Hệ phương trình tuyến tính tổng quát 1

chương 3: Tổng quát về hệ phương trình tuyến tính tổng quát trong Toán cao cấp cho các nhà kinh tế 1, và các phương pháp giải ma trận tuyến tính, tài liệu và bài giảng của khoa toán trường đại học Kinh tế quốc dân.

Các vấn đề định tính và định lượng, chẳng hạn: Khi nào hệ có nghiệm? Có bao nhiêu nghiệm? Mô tả tập hợp nghiệm? Tìm nghiệm? Sẽ được giải đáp trong chương quan trọng này.

Tât nhiên trong thực hành ta có thể kết hợp nhiều phương pháp để cho kết quả nhanh chóng và gọn gàng nhất!!

Trước tiên ta xét hai phương pháp là phương pháp ma trận và phương pháp định thức để giải một loại hệ đặc biệt là: Hệ Cramer

§ 1: Phương pháp ma trận và định

thức

1 Hệ Cramer:

Định nghĩa: Hệ Cramer là hệ pttt thỏa mãn 2 điều kiện:

 Số phương trình bằng số ẩn.

 Ma trận hệ số không suy biến ()

Ví dụ: Hãy cho biết hệ sau có là hệ Cramer?

 Hiển nhiên: số PT = số ẩn () Vậy hệ đã cho là hệ Cramer.

Như vậy, Hệ Cramer luôn có nghiệm duy nhất:

Phương pháp giải hệ nhờ công thức trên được gọi là phương pháp ma trận

Ví dụ: Giải hệ sau bằng phương pháp

ma trận (phương pháp ma trận nghịch đảo):

 Hệ trên là hệ Cramer nên nó có

nghiệm duy nhất:

Vậy nghiệm duy nhất là:

3 Phương pháp định thức (Quy tắc Cramer)

GABRIEL CRAMER ( 1704 – 1752)

Gabriel Cramer sinh ngày 31/7/1704 tại Geneva, Thụy Sĩ mất 4/1/1752 ở Bangnols-sur-ceze Pháp, Gabriel có rất nhiều cố gắng trong việc học tập.

Năm 1722, khi mới 18 tuổi ông đã đạt được học vị tiến sĩ cho luận án dựa trên lý thuyết của âm thanh Cramer nổi tiếng là một người biên soạn thiên tài Cuốn sách nổi tiếng nhất của ông là “ Introduction à l’analyse des lignes courbes algébraique”, trong đó có qui tắc Cramer nổi tiếng.

Định lý sau đây còn gọi là Quy tắc Cramer:

Định lý: Hệ Cramer n ẩn số luôn có nghiệm duy nhất xác định bởi công thức:

Trong đó, , A - ma trận hệ số

Chứng minh:

Hệ Cramer luôn có nghiệm duy nhất:

còn lại giống hệt của d Cột thứ j

Chính là  

Ví dụ: Giải hệ sau bằng quy tắc Cramer

Giải:

 Hệ trên là hệ Cramer nên nó có

Vậy nghiệm duy nhất là:

𝟓 𝟒 𝟔

𝒅

Ví dụ: Tìm m để hệ sau đây là hệ Cramer, khi đó hãy giải hệ bằng quy tắc Cramer.

Giải:

 Hệ đã cho là hệ Cramer

 Khi đó, hệ có nghiệm duy nhất:

Vậy nghiệm duy nhất là:

………….21 ………….