Bài tiểu luận tối ưu phi tuyến nhóm 8

Môn Chuyên đề: Lý thuyết tối ưu phi tuyến CHỦ ĐỀ : HÀM KHẢ VI Nhóm thực hiện: 1.. Nguyễn Văn Tùng Hàm Khả Vi... Định Lý Giá Trị Trung Bình và Định Lý Hàm Ẩn 1... Đạo hàm bậc hai và M

Môn Chuyên đề: Lý thuyết tối ưu phi tuyến

CHỦ ĐỀ :

HÀM KHẢ VI

Nhóm thực hiện:

1 Ma Xuân Út

2 Lê Thị Diễm Kiều

3 Nguyễn Văn Tùng

Hàm Khả Vi

Định Lý Giá Trị Trung Bình

và Định Lý Hàm Ẩn

1 Hàm khả vi:

h R

  mà

x h D thì:

f x h  f x  t h  h  h

 

0

h

h



Trong đó:

 1 , 2 , , n

h  h h h

1 2 2 1

n i i



  

 

f x

2 Đạo hàm riêng và Gradien của hàm số:

0









i

f x x



x

3 Định lý:

D  R và x D

 

f x

4 Sự khả vi của hàm có giá trị vectơ:

R và

khả vi tại x

5 Đạo hàm riêng và ma trận Jacobi của hàm véc tơ:

R và f : D  R m, f   f1 , f2 , , f m, cho

 1 , x , x 2 n

phần f1, f , f2 m có đạo hàm riêng theo tất cả các biến x ii  1, ,ntại điểm x

 

/

n

n

n

6 Định lý đạo hàm của hàm hợp

f U  V f  f f f

g : V  R k, g  g , g , , gk và g f  x  g  f  x 

.

g f x  g  f x  f x

7 Đạo hàm bậc hai và Ma trận Hess:

       

.

f h x  f x  h A x  h  h

0

n R R

h  

Ánh xạ tuyến tính A nếu có sẽ duy nhất và đặt  2  

A f x

Gọi là đạo hàm bậc hai của f tại x

Ma trận cấp nn của  2  

f x được gọi là ma trận Hessian mà các thành phần thứ i j, (hàng i, cộtj) của nó cho bởi

     

2 2

,

ij

i j

f x

x x



8 Định lý:

Khi đó:

iii) 2

f

 liên tục tại x nếu chỉ nếu các đạo hàm riêng bậc 2 của các hàm thành phần

 

,

x



    i j, 1,n

9 Ghi chú:

 

i

f x

x





 

2

i j

f x

x x





Tương tự, ta tính được đạo hàm riêng cấp k củaf tại x (nếu tồn tại)

10 Ghi chú:

n

f x



k

f x



f x y f x y

f x y

ii) Cho f là hàm có giá trị vectơ , f  f1 , f2 , , f m , f xác định trên tập mởD trong

R nR k, f khả vi tại x y,   D ta xác định được:

n

n

n

k

k

k

d

ĐỊNH LÝ TAYLOR’S:

1 Định lý giá trị trung bình:

Cho f là một hàm khả vi được xác định trên tập mở lồi D trong n

R

và x1,x2 D thì:

f x  f x  f x   x  x  x  x

với:  R, 0    1

2 Định lý Taylor’s: (Hàm bậc hai)

Cho f là một hàm có đạo bậc hai được xác định trên tập mở lồi D trong n

R

và x1,x2D Khi đó:

2

2 1 1 2 1 2 1

2 1 1 2 1

2



      

Với   R, 0    1

3 Định lý hàm ẩn:

Lấy f là hàm vectơ m  chiều được xác định trên tập mở A trong  n m

R R

và f có đạo hàm riêng cấp 1liên tục tại x, y   Avới f  x ,y  0 và f x y, 

y





y



 không suy biến  x y,   B x y,  , y  e x 

và f x, e  x   0 với x D

III CÁC VÍ DỤ:

,

2 2

1 / 3

2 2 1

s in y

,

x

f x y

x y







 



 



2

2 2

2 / 3

2 2 2

y s i n x

,

x y







 



0 , 0

f

,

2

2 2

1 / 3

2 2 1

s i n y

,

x

x y







 



1 / 3

2 2 2

1

,

f x y

x y







 



 



f tại  0 , 0  Tính  2  

0 , 0

f

f tại  0 , 0 

Giải:

Bài 1:

f tại  0 , 0 

Ta có:

1







1







2 2 , 0 , 0

1

2 2 , 0

2 2 3

, 0 , 0

2 2 6 2 2 6

1

li m

s t

s t

s t

s t





(vì:

2 2 6

2 2 6 2 2 6

s t

s t

s t



theo định lý giới hạn kẹp)

2 2 6 5

, 0 , 0

2 2 6

s t

s t

s t



 Vậy f1 x, y  khả vi tại  0 , 0 







  2  2  2







2 2 , 0 , 0

2 2

2 2 , 0

2 2 3

7

2 2 , 0

2 2 6

3

2 2 , 0

1

3 !

t

li m

3 !.

s t

s t

s t

s t

s t

s t

t t

s t

s t

t

s t













2 7

2 2 6

s i n s

0

s t



+/

3

2 2 , 0

3 !.

s t

t

s t







2 2 2 2

0

t t t

t

+/

2 7 , 0

2 2 6

t s i n s

s t

s t





(vì:

1

2 2

2 2 3

2 2 6 2 2 6

t s 0

s t

s t



và theo định lý giới hạn kẹp)

7

2 2 , 0

2 2 6

.

6

s t

s t

s t







Vậy f2 x, y  khả vi tại  0 , 0 

/

0 ; 0

f

b) Xét tính liên tục của đạo hàm /

x y 

2 2 2 2 2

1

2

3

f

x

f

x











1

2

3

f

y

f

y











1

f

x



 liên tục tại  0 , 0 

  1   1  

, 0

x y

x y



 

2 2 3 2 2 3

s in

(vì:

2 2 3 2 2 3

2

2 2 3 1

2 2 3

.

0

y













và theo định lý giới hạn kẹp)

 

2 2 3 2 2 3

(vì:

2 2 3 2 2 3 2 2 3

0

và theo định lý giới hạn kẹp)

  1   1  

, 0

x y

x y



(vì:

2 4

2 2 3

0

3 3

x y



và theo định lý giới hạn kẹp)

Do đó f1

x



 liên tục tại  0 , 0 

1

f

y



 liên tục tại  0 , 0  1   1  

x y

 

, 0

2 2 3

x c o s y

x y



(vì:

1

2 2 6

2 2 3 2 2 3 2 2 3

c o s



và theo định lý giới hạn kẹp)

 

2

2 2 3 2 2 3

(vì:

1

2 2 2 2

2 2 6

2 2 3 2 2 2 2 3 2 2 2 2 3

2

0

3

và theo định lý giới hạn kẹp)

  1   1  

, 0

x y

x y



Do đó 1  

,

f

x y y



 liên tục tại  0 , 0 

Tương tự hàm f2 x y,  :

2

2 2

2 2 3 2 2 3

2

3

s i n x 3

f

x

x y

2

2 2 3 2 2 3

3

f

y





 Tại  0 , 0 

2

,

f

x y x



 liên tục tại  0 , 0  khi và chỉ khi: 2   2  

, 0 , 0

x y



 

2 2 , 0

2 2 3

c o s

x y





(vì:

2 2 3 2

2 2 3

c o s 0



và theo định lý giới hạn kẹp)

 

2 2 2

2 2 3 2 2 3

x y

(vì:

1

2 2

2 2 3 5

2 2 3

0

x y



và theo định lý giới hạn kẹp)

  2   2  

, 0

x y

x y



Do đó f2

liên tục tại  0 , 0 

f

y



 liên tục tại  0 , 0  2   2  

, 0

x y

x y



 ,  0

x y 

 

2 2 3 2 2 3

(vì:

2 2

2 2 3

2 2 3 2 2 3

0

x y y



và theo định lý giới hạn kẹp)

  2   2  

, 0

x y

x y



Do đó f2

y



 liên tục tại  0 , 0 

Vậy /

f liên tục trên 2

R

f tại  0 , 0 

1 2

f R  R  f

/

,

f x y

Tại x y,    0 , 0 

nếu

2

2











liên tục

1

1

,

,

f

x y x f

x y y





 



 







khả vi



Tại  0 , 0 :

2

1

s

s







2

1

0

t





 

1

s t

Nếu   1 

1

, 0

s t

f

s t

x







2

1

0

s





 

2

1

2

0

t







1

s t

2

, 0

s t

f

s t

y







f tại  0 , 0 

Ta có:

1 , f , , f ,

2 , f , , f ,

f x y   f x y f x y  R

2 2

2

,

f x y



2 2

2

,

f x y



2

1

2

f

x



 liên tục tại  0 , 0 

2

2

f

x



 liên tục tại  0 , 0 

, 0

x y

x y

