Bài tập lớn môn phương pháp tính SỐ GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐ

Phương Pháp Tính là một môn học quan trọng đối với sinh viên các ngành khoa học tự nhiên, kỹ thuật, kinh tế và cả một số ngành khoa học xã hội.. Môn này cung cấp cho sinh viên những khái

Môn : Phương Pháp Tính

………… o0o…………

Bài Tập Lớn

GVHD : Th.S Nguyễn Văn Phú Nhóm SV thực hiện : nhóm 5

Lớp

BK10HTĐ – Đại Học Bách Khoa T.p Hồ Chí Minh

T.p Hồ Chí Minh, Ngày 09 tháng 12 năm 2011

Phương Pháp Tính là một môn học quan trọng đối với sinh viên các ngành khoa học tự nhiên, kỹ thuật, kinh tế và cả một số ngành khoa học xã hội.

Môn này cung cấp cho sinh viên những khái niệm cơ bản của lý thuyết

phương pháp tính Sinh viên hiểu được việc vận dụng các phương pháp tính đểgiải quyết các bài toán Các kiến thức phương pháp tính học được phải có tính thực tiễn để người học có thể áp dụng vào thực tế của ngành học

Trang bị cho sinh viên các khái niệm cơ bản của lý thuyết phương pháp tínhtoán như: giải hệ phương trình, tìm sai số, tính gần đúng…

Nâng cao khả năng tính toán, phân tích của sinh viên

Trong bài làm của chúng em không tránh khỏi những sai sót,mong thầy cho ý kiến nhận xét , đánh giá để chúng em có thể rút kinh cho lần sau

Chúng em chân thành cảm ơn thầy!

TPHCM, Ngày 09 tháng 12 năm 2011 Sinh Viên Nhóm 05

Trong thời gian 3 tuần vừa qua, nhóm chúng em đã rất cố gắng hoàn thành bài tập lớn môn “Phương Pháp Tính“ Trong quá trình hoàn thành bài tập lớn, chúng em đã rút ra được nhiều kinh nghiệm và kiến thức rất bổ ích, giúp chúng em hiểu biếc nhiều hơn về môn “ Phương Pháp Tính“

Sinh viên nhóm 5

Chương 1:

SỐ GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐ

I TÓM TẮT LÝ THUYẾT:

I.1 Sai Số:

- Định nghĩa: số a được gọi là số gần đúng của số chính xác A,

kí hiệu là a ≈ A ( đọc là a xấp xỉ A), nếu a khác A không đáng

kể và được dùng thay cho A trong tính toán Đại lượng

∆=¿a− A∨¿ a gọi là sai số thật sự của số gần đúng a Trong thực tế, so không biết A, ta ước lượng một đại lượng dương

∆ acàng bé càng tốt thỏa điều kiện:

| A – a| ≤ ∆ a (1.1) Được gọi là số gần đúng a Từ công thức (1.1) ta có:

A - ∆ a ≤ A ≤ a + ∆ a (1.2) Tuy nhiên trong thực tế ta quy ước viết công thức (1.2) dưới dạng :

A = a ± ∆ a

Sai số tương đối của số gần đúng a so với A là đại lượng δ a

được tính theo công thức:

Gọi ´x i , ´y và x i , y , i=1,2 , ,n, là các giá trị chính xác và giá trị gần đúng của đối số và hàm số Nếu f là hàm khả vi liên tục thì

¿| ≈∑

i=1

n

|∂ x ∂ y i|∨x i− ´x i| Trong đó các đạo hàm riêng ∂ x ∂ f

i được tính tại các điểm trung gian Do ∂ x ∂ f

Là sai số tuyệt đối cần tìm của hàm số và do đó ta có công

thức tính sai số tương đối:

Bt 4 chương 1: Cho hình cầu bán kính R = 5 ± 0.005 (m),

π=3,14 ± 0,002, tính sai số tuyệt đối của thể tích hình cầu.

Chương hai: phương trình phi tuyến

a) Lí thuyết :

a) Cách tìm khoảng cách li nghi m ệm :

Cách1: tìm bằng phương pháp giải tíchCách2: tìm bằng phương pháp đồ thị

b) Công thức đánh giá sai số :

Định lí 2.2: giả sử hàm f ( x ) liên tục trên đoạn [a,b], khả vi (a,b) nếu x¿

là nghi m gần đúng của nghi m chính xác ệm gần đúng của nghiệm chính xác ệm gần đúng của nghiệm chính xác ´x trong [a,b] và ∀ x ∈[a ,b],¿ Thế thì ta

có công thức đánh giá sai số tổng quát sau đây

|x¿

−´x|≤|f(x¿

)|

m

c) Phương pháp chia đôi :

Xét phương trình f(x)=0 (1) có nghi m chính xác là ệm gần đúng của nghiệm chính xác ´xtrong khoảng cách li nghi m [a.b]ệm gần đúng của nghiệm chính xác

{ a1 =x0

b1=b0

x1=b0−x0

2

d) Phương pháp l p đơn ặp đơn :

Tìm nghi m gần đúng của phương trình ệm gần đúng của nghiệm chính xác f ( x )=0 (1) trong khoảng cách li nghi m [a,b] ệm gần đúng của nghiệm chính xác

N i dung phương pháp l pội dung phương pháp lặp ặt: :

Chuyển phương trình (1)về dạng tương ứng

x=g ( x ) (2)Trong đoạn [a,b]

Chọn m t giá trị ội dung phương pháp lặp x0∈[a , b] tùy ý xây dựng dãy l p {ặt: x n} theo công

x n=g(x n−1)∀ n=1 ;2 ;3 …

Lưu ý: nghi m của phương trình (2) còn được gọi là điểm bất ệm gần đúng của nghiệm chính xác

đ ng của hàm ội dung phương pháp lặp g ( x )

Định nghĩa2.1: hàm g ( x ) được gọi là hàm co trong đoạn [a,b] nếu với x1, x2∈[a , b] tồn tại m t số Qội dung phương pháp lặp ∈[0,1] sao cho

|g(x1)−g(x2)|≤ q|x1 −x2| (3)

Số q trong bất đăng thức (3) được gọi là h số co ệm gần đúng của nghiệm chính xác

Định lí 2.3: nếu g ( x ) là hàm co trên đoạn [a,b] thì nó liên tục trên [a,b]

Định lí 2.4: nếu hàm g ( x ) liên tục trên [a,b],khả vi trong [a,b] và∃ q :0 ≤q <¿

1 sao cho ∀ x ∀ ∈(a ,b ),|g ' ( x )|≤ q ,thì g(x ) la hàm co trên (a,b) với h số co là ệm gần đúng của nghiệm chính xác

Định lí 2.5: (nguyên lí ánh xạ co) giả sử hàm g(x ) là hàm co trên đoạn [a,b] với h số co là q đồng thời, ệm gần đúng của nghiệm chính xác ∀ x ∈[a ,b], g ( x )∈[a ,b] Khi đó với mọi giá trị x0

ban đầu trong [a,b], dãy l p ặt: {x n}∞ n=1xác định theo công thức

x n=g(x n−1)∀ n=1,2,3 … sẽ h i tụ về điểm duy nhất ội dung phương pháp lặp x của phương trình x=g¿) va

ta có công thức đánh giá sai số

f) Phương pháp dây cung :

Tìm nghi m gần đúng của phương trình ệm gần đúng của nghiệm chính xác f ( x )=0

Giả sử f (x) liên tục trên khoảng cách li nghi m [ệm gần đúng của nghiệm chính xác a , b¿có đạo hàm đến cấp hai liên tục

f '(x ); f ' ''(x) k h ô ng đ ´ô i d ´â u∧f '(x )>0 tr ê n[a , b]

Khi đó nghi n gấn đúng sẽ được tính như sau:ệm gần đúng của nghiệm chính xác

Nếu f ( a)>0ta xác định dãy l p theo công thức ặt:

Bài tập 12: Vận tốc rơi của 1 vật được tính theo công thức:

V =

 1 e c m t/ / 

gm c





Với g = 9,8 m/s2 Biết c = 13,5kg/s, hãy xác định khối lượng m để cho

v = 36m/s tại thời điểm t = 6s Tính đến ba chữ số đáng tin sau dấu thập phân.

CHƯƠNG 3 : H PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNHỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

I TÓM TẮT LÝ THUYẾT:

3.1 PHƯƠNG PHÁP GAUS

Xét h ptđstt ở dang ma tr n AX = B ệm gần đúng của nghiệm chính xác ậ

- Nhân m t hàng cho m t số khác 0 ội dung phương pháp lặp ội dung phương pháp lặp

- C ng hàng với hàng sau khi nhân hàng với một số khác 0 ội dung phương pháp lặp

nằm bên phải cột chứa phần tử khác 0 nằm ở hàng bên trái đầu tiên

Để giải h phương trình : ệm gần đúng của nghiệm chính xác

AX = B ta thực hi n ệm gần đúng của nghiệm chính xác

A/B A/ ´B ´

Trong đó A , l à ma tr ậ n b ậ c t h ang

3.2 PHƯƠNG PHÁP PHÂN TỬ LU

Xét h AX = B trong đó A khác 0 ệm gần đúng của nghiệm chính xác

N i dung của phương pháp ội dung phương pháp lặp

3.4 chuẩn vectơ và chuẩn ma tr n ận

Xét không gian tuyến tính thực R n chuẩn vectơ x thu c ội dung phương pháp lặp R n

m t số thực ội dung phương pháp lặp

‖A‖ = max ‖Ax‖ = ‖Ax‖

‖x‖

3.5 phương pháp l p ặp đơn

Kỹ thu t l p dùng để giải h phương trình đại số tuyến tính cũng tương tuwj như phương ậ ặt: ệm gần đúng của nghiệm chính xác

cvowis t là m t ma tr n vuông cấp n và c là vec tơ đã biết ội dung phương pháp lặp ậ



0 1 2

x x x

2

3

1 2 3 4

1

2 3

y y

U X Y

x x

4 3 1 3 1 3 5 3