Đề cương ôn tập thi toán cao cấp có lời giải

Tích của hai ma trận AB thay đổi như sau:i Dòng i và dòng j của tích sẽ đổi chỗ cho nhau.. ii Cộng vào dòng thứ i của tích AB cũ tích vô hướng của  với dòng thứ j của AB.iii Đổi chỗ cột

Với k = 2 thì 2 1 0

0 1

A  

Giả sử mệnh đề đúng với giá trị k = n

Ta cần chứng minh nó đúng với giá trị k = n + 1

Tích của hai ma trận AB thay đổi như sau:

i) Dòng i và dòng j của tích sẽ đổi chỗ cho nhau

ii) Cộng vào dòng thứ i của tích AB cũ tích vô hướng của  với dòng thứ j của AB.iii) Đổi chỗ cột i và j của tích AB ban đầu cho nhau

iv) Cộng vào cột thứ i của tích AB ban đầu với tích vô hướng của  với cột thứ j của AB

Vậy

0

a b B

Chiều ngược lại ta kiểm tra được tích của hai ma trận đường chéo là ma trận đường

chéo, tức là diag( , , , ).diag( , , , ) diag(a a1 2 a n b b1 2 b n  a b a b1 1, 2 2, ,a b n n)

Nếu A là ma trận vuông, giả sử 0 1

Câu 23:

Giả sử A r B s  Khi đó, (0 )r r r 0

AB A B  Đối với tổng sử dụng nhị thức Newton ta thấy, (A B)r s  1

Suy ra B khả nghịch, do detB 0

Câu 25:

Gọi các phần tử nằm trên đường song song với đường chéo chính là một đường chéo con Có thể chứng tỏ rằng nếu B là ma trận thỏa mãn đề bài và có r  đường 0chéo con ngay phía trên đường chéo chính bằng 0, tức là a  với mọi i, j thỏa mãn ij 0

i j r và A là một ma trận thỏa mãn đề bài, thì BA là ma trận thỏa mãn đề bài và có

r + 1 đường chéo con ngay phía trên đường chéo chính bằng 0 Áp dụng pp quy nạp ta

có điều phải chứng minh

Các trường hợp ngược lại thì rank A = 3

b) Đưa ma trận về dạng bậc thang bằng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng hay cột

Nếu m = 0 thì B là ma trận 0 suy ra rank B = 0

c) Đưa ma trận về dạng bậc thang bằng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng hay cột

Vậy rank A = 3 với mọi m

b) Ta đưa ma trận B về dạng bậc thang sau:

m

m m

m m m

Vì rank (A) đồng thời là số dòng cực đại độc lập tuyến tính và số cột cực đại độc

lập tuyến tính mà không gian vector dòng có chiều là m còn không gian vector cột có

chiều là n Do đó, ma trận A M m n K ( , ; )có hạng không lớn hơn min(m,n)

Với m = 1 thì rank (A) = 1.

Với m ≠ 1 thì thực hiện các phép biến đổi sơ cấp trên dòng đưa ma trận A thành

Gọi ma trận nhận được sau khi biến đổi là B Chú ý rằng cột thứ i của A 1, B 1

tương ứng là nghiệm của các phương trình AX e i và BX e i

a) Nếu B nhận được từ A bằng cách đổi chỗ dòng i và j cho nhau, thì khi đổi chỗ

hai dòng i và j cho nhau của phương trình BX e i, vế trái sẽ trở thành AX còn vế phảithành e Như vậy cột thứ i của j B 1chính là cột thứ j của A 1 Tương tự cột thứ j của

1

B chính là cột thứ i của A 1, còn các cột khác giữ nguyên

b) Tương tự, khi nhân dòng i với  0thì ma trận nghịch đảo mới nhận được từ

ma trận nghịch đảo cũ bằng cách nhân cột thứ i với 1

.c) Ma trận nghịch đảo mới nhận được từ ma trận nghịch đảo cũ bằng cách trừ đi từcột thứ j tích của cột thứ i với 

Câu 42:

Định thức thay đổi như sau:

a) Gọi định thức cũ là D và định thức mới là D’ khi hoán đổi vị trí của cột thứ nhất

d) Phép biến đổi này tương đương với tích của các phép biến đổi sau: lấy đối xứngqua trục dọc, rồi lấy đối xứng qua đường chéo chính, rồi lại lấy đối xứng qua trục dọc Nhận thấy phép lấy đối xứng qua trục dọc không làm thay đổi định thức Phép lấy đối xứng qua trục dọcchỉ làm thay đổi dấu của định thức (tùy tính chẵn lẻ của [n/2]) Thực hiện lại một phép đối xứng nữa thì định thức đổi dấu lại Do đó, tổng hợp lại định thức

sẽ không thay đổi

e) Định thức được giữ nguyên

f) Muốn lấy đối xứng qua tâm ta sẽ thực hiện hai phép biến đổi Trước hết lấy đối xứng qua đường chéo chính (sẽ được ma trận chuyển vị), rồi lấy đối xứng qua đường chéo phụ Cả hai phép biến đổi này đều không làm thay đổi định thức

g) Xét phép quay ngược chiều kim đồng hồ Khi đó quay quanh tâm một góc 900, phép biến đổi này giống như phép lấy đối xứng qua trục dọc của hai ma trận rồi lấy đốixứng qua đường chéo chính Khi đó định thức sẽ sai khác một nhân tử là [ /2]

a a a a a a a a a Tuy nhiên chúng không thể bằng 1 tất cả vì khi đó định

thức sẽ bằng 0 Do đó giá trị lớn nhất của định thức bằng 2 Điều này đạt được vì

g)

2

2 2

Câu 54:

Khai triển định thức ở vế trái thành tổng các định thức và áp dụng các tính chất của định thức Ta có, 6 trong 8 định thức nhận được được sau khi khai triển đều có ít nhất hai cột giống nhau nên bằng 0, còn 2 định thức có dạng 1 1 1

Vậy định thức đã cho bằng 0 do có 2 cột giống nhau

a) Khai triển theo cột 1 rồi dùng các công thức lượng giác:

sin(a- b) = sinacosb – cosasinb và sin2a= 2sinacosa ta được điều cần chứng minh.b)

Câu 59:

Lấy cột 3 trừ cho tổng của cột 1 nhân với x và cột thứ 2 nhân với y ta được điều phải chứng minh

 , ta lại có a = qc, b = qd

e) Nhân dòng thứ hai với -1 rồi cộng vào tất cả các dòng còn lại Sau đó khai triển định

1 1

k) Cộng tất cả các cột vào cột đầu rồi rút thừa số chung x + (n-1)a ra ngoài định thức

Sau đó, Nhân dòng đầu với -1 rồi cộng vào tất cả các dòng còn lại ta được:

  Đối với định thức  ta cộng tát cả các cột vào cột đầu, rút thừa số chung

a) Lấy cột 2 cộng vào cột 1 và đưa nhân tử chung a + b + c ra ngoài dấu định thức, ta

có định thức có hai cột giống nhau nên bằng 0

b) Lấy cột 3 trừ cho cột 2, ta được định thức có hai cột tỉ lệ nên bằng 0

c) Áp dụng công thức cộng sin(a b ) sin cos a bsin cosb a, tách thành tổng hai định thức Mỗi định thức trong hai định thức này đều có hai cột tỉ lệ nên chúng bằng 0.Suy ra định thức ban đầu bằng 0.

d) Tách định thức thành tổng hai định thức và hai định thức này đều bằng 0 vì có hai cột tỉ lệ

e) Cộng tất cả các cột vào cột 1 sau đó đặt nhân tử chung a + b + c ra ngoài dấu định thức ta có định thức bằng 0 vì có hai cột tỉ lệ

1

11

Gọi

1

11

a) Ta có định thức của ma trận hệ số của hệ a) khác 0 Suy ra hệ a) là hệ cramer.

Hệ (a) có nghiệm duy nhất là:

b) Ta có định thức của ma trận hệ số của hệ b) khác 0 Suy ra hệ b) là hệ cramer

Áp dụng phương pháp cramer giải hệ pt b) Ta được nghiệm của hệ b) là

Nếu a = 1 và b ≠ 2 thì hệ vô nghiệm

Nếu a ≠ 1 và b ≠ 2 thì hệ có nghiệm duy nhất:

Hệ phương trình vô nghiệm vì rankA rank A

b) Dùng phương pháp Gauss Jordan Lập ma trận hệ số mở rộng và thực hiện các phép

biến đổi sơ cấp trên dòng để đưa về dạng bậc thang

a) Ta có hệ a) là hệ Cramer có định thức của ma trận hệ số bằng -377 khác 0 Suy ra,

hệ pt này có nghiệm tầm thường

Lập ma trận hệ số mở rộng của hệ phương trình trên rồi thực hiện các phép biến

đổi sơ cấp trên dòng

Nếu  0 thì hệ vô nghiệm.

Nếu  0thì hệ có vô số nghiệm phụ thuộc 2 tham số:

Nếu k = -2 thì rankA rank A nên hệ vô nghiệm.

Nếu k ≠ 1 và k ≠ -2 thì hệ có nghiệm duy nhất:

Câu 85:

( )

g x ax bx cx dTheo giả thiết đề bài thì a, b, c, d cần tìm thỏa hệ pt:

04

Nếu m = -2 thì hệ vô nghiệm

Nếu m = 1 thì hệ có vô số nghiệm

Nếu m ≠ 1 và m ≠ -2 thì hệ có nghiệm duy nhất

a

a ab y

ma trận hệ số khi thay cột thứ i bởi cột hệ số tự do của hệ)

Do đó hệ vô nghiệm khi 21

a) Ba điểm M x y M x y1( ; );1 1 2( ; );2 2 M x y nằm trên một đường thẳng ax + by + 3( ; )3 3

c= 0 khi và chỉ khi hệ phương trình tuyến tính thuần nhất

Nếu ad – bc = 0 và ít nhất một trong 4 số a, b, c, d khác 0 thì hệ có nghiệm ta phải có

af – ce = bf – de = 0 Trường hợp a = b = c = d = 0 thì để hệ có nghiệm ta phải có e = f