Báo cáo môn phương pháp tính Hệ phương trình đại số tuyến tính

CHƯƠNG II PHƯƠNG PHÁP PHI TUYẾNA.. Trước tiên ta chuyển phương trình về dạng tương đương trong [a , b] là công thức đánh giá sai số... 2.5 Giải hệ phương trình phi tuyến: Trong p

NHẬN XÉT CỦA GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN

Mục lục:

Lời mở đầu Trang 2 Danh sách nhóm Trang 3

Nhận xét của GVHD Trang 4Mục lục Trang 5

Chương I: Số gần đúng và sai số Trang 6

A Tóm tắt lý thuyết Trang 6

B Bài tập Trang 7

C Bài làm Trang 8 Chương II: Phương pháp phi tuyến Trang 8

A Tóm tắt lý thuyết Trang 8

B Bài tập Trang 11

C Bài làm Trang 12 Chương III: Hệ phương trình đại số tuyến tính Trang 15

A Tóm tắt lý thuyết Trang 15

B Bài tập Trang 18

C Bài làm Trang 19 Chương IV: Nội suy và xấp xỉ hàm Trang 32

A Tóm tắt lý thuyết Trang 32

B Bài tập Trang 36

C Bài làm Trang 37 Chương V: Đạo hàm và tích phân Trang 41

A Tóm tắt lý thuyết Trang 41

B Bài tập Trang 46

C Bài làm Trang 47 Chương VI: Phương trình vi phân Trang 50

A Tóm tắt lý thuyết Trang 50

B Bài tập Trang 54

C Bài làm Trang 55

CHƯƠNG I SỐ GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐ

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT:

1.1 SAI SỐ:

Độ sai lệch giữ giá trị gần đúng và giá trị chính xác được gọi là sai số

Số a được gọi là số gần đúng của số chính xác A, kí hiệu là a ≈ A (đọc là a xấp xỉ

A),nếu a khác A không đáng kể và được dùng thay thế cho A trong tính toán.

Đại lượng ∆ = |a-A| được gọi là sai số thật sự của số gần đúng a Trong thực tế,

do không biết A, ta ước lượng một đại lượng dương ∆acàng bé càng tốt thoã điềukiện

¿A∨¿ ¿

Trong nhiều trường hợp, nếu không biết A,ta có thể thay thếδa= ∆ a

¿a∨¿¿

1.2 BIỂU DIỄN SỐ THẬP PHÂN

bất kì một số thập phân a nào cũng có thể viết dưới dạng

còn nếu α k+1<5, giữ nguyên chữ số α k.Sau đó bỏ phần đuôi từ chữ số α k+1trởđi.Sai số thực sự của ~a so với a được gọi là sai số làm tròn

θ~ a=|a−~a|

Khi đó sai số tuyệt đối của ~a so với A được đánh giá như sau

|~a− A∨≤|~a−a∨¿+|a-A|≤ θ~ a+∆a=∆ã

Vì θ ~a ≥ 0 nên ∆ã≥ ∆a Do đó sau đó khi làm tròn sai số tăng lên Cho nên trong thực

tế tính toán ta tránh làm tròn các phép toán trung gian,chỉ nên làm tròn kết quảcuối cùng

Trường hợp làm tròn số trong bất đẳng thức,ta sử dụng các khái niệm làm trònlên và làm tròn xuống Làm tròn lên ~a=a+ ¿¿hay làm tròn xuống ~a=a− ¿¿cần lưu ýđến chiều bất đẳng thức

Cho a ≈ A với sai số tuyệt đối ∆a.Trong cách viết thâp phân(1.5)của sốa,chữ số α k

được gọi là đáng tin, nếu

∆a≤1

210k

Trong trường hợp ngược lại, chữ số α kđược gọi là không đáng tin

1.3 BIỄU DIỄN SỐ THẬP PHÂN TRONG MÁY TÍNH:

Trên đây chúng ta đã trình bày cách viết số thập phân Tuy nhiên,việc thực hiệntrên máy tính phức tạp hơn.Theo quy ước ,số thực dấu chấm động được thể hiệntrong máy tính dưới dạng nhị phân và gồm ba phần:phần dấu,phần mũ và phầnđịnh trị

CHƯƠNG II PHƯƠNG PHÁP PHI TUYẾN

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT:

2.1 Đặt bài toán:

Mục đích của chương này là tìm nghiệm gần đúng của phương trình:

f ( x )=0

với f ( x ) là hàm liên tục trên khoảng đóng hay mở nào đó.

Nghiệm của phương trình là giá trị ´x sao cho f ( ´x )=0 Trong giáo trình này ta chỉ xét những nghiệm đơn cô lập Về mặt hình học, nghiệm của phương trình là hoành độ giao điểm của đường cong y=f ( x ) với trục hoành Khoảng đóng [a , b](đôi khi ta cũng xét khoảng mở (a , b)) mà trên đó tồn tại duy nhất nghiệm của phương trình được gọi là khoảng cách ly nghiệm Vì ta chỉ xét nghiệm đơn của phương trình, nên nếu hàm f (x)

liên tục trên khoảng cách ly nghiệm [a , b] thì f ( a) f (b)<0 Thông thường,để tìm nghiệm của phương trình chúng ta tiến hành các bước sau:

Bước 1: Tìm tất cả các khoảng cách ly nghiệm của phương trình.

Bước 2: Trong từng khoảng cách ly nghiệm, tìm nghiệm gần đúng của phương trình bằng một phương pháp nào đó với sai số cho trước.

Định lý 2.1 Nếu hàm f (x) liên tục trên đoạn [a , b] và các giá trị của hàm trái dấu tại 2 đầu mút của phương trình có nghiệm trên [a , b] Thêm vào đó,nếu hàm f (x) đơn điệu thì nghiệm là duy nhất.

Ý nghĩa hình học của định lý là: một đường cong liên tục nói hai điểm ở hai phía của trục hoành sẽ cắt trục hoành ít nhất tại 1 điểm Nếu đường cong là đơn điệu thì điểm cắt là duy nhất.

Định lý 2.2 Giả sử hàm f (x) liên tục trên đoạn [a , b] khả vi trong (a , b) Nếu x¿

là nghiệm gần đúng của nghiệm chính xác ´x trong [a , b] và ∀ x ∈[a , b], |f '(x )|≥ m>0 Thế thì ta có công thức đánh giá sai số tổng quát như sau:

¿x¿

− ´x ∨≤¿f (x¿

) ∨¿

m¿

2.2 Phương pháp chia đôi:

Xét phương trình có nghiệm chính xác ´x trong khoảng cách ly nghiệm [a , b] và

f ( a) f (b)<0 Đặt a0=a , b0=b , d0=b0−a0=b−a và x0 là điểm chính giữa đoạn [a0, b0] Tính giá trị f (x0) Nếu f(x0)=0 thì x0 chính là nghiệm và dừng lại Ngược lại ta xét dấu của f (x0) Nếu f(x0)f(a0)<0 , đặt a1=a 0 , b1=x0 Nếu f(x0)f(b0)<0 , đặt a1=x0, b1=b0.Như

vậy ta thu được [a1, b1]⊂[a0, b0] và độ dài d1=b1−a1=d0

2.3 Phương pháp lặp đơn:

Đây là phương pháp phổ biến để giải phương trình trong khoảng cách ly nghiệm [a , b] Trước tiên ta chuyển phương trình về dạng tương đương trong [a , b]

là công thức đánh giá sai số.

Định nghĩa 2.1 Hàm g(x ) được gọi là hàm co trong đoạn [a , b] nếu tồn tại số

q :0 ≤ q ≤ 1 , gọi là hệ số co, sao cho:

∀ x1, x2∈[a , b],∨g(x1)−g(x2)∨≤ q∨x1−x2∨ ¿

Định lý 2.3 Nếu g(x ) là hàm co trên [a , b] , thì nó liên tục trên đó.

Định lý 2.4 Nếu hàm g(x ) liên tục trên [a , b] ,khả vi trong (a , b) và ∃ q :0 ≤q ≤ 1 sao cho

∀ x ∈ (a , b) ,|g ( x )|≤ q , thì g(x ) là hàm co trên [a , b] với hệ số co là q

x=g ( x )=x−h ( x ) f (x )

Chúng ta sẽ tìm h ( x ) sao cho g '( ´x )=0.Ta có:

g '(x )=1−h '(x) f ( x )−h( x ) f '(x )

và từ điều kiện g '(x )=0 với f ( ´x )=0 ta thu được h ( ´x )= 1

f '( ´x ) Hàm h(x ) đơn giản nhất thoả mãn điều kiện này là h ( x )= 1

f '(x ) và chúng ta đi đến công thức lặp:

x n=x n−1− f ( x n−1)

f '( x n −1)∀ n=1,2,3 …

Định lý 2.6 Giả sử hàm f (x) có đạo hàm cấp 2 liên tục và các đạo hàm f '(x) và f ''(x )

không đổi dấu trên đoạn [a , b] Khi đó nếu chọn x0 thoả điều kiện Fourier f(x0)f ''

(x0)>0

thì dãy lặp {x n}n=1 ∞ xác định theo công thức sẽ hội tụ về nghiệm ´x của phương trình.

Chú ý:

- Để đánh giá sai số của công thức Newton ta sử dụng công thức sai số tổng quát.

- Điều kiện Fourier chỉ là điều kiện đủ,không phải là điều kiện cần Từ điều kiện Fourier, ta có thể đưa ra quy tắc chọn giá trị ban đầu x0 như sau: Nếu như đạo hàm cấp

1 và đạo hàm cấp 2 cùng dấu thì chọn x0=b, ngược lại chọn x0=a.

- Trong pp Newton, điều kiện f '(x)≠ 0 trong khoảng cách ly nghiệm [a , b] là tiên quyết.Nếu có một điểm c ∈[a ,b ] để cho f '(c )=0 thì phương pháp thường dùng là chia đôi để loại bỏ điểm c đó trước khi sử dụng pp Newton.

2.5 Giải hệ phương trình phi tuyến:

Trong phần này thì người ta sử dụng ý tưởng của phương pháp Newton giải hệ phương trình gồm 2 phương trình phi tuyến và 2 ẩn Trường hợp số phương trình nhìu hơn và số ẩn nhiều hơn ta cũng xét tương tự.Xét hệ:

với mọi (x , y ) trong lân cận của nghiệm.Khi đó nếu chọn (x0 , y0) đủ gần nghiệm ( ´x , ´y )

thì 2 dãy {x n} và {y n} thu được từ công thức:

với R = 0.082054 L.atm/(mol.K), a, b là các hằng số phụ thuộc vào chất khí cụ

thể; plàáp suất; T là nhiệt độ; V là thể tích; n là số mole, v = V/nlà thể tích mole.

Hãy xácđịnh thể tích mole v của hai chất khí là carbon dioxide (CO2) và oxygen(O2) dưới áp suất 1, 10 và 100 atm vàở nhiệt độ 300, 500 và 700K Biết rằng đốivới carbon dioxide ta có a = 3.592, b = 0.04267; còn đối với oxygen ta có a =1.360, b = 0.03183

CHƯƠNG III HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT:

3.1 PHƯƠNG PHÁP GAUSS:

Nội dung của phương pháp Gauss để giải hệ phương trình đại số tuyến tính là sử dụng các phép biến đổi sơ cấp theo hàng để chuyển về một phương trình mới tương đương với hệ phương trình cũ mà ma trận hệ số có dạng tam giác.Các phép biến đổi sơ cấp thường hay sử dụng là:

 Nhân một hàng cho một số khác không.

 Hoán chuyển hai hàng cho nhau.

 Cộng một hàng cho một hàng khác đã nhân với một số khác không.

3.2 PHƯƠNG PHÁP NHÂN TỬ LU:

Nội dung của phương pháp nhân tử LU là phân tích ma trận hệ số A thành tích của hai

ma trận L và U, trong đó L là ma trận tam giác dưới và U la ma trận tam giác trên Khi

đó việc giải hệ phương trình Ax=b sẽ đưa về việc giải hệ phương trình Ly=b và Ux=y

mà ma trận hệ số là các ma trận tam giác và nghiệm thu được từ các công thức

Có rất nhiều nhiều phương pháp phân tích A=LU, tuy nhiên ta thường xét các trường hợp ma trận L có đường chéo chính bằng 1 và gọi là phương pháp Doolittle Khi đó L

nhau qua đường chéo chính,nghĩa là a ij =a ji ,∀ i, j=1 , n´ Còn ma trận A là xác định dương nếu ,∀ x ∈ R n , x ≠ 0 : x T Ax>0.Để kiểm tra tra tính xác định dương của một ma trận,ta thường dùng định lí sau đây.

Định lí 3.2: Một ma trận là xác địng dương khi và chỉ khi tất cả các định thúc con chính của nó đều dương.

Trong đó định thức con chính cấp k,1≤ k ≤ n của ma trận là định thức con thu được từ k hàng và k cột đầu tiên của ma trận đó.

Định lí 3.3: Ma trận A là đối xứng và xác định dươngkhi và chỉ khi tồn tại một ma trận

B tam giác dưới, khả đảo sao cho A = BB T.

Khi đó ma trận tam giác dưới B có thể tìm được theo công thức sau:

¿

3.4 CHUẨN VECTƠ VÀ CHUẨN MA TRẬN:

Xét không gian tuyến tính thực R n .Chuẩn của vectơ x∈ R n là một số thực,ký hiệu là‖x‖

,thoã các điền kiện sau:

Định lí 3.2: Xét dãy các vectơ {x(m)

}m =0 ∞ với x(m ) ∈ R n Ta nói dãy các vectơ này hội tụ về vectơ ´x khi m→+∞ nếu và chỉ nếu ‖x(m )

−´x‖m→+∞(hội tụ theo chuẩn).

Định lí 3.5:Để dãy các vectơ x(m ) hội tụ tới vectơ ´x khi m→+∞ theo chuẩn thì điều kiện cần và đủ là dãy {x k(m)} hội tụ về ´x k,∀ k= ´ 1, n (hội tụ theo toạ độ).

3.5 PHƯƠNG PHÁP LẶP:

Kĩ thuật lặp dùng để giải hệ phương trình đại số tuyến tính.Muốn thế chúng ta phải chuyển hệ Ax=b về dạng tương đương x=Tx + c với T là một ma trận vuông cấp n và c

là một vectơ đã biết Xuất pháp từ vectơ ban dầu x(0) , ta xây dựng một dãy các vectơ

với m = 1,2,3, Ta có định lí sau đây:

Định lí 3.6: Nếu ‖T‖<1 thì dãy lặp các vectơ xác định theo công thức (3.12) sẽ hội tụ về nghiệm ´xcủa hệ với mọi vecto lặp ban đầu x( 0 ) Khi đó ta có các công thức đánh giá sai số như sau:

9 Sử dụng phương pháp Jacobi tìm nghiệm gần đúng của các hệ phương trình

sau với sai số 10-3, chọn chuẩn vô cùng:

2,20,9

1,250,850,9

9.1,25 11,25 10

0,275

0,225 2,665C

0,859375 2,28 0,425

1,0159

0,096693 0,049309

0,000934 0,000476

0,250,5

0,015625

0,015625 0,015625C





CHƯƠNG IV NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM

Giả sử f(x) xác định và liên tục trên đoạn [a,b].Với mọi ϵ >0 luôn tồn tại một

đa thức P(x),xác định trong [a,b] sao cho:

|f(x)-P(x)| ¿ϵ, ∀ x ∈[a ,b].

Xét hàm y= f(x) được cho dưới dạng bảng số

(4.2)Trong đó n là số nguyên dương Các giá trị x k

,k=0,1…,n được gọi là các điểm nút nội suy vàđược sắp xếp theo thứ tự tăng dần theo chỉ số k,còn các giá trị y k=f(x k),k=0,1,

……n là các giá trị cho trước của hàm tương ứng tại x k

Từ các điều kiện P n(x k)=y k,với mọi k=0,1,…n,ta thu được một hệ phương trìnhđại số tuyến tính gồm n+1 phương trình với n+1 ẩn là a0, a1, a2, … , a n .Định thứccủa ma trận hệ số là định thức Vandermond và do các điểm nút là khác nhautừng đôi một,nên hệ số có duy nhất nghiệm

4.2 Đa thức nội suy Lagrange:

Xét bảng số (4,2) của hàm f(x) với n≥1.Đa thức nội suy hàm f(x) trên [a0, a n] gọi

là đa thức nội suy Lagrange

Công thức (4.9) được gọi là công thức Newton tiến xuất phát từ điểm nút x0 của

hàm số f (x) vàR n ( x )là sai số của đa thức nội suy Newton

Công thức Newton lùi

N n(2 )

=y n+f[x n−1 , x n 1−c Newtonlùi thức nội suy Newton](x −x n)+f[x n−2 , x n−1 , x n](x− x n−1) (x−x n)+……+f[x0, x1, … , , x n](x−x1) (x−x2)…(x−x n)(4.10)

4.4 Spline bậc ba:

Định nghĩa 4.1 cho hàm f (x) xác định trên đoạn [a,b] và một phép phân hoạch

của nó: a=x0<x1<x2< ¿… ¿x n=b Đặt y k= ¿f(x),k=0,1,…,n Một spline bậc ba nội

suy hàm f (x) trên [a,b] là ham g(x ) thỏa các điều kiện sau:

(a)g(x ) có đạo hàm dến cấp hai liên tục trên đoạn [a,b]

(b)Trên mỗi đoạn [x k , x k +1¿,k=0,1,…,n-1,g(x )=g k(x ) là một đa thức bậc ba

©g(x k) = f(x k¿ = y k, ∀ k=0,1 ,… , n

4.4.1 Spline bậc ba tự nhiên:

{ a k=y k

Điều kiện để xác định một spline bậc ba ràng buộc là:

4.5 Bài toán xấp xỉ hàm thực nghiệm

Sử dụng phương pháp bình phương bé nhất Nội dung phương pháp là tìm cựctiểu của phiến hàm:

(A cos x k+B sin y k−y k)2→ min

Và hệ phương trình xác định A,B có dạng:

y k sin x k

,, ,

2

2

11,2201780,6 0





1,103638 1,092348

1 0,75TÝnh tØ sai ph©n cÊp 2 cña f(x):

, , 0;0,25;0,5

,, ,

, , 0,25;0,5;0,75

, , 0,123676 0,157012

0,75 0,25, , 0,5;0,75;1

, , 0,04516 0,123676, ,

, , , 0;0,25;0,5;0,75

, , , , 0,066672 0,136616

0,75 0, , , 0,25;0,5;0,75;1

CHƯƠNG V ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT:

5.1 Tính gần đúng đạo hàm:

Trong phần này ta đưa ra các công thức tính xấp xỉ đạo hàm cấp 1 và đạo hàmcấp 2 của hàm y=f ( x ) dựa vào các giá trị rời rạc y k của hàm tại các điểm nút x k.Ý tưởng này là xây dựng đa thức nội suy Lagrange L ( x) xấp xỉ hàm f ( x ) trongmột đoạn nào đó và khi đó f '(x )=L '(x ) và f ''(x )=L ''(x ).

Trước tiên ta xét trường hợp bảng số có 2 điểm nút:

f '

( x )≈ y1−y0

h =

f(x0+h)−f(x0)h

Cong thức thứ nhất gọi là công thức sai phân tiến Công thức thứ 2 gọi là công

thức sai phân hướng tâm và thường viết dưới dạng:

Riêng đối với đạo hàm cấp 2, ta thường sử dụng công thức 5.2 để xấp xỉ tại

điểm x1.Do đó ta cũng có công thức sai phân hướng tâm viết dưới dạng:

f ( {x} rsub {0} )= {{f(x} rsub {0} +h)- 2f left ({x} rsub {0} right ) +f( {x} rsub {0} -h)} over {{h} ^ {2}

Với f (x) là hàm xác định và khả tích trên [a , b] Ý tưởng xuất phát từ việc xấp xỉ

hàm f (x) trên [a , b] bởi đa thức nội suy Lagrange L n(x) và

 Hệ số Cotes.Hệ số Cotes có tính chất sau đây:

I ≈ I¿

=h y0 +y1

2

Công thức trên được gọi là công thức hình thang

Công thức hình thang mở rộng:

5.3 Công thức cầu phương Gauss:

Ý tưởng của phương pháp cầu phương là tính xấp xỉ một tích phân hữu hạn

Tuy nhiên chúng ta có thể giảm số ẩn và số phương trình bằng cách xác địnhtrước các điểm nút x1, x2, … , x n và xét tích phân trong đoạn [−1,1] nhờ vào đa thứcLagrandre.Đa thức Legende P n(x ) xác định theo công thức truy hồi sau