Tính diện tích tam giác MNP theo S Bài 6 5,0 điểm Cho tam giác ABC vuông tại A AB < AC, phân giác trong AD và phân giác ngoài AE... Điều này không thể xảy ra.. Vậy PT đã cho vô nghiệm..
Trang 1PHÒNG GD-ĐT PHÙ MỸ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2010-2011
Bài 1 (4,0 điểm)
a) Chứng minh rằng số 2 3 5là số vô tỉ
n
S p p p p với p
Bài 2 (3,0 điểm)
Chứng minh bất đẳng thức : 1 2 1 2 1 2 23
c b
b a a
Bài 3 (3,0 điểm)
Cho x, y là hai số dương thỏa mãn: x2 + y2 = 4
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
Bài 4 (2,0 điểm)
Giải phương trình: x4 + 2x3 + 4x2 +2x + 1 = 0
Bài 5 (3,0 điểm)
Cho tam giác ABC có diện tích là S Lấy các điểm M, N, P lần lượt trên các cạnh AB, BC, CA sao cho AM BN CP 1BM CN AP 3 Tính diện tích tam giác MNP theo S
Bài 6 (5,0 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), phân giác trong AD và phân giác ngoài AE Chứng minh:
a) 1 + 1 = 2
Hết
Trang 2-ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM
1
4đ
a
2đ
Giả sử 2 3 5 là số hữu tỉ Đặt 2 3 5 = a
Khi đó 2 3 a 5 ( 2 3) 2 (a 5) 2 5 2 6 a2 5 2a 5
4
2
4
a
a
a
( vì a ≠ 0) => 30 là số hữu tỉ, vô lý
Vậy 2 3 5 là số vô tỉ
1,0đ
1,0đ
b
2đ
Ta viết là Sn dưới dạng sau:
n
n
Vậy S n P n 111
p
1,0đ 1,0đ
2
3đ
- Từ ( a – 1)2 0 => a2+ 2a +1 0 => a2+1 2a => 2
1a 2a
- suy ra được : 1 2 21
a
a
- Tương tự, suy ra được : 1 2 12
b b
1 2 12
c c
- Cộng từng vế ba bất đẳng thức trên được : 1 2 1 2 1 2 23
c b
b a a
2,0đ 0,5đ 0,5đ
3
3đ
Aùp dụng BĐT: 1 1 4
a b a b với a > 0; b > 0
1
Aùp dụng BĐT: a b 2
b a với a > 0; b > 0
Ta có x y 2 2 x y 4
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức E = 9 dấu “=” xảy ra khi x = y = 2
0,5đ 1,0đ
1,0đ 0,5đ
4
2đ
Ta có x4 +2x3 + 4x2 +2x + 1 = (x2 + 1)(x + 1)2 + 2x2
Tổng hai số không âm này bằng 0 khi (x + 1)2 = 0 và x2 =0 (vì x2 +1
0), nghĩa là đồng thời phải có x + 1= 0 và x = 0 Điều này không thể
xảy ra Vậy PT đã cho vô nghiệm
1,0đ 1,0đ
Trang 33đ
Ta có:
BMN
ABN
S =BM
S AB (Hai tam giác BMN và ABN có chung đường cao hạ từ N)
ABN
ABC
S =BN
S BC(Hai tam giác ABN và ABC có chung đường cao hạ từ A)
Mà:AMAB 13 BMAB 43
4
1 BC
BN 3
1 CN
BN
ABN ABC
S .S =BM BN 3 1 3. = =
hay BMN
3
16
Tương tự ta có: AMP CNP
3
16
Vậy MNP BMN AMP CNP
16 16
0,25đ
0,75đ
1,0đ 0,5đ
0,5đ 6
5đ
a
2,5đ
Vẽ DK AC AKDH là hình vuông
Ta có: SABC = SADB + SADC hay AB AC = AB DH + AC DH
Chia cả hai vế cho AB AC DH ta được: 1 + 1 = 1
AC AB DH
mà DH = AD2 Vậy 1 + 1 = 2
0,5đ
0,5đ
1,0đ 0,5đ
b
2,5đ SABC = SAEC – SABE hay 12AB.AC = 12EN.AC – 12EM AB
AB AC = EN.AC –EM AB
Chia cả hai vế cho AB AC EN ta được
1 - 1 = 1
AB AC EN mà EN = AE2
1,0đ 1,0đ
Trang 4Vậy 2
AE = 1 - 1