SKKN Bài toán tính thể tích khối đa diện THPT NGUYỄN VĂN VINH THỌ XUẬN

Hình học không gian khó còn do các phươngtiện, mô hình dạy học để hỗ trợ trí tưởng tượng không gian còn thiếu... Nghiêncứu phương pháp giảng dạy toán, đặc biệt là phương ph

A – ĐẶT VẤN ĐỀ

1 - Lý do chọn đề tài

+ Nhiệm vụ và mục tiêu của môn Toán nói chung và phân môn Hình họcnói riêng là phát huy tính tích cực của học sinh tăng cường khả năng tự học,tự khám phá, khơi dạy lòng say mê khoa học Do đó người dạy phải tích cựcđổi mới phương pháp dạy và học môn Toán ở trường THPT, tích cực hóa hoạtđộng học tập của học sinh, tập trung rèn luyện khả năng tự học, tự phát hiệnvà giải quyết vấn đề, nhằm từng bước hình thành cho học sinh khả năng tưduy tích cực, độc lập sáng tạo, phân tích và tổng hợp một vấn đề Để có đượcđiều đó, trong giảng dạy người thầy giáo phải thường xuyên tự bồi dưỡng,học hỏi nâng cao trình độ của bản thân, trong bài giảng phải phải giúy họcsinh nắm được các kiến thức cơ bản, trọng tâm, thúc đẩy sự tìm tòi, khám phácủa người học, tạo hướng thú học tập và rèn luyện cho các em những kỹ nănggiải toán cần thiết phải có

+ Hình học không gian là một môn học giầu tính trìu tượng, môn học khónhưng cũng nhiều lý thú và thiết thực với thực tế đời sống con người Nóđược đưa vào chương trình phổ thông từ lâu, để hiểu và vận dụng được kiếnthức hình học ngoài lòng say mê thì cần phải có tính can đảm vượt khó và họctập một cách bài bản khoa học Hình học không gian khó còn do các phươngtiện, mô hình dạy học để hỗ trợ trí tưởng tượng không gian còn thiếu Thực tếnhiều năm giảng dạy đa số các em còn ngại và sợ khi học môn này, dù biếttrong cấu trúc chương trình thi tốt nghiệp THPT, BT.THPT, tuyển sinh đạihọc, cao đẳng và THCN đều có nội dung này Vậy để góp phần nhỏ bé giúycác em nắm được các kiến thức cơ bản và vận dụng vào giải các bài tập hìnhhọc không gian; góp phần nâng cao chất lượng dạy và học; tôi chọn đề tàisáng kiến kinh nghiệm: “ Bài toán tính thể tích khối đa diện” nhằm giúy họcsinh nắm được kiến thức cơ bản, các bước giải, kiến thức được vận dụng khigiải các bài dạng toán này

2 – Phạm vi nghiên cứu của đề tài:

+ Xây dựng hệ thống và phân loại các bài tập tính thể tích khối đa diện từ dểđến khó phù hợp với đối tượng học sinh, giúy học sinh lớp 12 hiểu và nắmvững kiến thức phần này

+ Hình thành phương pháp và các bước giải các dạng bài tập đó

+ Rèn cho học sinh kỹ năng huy động, vận dụng kiến thức đã học để giảitoán

+ Đưa ra một số bài tập tự luyện nhằm cũng cố cho học sinh kỹ năng vậndụng khi gặp dạng toán tính thể tích khối đa diên

3 – Đối tượng, thời gian nghiên cứu đề tài:

+ Đối tượng mà đề tài hướng tới nghiên cứu và áp dụng thực nghiệm là họcsinh lớp 12 GDTX năm học 2011-2012

4- Phương pháp nghiên cứu:

+ Phương pháp nghiên cứu tài liệu: nghiên cứu lý thuyết hình học khônggian, phương pháp tính thể tích khối chóp, khối lăng trụ, khối hộp Nghiêncứu phương pháp giảng dạy toán, đặc biệt là phương pháp giảng dạy bài tậptoán

+ Phương pháp quan sát sư phạm: thông qua thực tế giảng dạy, trao đổi vớiđồng nghiệp, dự giờ đúc rút kinh nghiệm, tiếp thu sự phản hồi từ học sinh + Phương pháp thực nghiệm: thực hiện kiểm tra đánh giá ở các lớp 12A1,12A4 sau quá trình học tập

5 – Giá trị sử dụng của đề tài:

+ Học sinh lớp 11, 12 THPT, BT.THPT

+ Học sinh ôn thi tốt nghiệp, thi tuyển sinh đại học, cao đẳng và THCN + Giáo viên giảng dạy môn Toán lớp 12 ban cơ bản

B – NỘI DUNG ĐỀ TÀI

1 Cơ sở lý luận:

+ Bài tập toán có tác dụng bổ sung, hoàn thiện, nâng cao kiến thức phần lýthuyết còn thiếu do thời lượng phân phối chương trình quy định

+ Bài tập toán giúy học sinh hiểu sâu hơn lý thuyết, cũng cố rèn luyện chohọc sinh kỹ năng giải toán, kỹ năng vận dụng lý thuyết vào thực tiễn …

+ Bài tập toán còn giúy cho học sinh phát triển tư duy tích cực, tạo tiền đềnâng cao năng lực tự học, cũng cố khả năng sử dụng ngôn ngữ, cách trình bàylời giải, khả năng khám phá và tự khám phá, hình thành phương pháp làmviệc khoa học, hiệu quả

+ Thông qua bài tập toán giáo viên giảng dạy có một kênh thông tin thuthập, đánh giá chính xác năng lực học tập của học sinh

2 Cơ sở thực tiễn.

+ Các bài toán về tính thể tích của khối đa diện thường xuất hiện trong các đềthi tốt nghiệp THPT, BT.THPT, tuyển sinh đại học, cao đẳng và THCN, đồngthời đây là một trong ba chương của chương trình hình học khối 12

+ Đối với học sinh phần này là kiến thức khó, khi học chương này học sinhthường sợ và đạt kết quả thấp

+ Đối với giáo viên tâm lý là ngại dạy phần này, không có hứng thú, say mêtìm hiểu dẫn đến giảng dạy “ tối ngày đầy công” Vì vậy hiệu quả, chất lượnggiảng dạy phần này còn thấp chưa đạt mục tiêu chương trình

Từ đòi hỏi của thực tiễn và lý luận và đòi hỏi của mục tiêu giáo dục, tôi viếtsáng kiến kinh nghiệm “ Bài toán tính thể tích khối đa diện”

3 Các biện pháp tiến hành:

+ Trong chương trình cơ bản môn Hình học lớp 12: chương I: khối đa diệncó 11 tiết, chia làm 3 bài: bài 1: Khái niệm về khối đa diện; bài 2: Khối đadiện lồi và khối đa diện đề; bài 3: Khái niệm về thể tích của khối đa diện + Nội dung của chương I có 2 nội dung chính:

- Trình bày khái niệm về khối đa diện Trong phần này trước hết cho họcsinh làm quen với các khối đa diện cụ thể: khối chữ nhật, khối lăng trụ, khốichóp Sau đó trình bày khái niệm về khối đa diện tổng quát, phân chia và lắpghép các khối đa diện, khối đa diện lồi và khối đa diện đều

- Trình bày khái niệm về thể tích khối đa diện Phần này ta chỉ chứng minhcông thức thể tích hình hộp chữ nhật có ba kích thước là các số nguyêndương, sau đó công nhận rằng công thức trên cũng đúng với hình hộp chữnhật có ba kích thước là các số dương Tiếp đó, ta công nhận công thức tínhthể tích khối lăng trụ và khối chóp bất kỳ

+ Yêu cầu của chương này là:

- Nhận biết được thế nào là một khối đa diện, khối đa diện đều, biết thựchiện

phân chia và lắp ghép các khối đa diện

- Hiểu được khái niệm về thể tích khối đa diện

- Hiểu và nhớ được các công thức thể tích của khối hộp chữ nhật, khối lăngtrụ, khối chóp, vận dụng được chúng vào việc giải các bài toán về thể tíchkhối đa diện

Nhằm đạt được yều cầu trên, một trong những giải pháp góp phần giúy họcsinh hiểu và giải được các bài toán tính thể tích khối đa diện trong kỳ thi tốtnghiệp THPT, BT.THPT, các kỳ tuyển sinh, tôi xây dựng hệ thống bài tậptính thể tích khối đa diện áp dụng cho quá trình giảng dạy và bồi dưỡng họcsinh khi học chương này Bài tập tính thể tích khối đa diên chia làm 4 nộidung chính Đó là tính thể tích trực tiếp bằng công thức, tính thể tích gián tiếpqua việc lắp ghép hình, bài toán tổng hợp và bài tập tương tự (về nhà tự giải).Dạng toán tính thể tích trực tiếp rèn cho học sinh cách xác định đường cao, kỹnăng vận dụng kiến thức để tính đường cao, diện tích đáy từ đó suy ra thểtích Dạng toán tính thể tích gián tiếp rèn cho học sinh biết phân chia hoặc sửdụng các công cụ có liên quan đưa về bài toán cơ bản Dạng toán tổng hợp làsự vận dụng linh hoạt các phương pháp trên đưa được lời giải ngắn gọn, chínhxác Bài tập tương tự về nhà giúy các em tự rèn luyện, cũng cố thêm các kỹnăng đã có

a- Tính thể tích khối đa diện vận dụng trực tiếp công thức tính thể tích:

+ Khi áp dụng công thức thông thường yêu cầu:

1) Xác định chính xác đường cao của khối đa diện

2) Tính được độ dài đường cao và diện tích mặt đáy

3) Tính thể tích của khối đa diện

Một số kiến thức cần nhớ để xác định đường cao khối đa diện:

- Hình chóp đều có chân đường cao trùng với tâm của đáy

- Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau thì chân đường cao trùng với tâmđường tròn ngoại tiếp mặt đáy.

- Hình chóp có các mặt bên cùng tạo với đáy những góc bằng nhau thì chânđường cao chính là tâm đường tròn nội tiếp mặt đáy

- Hình chóp có một mặt bên vuông góc với đáy thì chân đường cao nằm trêngiao tuyến của mặt phẳng đó và đáy

- Hình chóp có hai mặt bên cùng vuông góc với đáy thì đường cao nằm trêngiao tuyến của hai mặt phẳng đó

Tính độ dài đường cao và diện tích mặt đáy cần lưu ý

- Các hệ thức lượng trong tam giác đặc biệt là hệ thức lượng trong tam giácvuông

- Các khái niệm về góc, khoảng cách và cách xác định

Sau đây là các bài tập minh họa

Bài1

Chóp tam giác đều SABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng a, các cạnhbên tạo với đáy một góc 600 Hãy tính thể tích của khối chóp đó

Bài giải

- Xác định đường cao của hình chóp:

Vì tam giác ABC đều, các cạnh bên tạo với đáy góc 600 nên chân đường caocủa hình chóp hạ từ S xuống mp(ABC) trùng với tâm của đáy ( tâm đáy làgiao điểm 3 đường cao, trung tuyến, trung trực, phân giác … )

- Tính đường cao và diện tích đáy và thể tích hình chóp:

Gọi D là trung điểm của BC và E là tâm đáy

Bài giải

- Xác định đường cao của hình chóp:

Theo trên thì hình chóp có các mặt bên tạo với đáy các góc bằng nhau thìchân đường cao trùng với tâm đường tròn nội tiếp đáy

- Tính đường cao và diện tích đáy và thể tích hình chóp:

Ta có hình chiếu của đỉnh S trùng tâm D đường tròn nội tiếp đáy

trong SDK có SD = KD tan600 = r tan600 = 2a 2

Do đó VSABC=31SD.SABC=8a3 3

Bài 3

Cho hình chóp SABC có các cạnh bên bằng nhau cùng hợp với đáy góc 600Đáy là tam giác cân ABC có AB = AC = a và BAC=1200 Tính thể tíchkhối chóp đó

Bài giải

- Xác định dường cao hình chóp:

Vì các cạnh bên bằng nhau nên chân đường cao trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp

- Tính đường cao và diện tích đáy và thể tích hình chóp:

Gọi D là trung BC và O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Có SO chính là đường cao

SABC = 1/2.AB.AC.sin1200 =

4 3

Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh2a SA=a, SB=a

3 và mp (SAB) vuông góc với mặt đáy Gọi M,N lần lượt là trung điểm củaAB,BC Hãy tính thể tích khối chóp S.BMDN

N

- Xác định đường cao hình chóp:

Hạ SH  AB tại H thì SH chính là đường cao

- Tính đường cao và diện tích đáy và thể tích hình chóp:

SH    SH = 22. 22

SB SA

SB SA

Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình thang vuông tại A, D; AB = AD

= 2a, CD = a Góc giữa hai mp (SBC) và (ABCD) bằng 600 Gọi I là trungđiểm của AD, Biết hai mp (SBI), (SCI) cùng vuông góc với mp(ABCD) Tínhthể tích khối chóp S.ABCD

Bài giải

- Xác định đường cao của hình chóp:

Giao tuyến SI của hai mp (SBI), (SCI) chính là đường cao của hình chóp

- Tính đường cao và diện tích đáy và thể tích hình chóp:

SIBA = 1/2.IA.AB = a2 và SCDI = 1/2.DC.DI = 1/2.a2

 SIBC = SABCD - SIAB - SDIC =

2

3a2

mặt khác SIBC =21 IH.BC nên IH = a

BC

S IBC

5

3 3 2



SI = IH.tan600 = a

5

3

- Xác định đường cao của hình chóp :

Gọi E, D lần lượt là AC, BC

 SBC Vuông BC = a 2

 SAC có AE = SA.sin600 =

2

3

a

 AC = a 3 và SE = SAcos600 = 21a

 ABC có AC2 = BA2+BC2 = 3a2 vậy ABC vuông tại B, nên SE là đường cao của hình chóp SABC

- Tính đường cao và diện tích đáy và thể tích hình chóp:

Có SABC =

2

1.BA.BC =

2

2

2

a  SBE có BE = 21 AC =

12

2 a

Bài 7

Cho khối lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có đáy là tam giác vuông tại A,

AC = a, ACB = 600 Đường thẳng BC1 tạo với mp(A1ACC1) một góc 300.Tính thể tích hình lăng trụ

- Xác định đường cao của hình lăng trụ:

Vì ABC.A1B1C1 là khối lăng trụ đứng nên CC1 là đường cao của lăng trụ

- Tính đường cao và diện tích đáy và thể tích hình lăng trụ:

Trong tam giác ABC có AB = AC.tan600 = a 3

Cho khối hộp ABCD.A1B1C1D1 có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = 3

và AD = 7 Các mặt bên ABB1A1 và A1D1DA lần lượt tạo với đáy các góc

450 và 600 Hãy tính thể tích khối hộp đó biết cạnh bên bằng 1

N H M

- Xác định đường cao của khối hộp:

Gọi H là hình chiếu của A1 lên mp(ABCD), H là chân đường cao của khối hộp ABCD.A1B1C1D1

- Tính đường cao, diện tích đáy và thể tích khối hộp:

Từ H hạ HMAD tại M và HNAB tại N

Theo gt  A1MH=600 và A1NH = 450

Đặt A1H = x (x>0) ta có A1M = sin 60 0

x

= 2x3 tứ giác AMHN là hình chữ nhật ( góc A,M,N vuông )

b - Tính thể tích khối đa diện theo cách gián tiếp:

Ta phân chia lắp ghép khối đa diện, để đưa về bài toán áp dụng tính thểtích theo công thức hoặc dùng bài toán tính tỉ lệ hai khối tứ diện (chóp tamgiác)

Kiến thức cần lưu ý: Cho hình chóp SABC Trên các đoạn thẳng SA, SB,

SC lấy lần lượt ba điểm A1, B1, C1 khác với S thì

SC

SC SB

SB SA

SA V

V

ABC

C B

Nhận xét: các mặt ở đây không có các lưu ý nên việc xác định đường cao làkhó nhưng ta thấy các góc ở đỉnh S là rất quen thuộc Ta liên tưởng đến bài 6phần trên

Vây ta có lời giải sau

B1

Trên SB lấy B1 Sao cho SB1 = a

Trên SC lấy C1 sao cho SC1 = a

Ta có

12

2

3 1 1

a

V SAB C  (theo bài 6) Mà .

1 1 1 1

C SAB

SC

SC SB

SB SA

SA

2

2

Gọi H là hình chiếu của A1 trên mpABC

Khi đó A1H=A1A.sinA1AH=2a.sin600 = a 3

Mà VLT = A1H.SABC =

4

3 4

3 3

K

Nhận thấy khối lăng trụ được chia làm ba khối chóp

khối chóp CA1B1C1 có V CA1B1C1 = 31VLT

khối chóp B1ABC có V B ABC

Bài giải DDF

Mp(FEA) cắt các đoạn thẳng A1D1, A1B1, B1B, D1D lần lượt tại J, I, H,

K (hình vẽ)

Gọi V1, V2 lần lượt là thể tích phần trên và phần dưới mp

Ta nhận thấy rằng hai phần khối đa diện chưa phải khối hình quenthuộc nhưng khi ghép thêm hai phần chóp HIEB1 và chóp KFJD1 thì phầndưới là hình chóp AIJA1

Ba tam giác IEB1, EFC1, FJD1 bằng nhau ( c.g.c )

Theo Ta let: 31

1

1 1

KD

1 2.2.2.3 72 1

1 3

1

3

1

1 1

3 2

1 3

1

2

1 3

1

1

abc c

b a JA

AI AA

3abc abc abc

I

E

F

J

c - Bài toán tổng hợp:

khi ta đã trang bị kiến thức và phương pháp tính như trên, ta tiếp tục rèncho học sinh đưa ra cách giải một bài toán linh hoạt bằng cả hai phương phápđể học sinh so sánh đối chiếu lựa chọn và đưa ra bài tập ở mức độ tổng hợp.Bài 1 Cho khối lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có tất cả các cạnh đều bằng a.a) hãy tính thể tích khối tứ diện A1BB1C

b) Mp đi qua A1B1và trọng tâm tamgiác ABC cắt AC,BC lần lượt tại E,F.Hãy tính thể tích chóp C.A1B1FE

H

a) Cách 1: tính trực tiếp gọi H là trung điểm B1C1 suy ra Vtd =

12

3 2

2

3 3

1

Nên

12

3 4

3 3

1

3

1 1

a a

a V

b)cách 1 Tính trực tiếp

Gọi Q là trung điểm của A1B1,G là trọng tâm tam giác ABC

Khi đó qua G kẻ d // với AB thì E=ACd và F=BC d

Mp (CKQ) chính là mp trung trực của AB, FE

Nên khoảng cách từ C đến QG chính là khoảng cách từ C đến mp(A1B1FE)

13 12 6

3 ,

2

2 2

KQ QG

a GK a