Tính diện tích của ngũ giác đĩ... Vậy khụng tồn tại số nguyờn dương thoả món... Câu 5: 5 điểmGiả sử ngũ giỏc ABCDE thỏa món đk bài toỏn Xột ∆BCD và ECD và SBCD = SECD đỏy CD chung, cỏc đ
Trang 1PHỊNG GD – ĐT PHÙ MỸ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN (2010-2011)
TRƯỜNG THCS TT BÌNH DƯƠNG Mơn TỐN, lớp 9
Đề đề xuất Thời gian làm bài:150 phút
(khơng kể thời gian phát đề)
Câu 1: (5 điểm)
a) Cho biểu thức
(x + x2 +2006 (y+ y2 +2006) =2006
Hãy tính tổng : S = x + y
b) Cho 3 số thỏa mãn điều kiện:
x + y + = y + z + = + z x + = Hãy tính giá trị của biểu thức :
A = x2010 + y2010 + z2010
Bài 2 : (5điểm)
a) Cho biểu thức : M = x2 − 5 x y + 2 + xy − 4 y + 2017
Với giá trị nào của x, y thì M đạt giá trị nhỏ nhất ? tính giá trị nhỏ nhất đĩ
b) Tìm các số nguyên dương n sao cho x = 2n + 2003 và y = 3n + 2005 đều là những số chính
phương
Câu 3 : ( 5điểm ) giải phương trình
a)
x x
x
−
−
− 1
3 6
= 3 + 2 x−x2
b)
4
( x )
Câu 4: ( 5điểm) Một ngũ giác cĩ tính chất: Tất cả các tam giác co 3 đỉnh là 3 đỉnh liên tiếp của
ngũ giác đều cĩ diện tích bằng 1 Tính diện tích của ngũ giác đĩ
Trang 2HƯỚNG DẪN CHẤM
PHÒNG GIÁO DỤC ĐÀO TẠO Năm học 2010-2011
Môn TOÁN, lớp 9
Đề đề xuất Thời gian làm bài:150 phút
(không kể thời gian phát đề) C©u 1: (5 ®iÓm) Ta cã:
(x− x2+2006 )( y− y2+2006)( x+ x2+2006x )( y+ y2+2006)
) 2006 (
2006 (
2006 x− x2 + y− y2 + x
=
) 2006 )(
) 2006 (
VËy(x+ x2 +2006)(y+ y2 +2006)=(x− x2 +2006 (y− y2+2006)
2006
y
NÕu x = 0 => y = 0 => S = 0
NÕu x ≠ 0 => y ≠ 0 tõ (*) => 0
2006
2006
2
2
>
−
= +
+
y
x y
x
=> xy < 0
2 2
2
2006
2006
y
x y
+
+
=> 2006x2 = 2006y2 => x2 = y2
=> (x-y)(x+y) = 0
mµ xy < 0 => x - y ≠ 0
b) Từ giả thiết ta có :
2 2 2
y z
+ + =
+ + =
+ + =
Cộng từng vế các đẳng thức ta có:
(x2+2x+ +1) (y2+2y+ +1) (z2+2z+ =1) 0
⇒ + + + + + =
1 0
1 0
1 0
x y z
+ =
+ =
x = y = z = -1
Vậy : A = x2010+ y2010+ z2010 = (-1)2010 + (-1)2010 + (-1)2010
A = 3
Bài 2 (5,0 điểm) Ta có:
=> S = x + y = 0
Điểm
0.5
0,5 0.5 0.5 0.5 0.5
0.5
0.5 0.5 0.5
Trang 3a) M =(x2+4x+ +4) ( y2+2y+ +1) (xy x− −2y+ +2) 2010
M = −x + −y + −x y− +
Do ( )2
y− ≥ và ( 2) 1( 1) 2 0
2
∀x y, 2010
M
⇒ ≥
min 2010 2; 1
Cõu 2 ( 2 điểm)
Giả sử 2n + 2003 = a2 và 3n + 2005 = b2 (a, b nguyờn dương)
Khi đó 3a2 - 2b2 = 1999 (1) => a lẻ
Đặt a = 2a1 + 1(a1∈ Z) => 2b2 = 3.4a1 (a1+1) - 1996
= 3.4a1 (a1+1) - 2000 + 4
=> b2≡ 2 ( mod 4) Vụ lý Vậy khụng tồn tại số nguyờn dương thoả món
Cõu 3: (2 điểm)
a) ĐK 0 < x < 1 và x ≠
2 1
Khử mẫu ở vế trỏi ta được phương trỡnh:
3( x+ 1−x) = 3 + 2 x−x2
Đặt x+ 1−x= t ⇒ đk : 0 < t < 2
Phương trỡnh viết thành : t2 - 3 t + 2 = 0
Kết luận: x = 0 ; x = 1 là nghiệm của phương trỡnh đó cho
b)
điều kiện: 1
3
x x
≠
≠ ±
Đặt a =(x-1)2 ; b = x2 - 3
Phương trỡnh
4
( x )
2
4
2
1
2
a
+ + = +
+ +
+ + Dấu = xóy ra khi
1
a b b
=
khi đú x = 2 Vậy nghiệm của phương trỡnh là x = 2
0.5 0.5 0.5
0.5 0.5
1.0
0.5 0.5 0.5
0.5 0.5
0.5 0.5 0.5 0.5
0.5 1.0 0.25 0.25
Trang 4Câu 5: (5 điểm)
Giả sử ngũ giỏc ABCDE thỏa món đk bài toỏn
Xột ∆BCD và ECD và SBCD = SECD
đỏy CD chung, cỏc đường cao hạ từ
B và E xuống, CD bằng nhau => EB//CD,
Tương tự AC// ED, BD //AE, CE // AB, DA// BC
Gọi I = EC ∩ BC => ABIE là hỡnh bỡnh hành
=> SIBE = SABE = 1 Đặt SICD = x < 1
=> SIBC = SBCD - SICD = 1-x = SECD - SICD = SIED
Lại có
IBE
IBC
IDE
ICD
S
S IE
IC S
S
=
1
1 1
x x
x = −
−
=> x2 - 3x + 1 = 0 => x =
2
5
3± do x < 1 => x =
2
5
3−
Vậy SIED =
2
1
5−
Do đó SABCDE = SEAB + SEBI + SBCD + SIED
= 3 +
2
1
5− =
2
5
5+
A
B
C
E
D
I
0.5 0.5 0.5
0.5 1.0 1.0 0.5 0.5