Từ thực tế các dạng bài tập với một số nội dung yêu cầu biện luận để phơng trình có nghiệm, vô nghiệm khi các hệ số a của x2, hoặc hệ số b của x, hoặc hệ số tự do của c có chứa tham số..
Trang 1Phần I: Cơ sở lý luận
1 Phơng trình bậc hai và hệ thức viét học sinh đợc học trong trơng trình đại số
lớp 9 ở bậc THCS Đối với các em học sinh có năng khiếu, các đối tợng học sinh
có năng lực học toán thì các dạng bài tập về phơng trình bậc hai trong sách giáo khoa thờng cha làm các em thoả mãn Vì tính hiếu học của mình, xét trên địa bàn và thực tế qua nhiều năm giảng dạy lớp 9 tôi thấy nhu cầu học tập của các học sinh muốn đợc tiếp thu các kiến thức bổ trợ để có thể vận dụng vào việc giải các bài tập trong kỳ thi vào trờng THCS, Trờng Chuyên Hùng Vơng học một số trờng, lớp chất lợng cao ở một số vùng miền
2 Từ thực tế các dạng bài tập với một số nội dung yêu cầu biện luận để phơng
trình có nghiệm, vô nghiệm khi các hệ số a của x2, hoặc hệ số b của x, hoặc hệ
số tự do của c có chứa tham số Trong các trờng hợp này các em không thể quên
điều kiện xét hệ số a = 0 (trong trờng hợp a có chứa tham số)
3 Học sinh thờng chỉ làm quen với các công thức nghiệm, tính biệt số và tính
ngay tổng S và tích P của nghiệm, cha quan tâm đến dấu của để xem phơng trình có nghiệm hay không
4 Với các bài tập liên quan đến phơng trình bậc hai và định lý viét, phần lớn
không biết vận dụng, bắt đầu từ đâu để giải bài tập
5 Khi học về phơng trình bậc hai và định lý viét có nhiều dạng toán phải vận
dụng các kiến thức có liên quan, học sinh rất lúng túng, không biết nên bắt đầu
từ đâu, làm thế nào để xuất hiện các hệ thức có chứa các dữ kiện cần tìm Thậm chí có học sinh đọc đề bài song không hiểu trong đó nói gì, yêu cầu gì
6 Thực trạng học sinh nh vậy đã đề cấp đến việc phân loại, hớng dẫn học sinh
giải các bài tập liên quan tới phơng trình bậc hai và định lý viét ở chơng trình đại
số lớp 9 là điều cần thiết
7 Trên cơ sở đã nắm đợc các dạng bài và cách giải học sinh vận dụng để giải các
bài tập tơng tự, nâng cao kiến thức và phát triển t duy cho học sinh
Chính từ thực tế năng lực, trình độ học sinh khi học phần Phơng trình bậc hai và định lý viét, từ nhu cầu của học sinh, qua những năm giảng dạy tôi đã tích luỹ kinh nghiệm giảng dạy, tham khảo về mặt kiến thức, phơng pháp giảng dạy của đồng nghiệp tôi mạnh dạn viết đề tài này với tên là:
"Dạy học sinh giải phơng trình bậc 2 và khả năng vận dụng
định lý viét trong giải bài toán về phơng trình bậc 2 ở lớp 9"
Phần II: Mục tiêu cần đạt đợc
1 Giúp các em củng cố lại kiến thức có liên quan đến phơng trình bậc hai và
định lý viét Học sinh biết giải và biện luận phơng trình bậc hai có chứa tham số
mà cần đến kiến thức của phơng trình bậc hai và định lý viét
Trang 22 Học sinh biết phân tích các điều kiện đề bài đã cho, xác định rõ yêu cầu của
đề bài để có hớng giải đúng
3 Các em học sinh nắm chắc các dạng bài toán thờng gặp có áp dụng đến phơng
trình bậc hai và định lý viét
4 Trên cơ sở các em đã nắm chắc các dạng bài tập, khi giải các bài toán các em
biết làm xuất hiện các hệ thức có liên quan đến điều kiện của đề bài đã cho
5 Khi nắm chắc cách giải, học sinh tự tin giải bài tập nhanh hơn, có hiệu quả cao.
6 Phát huy tính t duy lô gích, độc lập sáng tạo và các em tự bổ xung cho mình
các kiến thức trớc đó mà các em còn hổng hoặc cha chắc chắn
Phần iii: Quá trình nghiên cứu thử nghiệm
I- Quá trình nghiên cứu:
1 Phơng trình bậc hai và định lý viét học sinh đợc học trong chơng trình lớp 9 ở
bậc THCS khi giải phơng trình bậc hai: a x2 + bx + c = 0, các em học sinh rất lúng túng khi xác định hệ số a, b, c nhất là khi các hệ số ấy đợc cho dới dạng tham số Phần lớn các em chỉ vận dụng vào công thức tính biệt thức và nghiệm của phơng trình mà không cần biết phơng trình đã cho có tồn tại hay không Khi nào có nghiệm và khi nào không có nghiệm Hơn nữa khi tính biệt thức các em chỉ quen với khái niệm ≥ 0
2 Trong quá trình nghiên cứu vì các phơng pháp giải phơng trình bậc hai (với
lớp 8 có thể đa về dạng tích, với lớp 9 các em đợc học trong chơng trình chính khoá do vậy với chuyên đề này tôi không hệ thống lại các phơng pháp giải mà chỉ đề cập đến các sai lầm thờng mắc của các em trong quá trình luyện tập, ôn tập
3 Trong quá trình luyện tập khi giải các bài toán mà còn phải sử dụng nhiều đến
kiến thức có liên quan đến phơng trình bậc hai và định lý viét, nhiều phơng trình phải quy về phơng trình bậc hai, với các dạng bài tập này các em thờng rất lúng túng Không tìm đợc mối liên quan giữa những "điều đã cho" tới "điều phải đi tìm" khi bài toán ấy có chứa các tham số
4 Những bài tập các em coi là "khó" - khó hiểu, khó trình bày lời giải nhất là khi
các em học khá muốn nâng cao năng lực học toán của mình tìm đến với các sách tham khảo, đề thi tuyển sinh vào các trờng THCS chuyên cũng nh vào các trờng THCS khác
II- Quá trình thử nghiệm:
1 Để giúp các em học sinh giải các bài toán có liên quan đến phơng trình bậc
hai và định lý viét, tôi đã hớng dẫn và lu ý các em đến với các bài toán có chứa tham số và phân loại các dạng bài tập Nhất là các bài toán có thể đa về phơng trình bậc hai quen thuộc đối với học sinh
Trang 32 Phân tích nhận biết các dấu hiệu chung, nhận biết các tính chất để làm xuất
hiện các hệ thức có chứa các dấu hiệu cần tìm
3 Trong quá trình tìm tòi và giải bài tập tôi đã hớng dẫn và phân loại cho các em
một số dạng bài tập có liên quan đến phơng trình bậc hai và định lý viét nh sau:
** Dạng 1: Phép giải và biện luận phơng trình bậc hai.
Hớng dẫn học sinh cần chú ý
ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)
Nếu hệ số a của x2 chứa tham số, khi đó phải xét từng trờng hợp a = 0
Ví dụ: Cho phơng trình:
(m2 - 4) x2 + 2) x + 1 = 0 (1) a) Tìm m để phơng trình có nghiệm
b) Tìm m để phơng trình có nghiệm duy nhất
Để giải câu (a) cần lu ý học sinh xét trờng hợp a = 0 vì khi đó hệ số a chứa tham số
A = 0 m = 2
Khi này (1) chỉ có nghiệm khi m = 2 còn m = - 2 thì (1) vô nghiệm
Để giải câu (b); thờng học sinh chỉ xét trờng hợp:
a ≠ 0
' ≥ 0
Bỏ qua trờng hợp
a = 0
b ≠ 0
Mà ở câu (a) trờng hợp m = 2 thì a = 0 và b ≠ 0
Phơng trình có nghiệm duy nhất x =
8
1
Phơng trình có nghiệm duy nhất khi m = 2
Ví dụ 2: Biện luận số nghiệm của phơng trình:
x3 - m (x + 2) + 8 = 0 (1) theo m Bài toán này mới nhìn học sinh cho là phơng trình bậc 3 cha biết cách giải
Hớng dẫn các em đa (1) về dạng tích trong đó có một nhân tử bậc nhất và một nhân tử bậc hai
(1) (x + 2) (x2 - 2x + 4 - m)
Nh vậy số nghiệm của phơng trình sẽ phụ thuộc vào số nghiệm của:
F(x) = x2 - 2x + 4 - m Các em phải biện luận ' = m - 3
Nếu m < 3 phơng trình (1) có một nghiệm x = -2
Nếu m = 3 và
0 ) 2 (
0 2
f x
thì (1) có hai nghiệm phân biệt x = -2, x = 1; m = 3
Trang 4Nếu m > 3 thì f(x) có hai nghiệm phân biệt khác - 2 khi đó (1) có 3 nghiệm phân biệt.
** Dạng 2: Biểu thức đối xứng của hai nghiệm.
- Nhắc lại biểu thức F (x1; x2) gọi là đối xứng
- Nếu F (x2; x2) đối xứng biểu diễn qua hai biểu thức đối xứng cơ bản
S = x1 + x2 và P = x1x2
- Nếu ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm thì:
S = x1 + x2 và
a
b
và P = x1x2 = c/a
Ví dụ 1 cho f(x) = 2x2 + 2 (m + 1) x + m2 + 4m + 3
Gọi x1; x2 là các nghiệm của f(x) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
A = x1x2 - 2x1 - 2x2
- Học sinh thờng mắc sai lầm không cần xem xét f(x) có nghiệm hay không mà áp dụng luôn hệ thức:
S = x1 + x2 = - (m + 1) và P =
2
3 4
m
- Cần lu ý các em f(x) có nghiệm
≥ 0 (m + 1) (-m-5) ) ≥ 0 - 5) ≤ m ≤ -1 Khi đó áp dụng hệ thức
S = -(m +1) và P =
2
3 4
2
m
Biểu thị A theo S và P
A =
2 7 8
2
m m
Đến đây học sinh lại quên mất điều kiện có m khử dấu trị tuyệt đối
Vì - 5) ≤ m ≤ -1 nên m2 + 8m + 7 ≤ 0 do đó
A = -
2
9 2
) 4 ( 9 2
7
2
m
Xảy ra dấu bằng khi m = -4 Vậy mà A =
2
9
khi m = -4
Ví dụ 2: Tìm m để phơng trình:
3x2 + 4 (m-1)x + m2 - 4m + 1 = 0
Có hai nghiệm x1; x2 thoả mãn
) (
2
1 1
1
2 1 2
1
x x x
Với bài toán này học sinh cũng bỏ qua không xét xem với điều kiện nào của m thì phơng trình đã cho có nghiệm mà áp dụng luôn hệ thức
S = x1 + x2 = -
3
) 1 (
4 m
và P =
3
1 4
m
Trang 5Trớc hết phải xét phơng trình có nghiệm ' > 0
m2 + 4m + 1 > 0 m < - 2 - 3 hoặc m > - 2 + 3 (*)
Điều kiện thứ 2 là P ≠ 0 để có
2 1
1 ,
1
x x
m ≠ +2 3
Một sai lầm học sinh thờng mắc phải đó là khi tính
) (
2
1 1
1
2 1 2
1
x x x
x 2(x1+x2) = (x1+x2)x1x2 hai vế của đẳng thức
x1 + x2 liền rút gọn đi
Điều đó không thể đợc vì có thể có giá trị của m làm cho x1 + x2 = 0
- Nhắc cho học sinh phải chuyển vế đa về dạng tích:
(x1 + x2)(2 - x1x2) = 0
4(m - 1)(-m2 + 4m + 5) ) = 0
m = 1 m = -1 Loại vì ĐK (*)
m = 5) Vậy m = 1 hoặc m = 5) thì phơng trình có nghiệm thoả mãn đầu bài
** Dạng 3 Hệ thức giữa hai nghiệm không phụ thuộc tham số:
- Cần lu ý:
+ Điều kiện để phơng trình có nghiệm
+ Tính S và P Nếu S và P không chứa tham số thì ta có hệ thức phải tìm Nếu S và P chứa tham số thì khử tham số từ S và P
Ví dụ 1: Cho phơng trình:
mx2 - (2m + 3) x + m - 4 = 0 a) Tìm m phơng trình có hai nghiệm x1, x2
b) Tìm hệ thức liên hệ giữa x1x2 không phụ thuộc tham số
- Điều kiện để phơng trình có hai nghiệm phân biệt
- > 0 28m + 9 > 0 m >
28
9
- Biểu thị S = x1 + x2 = 2 +
m
3
và P = x1x2 =
m
m 4
- Khử tham số đợc: 4(x1+x2) + 3x1x2 = 11
* Dạng 4 Điều kiện để hai nghiệm liên hệ bởi một hệ thức cho trớc.
Cần lu ý:
Nghiệm x1, x2 của phơng trình bậc hai thoả mãn hệ thức nào đó, chẳng hạn F(x1,x2) = 0 Nếu (x1, x2) là biểu thức đối xứng
Còn nếu F (x1, x2) không phải biểu thức đối xứng thì phải đặt điều kiện để phơng trình có nghiệm
Trang 6áp dụng hệ thức x1 + x2 = -b/a và x1x2 = c/a kết hợp F(x1, x2) = 0 khử x1, x2
Tìm giá trị của tham số
Ví dụ 1: Tìm m sao cho
x2 - (2m + 1)x + m2 + 1 = 0 có 2 nghiệm x1, x2 với 1 = 2x2
Phơng trình có nghiệm ≥ 0 4m - 3 ≥ 0 m ≥3/4
Biểu thị
1 2
1 2 3 1 1 2
2 2 2
1
2 1
m x m x m
x
P
m x x
S
Rút x2 theo m đợc hệ thức m2 - 8m + 7 = 0
Từ đó ta có m = 1 hoặc m = 7
Ví dụ 2: Chứng minh hệ thức: (k + 1)2 ac = kb2 (với k ≠ -1)
Là điều kiện cần và đủ để phơng trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có nghiệm đồng thời nghiệm này gấp k lần nghiệm kia
Hớng dẫn học sinh xác định điều kiện cần, điều kiện đủ của bài toán
+ Điều kiện cần:
Phơng trình ax2 + bx = c = 0 (a ≠ 0)
Giả sử có nghiệm x1, x2 và x1 = kx2
Thì ta có hệ thức: (k + 1)2 ac = kb2 (với k ≠ -1)
Biểu thị S = x1 + x2 = -b/a
P = x1 x2 = c/a
a c kx
a b x
k
/
/ )
1 (
2 2
(Sử dụng điều kiện x1 = kx2)
Khử x2 đợc hệ thức cần chứng minh: (k + 1)2 ac = kb2
+Điều kiện đủ: Ta có hệ thức (k + 1)2 ac = kb2
Phải chứng minh phơng thức ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có nghiệm x1 = kx2
Rút ac từ hệ thức đã có (liên quan đến )
Vì k ≠ - 1 khi đó ac = 2
2
) 1 ( b
kb
Do đó phơng trình có hai nghiệm
) 1 (
) 1 (
2
2 2
k
k b
x1 =
) 1 (
k a
kb a
b
x2 =
) 1 (
k a
b a
b
Vậy x1 + kx2
Ví dụ 3: Tìm m để phơng trình có nghiệm:
mx2 - 2 (m - 1) x + 3 (m - 2) = 0
Trang 7Có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thoả mãn x1 + 2x2 = 1
0 5 2 5 2 0
0
'
m m a
Biểu thị
m m x
x P
m m x
x S
) 2 ( 3
) 1 ( 2
2 1
2 1
Biểu thị x1 theo x2 từ hệ thức x1 + x2 = 1
Tính x2 theo m để khử x2 đợc:
3m2 - 8m + 4 = 0 m = 2 hoặc m = 2/3
** Dạng 5 Xét dấu các nghiệm số.
Phơng trình bậc hai ã2 + bx + c = 0 (a ≠0)
Nếu P = 0
a
c
thì phơng trình có nghiệm Nếu P > 0 xét điều kiện ≥ 0
Nếu P > 0 thì xét dấu của S =
a
b
cho biết kết quả so sánh giá trị tuyệt đối các nghiệm
Ví dụ 1: Tìm m để phơng trình
x2 - 2mx + (m + 1) x - m + 1 = 0 (1) có nghiệm duy nhất
Đặt ẩn phụ đa về phơng trình bậc hai:
X = x - m với 0 ≤ X ta đợc phơng trình
X2 + (m = 1) X - m2 + 1 = 0(2)
Tìm điều kiện để (2) có nghiệm ≥ 0
m ≤ -1 hoặc m ≥ 53
Nếu X là nghiệm của (2) thì
X = x - m x = X + m
Xét X = 0 x = m
X ≠ 0 x = m X
Phơng trình (1) có nghiệm duy nhất (2) có nghiệm X1, X2 thoả mãn
X1≤ X2 = 0
Đa về phơng trình hỗn hợp:
1 1 0 0 1
0
0 2
m m m
m
S
P
Vậy m = 1
** Dạng 6 Vị trí tơng đối của đờng thẳng và đờng bậc hai
Cho đờng bậc hai y = f(x) và đờng thẳng y = ax + b Hoành độ điểm chung của hai đờng là nghiệm của phơng trình f(x) = ax + b (*)
Trang 8- Nếu (*) có hai nghiệm phân biệt thì hai đờng cắt nhau tại hai điểm.
- Nếu (*) có một nghiệm kép thì hai đờng thẳng tiếp xúc nhau tại điểm có hoành độ là nghiệm kép Khi đó đờng thẳng y = ax + b là tiếp tuyến của đồ thì hàm số y = f(x)
- Nếu (*) vô nghiệm thì hai đờng thẳng không có điểm chung
Ví dụ 1: Chứng minh rằng đờng thẳng y = -x luôn cắt parabol
y = x2 - 2 (m + 2)x + m2 + 3m = -x có hai nghiệm phân biệt và khoảng cách giữa hai điểm không phụ thuộc vào m
- Phơng trình x2 - 2(m +2) x + m2 + 3m = -x có hai nghiệm phân biệt ' > 0
' = 9 > 0
- Hoành độ giao điểm xA, xB là nghiệm của phơng trình, khi đó xA = m và
xB = m + 3
- Tìm tung độ của A và B: yA = -m - 3
- áp dụng công thức khoảng cách giữa hai điểm
AB = ( ) 2 ( ) 2 18 3 2
Ví dụ 2: Cho hàm số y =
1
2
2
x
x x
a) Chứng minh rằng đờng thẳng y = -x + k luôn cắt đồ thì tại hai điểm phân biệt A, B b) Tìm k sao cho OA OB
Phơng trình x2 - 2x = (x - 1) (-x + k) có hai nghiệm phân biệt
0 (k - 1)2 + 8 > 0k
OA OB tích các hệ số bằng - 1
Hệ số của OA, OB là tỷ số giữa tung độ và hoành độ tơng ứng
a1 =
A
A B
A
x
k x y
A B
A
x
k x y
2
B A
B A B A
x x
k k x x x x
áp dụng hệ thức Viét:
2 2 3
k x x
k x x
B A
B A
Từ (*) k2 - k = 0 k = 0 hoặck = 1
Loại k = 0 vì khi đó a1a2 = 1
** Dạng 7: Thiết lập phơng trình bậc hai.
Nếu có hai số x1, x2 mà x1 + x2 = S và x1x2 = P thì x1, x2 là nghiệm của phơng trình X2 - SX + P = 0
Ví dụ: Giả sử phơng trình: x2 + px + q = 0 có hai nghiệm x1, x2 khác 0 Hãy lập
phơng trình bậc hai có hai nghiệm
1
1
x và
2
1
x ;
Trang 9Với bài toán này không cần điều kiện ≠ 0 vì đầu bài đã giả sử phơng trình có nghiệm x1, x2 khác 0
áp dụng hệ thức Viét:
q x x q x x q x p x x
1 1 1 1 1
2 1 2 1 2
2 1
Phơng trình cần lập: x2 + 1 0 qx2 px10
q
x q p
** Dạng 8: Hệ đối xứng hai ẩn.
Hệ đối xứng hai ẩn x, y biểu diễn từng phơng trình theo x + y và x.y;
Đặt S = x + y và P = x y đợc hệ chứa các ẩn mới S và P
Giải hệ tìm S và P Các số x và y là nghiệm của phơng trình
X2 - SX + P = 0 Giải và biện luận phơng trình chứa ẩn X
Ví dụ 1: Giải hệ
26 2
3
3 y x y x
Làm xuất hiện x + y và x y đợc
26 ) ( 3 ) ( 2
3
y x xy y x y x
Đặt S = x + y = 2, P = xy đợc
26 3 2
3 SP S S
Tìm S = 2 và P = -3
Nghiệm của hệ (-1; 3) và (3; -1)
Chú ý: Nếu hệ đối xứng nêu trên có nghiệm (a; b) nó cũng có nghiệm (b; a)
Ví dụ 2: Giải hệ
35 30
y y x x
x y y x
Trớc hết đặt điều kiện x ≥ 0 và y ≥ 0
Đặt ẩn phụ U = x và V = y (U, V ≥ 0)
Đa hệ về
25 ) ( 3 ) (
30 ) (
3 UV U V V
U V U UV
Đặt S = U + V và P = U V đợc hệ
35 3
30
3 SP S
SP
Giải tìm đợc S = 5) và P = 6 Chú ý U và V là nghiệm không âm của phơng trình
t2 - 5) t + 6 = 0 t = 2 và t = 3
đa về
3 2
y
x
hoặc
2 3
y x
Nghiệm của hệ (4; 9) và (9 ; 4)
Ví dụ 3: Tìm m để hệ
6 4 1 1
m y x
m y
x
có nghiệm Tìm điều kiện để tồn tại các câu
1 1
y x
Đặt ẩn phụ u = x 1 và v y 1 (với u ≥ 0, v ≥ 0)
u2 = x + 1 và v2 = y - 1 đợc hệ
v u P
m S
m
m
v
u
m
v
u
6
4
2
2
2
6 4
2 2
2 P m m
S
m
S
3
2m
P m S
u, v là nghiệm của phơng trình t2 - mt + 2m - 3 = 0 (*)
vì u ≥ 0 và v ≥ 0 nên (*) không có nghiệm âm
Giải hệ bất phơng trình
2 2 6 0
0 3 2
0 12 8 0
0 2
m m m
m m S P
Ví dụ 4: Biết rằng các số x, y thoả mãn điều kiện x + y = 2 Hãy tìm giá trị nhỏ
nhất của: F = x3 + y3
Trang 10Tìm điều kiện của F để có nghiệm (thờng học sinh bỏ qua điều kiện này).
Từ đó có thể tìm đợc min F
Hệ có nghiệm
F y x xy y x y x F y x y x
) ( 3 ) ( 2 2 3 3 3
Đặt S = x + y và P = xy đợc
6 2 3
S F PS S
x, y là nghiệm của t2 - 2t + 0 (*)
6
8
F
Có nghiệm ' ≥ 0 1 - 86F 0,F 2
Vậy min F = 2 khi x = y = 1
** Dạng 9 Quan hệ giữa các nghiệm của phơng trình bậc hai.
- Xét ba mối quan hệ quan trọng
1 Hai phơng trình có ít nhất một nghiệm chung
2 Hai phơng trình tơng đơng
3 Hai phơng trình có nghiệm xen kẽ
I- Hai phơng trình có ít nhất một nghiệm chung:
ax2 + bx + c = 0 và a'x2 + b'x + c' = 0 có nghiệm chung nếu hệ
0 c'
x b' x
a'
0 c
bx ax
2 2
có nghiệm Nếu hệ có chứa tham số cả hai ẩn
đặt y = x2 đợc
0 c'
x b'
y a'
0 c
bx ay
Hai phơng trình có nghiệm chung hệ hai
ẩn x, y có hệ thoả mãn y = x2
Ví dụ 1: Tìm m để hai phơng trình
x2 + mx + 1 = 0 và x2 + x + m = 0 có nghiệm chung
Đặt y = x2 ≥ 0 hệ có nghiệm chung
0 m
x
0 1
mx
y y
Tính định thức (học sinh thờng tìm ≥ 0 cho cả hai phơng trình đã cho rồi giả sử (x0; y0) là nghiệm chung của hai phơng trình)
D = m - 1 Hệ có nghiệm duy nhất nếu D ≠ 0 m ≠ 1
Tìm đợc x = -1; y = -m - 1
Vì y = x2 - m - 1 = 1 m = -2
D = 0 m = 1 hai phơng trình đều vô nghiệm nên không có nghiệm chung
Ví dụ 2: Chứng minh rằng nếu hai phơng trình.
x2 + p1x + q1 = 0 và x2 + p2x + q2 = 0
có nghiệm chung thì (q1 - q2) + (p1 - p2) (q2p1 - q1p2) = 0
Cách làm tơng tự ví dụ 1:
Trờng hợp D = 0 p1 = p2 hệ có nghiệm khi q1 = q2
II- Hai phơng trình tơng đơng:
Hai phơng trình vô nghiệm là tơng đơng