Phát triển tư duy sáng tạo của học sinh qua việc khai thác bài toán cơ bản và hình thành bài toán mới

Muốn vậy người thầy giáo phải giúp học sinh xem xét một bài toán dưới nhiều góc độ khác nhau, kích thích sự liên tưởng, kết nối giữa dữ kiện với yêu cầu của bài toán, giữa bài toán chưa

Muốn vậy người thầy giáo phải giúp học sinh xem xét một bài toán dưới nhiều góc độ khác nhau, kích thích sự liên tưởng, kết nối giữa dữ kiện với yêu cầu của bài toán, giữa bài toán chưa biết cách giải với bài toán quen thuộc đã biết cách giải

Trong quá trình dạy học, tôi luôn tìm tòi các ví dụ điển hình và tổng hợp thành các phương pháp giải cụ thể cho học sinh, đồng thời hướng dẫn học sinh biết nhận dạng bài toán và phát triển các bài toán mới

Với lý do đó tôi chọn đề tài ” Phát triển tư duy sáng tạo của học sinh qua việc khai thác bài toán cơ bản và hình thành bài toán mới”

II Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu

Mục đích nghiên cứu của đề tài đề ra là rèn luyện tri thức theo hướng vận dụng bài toán cơ bản và lí thuyết để sáng tạo bài toán mới Qua đó nhằm nâng cao hiệu quả của việc dạy học hình học ở trường phổ thông

Phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh

III Đối tượng nghiên cứu

Đề tài này chủ yếu giành cho các đối tượng học sinh ở khối 10 Nội dung kiến thức cơ bản trong đề tài là kiến thức chuẩn trong chương trình toán THPT hiện hành và rất gần gũi với thực tế

Vì vậy, tôi mong rằng đề tài này sẽ giúp các em học sinh ngày càng yêu Toán và tự tin học tốt môn Toán hơn Với chút kinh nghiệm ít ỏi của mình tôi mong sẽ mang lại những điều lí thú, hữu ích cho các thầy, cô giáo và bạn bè đồng nghiệp yêu Toán

IV Phương pháp nghiên cứu

+) Một số kinh nghiệm giảng dạy Toán lớp 10

Bài toán 1: (Bài 7 trang 70)

Cho tam giác ABC Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để hai trung tuyến kẻ

từ B và C vuông góc với nhau là

Dễ thấy điều kiện hai trung tuyến kẻ từ B và C vuông góc với nhau với những điều kiện

sau

+) Tam giác ABC vuông tại G

+) Tam giác GCM vuông tại G

( hay tam giác GBM vuông tại G)

+)

+)

+)

(Với G là trọng tâm tam giác ABC và E,

M, N lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB)

Cách 1:

Gọi G là trọng tâm

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC.

Hai đường trung tuyến kẻ từ B và C vuông góc với nhau

( v

)

II Từ bài toán (1) ta khai triển bài toán mới.

Nhận xét: Bài toán (1) là bài toán liên quan đến tam giác, do đó ta liên hệ bài toán

(1) và các công thức quen thuộc ta sẽ được một số bài toán

(1)

(10)

5 Liên hệ với công thức: ,

Ta có: (1) (11)

(1)

(12)

(1)

(13)

6 Liên hệ với công thức: , ,

Ta có: (1)

(14)

(1)

(15)

(1)

(16)

(1)

(17)

7 Liên hệ với công thức: ( vì ) ((O, R) là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, G là trọng tâm tam giác ABC) Ta có: (1)

(18)

(1)

(19)

8 Liên hệ với công thức: hay ( H là trực tâm tam giác ABC) Ta có: (1)

(20)

(1)

(21)

…………

Nhận xét 1.1: Những kết quả trên cho ta sáng tạo bài toán mới ở dạng "điều kiện

cần và đủ" hay "khi và chỉ khi" Chẳng hạn:

a) Từ công thức (14) ta có bài toán:

Bài toán 2: Cho tam giác ABC Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để hai trung

tuyến kẻ từ B và C vuông góc với nhau là:

b) Từ công thức (17) và (20) ta có bài toán:

Bài toán 3: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O, R) H là trực tâm của tam

(2

3) Kết quả 2: Từ (*), (**) và (1) suy ra )

(24)

)

(25)

Kết quả 3: Từ (24) và Suy ra (26)

Kết quả 4: Từ (*) và (8) hoặc (9) và (25) ta suy ra: (27)

(28)

(29)

(30)

(33)

Kết quả 8: Từ (33) và (24) suy ra

(34)

(37) Kết quả 12: Từ (33) và (18) suy ra

(38)

(39)

Kết quả 13: Từ (20) và (33) hoặc từ (38), (39) và OH= 3OG suy ra

(40)

(41)

Kết quả 14: Từ (24) và công thức suy ra

(42)

Kết quả 15: Từ (38), (40), (42) và công thức suy ra

(43)

(44)

(45)

Kết quả 16: Từ (27), (31) và công thức suy ra hay

(46)

hay

(47)

hay (48)

(49)

(50)

Kết quả 17: Từ (47) và công thức

((I; r) là đường tròn nội tiếp tam giác ABC)

giác trong của góc A của tam giác ABC) Suy ra

ở dạng chỉ rỏ giả thiết và kết luận.

a) Với giả thiết là hai trung tuyến kẻ từ B và C vuông góc với nhau và kết luận là khẳng định (37) ta có bài toán:

ii)

…………

+Vận dụng điều kiện để đẳng thức xảy ra ở các bất đẳng thức ở trên ta sẻ sáng tạo bài toán mới ở dạng chứng minh: Tam giác cân hay nhận dạng tam giác Chẳng hạn:

Bài Toán 8

Cho tam gác ABC có hai trung tuyến kẻ từ B và C vuông góc với nhau và

có (trong đó R và r theo thứ tự là bán kính của các đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác ABC ).Chứng minh rằng tam giác ABC cân

Hướng dẫn

) Từ giả thiết hai trung tuyến kẻ từ B và C vuông góc với nhau

(vận dụng (60))

Kết hợp với (1) và (2) ta có :

(61)

Cho tam giác ABC có hai trung tuyến kẻ từ B và C vuông góc với nhau.Gọi E

là trung điểm của BC Chứng minh rằng

) Từ (2) ta có

(E là trung điểm của BC)

,A không thuộc đường thẳng BC

(63)

(Vì A,B,C là ba đỉnh của một tam giác )

Vậy ta có bài toán về tập hợp điểm

Từ (2) ta có

b) xét tam giác EAB có EA,EB là hai cạnh bên.N là

trung điểm của AB,

Gọi là điểm đối xứng với B qua

A

Từ giả thiết ta có AC=3AB

D là trung điểm của BC suy ra

Vậy tam giác có trung tuyến CA

Thỏa mãn điều kiện

Tương tự (28) ta có

c) Lấy F đối xứng với E qua N khi đó hình

bình hành AEBF có EA,EB là hai cạnh

bên thỏa mãn: AE=3EB, với AB,EF là

hai đường chéo và

Cho tứ giác ABCD có AC=3BD.Gọi M, N, P,

Q lần lượt là trung điềm của AB, BC, CD, DA Chứng minh

rằng

Hướng dẩn:

Từ AC = 3BD MN= 3MQ Vận dụng bài toán 13

f) Xét tam giác EGB:

cân tại E có

Các điểm D, M được xác định bởi

,

hay

Kết hợp với (14) ta có

hay (64)

Vậy ta có bài toán :

Suy ra M là trung điểm của BN,

Qua N kẻ đường thẳng song song với AM

Đường thẳng này cắt AB tại D, cắt AC tại E

Dễ dàng khẳng định được C là trọng tâm của tam giác EBD

suy ra vuông tại C

Tam giác BED có hai trung tuyến kẻ từ B và D vuông góc với nhau

Tương tự (14) ta có

g) Liên hệ đến đường tròn (O; R) ngoại tiếp tam giác ABC Ta có các tam giác cân

là OBC, OAC, OAB có cạnh bên bằng R

Khi tam giác ABC là tam giác nhọn ta có O nằm trong tam giác ABC nên:

Vậy ta có bài toán:

Bài toán 17 :

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O ; R) Gọi D, E, M, N, P, Q lần lượt

là các điểm được xác định bởi ,

Giả sử O không nằm trong tam giác ABC

khi đó không giảm tính tổng quát ta giả sử Okhông nằm cùng phía với A bờ là đường thẳng BC

)

(25.1)10) Tương tự (27) suy ra

) (với ) (31.1)

) ( với ) (31.2)

13) Tương tự (35) suy ra

Với các kết quả tổng quát (theo k) ở trên Khi cho k các giá trị cụ thể ( ) ta được các giá trị cụ thể Điều đó cũng giúp ta sáng tạo được bài toán mới.

Nhận xét:

Măc dù bài toán xuất phát của ta có A, B, C ( hay a, b, c) giữ vai trò không bình đẳng trong bài toán dẫn đến việc tổng quát cho bài toán xuất phát có phần nàokhó khăn, tuy nhiên với bài toán xuất phát ta có thể tổng quát thành bài toán hệ n

Từ bài toán 1 ta có thể phát biểu theo cách khác như sau:

Cho tứ diện OABC có trọng tâm G, OA= x, OB =y, OC= z, BC =a, CA=b, AB

= c chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để:

Thật vậy: Gọi G1 là trọng tâm của tam giác ABC

Vì G là trọng tâm của tứ diện OABC nên suy

ra

Mà

suy ra

tương tự

Mặt khác ta có:

(đpcm)+) Tiếp tục khai thác các kết quả trên ta có thể sáng tạo được một số bài toán khác:

Bài toán 23:

Cho tứ diện OABC thỏa mãn điều kiện

trong đó x, y, z, a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh OA, OB, OC, BC, CA, AB Gọi

S, S1, S2, S3lần lượt là diện tích của các tam giác ABC, OBC, OCA, OAB

C KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

I Kết luận

Đề tài này đã được bản thân tôi thí điểm trên các em có học lực từ khá trở lên.Kết quả thu được rất khả quan, các em học tập một cách say mê hứng thú, nhiều

em tỏ ra tự tin, chủ động hơn khi gặp các bài toán mới từ đó kết quả học tập cũng được nâng lên rõ rệt

Tài liệu tham khảo

1 Sách giáo khoa Hình Học 10 - Nâng cao

Nhóm tác giả: Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên), Văn Như cương(Chủ biên), Phạm Vũ Khuê và Bùi Văn Nghị

2 Sách bài tập Hình Học 10 - Nâng cao

Nhóm tác giả: Văn Như Cương( chủ biên), Phạm Vũ Khuê và Trần Hữu Nam

3 Tuyển tập các chuyên đề luyện thi đại học môn toán Hệ thức lượng giác

Tác giả: Trần Phương 4.Tạp chí toán học và tuổi trẻ.