Tổng hợp bài tiểu luận môn tối ưu phi tuyến

TIÊU CHUẨN TỐI ƯU ĐIỂM YÊN NGỰA CỦA BÀI TOÁN QUY HOẠCH PHI TUYẾN KHÔNG KHẢ VI Mục đích của chương này là tìm các tiêu chí tối ưu của các điểm yên ngựa điểm dừng cho bài toán qui hoạch p

ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HCM

LỚP TOÁN VB2-K2

TỔNG HỢP BÀI TIỂU LUẬN

TỐI ƯU PHI TUYẾN

Năm học 2014

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

 được gọi là lồi trên  nếu nó lồi tại mọi x

Trường hợp đặc biệt: nếu  là tập lồi,  R n thì ta có mệnh đề sau:

 được gọi là lõm trên  nếu nó lõm tại mọi x

Trường hợp đặc biệt: nếu  là tập lồi,  R n thì ta có mệnh đề sau:

3) Bài toán 1: Chứng minh rằng:

R đều lồi và lõm trên R , nhưng nó không lồi ngặt và lõm ngặt n

trên R Thật vậy, dễ dàng thấy tất cả những hàm tuyến tính n  x cxtrên R thì không n

lồi ngặt và lõm ngặt trên n

R

- Một hàm véctơ n chiều ƒ xác định trên tập Γ trong n

R gọi là lồi tại x, lồi trên Γ, nếu mỗi hàm thành phần f i i,  1, ,m lồi tại x, lồi trên Γ

II Các tính chất cơ bản

1) Định lý 1 (Các phép toán với các hàm lồi)

Cho U là một tập lồi trong không gian n

5

)()()1(

)()

()1(

x x

x pf x pf

6

Hình 4.3: a) Tập trên đồ thị của hàm lồi  là tập lồi G

b) Tập dưới đồ thị của hàm lõm  là tập lồi H

7

Cho  là hàm số xác định trên tập lồi R n Điều kiện cần để  lõm trên  là tập

x x/ , ( )x  R n

       lồi với mọi số thực 

Hình 4.4: a) Hàm lồi  liên kết tập lồi  b) Hàm không lồi  liên kết tập lồi  c) Hàm lõm  liên kết tập lồi 

8) Bài toán 3

Cho  là hàm số xác định trên tập lồi R n Chứng minh rằng: điều kiện cần và đủ để 

lồi trên  là với mọi số nguyên m 1,

8

+Chứng minh bất đẳng thức (*) đúng với km Đặt

1

i i

m

p p

(Điều kiện đủ) Hiển nhiên

Bất đẳng thức (*) ở trên gọi là bất đẳng thức Jensen

/),

Mà giao của các tập lồi này là tập trên đồ thị của 

Vậy  là một hàm lồi trên (định lý 2) (đpcm)

- Hàm  là lồi trên tập lồi  R n thì không nhất thiết là hàm liên tục

Ví dụ: trên nữa đoạn thẳng   {x/xR,x  }, hàm số

9

11) Định lý 6

Cho  là một tập lồi mở trên n

R Nếu  là một hàm lồi trên thì  liên tục trên 

Vì C là bao lồi của V (điều này thì dễ dàng chứng minh bằng phép quy nạp trên n ) và







V nên C (định lý 3.1.13) (hình 4.5)

Cho xlà điểm bất kỳ thỏa   0 

0 x x , xác định x° + u, x° — u trên đường thẳng qua

0

x và xnhư hình 4.5

Khi đóxlà tổ hợp lồi của 0

x và x0 u; x0là tổ hợp lồi của xvà x0u Nếu  xx0 / thì

)(11

1

)(

)1()(

0

0 0

0 0

u x x

x u x x u x

x

x u

x u x

nó liên tục trên phần trong của tập lồi

12) Định nghĩa: Một hàm f : [a, b] → R được gọi là hàm lồi theo nghĩa Jensen hay J-lồi trên

thỏa với mọi điểm x y,  a b,

13) Định lý 7 (J.L.W.V.Jensen): Cho I là một khoảng của tập số thực và f : I → R là một

hàm liên tục Khi đó f là hàm lồi nếu và chỉ nếu f thỏa mãn

 Giả sử ta có (**) Nếu f không phải là hàm lồi trên I thì tồn tại một đoạn [a; b] ⊂ I để

đồ thị của hàm f |[a;b] không nằm dưới dây cung nối (a, f (a)) và (b, f (b)) Dây cung nối (a,

f (a)) và (b, f (b)) là

Ta có  cũng là hàm J-lồi Thật vậy, do f là hàm J-lồi nên ta có

14) Hệ quả 4: Cho f : I → R là một hàm liên tục Khi đó f lồi nếu và chỉ nếu

f (x + h) + f (x − h) − 2f (x) ≥ 0 với mọi x ∈ I và với mọi h > 0 để x + h và x − h nằm trong I

TIÊU CHUẨN TỐI ƯU ĐIỂM YÊN NGỰA CỦA BÀI TOÁN QUY HOẠCH

PHI TUYẾN KHÔNG KHẢ VI

Mục đích của chương này là tìm các tiêu chí tối ưu của các điểm yên ngựa (điểm dừng) cho bài toán qui hoạch phi tuyến Minh họa bằng ví dụ đơn giản sau

Hãy xem xét các vấn đề cực tiểu của hàm  trên tậpX x x/    , x 2 0;

   2

  cho giải pháp x2, thì hàm cực tiểu là  x 4 Các điểm yên ngựa tối ưu cho bài toán này là: Một điều kiện cần và đủ để x là một giải pháp cực tiểu, tồn tại một số thực u (ở đây u4) sao cho với mọi xR, uR u,  0 :

Tuy nhiên để thiết lập điều kiện cần thiết cho các điểm yên ngựa trên, chúng ta không những xét tính lồi mà còn xét điều kiện chính quy, tính ràng buộc

Chúng tôi sẽ phát triển các tiêu chuẩn tối ưu của chương này trên giả thiết vi phân Tiếp theo chương 7 và 11, sẽ thiết lập các tiêu chí tối ưu liên quan đến hàm lũy thừa

I Các bài toán cực tiểu và điểm yên ngựa (điểm dừng)

Các tiêu chí tối ưu của chương này liên quan các giải pháp vấn đề cực tiểu, vấn đề cực tiểu địa phương, và hai điểm yên ngựa với nhau Chúng tôi định nghĩa vấn đề dưới đây

2

Cho 0

X là một tập hợp con của n

R , cho  và g tương ứng là một hàm số và hàm vector m chiều xác định trên 0

Tập X được gọi là vùng cho phép hoặc tập khả vi, x là giải pháp tối thiểu, và  x

là cực tiểu Tất cả các điểm x trong vùng cho phép X gọi là điểm khả vi Điểm có tính khả vi trên X được gọi là điểm khả vi

Nếu X là một tập lồi, và nếu  là hàm lồi trên tậpX , hàm cực tiểu MP thường được gọi là một hàm lồi

(Nhận thấy rằng hàm cực tiểu trên là một trường hợp đặc biệt của hàm cực tiểu tổng quát 1.6.9, đẳng thức vector k chiều h (x) = 0 Lý do cho điều này là trong trường hợp khả vi không có ý nghĩa tối ưu cho đẳng thức phi tuyến Xem 5.8.2, 6.4.2, 6.4.8)

2 Bài toán cực tiểu địa phương (LMP)

Tìmx trong X , nếu nó tồn tại, như vậy đối với quả cầu mở B x( ) ; x với bán kính

6 Ghi chú

Các hàm số x r r, ,0  và  x u, xác định như trên thường được gọi là hàm Lagrangian hoặc chỉ đơn giản là Lagrangians, và vector m-chiều r và u là nhân tử Lagrange hay biến kép Trò chơi qui tắc nhân tử Lagrange trong các bài toán tuyến tính và phi tuyến thì rất đơn giản, (xem ví dụ 65) Ở đây, bởi vì chúng tôi có những ràng buộc bất đẳng thức, nhân tử Lagrange sẽ trả về số không âm Khi chúng ta xem xét những ràng buộc đẳng thức trong 5.3.2, 5,4-2, và 5,4-8, nhân tử liên kết với các đẳng thức sẽ không phải là số dương

n

R ,nhưng trong một tập khác Gần hơn [Halkin 66, Canon et al 66, Fromovitz 67] một nguyên tắc tối thiểu cũng đã được thành lập cho vấn đề kiểm soát tối ưu của các phương trình vi phân Đây là một vấn đề quy hoạch trong n

Mangasarian-R , không phải là lồi, và do đó các kết quả của chương này không áp dụng.Tuy nhiên các điều kiện tối ưu của chương 7 và 11 dựa chủ yếu trên tuyến tính và không lồi,

để áp dụng trong các bài toán điều khiển tối ưu được mà phải mô tả bởi phương trình vi phân phi tuyến

4

II Một số kết quả cơ bản cho bài toán cực tiều hóa và cực tiểu địa phương

Một số kết quả cơ bản liên quan đến việc tập hợp các giải pháp của các bài toán cực tiểu, mối liên quan giải pháp của vấn đề cực tiểu và cực tiểu địa phương với nhau

1 Định lý: Cho X là một tập lồi, và để cho  là hàm lồi trên X Tập các giải pháp của MP 5.1.1 là lồi

Ghi chú: Điều kiện đủ nhưng không cần thiết cho các tập lồi của X là X ° là một

tập lồi và g lồi trên X ° Từ 4.1.10 và 3.1.9

1 x x cũng là một tập giải pháp của MP, và tập giải pháp lồi

+ Pontryagin đưa ra nguyên tắc cực đại thay vì nguyên tắc cực tiểu bởi vì ông phủ định các quy hoạch phi tuyến của Lagrangian

2 Định lý tính đơn trị

Cho X là tập lồi và x là một giải pháp của MP 5.1.1 Nếu  là hàm lồi nghiêm ngặt tại x , thì x là giải pháp duy nhất của MP

Chứng minh:

Cho ˆx x là một giải pháp khác của MP, có nghĩa là, ˆx X , và  ˆx  x Từ

X là tập lồi, thì 1xxˆX lồi chặt chẽ về  tại x khi 0  1.

Cho X là tập lồi, và cho  là một hàm lõm,  không là hàm hằng trên X

Không có điểm bên trong nào thuộc X là giải pháp của MP 5.1.1, hoặc tương đương với bất kỳ giải pháp x nào của MP, nếu nó tồn tại, phải là một điểm liên kết của X

5

Chứng minh:

Nếu MP 5.1.1 không có giải pháp, định lý không đúng Để cho x là một giải pháp

của MP Cho  không chứa trong X, tồn tại một điểm xX như vậy  x  x

Nếu z là một điểm bên trong của X, tồn tại một điểm yX , vài  sao cho

0  1 thì z 1 xy

Xem hình 5.2.1 Do đó:

 z 1 x y 1   x   y 1   x    x x

và  x không đạt được cực tiểu tại z

Hình 5.2.2 cho thấy một ví dụ đơn giản của định lý 3 trong R

1 ĐỊNH LÝ:

Nếu x là một giải pháp của MP 5.1.1, thì nó cũng là một giải pháp của

LMP 5.1.2 Ngược lại nếu X là lồi và  là lồi tại x

Chứng minh:

Nếu x là giải pháp của MP 5.1.1, x cũng là giải pháp của LMP 5.1.2 cho bất kỳ 8>

0

Ngược lại cũng đúng nếu

X là tập lồi và  lồi tại

x Chứng minh:

Hình 5.2.2

6

Nếu x là giải pháp của MP,thì x cũng là giải pháp của LMP với bất kỳ  0 Để chứng minh, ta giả sử x là giải pháp của LMP với  0 và X là tập lồi,  lồi tại x Lấy yx là một điểm trong tập X Khi X là tập lội thì 1xyX ,với

III Tiêu chuẩn tối ưu đủ

Các tiêu chí tối ưu chủ yếu phát triển ở đây (1 và 2 dưới đây) đòi hỏi không có giả định lồi trong bài toán cực tiểu MP 5.1.1

Những tiêu chí này khá đơn giản để có được và không cần phải phức tạp

máy móc để lấy được Kết quả đầu tiên của loại hình này đã thu được trong

[Uzawa 58]

1 Định lý tối ưu đủ

Nếu  x u, là một giải pháp của KTSP 5.1.4, thì x là một giải pháp của MP 5.1.1

Nếu x r r, ,0  là một giải pháp của FJSP 5.1.3, và r0  0 thì x là giải pháp của MP 5.1.1

ở đây h là hàm vecto k_chiều trên 0

X và ngược lại được xác định trên MP 5.1.1

Cho:

x r r s, , ,0  r0  x rg x  sh x 

Và:

x 0,  , 0 0,  , 0,  sao cho

0 0 0

0

, ,

,

0

) , , , ( ) , , , ( )

r

s r r x s r r x s

Nếu r0 0 thì x giải quyết bài toán MP do định lý 1

Nếu r0 0 thì r 0 và từ bất đẳng thức thứ hai của bài toán FJSP 5.1.8 ta có

0

), ( )

5.4 Tiêu chuẩn tối ưu cần có

Việc đáp ứng tiêu chuẩn cần thì phức tạp đáng kể hơn so với việc đáp ứng tiêu chuẩn tính tối ưu đủ Ta xem các tiêu chuẩn được so sánh trong bảng sau :

9

(a) Cần tính lồi

(b) Cần hệ quả của định lý tách của tập lồi

(c) Điều kiện chính quy (tính chất ràng

buộc) cần phải có trong các tiêu chuẩn quan

trọng hơn (7 tiêu chuẩn dưới)

- Không cần tính lồi

- Không cần định lý tách của tập lồi

- Không cần tính chất ràng buộc

Chúng ta bắt đầu bằng việc thiết lập 1 tiêu chuẩn tối ưu mà không đòi hỏi bất

kỳ điều kiện chính quy nào Tiêu chuẩn tối ưu cần có này tương tự với tiêu chuẩn

tối ưu do Fritz John đưa ra (xem thêm chương 7) mà được suy ra trong trường hợp hàm θ và g khả vi nhưng không lồi Ở đây ta không dùng tính khả vi, thay vào đó ta dùng tính lồi Tiêu chuẩn hiện tại là tiêu chuẩn điểm yên ngựa, trong khi của Fritz John là tiêu chuẩn gradient Điểm tương đồng chính là sự hiện diện của số nhân r0

trong cả hai tiêu chuẩn

5.4.1 Định lý tính tối ưu điểm yên ngựa Fritz John

Cho 0

X là một tập lồi trong n

R và lấy và g lồi trên 0

X Nếu x là nghiệm của bài toán MP 5.1.1, thì x và một số r0R,rR m,(r0,r)0 thỏa bài toán FJSP 5.1.3 và

()([

r 0 , 

và do đó , từ r g(x)0

)()()

 0 , thỏa bất đẳng thức thứ I của bài toán

FJSP 5.1

10

5.4.2 Bài toán

Xem xét bài toán cực tiểu hóa

)(

) ( ) ( ) ( ) , , , (

, ,

, 0 ), , , , ( ) , , , ( )

0 0

0 0

x sh x rg x r s r r x

X x R s R r r s r r x s r r x s

5.4.3 Tính chất ràng buộc của Slater

Cho 0

X là một tập lồi trên n

R g là hàm vectơ lồi m - chiều trên 0

X với miền khả thi lồi được xác định

} ) ( , /

R g là hàm vecto lồi m-chiều trên 0

X với miền khả thi lồi được xác định

11

} ) ( , /

R G là hàm vecto lồi m - chiều trên 0

X với miền khả thi lồi được xác định

} ) ( , /

1

) 1 (   x   x  X

Do g lồi ngặt tại 1

x nên từ 4-1-4 suy ra

0 ) ( ) ( ) 1 ( ] )

1 [(  x1 x2   g x1  g x2 

vi, được quy cho Uzawa và Karlin

5.4.7 Định lý tối ưu cần thiết điểm yên ngựa Kuhn-Tucker

r m , giải ra bài toán FJSP 5.1.3 and r g(x)  0 If r0 0, thì với chú ý 5.1.5 ta đã chứng minh xong If r0 0, then r0 0, và từ bất đẳng thức thứ hai của bài toán FJSP 5.1.3

0

), (

0 r g x xX [vì r0 0 and r g(x)  0] Mâu thuẫn với tính chất ràng buộc của Karlin Do đó r0 0

Chúng ta tóm tắt trong hình 5.4-1 hệ thức giữa nghiệm của bài toán khác nhau trong chương này

Cuối cùng chúng ta kết thúc chương này bằng bằng việc suy ra tiêu chuẩn tính tối ưu điểm yên ngựa Kuhn-Tucker với sự có mặt của các ràng buộc đẳng thức

Hình 5.4.1: Hệ thức giữa nghiệm của

Bài toán cực tiểu hoá địa phương (LMP ) 5.1.2, Bài toán cực tiểu hoá ( MP ) 5.1.1,

Bài toán saddle point Fritz John ( FJSP ) 5.1.3, Bài toán saddle point Kuhn-Tucker ( KTSP ) 6.1.4

13

tuyến tính Để làm điều này, chúng ta lấy tập 0

X của bài toán MP 5 1 1 là toàn bộ không gian n

R , với h(x) Bxd, trong đó B là ma trận k x n, và d là k - vectơ Giả sử x là nghiệm của bài toán cực tiểu hoá

)(

R q R p

p 0 ,  ,  sao cho

n

R x d

u ,  0 ,  thoả mãn u g(x)  0 và

) (

) ( ) ( ) , , (

, ,

, 0 ),

, , ( ) , , ( )

,

,

(

d Bx v x ug x v

u x

R x R v R u u v u x v u x v

0 ) ( , 0 ) ( , ta có 0  1 với

d x x

B[( 1 ) 1 2]  and

0 ) ( ) ( ) 1 ( ] )

p 0 ,  và k

R

q bất kỳ thì

0 ) (

B trong đó s1,…, sk-1 là các

số thực cố định Thì

k k

i i i k

k

i

i i k

1

Với x bất kỳ thoả mãn B i xd i,i 1 , ,k 1 Nhưng vì xX và B i xd i,i1, ,k, cho nên 0

i i

i d d

s và B k xd k,i0 với x bất kỳ thoả mãn B i xd i,i 1 , ,k 1

Do đó ràng buộc đẳng thức là không cần thiết và có thể bỏ đi ở bài toán cực tiểu hoá

mà không làm thay đổi nghiệm x Hơn nữa, đôi khi chúng ta thiết lập định lý cho các hàng độc lập tuyến tính của B, chúng ta có thể giới thiệu lại các hàng phụ thuộc tuyến tính B k (mà không thay đổi bài toán cực tiểu hoá) và đặt v k 0 trong bài toán yên ngựa

Với 2 điều trên, tồn tại r0R,rR m,sR k,(r0,r)0,(r0,r,s)0 thỏa r g(x)  0 và giải đáp cho bài toán điểm yên ngựa ở mục 2 Nếu r0 0 thì ur/r0,vs/r0 giải đáp cho bài toán điểm yên ngựa của định lý hiện tại, và ta đã chứng minh xong Giả

sử r0 0 Thì từ r g(x)  0 và B xd 0, chúng ta có bất đẳng thức thứ hai của bài toán điểm yên ngựa ở mục 2 thỏa

n

R x d Bx s x g

1

MÔN: TỐI ƯU PHI TUYẾN

PHẦN 1 CHƯƠNG 4: HÀM LỒI – HÀM LÕM PHẦN 2: TIÊU CHUẨN TỐI ƯU CỦA QUI HOẠCH KHÔNG KHẢ VI

Thành viên nhóm:

BỒ TÙNG LINH BÙI THỊ THƠM NGUYỄN THỊ MỸ THUẬN

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Trường Đại Học Sư Phạm TP.HCM

Khoa Toán – Tin

Ta cung cấp trong chương này một Xố tính chất cơ bản của hàm lồi và hàm lõm và đưa ra một Xố định lý chủ yếu liên quan đến các hàm này

Các định lý này, xuất phát bằng cách Xử dụng các định lý tách cho các tập lồi của chương 3, gần giống với các định lý thay thế ở chương 2, cho các hệ thống tuyến tính Trong ý nghĩa này hàm lồi và lõm có một Xố tính chất quan trọng của hàm tuyến tính

Những định lý này Xẽ được Xử dụng để đưa ra điều kiện cần tối ưu điểm yên ngựa của chương 5 và nguyên tắc cực tiểu điều kiện tối ưu cần của chương 11 Cuối cùng, đề cập đến hàm không khả vi hoặc hàm liên tục được giới thiệu trong chương này Một chương tiếp theo chương 6, Xẽ được dành cho hàm lồi và lõm khả vi

f được gọi là lồi ngặt trên X nếu nó lồi ngặt tại mọi xX

1.1.3 Miền hữu hiệu (effective domain)

Miền hữu hiệu của f ký hiệu là dom được định nghĩa như sau

dom x X  x

5

ký hiệu là epi , được định nghĩa như sau

0   ( , )  ,  , ( ) 

G epi x y x X y R X x y

Hàm lồi : X    có thể được mở rộng thành một hàm lồi trên toàn

không gian nbằng cách đặt f x( ) nếu xdom Vì vậy, để đơn giản, ta

thường xét  là hàm lồi trên n

c Cho I J, R là các tập lồi nếu f là một hàm lồi( lồi thực sự) trên I và g là

một hàm lồi không giảm( hàm lồi tăng ) trên tập lồi J, f I J thì g f

 được gọi là hàm lõm trên X nếu nó lõm tại mọi điểmxX

Hàm  lõm tại xX(lõm trên X) nếu và chỉ nếu hàm – lồi tại xX (lồi trên X) Kết quả thu được cho các hàm lồi có thể được thay đổi thành các kết quả cho các hàm lõm khi nhân với - 1, và ngược lại

(a) Một hàm lõm  trên R (b) Một hàm lõm  trên X  0,1

Hình 4.1.2 mô tả hàm lõm trên tập con lồi của n

7

các hàm được mô tả trong hình 4.1.1a là không không lồi ngặt trên R Nhưng trong hình 4.1.1b hàm lồi ngặt trên  1,  Cả hai hàm trong hình

4.1.2 là lõm ngặt trên tập xác định của chúng

Một hàm véc tơ f n-chiều xác định trên  n

X R là lồi tại xX , lồi trên X, … nếu mỗi f i, i 1,m là lồi tại xX , trên X, …

f Cho I J, R là các tập lõm nếu f là một hàm lõm ( lõm thực sự) trên I và

g là một hàm lõm không giảm( hàm lõm tăng ) trên tập lõm J, f I J thì

g f là hàm lõm ( lõm thực sự)

1.2.3) Định lý 1:

Cho hàm số  xác định trên một tập lồi  n

X R là lồi trên X thì điều kiện cần và

1 x1 x2  1   ( )x1 ( )x2 với mọi 0  1

và khi đó  lồi trên X

(Điều kiện cần)

Giả sử  lồi trên X Lấy x z1, 1G o và x z2, 2G o

vì tính lồi của  trên X ta có 0  1

Cho hàm số  xác định trên một tập lồi  n

X R là lõm trên X thì điều kiện cần

và đủ là

0 ( , ) , , ( ) n

H  x y xS yR x y R 

8

Hình 4.1.3a mô tả hàm lồi trên X và Epigraph G o

Hình 4.1.3b mô tả hàm lõm trên X và Hypograph H0 Hình 4.1.3 Epigraph G ocủa hàm lồi và Hypograph H0 của hàm lõm

1.2.4) Định lý 2

Cho hàm số  xác định trên một tập lồi  n

X R là lõm trên X Điều kiện cần nhưng không đủ để  lồi trên X là   , ( )    n

Cho hàm số  xác định trên một tập lồi  n

X R Điều kiện cần nhưng không đủ để  lõm trên X là tập   , ( )    n

A x x X  x  X R là lồi với mỗi số thực 

9

Hình 4.1.4a mô tả hàm lồi  trên tập lồi  n

X R R và tập lồi liên quan trên

A

Hình 4.1.4b mô tả hàm không lồi  và tập lồi liên quan trên A

Hình 4.1.4c mô tả hàm lõm  trên tập lồi n

S R Rvà tập lồi liên quan trên

 ( )x pf x p0

 là lồi tại xX(lồi trên X)

Ví dụ: trên nữa đường thẳng Rx xR x,   1

11

1

x x

 



là một hàm lồi trên X, nhưng rõ ràng không liên tục tại x = -1

Hình 4.1.1b Tuy nhiên, nếu X là một tập lồi mở, thì hàm lồi trên X thì lại là liên tục Điều này được mô tả trong định lý theo sau

1.2.8) Định lý 6:

Lấy X làm một tập lồi mở trong n

R , Nếu  là một hàm số lồi trên X thì

nó liên tục trên X

Chứng minh:

Lấy x0 X , gọi  là khoảng cách (xem 1.3.9) từ 0

x đến điểm gần nhất trong n

R , không thuộc X (  nếu X=Rn) C là khối n-mặt với tâm x0

và

độ dài cạnh 2 , Cx xR n,    x i x i o ,i 1, ,n vì lấy

1 2

Từ đó phần trong của mỗi tập  n

X R là tập mở, Suy ra nếu  là hàm lồi trên tập lồi X=Rn thì nó liên tục trên phần trong của nó

1.3 Hàm thuần nhất dương lồi

13

Phần 2:

Tiêu chuẩn tối ưu của quy hoạch phi tuyến không khả vi

Mục đích của chương này là đưa ra tiêu chuẩn tối ưu của cho bài toán quy hoạch phi tuyến tính

Xét bài toán: Tìm cực tiểu của hàm   2

  x u x 2   x u x 2 ( )x u x 2

Ta kiểm tra bất đẳng thức trên có thỏa mãn với x 2,u4

Trên ¡ 2ta xét hàm     x u,  x   u x 2 có một điểm cực tiểu tại x u, suy ra Có một điểm yên ngựa tạix 2,u 4 Với bài toán đơn giản trên, điểm yên ngựa xảy ra ở cả điều kiện cần và đủ làm cho x trở thành phương án tối ưu của bài toán cực tiểu Điều này không phải luôn xảy ra trong mọi trường hợp Trong chương này, điểm yên ngựa ở trên là điều kiện tối ưu đủ mà không có bất kỳ yêu cầu nào về tính lồi Tuy nhiên, để đưa ra điều kiện cần của điểm yên ngựa, không những ta cần điều kiện lồi mà còn cần một số điều kiện ràng buộc khác nữa

Trong chương này ta tìm phương án tối ưu của các hàm số thoả điều kiện ràng buộc mà không xét tính khảvi của chúng

5.1 Bài toán cực tiểu và điểm yên ngựa

Tiêu chuẩn tối ưu của chương này có liên quan đến phương án của bài toán cực tiểu, bài toán cực tiểu địa phương và hai bài toán điểm yên ngựa với nhau

Cho 0

X là tập con của n

R , cho  và g là các hàm số và một hàm vectơ chiều trên 0

m-X Ta xem xét các bài toán sau

5.1.1Bài toán cực tiểu (MP)

Tìm phương án tối ưu xthoả  0