SKKN Hệ thống các dạng và phương pháp giải bài toán dao động tắt dần THPT NGA SƠN

Ta khảo sát bài toán con lắc lò xo chịu thêm tác dụng của một lực không đổi chiều và độ lớn sau: Bài toán 1: Một con lắc lò xo gồm vật nặng có khối lượng m và một lò xo có độ cứng k..

A ĐẶT VẤN ĐỀ

Khi giảng dạy phần “dao động tắt dần ” lớp 12 tôi nhận thấy hầu hết các em học

sinh đều rất lúng túng khi làm các bài tập có liên quan đến dao động tắt dần Bởi đây là phần có nhiều dạng bài tập khó, có nhiều công thức cần nhớ và việc

áp dụng các công thức toán học tương đối phức tạp Khó khăn lớn nhất của các

em là việc xác định bài toán thuộc dạng nào để ra đưa phương pháp giải phù hợp cho việc giải bài toán đó

Mặt khác, trong giai đoạn hiện nay khi mà hình thức thi trắc nghiệm được áp dụng trong các kỳ thi tốt nghiệp và tuyển sinh đại học cao đẳng, yêu cầu về phương pháp giải nhanh và tối ưu cho các em là rất cấp thiết để các em có thể đạt được kết quả cao trong các kỳ thi đó

B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

I Cơ sở lý luận.

1.1 Hiện tượng tắt dần của dao động cơ.

Một vật thực hiện dao động điều hòa chỉ trong điều kiện lí tưởng Trên thực tế các vật khi dao động đều chịu tác dụng của lực cản trên bề mặt tiếp xúc

và lực cản của môi trường dao động Điều này làm cho năng lượng của vật dần mất đi dẫn đến hiện tượng tắt dao động

Hiện tượng các dao động của các vật bị tắt (dừng lại) sau một khoảng thời gian nào đó được gọi là hiện tượng tắt dần của dao động cơ

1.2 Dao động tắt dần chỉ chịu tác dụng của lực ma sát có độ lớn không đổi.

Trước tiên để hiểu rõ được tại sao dao động tắt dần ở THPT có chu kì dao động

và biên độ hoàn toàn xác định Ta khảo sát bài toán con lắc lò xo chịu thêm tác dụng của một lực không đổi( chiều và độ lớn) sau:

Bài toán 1: Một con lắc lò xo gồm vật nặng có khối lượng m và một lò xo có độ

cứng k Hệ được đặt trên mặt phẳng ngang nhẵn Vật đang đứng yên, tác dụng lên vật bằng một lực F không đổi Bỏ qua lực cản của môi trường Chứng minh vật dao động điều hòa với chu kì đúng bằng chu kì riêng.

Hướng dẫn

Chọn trục tọa độ hướng dọc theo trục lò xo, gốc tọa độ trùng với vị trí lò

xo không biến dạng

F 

m k

m

Sau khi có lực tác dụng vị trí cân bằng của vật lúc này tại O1 O1 cách vị trí lò xo không biến dạng một đoạn x0 với 0 0

F

F = - kx x = -

k



Tại tọa độ x > 0 thì độ biến dạng của lò xo là x nên hợp lực tác dụng lên

vật là: - kx + F = ma

Thay biểu thức của vào, ta nhận được:

F

- k x - = ma - k x - x = ma 1.3a

k



Đặt X = x – x

0

Ta có X’’ = x’’ = a, phương trình 1.3a trở thành : - k X = mX’’ hay

k X''+ X = 0 X = ACos ωt+φx=X+x xACosωt+φt+φx=X+x xACosωt+φ x = X + x x ACos ωt+φx=X+x xACosωt+φt+φx=X+x xACosωt+φ

Trong đó ωt+φx=X+x xACosωt+φ = k

m Như vậy vật dao động điều hòa với chu kỳ đúng bằng chu kì dao động riêng T = 2π m

k quanh vị trí cân bằng O1.

Từ kết quả trên ta suy ra vật dao động điều hòa với chu kì đúng bằng chu kì riêng và vị trí cân bằng của vật chính là vị trí lực đàn hồi cân bằng với lực F

Liên hệ với bài toán, ta sẽ phân tích quá trình dao động tắt dần thành nhiều giai đoạn khác nhau để có thể áp dụng được kết quả của bài toán

Để ý rằng lực ma sát khô ta đang xét chính là lực ma sát trượt Lực này luôn có hướng ngược hướng chuyển động, độ lớn không đổi Như vậy trong một quá trính dao động, trước khi vật đổi chiểu thì ta coi bài toán dao động tắt dần trở về bài toán của con lắc lò xo chịu tác dụng của một lực có độ lớn và hướng không đổi và áp dụng được kết quả trên Chỉ có điều dao động ấy phức tạp hơn

ở các chỗ:

Vị trí cân bằng phụ thuộc hướng của lực có độ lớn không đổi do đó ở dao động tắt dần trong mỗi lần đồi chiều thì vị trí cân bằng lại thay đổi, về mặt định lượng thì khoảng cách từ 2 vị trí cân bằng ấy đến vị trí lò xo không biến dạng là bằng nhau

Ta luôn luôn xét được 1 nửa dao động bởi một nửa sau ( sau khi đổi chiểu) vật lại dao động với biên độ và vị trí cân bằng khác

Bài toán 2: Con lắc lò xo gồm vật nặng có khối lượng m và lò xo có độ cứng k

Con lắc đặt trên mặt phẳng nằm ngang Tại thời điểm ban đầu người ta kéo vật dịch khỏi vị trí lò xo không biến dạng một đoạn A 0 rồi thả nhẹ Cho rằng hệ số

ma sát trượt giữa vật và giá là không đổi và bằng μ, bỏ qua lực ma sát nhớt của môi trường

Để giải quyết bài toán này ta cần bổ sung các bổ đề và một số lý thuyết sau:

+ Sự bảo toàn năng lượng

Ở thời điểm t, vật đang ở vị trí có li độ x ( so với vị trí lò xo không biến dạng), với vận tốc v và đã đi được quãng đường S khi đó ta có: E - E = A 0 s ms

kA - kx - mv = F S



+ Vị trí cân bằng tạm thời

Gọi vị trí lò xo không biến dạng là vị trí O

Ban đầu kéo vật đến vị trí P cách vị trí lò xo không biến dạng một đoạn

OP = A0

Trong quá trình chuyển động về vị trí lò xo không biến dạng ( P O) vật chịu thêm lực tác dụng của lực cản giữa vật và sàn, cụ thể là lực ma sát trượt Rõ ràng điều kiện ban đầu phải thỏa mãn lực đàn hồi có độ lớn lớn hơn độ lớn lực ma sát trượt thì vật mới chuyển động về O được

Nghĩa là: kA 0  μmghay 0

μmg

k

 Khi thỏa mãn (*), vật sẽ chuyển động về O Trong quá trình này, lực ma

sát trượt có độ lớn không đổi, lực đàn hồi kéo vật về có độ lớn giảm dần Đến vị trí O1 lực đàn hồi có độ lớn bằng với độ lớn của lực ma sát trượt, nên ta gọi O1 là

vị trí cân bằng của vật ( không phải là vị trí O)

Vị trí O1 nằm giữa P và O Tương tự như vậy, trường hợp khi vật chuyển động từ Q về O thì vật có vị trí cân bằng là O 2 giống với O1 Do đó trong quá

x

x

0

O 2

.

.

O 1

O

.

x

A0

Q

x 0 x 0

0

mst

F 

mst

O 1

.

O 2

P

Q m

m

m

dh

F

m

m

Hình vẽ biểu thị vị trí lò xo không biến dạng O và hai vị trí cân bằng tạm thời O 1 ,

O 2

trình dao động qua lại vật có hai vị trí cân bằng, ta tạm gọi đó là hai vị trí cân bằng tạm thời

Gọi tọa độ của O1 và O2 là x0 Dễ dàng thấy được tại O1 và O2 ta có

Fđh = Fmst hay 0

μmg

k

 ( 2.2a)

Vậy trong bài toán tắt dần của dao động cơ, ta để ý đến 3 vị trí đặc biệt

Vị trí lò xo không biến dạng O

Hai vị trí cân bằng tạm thời O1 và O2 nằm cách vị trí lò xo không biến dạng một đoạn δ μmg

k



+ Độ giảm biên độ của vật sau một chu kì

Cách lý giải 1: (Theo quan điểm năng lượng )

Rõ ràng ta không thể chọn một vị trí cân bằng nào cố định để tính biên độ,

mà mỗi một lần đổi chiều dao động thì biên độ sẽ ứng với vị trí cân bằng khác nhau Do đó ta tạm coi rằng khoảng cách xa nhất của vật tới vị trí lò xo không biến dạng O là biên độ dao động tạm thời

Theo điều giả sử trên ta tính được độ giảm biên độ sau ½ chu kì dao động như sau:

Giả sử sau ½ T đầu, vật dao động từ P rồi dừng lại và đổi chiều tại M ( Nếu không có ma sát thì vật sẽ dao động và đổi chiều tại Q đối xứng với P qua O ) Như vậy lượng giảm biên độ của vật sau ½ T chính là đoạn MQ

Tính MQ=ΔAA 1/2

Chọn mốc thế năng đàn hồi tại vị trí lò xo không biến dạng O Mốc thế năng trọng trường là mặt phẳng ngang

Thế năng trọng trường của hệ bằng 0

Tại P

Năng lượng của hệ tồn tại dưới dạng thế năng đàn hồi của lò xo:

kΔAl = kA

Tại M

Vật đổi chiều (vM = 0) nên tại M năng lượng của hệ:

EM = 1kΔAl = kA2M 1 1/22

Với A1/2 là biên độ của vật sau 1/2T

x

0 A

          

.

0 A

           A1/2

       A1/2

   

Độ giảm năng lượng của hệ sau 1/2T:

ΔAE = E - E = kA - kA

Lực ma sát sinh công âm có độ lớn:

ms mst

A = F S= μmgS

Dựa vào hình vẽ ta có: S = A0 – A1/2

Do đó : A ms = μmg A - A 0 1/2 (2.3.b)

Theo định luật bảo toàn năng lượng ta có:

ms

E = A

 , kết hợp với (2.3.a) và (2.3.b) và ΔAA = A - A 1/2  0 1/2 ta được

1/2

μmg

ΔAA = 2 2δ

k 

Vậy độ giảm biên độ sau 1 chu kì của vật được xác định: 1/2

μmg

A = 2.ΔAA = 4

k



Cách lý giải 2: ( Theo quan điểm biên độ với vị trí cân bằng tạm thời)

Sẽ ngắn gọn hơn nếu ta chú ý rằng:

Trong ¼ T chu kì đầu vật dao động từ P hướng tới O, vật sẽ nhận vị trí O1 làm vị trí cân bằng tạm thời ”

Do vậy trong ¼ chu kì này biên độ dao động của vật đã giảm đi một lượng đúng bằng OO1 = x 0  δ= μmg

k ( theo 2.2a) Vậy sau một chu kì, biên độ của vật giảm A = 4δ = 4μmg

k



Nhận xét: Trong hai cách lí giải trên, cách lí giải 1 có tính thuyết phục cao hơn

về mặt bản chất vật lý, nhưng so với phương pháp giải trắc nghiệm thì cách lí giải 2 nhanh về dễ hiểu hơn nhiều, hơn nữa cách lí giải 2 sẽ giúp tìm tốc độ cực đại của vật một cách nhanh chóng chứ không phức tạp theo cách lí giải 1

+ Các bổ đề về sự dừng lại của vật.

Dễ dàng thấy rằng, vị trí vật dừng lại phải nằm trong khoảng từ O1 đến O2

Gọi An là biên độ của vật sau n nửa chu kì Ta có 3 bổ đề sau:

Bổ đề 1: Nếu An = δ thì vật sẽ dừng lại tại vị trí đó luôn Sthêm = 0

Bổ đề 2: Nếu 2δ> An >δthì vật dừng lại trong khoảng OO1

Thời gian trong quá trình này là T/2

1/4 0

A = A - δ

      

.

P

δ

  

n A

            

.

x n

1

N

.

Tọa độ vị trí dừng lại được xác định dựa vào định luật bảo toàn năng lượng:

Quãng đường vật đi thêm được là : Sthêm = 2An - 2δ = 2A0 - 2δ (2n + 1)

Bổ đề 3:

Nếu 2δ <A3δ An 3δthì vật dừng lại trong khoảng OO2 tại N đối xứng

Thời gian trong quá trình này là T/2

Tọa độ vị trí dừng lại được xác định dựa vào định luật bảo toàn năng lượng:

kA = kx + μmg A + x x = A - = A - 2δ

Quãng đường vật đi thêm được: Sthêm = An + xn = 2An - 2δ = 2A0 -2δ (2n + 1)

II Thực trạng vấn đề.

2.1 Đối với học sinh

Hầu hết các em đều rất lúng túng và lo sợ khi đề thi có đề cập tới bài toán dao động tắt dần Các em chưa hệ thống được các dạng bài tập và phương pháp giải bài tập có liên quan

2.2 Đối với giáo viên.

Một số giáo viên chưa nghiên cứu cụ thể nên chưa hình thành cho mình được một con đường đi, một phương pháp tiếp cận rõ ràng

III Giải pháp thực hiện.

Bằng những lý thuyết và bổ đề, tôi xây dựng hệ thống các dạng bài tập và phương pháp giải cho chuyên đề dao động tắt dần như sau:

3.1 Hệ thống các dạng bài tập.

Dạng 1: Tốc độ của vật.

Kiểu 1 Tốc độ cực đại của vật trong toàn bộ quá trình dao động

Kiểu 2 Tốc độ cực đại của vật sau khi vật đổi chiều lần n

Kiểu 3 Tốc độ cực đại của vật kể từ thời điểm t nào đó

Kiểu 4 Tốc độ của vật khi vật qua vị trí lò xo không biến dạng lần n

Dạng 2: Độ biến dạng của lò xo.

Kiểu 1 Độ biến dạng cực đại của lò xo trong toàn bộ quá trình dao động Kiểu 2 Độ biến dạng của lò xo khi vật đổi chiều lần n

N .

n A

             x n

   

Kiểu 3 Độ biến dạng của lò xo khi vật đạt tốc độ cực đại lần n.

Kiểu 4 Độ biến dạng của lò xo khi vật dừng lại

Dạng 3: Quãng đường vật đi được.

Kiểu 1: Quãng đường vật đi được khi vật đổi chiều lần n

Kiểu 2: Quãng đường vật đi được đến khi dừng lại

Dạng 4: Thời gian vật dao động.

Kiểu 1: Thời gian vật qua hai vị trí bất kì

Kiểu 2: Thời gian vật dao động đến khi dừng lại

3.2 Phương pháp giải cụ thể.ng pháp gi i c th ải cụ thể ụ thể ể

Dạng 1: Tốc độ của vật.

Kiểu 1: Tốc độ cực đại trong suốt quá trình dao động.

Có nhiều cách để tìm tốc độ cực đại của vật trong dao động tắt dần, sau đây tôi xin trình bày 3 cách và sẽ nhận xét ưu nhược của từng cách trên:

Phương án 1: Dựa vào tính chất cực trị toán học.

Ta đã biết, gia tốc tức thời của vật chính là đạo hàm bậc nhất của vận tốc do đó

'

dv

a = = v

dt

Mặt khác, vận tốc là hàm phụ thuộc vào thời gian, vận tốc có độ lớn cực đại thì điều kiện cần ta phải có

' dv

dt



Từ hai điều trên ta thu được, tốc độ của vật đạt cực đại khi a = 0 Nghĩa là vật đạt tốc độ cực đại tại vị trí hợp lực tác dụng lên vật bằng 0

Trong quá trình vật dao động từ P hướng tới O, vị trí đầu tiên mà hợp lực bằng 0 chính là 01 Như vậy tốc độ của vật đạt cực đại chính là tốc độ của vật khi đi qua O1

Dựa vào định luật bảo toàn năng lượng tại P và tại O1 để tìm tốc độ cực đại:

1

PO

k

v = A - δ

m

 Thay ωt+φx=X+x xACosωt+φ = k

m ta được : vmax = A0 - 

Phương án 2: Dựa vào tính chất của đường cong Parabol.

Thiết lập phương trình tổng quát sau đó tìm vị trí vật đạt tốc độ cực đại Dễ dàng thấy, trước khi vật đổi chiều thì vật đã đạt tốc độ cực đại ở một

vị trí nào đó Xét vật ở vị trí tọa độ x bất kì Giả sử lúc này vật đang tại N:

0

A x

Áp dụng định luật bảo toàn năng lượng tại P và tại N ta có:

PN



mv = - kx -μmgx + kA -μmgA v = - x - 2μgx + A -2μgA

Ta thấy v2 phụ thuộc vào x theo hàm bậc 2 nên từ tính chất của đường cong parabol ta có được kết quả sau:

Vị trí vật đạt tốc độ cực đại: max

v x = - =

 , tọa độ này chính là tọa độ

vị trí cân bằng tạm thời O1 Như vậy vật đạt tốc độ cực đại tại O1

Tốc độ cực đại mà vật đạt được:

2

-k

m



 

 

 

= A0 - 

với  k

m và μmg

k 

Phương án 3: Dựa vào tính cực đại của vận tốc đối với dao động điều hòa.

Trong dao động điều hòa của một vật với tần số góc biên độ A, thì vật đạt tốc độ cực đại khi đi qua vị trí cân bằng, giá trị cực đại có độ lớn : v max =  A

Dựa vào hệ quả của cách lí giải 2 về độ giảm biên độ trong một chu kì

Nhận thấy, trong quá trình vật dao động từ P hướng tới O, vật nhận O1 làm vị trí cân bằng tạm thời Do đó ta coi trong quá trình này vật dao động với biên độ

A1 = A0 - và với tần số góc Từ đó thu được kết quả:

vmax =  A1 = A0 - với  k

m và μmg

k 

Nhận xét: Trong ba phương án, tác giả nhận thấy phương án 3 có ưu điểm rõ

ràng hơn, nhanh hơn so với hai phương án còn lại Tuy nhiên hai phương án 1

và 2 thì có thể vận dụng được cho nhiều bài toán khác phức tạp hơn hay ta nói phương án 1 và 2 sẽ giải quyết vấn đề đa dạng hơn

Kiểu 2: Tốc độ cực đại sau khi vật đổi chiều lần n.

Khi vật đổi chiều lần n, vật đang cách vị trí cân bằng: ΔAx = A - 2nδ 0

.

O P

O 2

0 A

           

1 0

A = A -δ

         δ

  

O 1

Vật đạt tốc độ cực đại khi vật qua vị trí cân bằng tạm thời kế tiếp:

v = ωt+φx=X+x xACosωt+φ A -2nδ - δ = ωt+φx=X+x xACosωt+φ A - 2n+1 δ  

Kiểu 3: Tốc độ cực đại của vật kể từ sau thời điểm t nào đó.

Sau thời gian t nào đó, vật sẽ đạt tốc độ cực đại sau đó là bao nhiêu?

Phân tích:

t

= n + m T

(Với n là phần nguyên, m là phần lẻ) Biên độ dao động của vật sau thời gian nT/2 là: An = A0 – 2nδ

Lúc này vật đang ở biên, tốc độ của vật bằng 0

- Nếu m <A3δ1

2thì tốc độ cực đại của vật đạt được sau đó là:

vmax = ωt+φx=X+x xACosωt+φ A - δ = ωt+φx=X+x xACosωt+φ A - δ 2n+1 n   0   

- Nếu 1 m <A3δ 1

2 : Lúc này vật đã qua vị trí cân bằng tạm thời và đang có

xu hướng chuyển động về biên Như vậy tốc độ cực đại của vật đạt được khi vật

ra biên và qua vị trí cân bằng tạm thời tiếp theo ( kể từ khi đổi chiều) Do đó ta tính được tốc độ cực đại của vật là: vmax = ωt+φx=X+x xACosωt+φ A - 3δ = ωt+φx=X+x xACosωt+φ A - δ 2n+3 n   0   

Kiểu 4: Tốc độ của vật khi vật qua vị trí lò xo không biến dạng lần n.

Sử dụng định luật bảo toàn năng lượng kết hợp với quãng đường vật đi được sau n nửa chu kì ta sẽ giải quyết được bài toán trên

Khi vật qua vị trí lò xo không biến dạng lần 1: S = A 0

Khi vật qua vị trí lò xo không biến dạng lần 2: S = A + 2 A - 2δ 0  0 

Khi vật qua vị trí lò xo không biến dạng lần 3: S = A + 2 A - 2δ + 2 A - 4δ 0  0   0 

…

Khi vật qua vị trí lò xo không biến dạng lần n:

S = A + 2 A - 2δ + +2 A - 2 n -1 4δ

= A + 2 A - 2δ + A - 4δ + + A - 2 n-1 δ

= A + 2 n - 1 A - 2δ 1 + 2 + + n - 1

= A + 2 n -1 A - n n -1 δ = 2n - 1 A - 2n n - 1 δ

Áp dụng định luật bảo toàn năng lượng ta được: Khi vật qua vị trí lò xo không biến dạng lần thứ n:

2

0

1

kA

2 = Eđn + A ms hay

Eđn = 2

0

1

kA

A = kA - F S = kA - μmg 2 n -1 A - 2n n -1 δ

Từ đó ta tính được tốc độ của vật

Dạng 2: Độ biến dạng của lò xo

Kiểu 1 Độ biến dạng cực đại của lò xo trong toàn bộ quá trình dao động.

Khi vật đổi chiều lần 1 thì lò xo giãn cực đại Mà độ giảm biên độ sau ½ chu kì

là 2δ do đó: ΔAl max = A - 2δ 0

Kiểu 2 Độ biến dạng của lò xo khi vật đổi chiều lần n

Xuất phát từ kết quả biên độ vật giảm đi sau n nửa chu kì là 2nδ nên khi vật đổi chiều lần n, vật đang cách vị trí cân bằng: ΔAx = A - 2nδ 0

Do đó ΔAl = A - 2nδ n 0

Kiểu 3 Độ biến dạng của lò xo khi vật đạt tốc độ cực đại lần n

Khi vật đạt tốc độ cực đại thì vật đang ở vị trí cân bằng tạm thời nên ΔAl = δ

Dạng 3: Quãng đường vật đi được

Kiểu 1: Quãng đường vật đi được khi vật đổi chiều lần n

Khi đổi chiều lần 1, quãng đường vật đi được là: S1 = 2(A0 - δ)

Khi đổi chiều lần 2, quãng đường vật đi được là: S2 = 2(A0 - δ)+2(A0 - 3δ)

…

Khi đổi chiều lần n, quãng đường vật đi được là:

Sn = 2(A0 - δ)+2(A0 - 3δ)+…+2[A0 – (2n-1) δ] = 2{nA0 – [1+3+5+…+(2n-1)] δ

}= 2[nA0 – n2 δ]

Kiểu 2: Quãng đường đi được của vật đến khi dừng lại

* Quãng đường của vật đi được sau n nửa chu kì:

Từ kết quả ở kiểu 1, sau n nửa chu kì, quãng đường vật đi được là: Sn =

2n A - nδ

* Quãng đường của vật đi thêm sau n nửa chu kì:

Sau n nửa chu kì, biên độ của vật giảm còn An = A0 – 2nδ= A0 - 2nμmg

k

Từ kết quả của 3 bổ đề

Nếu An = δ thì theo bổ đề 1 vật dừng lại tại đây hay Sthêm =0

Theo bổ để 2 và 3, trong cả hai trường hợp δ<A3δ An <A3δ 2δ và 2δ<A3δ An <A3δ 3δ

quãng đường vật đi thêm đều là Sthêm = 2A0 - 2δ (2n + 1), với n là số nửa chu kì dao động trước đó

* Quãng đường vật đi được đến khi dừng lại :

Tổng hợp hai kết quả trên ta tính quãng đường tổng như sau: