Bài tiểu luận tối ưu phi tuyến nhóm 9

Chương 7: TIÊU CHUẨN TỐI ƯU CỦA QUI HOẠCH VỚI GIẢ THIẾT KHẢ VI Trong chương 5 ta xây dựng tiêu chuẩn tối ưu không dùng giả thiết khả vi trong các hàm về vấn đề lập trình phi tuyến.. Đi

Môn Chuyên đề: Lý thuyết tối ưu phi tuyến

Chương 7:

TIÊU CHUẨN TỐI ƯU CỦA QUI HOẠCH

VỚI GIẢ THIẾT KHẢ VI

Trong chương 5 ta xây dựng tiêu chuẩn tối ưu không dùng giả thiết khả vi trong các hàm về vấn đề lập trình phi tuyến

Nhiều vấn đề (lập trình phi tuyến, lập trình bậc hai) bao gồm hàm phi tuyến Chủ yếu

là xây dựng tiêu chuẩn tối ưu nhận lợi thế từ thuộc tính này Những tiêu chuẩn này chỉ

là sự mở rộng ai cũng biết và thường lạm dụng tiêu chuẩn tối ưu của phép tính cổ điển của “việc đặt đạo hàm bằng 0”

Như ta đã làm ở chương 5 chúng ta xây dựng các tiêu chuẩn tối ưu cần thiết và đầy đủ Đối với các tiêu chuẩn tối ưu đầy đủ chúng ta cần …

I BÀI TOÁN CỰC TIỂU HÓA VÀ BÀI TOÁN ĐIỂM DỪNG Frits John,

Kuhn Tucker

Tiêu chuẩn tối ưu của chương này liên quan đến việc giải quyết bài toán cực tiểu hóa, cực tiểu hóa địa phương và hai bài toán điểm dừng (Bài toán Frits John, Kuhn Tucker) Bài toán cực tiểu và cực tiểu địa phương ở đây tương tự như bài toán đã được giải quyết ở chương 5 đó là 5.1.1 và 5.1.2 với giả thiết khả vi Bài toán Frits John và Kuhn Tucker của chương này (muc 3 và 4 dưới đây) theo bài toán điểm yên ngựa của Frits John và Kuhn Tucker 5.1.3 v à 5.1.4 nếu giả định khả vi và ngược lại bài toán điểm yên ngựa của Frits John và Kuhn Tucker 5.1.3 và 5.1.4 theo bài toán Frits John và Kuhn Tucker của chương này (muc 3 và 4 dưới đây) nếu giả định tính lồi (xem 7.3.8

dư ới đây)

1 Bài toán tối tiểu

Tìm x nếu nó tồn tại sao cho θ (x ) m in θ (x )

2 Bài toán tối tiểu địa phương

Tìm x trên X , nếu tồn tại sao cho một số quả cầu mở B(x) lân cận x với bán kính

4 Bài toán điểm dừng Kuhn Tucker:

g x

u g x u

Nếu x r, 0,rlà nghiệm của bài toán FJP 3??? , và r0  0 , thì x r, r0 là nghiệm của

bài toán KTF 4 Ngược lại, x u,  là nghiệm của KTF 4 thì (x, 1,u)là nghiệm của FJP

Chú ý dịch lại FJP, KTF là tên các bài toán đây là kí hiệu tiếng anh viết tắt và tốt hơn hết nên đặt tên bài toán theo số ví dụ bài toán FJP 3 thì viết là bài toán 3 thôi như vậy cho tiện

6 Chú ý:

Hàm Lagrange  x r, 0 ,rvà  x u, được định nghĩa ở trên hoàn toàn giống với hàm Lagrange được định nghĩa ở Chương 5 (xem 5.1.3 và 5.1.4)

II Tiêu chuẩn tối ưu đầy đủ

Tiêu chuẩn tối ưu đầy đủ được phát triển ở đây (mục 1 và 2 dưới đây) không giống với tiêu chuẩn tối ưu đầy đủ ở 5.3.1 phụ thuộc nhiều vào tính lồi Tuy nhiên đạo hàm của chúng không phức tạp

1 Định lý tối ưu đầy đủ [Kuhn Tucker 51]

Chứng minh: Câu 2 của định lý có được theo câu 1 bởi chú ý 7.1.5

Cho x u, là nghiệm của KTP Với bất kì x trong X mà

Trình bày lại dạng của bài toán

Một trường hợp thú vị không được bao trùm bởi định lý 1 ở trên là trường hợp khi

x r, 0 ,rlà nghiệm của bài toán FJP 7.1.3 nhưng đòi hỏi r0  0thì không được thực hiện, để đảm bảo rằng x là nghiệm của MP 7.1.1 Điều này được xác định bởi định lý

dưới đây với yêu cầu r0  0 thay thế bằng yêu cầu g lồi ngặt tại x

3 Định lý tối ưu đầy đủ:

X mở,  khả vi và lồi tại x g là hàm khả vi và lồi ngặt tại x

0 g I( )x  g I(x)  g I( ) (x x x) (do tính lồi ngặt của g tại x và 6.2.1)

Mâu thuẫn với 4 nếu ta đặt z  xˆ  x Nhớ lại rằng g I(x)  0, Từ 5 ta có:

của g tại x (như giả định ở mục 1 và 2) và vì g I luôn lồi ngặt tại x điều mà được cần trong 3 thay cho tính lồi ngặt của g tại x (như giả định ở mục 3) Giả thiết thu hẹp được làm ở mục 1,2 và 3 làm cho việc trình bày của các định lý đơn giản hơn

II Điều kiện cần của tiêu chuẩn tối ưu

Bây giờ,trong trong điều kiện cần của tiêu chuẩn tối ưu nhận được tính lồi không đóng vai trò quyết định Tính khả vi vủa hàm được sử dụng để chuyển bài toán phi tuyến tính sang tuyến tính, và khi đó định lý đan dấu đạt được điều kiện cần của tiêu chuẩn tối ưu Một lần nữa, để nhận được nhiều điều kiện cần của tiêu chuẩn tối ưu quan trọng hơn nữa (mục 7 dưới đây, tiêu chuẩn ràng buộc là cần thiết

Chúng ta bắt đầu với việc mở rộng bổ đề tuyến tính của Abadie, thiết lập việc không tồn tại nghiệm của một hệ bất phương trình tuyến tính bất cứ khi nào bài toán cực tiểu

địa phương LMP 7.1.2 có lời giải

Cho x là nghiệm của LMP 7.1.2 với    Ta sẽ chứng tỏ rằng nếu z thỏa

2 Định lý Fritz John –Điểm dừng lý thuyết tối ưu:

Lấy x là một điểm dừng của LMP 7.1.2 hay MP 7.1.1, X0 là tập mở và  , g

hàm khả vi tại x Thì nó tồn tại r0 R và m

r  R Khi đó x r, 0 , r thu được công thức

FJP 7.1.3 và r0 ,r w 0

Trong đó {w i g i x  0 , và g i không là hàm lõm tại x }

GHI CHÚ:Nếu x ta thu được MP 7.1.1, thì x thu được LMP 7.1.2?????

Do đó theo định lý Motzkin's 2.4-2 chữ ‘s là sở hữu cách chứ ko phải chữ trong tên

người ???, có tồn tại r0,r w,r v sao cho:

Ta sẽ thiết lập các đường biên lân cận của các tập con nhỏ nhất thành phần của

r0 ,r 

Ví dụ ta thiết lập các đường biên không chính thức ở trên của r0 (và do phần tử chính của nó), thì đó là điều tối phi tuyến ta thấy (hình 7) Trong định lý trên ta thiết lập các đường biên lân cận của r0 ,r w

ở đây w là tập hợp các chỉ số hữu hạn không lõm tại x

Abadie lập lập các đường biên lân cận của các tập con lớn hơn tập thành phần của

hợp suy biến Như ta đã thấy trong mục 5.4 nó có thể loại bỏ vì trong trường hợp hàm số có giới hạn và bị chặn g x  0 Những hạn chế đó được lặp lại tại mục

5.4 sự ràng buộc về giới hạn Trong sự ràng buộc giới hạn 5.4.3 của Slater's

Karlin's 5.4.4 và đúng ràng buộc 5.4.5

Hình 7.3.1 Ví dụ về vấn đề giảm thiểu trong r0 của Fritz John về vấn đề 7.1.3

là số 0

Ta giới thiệu các sự ràng buộc về giới hạn 3 của Kuhn-Tucker,

Arrow-Hurwicz- Uzawa sự ràng buộc về giới hạn 4 và hàm lồi ngược sự ràng buộc về

iii) Cho 0

X lồi, g lồi trên 0

X , g khả vi tại x Nếu g thỏa điều kiện cần Slater (5.4.4) trên 0

X hoặc điều kiện cần đầy đủ ở [ 5.4.5] thì g thỏa (4) tại x

ii) Cho g thỏa (5) tại x Đặt I  i|g i x  0 và J  i|g i x  0

Cho y là một vecto bất kỳ trong n

R thỏa g I x y  0

Đặt e( )   x   y với   0(đượ ghi rõ ở dưới)

Dĩ nhiên điều kiện (a) và (c) trong (3) được thỏa, chúng ta sẽ chỉ ra điều kiện (b) cũng thỏa Từ điều kiện 0

Và điều kiện (b) của (3) thỏa mãn

ii) Theo bổ đề 5.4.6 chúng ta có (5.4.3) và (5.4.4) là tương đương và điều kiện đầy đủ 5.4.5 chứa cả điều kiện cần 5.4.3 và 5.4.4

Do đó ta cần thiết lập bổ đề hiện tại sau điều kiện Slater Nếu g thỏa điều kiện Slater Trên 0

iii) Do cách lấy z  x x ta có g I  x z  0… và (4) thỏa tại x

Bây giờ chúng ta xét các tiêu chuẩn của bài toán tối ưu phi tuyến, tiêu chuẩn tối ưu Kuhn Tucker Chúng ta thiết lập các kết quả từ các điều kiện cần đã nêu Trong

chương 6 ở trên, chúng ta chỉ cần thiết lập kết quả của điều kiện cần Kuhn –Tucker (3)

và điều kiện cần Arrow -Hurwicz-Uzawa (4) trong đó … là ràng buộc tuyến tính và

và … là ràng buộc phi tuyến bao gồm cả điều kiện cần Kuhn Tucker Chúng ta đưa ra

sự khác biệt và một vài cách tiếp cận đơn giản hơn và chỉ ra cả điều kiện cần Arrow Hurwicz-Uzawa hay Kuhn Tucker là thích hợp để thiết lập điều kiện tối ưu của chúng

Hình 7.3.2 Mối quan hệ giữa các điều kiện cần với nhau

i) Điều kiện (3) tại x , hay

ii) Điều kiện (4) tại x, hay

iii) Điều kiện (5) tại x, hay

iv) Điều kiện Slater 5.4.3 trên 0

X hay v) Điều kiện Karlin 5.4.4 trên 0

X , hay vi) Điều kiện cần đầy đủ 5.4.5 trên 0

X Thì tồn tại n

uR sao cho x u,  là phương án của bài toán 7.1.4

ĐK CẦN 5.4.4

ĐK CẦN 7.3.4

ĐK CẦN 7.3.3

Lấy y là một vecto bất kỳ trong 0

R sao cho y.y=1 thì

vii) Lấy g thỏa điều kiện cần (3) , n

y R thỏa g I x y  0 Theo (3) tồn tại hàm vecto e ,m chiều xác định trên [0,1] sao cho e  0  x e,     X với 0    1, e khả

vi tại   0

Và d e  0

y d



  với   0 Do 0    1

với i = 1, …, n Trong đó  

d





   

Do e  0  x và d e  0

y d

Từ đó x u,  là phương án bài toán 7.1.4

ii) Cho x là phương án bài toán 7.1.1 hay 7.1.2 Theo định lí Fritz John 2 tồn tại một … và một r0 R và m

r  R sao cho x r, 0 ,r là phương án của bài toán 7.1.3 và r0 ,rw 0

Hình 7.3.3 Biểu diễn minh họa hình học của điều kiện Kuhn –Tucker

Nhân vào bên trái các bất đẳng thức bởi r w và r V cho

Hình 7.3.4 Mối quan hệ các phương án bài toán 7.1.2, 7.1.1; 7.1.3, 7.1.4

Hình 7.3.5: Các phương án của các bài toán 7.1.1, 7.1.2, 7.1.3, 7.1.4, 5.1.3, 5.1.4

Một biểu diễn hình học minh họa của các điều kiện 7.1.4 có thể chỉ rõ như sau:

Tại x tồn tại tổ hợp tuyến tính không âm của hàm mục tiêu    x ( với trọng số dương), Và các gradient của ràng buộc g i x  0 ,iI Hình 7.3.3 mô tả các phần

tử đó

Nếu không có điều kiện ràng buộc nào thỏa , thì không tồn tại tổ hợp tuyến tính không âm của    x và g i x  0 Trong một vài trường hợp    x có thể có trọng số bằng không

Ví dụ ở hình 7.3.1

Các tiêu chuẩn tối ưu của chương được liên kết với nhau trong hình 7.3.4 và với chương 5 ở hình 7.3.5

Tìm các điều kiện ở dưới

i) Một phương án x r, 0 ,r của bài toán 5.1.3 là phương án của bài toán 7.1.3

11 Bài toán ( phương pháp làm của các phương án có thể thực hiện được)

Lấy một giả thiết trong các giả thiết từ ii) đến vi) của định lý 7,  , g khả vi trên 0

X Giả sử ta có một điểm x X tại đó 1 trong 5 ràng buộc cuối cố định nhưng điều kiện Kuhn Tucker 7.1.4 không thỏa Chỉ ra rằng một phương án có thể thực hiện được z trong n

R sao cho x  z X và  x z   x với   0

[ Hướng dẫn: dùng định lý Farka 2.4.6 từ đó    x  u Ig I  x  0 , uI  0 , Không

có phương án u I và sự khả vi hoàn toàn của  và g]

12 Bài toán [ Tiêu chuẩn tối ưu chung của điểm dừng cần thiết Kuhn Tucker ]

Lấy 0

X là tập mở trong n1 n2

R x R ,  ,g h, Là hàm số, một hàm vecto m chiều và hàm vectok kchiều xác định trên 0

Do  b j 0 nên thuật toán dừng lại

Vậy bài toán không có phương án tối ưu