lý 2.5 (Nguyên lý ánh xạ co) Giả sử g(x ) là hàm co trên đoạn

[a , b] với hệ số co là q Đồng thời, ∀ x ∈[a ,b], g ( x )∈[a , b] Khi đó với mọigiá trị x0 ban dầu trong [a , b],dãy lặp {x n}n=1 ∞ xác định theo công thức sẽhội tụ về nghiệm duy nhất ´x của phương trình và ta có công thức đánhgiá sai số:

x=g ( x )=x−h ( x ) f (x )

g '(x )=1−h '(x) f ( x )−h( x ) f '(x )

và từ điều kiện g '(x )=0 với f ( ´x )=0 ta thu được h ( ´x )= 1

f '( ´x ).Hàm h(x ) đơngiản nhất thoả mãn điều kiện này là h ( x )= 1

f '(x ) và chúng ta đi đến côngthức lặp:

- Trong pp Newton, điều kiện f '

(x)≠ 0 trong khoảng cách ly nghiệm

[a , b] là tiên quyết.Nếu có một điểm c ∈[a ,b ] để cho f '(c )=0 thì phươngpháp thường dùng là chia đôi để loại bỏ điểm c đó trước khi sử dụng

pp Newton

2.5 Giải hệ phương trình phi tuyến

Trong phần này thì người ta sử dụng ý tưởng của phương phápNewton giải hệ phương trình gồm 2 phương trình phi tuyến và 2 ẩn.Trường hợp số phương trình nhìu hơn và số ẩn nhiều hơn ta cũng xéttương tự.Xét hệ:

F ( x , y )=0 , G( x , y )=0

với F ( x , y ) G(x , y ) là các hàm liên tục và có đạo hàm riêng theo các biến

x và y liên tục trong lân cận của nghiệm ( ´x , ´y ).Giả sử:

a Sử dụng phương pháp lặp tìm nghiệm gần đúng với sai số nhỏ hơn 10

-3 của phương trình: x3 – 3x2 – 5 = 0 trong đoạn [3,4], x0 = 3,5

Ta có: x3 – 3x2 – 5 = 0  x3 = 3x2 + 5

 x = 3 + x52 = g(x)

|x3−x2| = 3,31059.10-3 >10-3

|x4−x3|= 8,22.10-4 < 10-3 (thỏa điều kiện).

 Kết luận: Phương trình x3 – 3x2 – 5 = 0 trong đoạn [3,4], với x0 =3,5 ,có hệ số co q=1027 Nghiệm gần đúng x4 = 3,426267187 có sai số ∆

= 8,22.10-4 < 10-3

b x3 – x – 1 = 0 trong đoạn [1,2], chọn x0 = 1,5

Ta có: x3 – x – 1 = 0  x = 3

√x+1 = g(x)g(x) liên tục ∀x ∈¿1,2] vì g(x0) = lim

3 3

| 1,324939363−1,357208808 | =0,0002510259419

¿ 10 −3 thỏa điều kiện

 Kết luận: phương trình x3 – x – 1 = 0 trong đoạn [1,2], với x0 = 1,5

∆ x4= 1−q q |x4 −x3| =

1 3 1−13

| 0,2572656386−0,2585503676 |

= 0,64236.10 −3

¿ 10 −3 thỏa điều kiện

 Kết luận: Phương trình x = x2– e3x+2 trong đoạn [0,1],

 với x0 = 0,5 Hệ số co q = 13 Nghiệm gần đúng x5 = 0,2572656386 vớisai số ∆=¿0,64236.10−3 ¿ 10−3

Giải:

f(x) = x + e x

− ¿ 2 có f’(x) = 1 + e x > 0, ∀x ∈ [0,1] và f(0)f(1) < 0.Không thể sử dụng công thức lặp x n+1= 2 − ¿ e x n vì hàm lặp g(x) =

CHƯƠNG 3

HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

LÝ THUYẾT

3.1 PHƯƠNG PHÁP GAUSS:

Nội dung của phương pháp Gauss để giải hệ phương trình đại số tuyếntính là sử dụng các phép biến đổi sơ cấp theo hàng để chuyển về mộtphương trình mới tương đương với hệ phương trình cũ mà ma trận hệ

số có dạng tam giác.Các phép biến đổi sơ cấp thường hay sử dụng là:

 Nhân một hàng cho một số khác không

Hoán chuyển hai hàng cho nhau

 Cộng một hàng cho một hàng khác đã nhân với một số khác không.

3.2 PHƯƠNG PHÁP NHÂN TỬ LU:

Nội dung của phương pháp nhân tử LU là phân tích ma trận hệ số Athành tích của hai ma trận L và U, trong đó L là ma trận tam giác dưới

và U la ma trận tam giác trên Khi đó việc giải hệ phương trình Ax=bsẽ đưa về việc giải hệ phương trình Ly=b và Ux=y mà ma trận hệ số làcác ma trận tam giác và nghiệm thu được từ các công thức

¿

¿

Ta có định lý sau:

Định lí 3.1 : Nếu A là ma trận không suy biến,thì bao giờ cũng tồn tại

một ma trận P không suy biến sao cho ma ma trận PA phân tích đượcthành tích của ma trận tam giác dưới L và ma trận tam giác trên,nghĩa

la PA=LU

Có rất nhiều nhiều phương pháp phân tích A=LU, tuy nhiên ta thườngxét các trường hợp ma trận L có đường chéo chính bằng 1 và gọi làphương pháp Doolittle Khi đó L và U có dạng:

3.3PHƯƠNG PHÁP CHOLESKI:

Đây là trường hợp đặt biệt của phương pháp nhân tử LU,và được dùngcho trường hợp hệ số A đối xứng và xác định dương Ma trận vuông Ađược gọi là đối xứng nếu A T

=A Có thẻ nói rằng ma trận A là đối xứng

nếu các phần tử của nó đối xứng với nhau qua đường chéo chính,nghĩa

là a ij =a ji ,∀ i, j=1 , n´ Còn ma trận A là xác định dương nếu ,

∀ x ∈ R n

, x ≠ 0 : x T Ax>0.Để kiểm tra tra tính xác định dương của một matrận,ta thường dùng định lí sau đây

Định lí 3.2 : Một ma trận là xác địng dương khi và chỉ khi tất cả các

định thúc con chính của nó đều dương

Trong đó định thức con chính cấp k,1≤ k ≤ n của ma trận là định thứccon thu được từ k hàng và k cột đầu tiên của ma trận đó

Định lí 3.3 : Ma trận A là đối xứng và xác định dươngkhi và chỉ khi

tồn tại một ma trận B tam giác dưới, khả đảo sao cho A = BB T

Khi đó ma trận tam giác dưới B có thể tìm được theo công thức sau:

¿

3.4 CHUẨN VECTƠ VÀ CHUẨN MA TRẬN:

Xét không gian tuyến tính thực R n Chuẩn của vectơ x∈ R n là một sốthực,ký hiệu là‖x‖,thoã các điền kiện sau:

Định lí 3.4 : Chuẩn ma trận theo công thức (3.8) tương ứng với chuẩn

vectơ được xác định như sau:

Định lí 3.2:xét dãy các vectơ {x(m)

}m =0 ∞ với x(m ) ∈ R n Ta nói dãy các vectơnày hội tụ về vectơ ´x khi m→+∞ nếu và chỉ nếu ‖x(m )

−´x‖m→+∞( hội tụtheo chuẩn)

Định lí 3.5 : Để dãy các vectơ x(m ) hội tụ tới vectơ ´x khi m→+∞ theochuẩn thì điều kiện cần và đủ là dãy {x k(m)

} hội tụ về ´x k,∀ k= ´ 1, n (hội tụtheo toạ độ)

3.5 PHƯƠNG PHÁP LẶP:

Kĩ thuật lặp dùng để giải hệ phương trình đại số tuyến tính.Muốn thếchúng ta phải chuyển hệ Ax=b về dạng tương đương x=Tx + c với T

là một ma trận vuông cấp n và c là một vectơ đã biết Xuất pháp từvectơ ban dầu x(0), ta xây dựng một dãy các vectơ {x(m)

}m =0 ∞ theo côngthức lặp

x(m)

=T x(m −1 )

+c (3.12)

với m = 1,2,3, Ta có định lí sau đây:

Định lí 3.6 : Nếu ‖T‖ <1 thì dãy lặp các vectơ xác định theo công thức(3.12) sẽ hội tụ về nghiệm ´xcủa hệ với mọi vecto lặp ban đầu x( 0 ).Khi

đó ta có các công thức đánh giá sai số như sau:

Định nghĩa 3.3: Ma trận A được gọi là ma trận đường chéo trội

nghiêm ngặt nếu nó thoã mản điều kiện sau đây:

C HƯƠNG 4

NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM

Trong đó n là số nguyên dương Các giá trị x k

,k=0,1…,n được gọi là các điểm nút nội suy và được sắp xếp theothứ tự tăng dần theo chỉ số k,còn các giá trị y k=f(x k),k=0,1,……n làcác giá trị cho trước của hàm tương ứng tại x k

Từ các điều kiện P n(x k)=y k,với mọi k=0,1,…n,ta thu được một hệphương trình đại số tuyến tính gồm n+1 phương trình với n+1 ẩn là

a , a , a , … , a Định thức của ma trận hệ số là định thức Vandermond và

x x0x1x2… x n

Y y0y1y2… y n

do các điểm nút là khác nhau từng đôi một,nên hệ số có duy nhất

nghiệm

4.2 Đa thức nội suy Lagrange

Xét bảng số (4,2) của hàm f(x) với n 1.Đa thức nội suy hàm f(x) trên [a0, a n]

gọi là đa thức nội suy Lagrange

Công thức (4.9) được gọi là công thức Newton tiến xuất phát từ điểm

nút x0 của hàm số f (x) và R n ( x )là sai số của đa thức nội suy Newton

Công thức Newton lùi

N n(2 )=y n+f[x n−1 , x n 1−c Newtonlùi thức nội suy Newton](x −x n) +f[x n−2 , x n−1 , x n](x− x n−1) (x−x n) +……+f[x0, x1, … , , x n](x−x1 ) (x−x2 )…(x−x n) (4.10)

4.4 Spline bậc ba

Định nghĩa 4.1 cho hàm f (x) xác định trên đoạn [a,b] và một phép

phân hoách của nó: a=x0<x1<x2< ¿… ¿x n=b Đặt y k= ¿f(x),k=0,1,…,n

Một spline bậc ba nội suy hàm f (x) trên [a,b] là ham g(x ) thỏa các điều

kiện sau:

(a)g(x ) có đạo hàm dến cấp hai liên tục trên đoạn [a,b]

(b)Trên mỗi đoạn [x k , x k +1¿,k=0,1,…,n-1,g(x )=g k(x ) là một đa thức bậc

{ 2 h0c0+h0c1=3 y1 −y0

h0 −3 α

h n c n−1+2h n−1 c n=3 β−3 y n−y n−1

h n−1

4.5 Bài toán xấp xỉ hàm thực nghiệm

Sử dụng phương pháp bình phương bé nhất.nội dung phương pháp làtìm cực tiểu của phiến hàm:

Bài 1: Xây dựng đa thức nội suy lagrange cho các bảng số sau và sử

dụng chúng để xấp xỉ giá trị cùa hàm tại x*

a) x*=0.5

b)x*=1.25

= 1,6x3 – 2,4x2 +1,3x +1,3

= 1000x3 – 3700x2 +4570x -1866

 L3(1,25) = 1000(1,25)3 – 3700(1,25)2 +4570.1,25 – 1866 = 18,375

Bài 2: Với các hàm f(x) đã cho dưới đây, chọn x0=0, x1=0,3, x2=0,6

và x3=0.9 xây dựng đa thức nội suy lagrange và xấp xỉ giá trị củahàm tại x=0,45.Tìm sai số thực sự của giá trị gần đúng

∆=2,8 ×10−4



C HƯƠNG 5

ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN

5.1 Tính gần đúng đạo hàm:

Trong phần này ta đưa ra các công thức tính xấp xỉ đạo hàm cấp 1 vàđạo hàm cấp 2 của hàm y=f ( x ) dựa vào các giá trị rời rạc y k của hàm tạicác điểm nút x k Ý tưởng này là xây dựng đa thức nội suy Lagrange

L ( x) xấp xỉ hàm f ( x ) trong một đoạn nào đó và khi đó f '(x )=L '(x ) và

Đặc biệt ,tại x0 ta có f '

Công thức thứ nhất gọi là công thức sai phân tiến Công thức thứ 2 gọi

là công thức sai phân hướng tâm và thường viết dưới dạng:

Riêng đối với đạo hàm cấp 2, ta thường sử dụng công thức 5.2 để xấp

xỉ tại điểm x1.Do đó ta cũng có công thức sai phân hướng tâm viết

Với f (x) là hàm xác định và khả tích trên [a , b] Ý tưởng xuất phát từ

việc xấp xỉ hàm f (x) trên [a , b] bởi đa thức nội suy Lagrange L n(x) và