Toán hình giải tích luyện thi đại học

Bước 2: Vì d d1 nên : nhớ tích vô hướng Bước 3: Phương trình đường thẳng d được cho bởi: Cách 2: -Giả sử d là đường thẳng cần dựng, khi đó d chính là giao tuyến của hai mặt phẳng P1 và

1 BÀI TOÁN 1:

Cách 1:

Bước 1: Chuyển phương trình về dạng tham số.

-Giả sử (d) là đường thẳng cần dựng và cắt (d2) tại B, khi đó B( )

-Gọi là vtcp của (d1), ta có

Bước 2:

Vì (d) (d1) nên : (nhớ tích vô hướng)

Bước 3: Phương trình đường thẳng (d) được cho bởi:

Cách 2:

-Giả sử (d) là đường thẳng cần dựng, khi đó (d) chính là giao tuyến của hai mặt phẳng (P1) và (P2), trong đó:

và

* Phương trình mặt phẳng (P1)

* Phương trình mặt phẳng (P2) (mặt phẳng đi qua một điểm và chứa một đường

thẳng)

Viết phương trình mặt phẳng (P2) bằng 2 cách:

Cách 1: Chuyển phương trình (d2) về dạng tổng quát, sau đó sử dụng chùm mặt phẳng.

Cách 2: Chọn điểm M( ) tùy ý thuộc (d2)

Kết luận: Phương trình giao tuyến (d) của (P1) và (P2) có dạng:

2 BÀI TOÁN 2:

“Lập phương trình đường thẳng đi qua A, vuông góc với đường thẳng (d1) và cắt (d2)”

“Lập phương trình đường thẳng đi qua A, cắt hai đường thẳng (d1) và (d2)”

Bước 1:

Cách 1: Sử dụng pp chùm mặt phẳng :

-Gọi (P) là mặt phẳng qua A chứa (d1), ta có (P) thuộc chùm tạo bởi (d1), có dạng :

(P) : m(pt(1) của (d1)) + n(pt2 của (d1)) = 0

Cách 2: Chọn điểm M( ) tùy ý thuộc (d1)

Bước 2:

Gọi B là giao điểm của (P) và (d2) Khi đó tọa độ của B là nghiệm của hệ:

Chú ý: nếu không tồn tại B Kết luận bài toán vô nghiệm

Nếu có vô số nghiệm Kết luận bài toán có vô số nghiệm đó chính là chùm đường thẳng chứa (d) đi qua A.

Bước 3:

Gọi (d) là đường thẳng qua A, B, ta có:

Gọi là vtcp của (d1), ta có

Từ đó, dễ thấy không cùng phương với

Vậy, (d): là đường thẳng cần dựng.

3 BÀI TOÁN 3:

Bước 1:

- Kiểm tra (d) có cắt (P) tại A không.

- Lập phương trình mặt phẳng (Q) thỏa mãn:

Bước 2: Khi đó đường thẳng (d1) chính là giao tuyến của (P) và (Q).

4 BÀI TOÁN 4:

“Lập phương trình đường thẳng (d1) qua A, vuông góc với (d) và nằm trong mặt phẳng (P)”

Gọi (d1) là đường thẳng qua A vuông góc với (d) và cắt (d), vậy (d1) qua A và H (H là hình chiếu vuông góc của A lên (d).

* Xác định H:

Gọi là vtcp của (d), ta có

Chuyển phương trình (d) về dạng tham số:

Vì , nên H (theo t)

Phương trình (d1), được xác định bởi:

Dựng (P1) và (P2) thỏa mãn:

và Khi đó

5 BÀI TOÁN 5:

Mặt phẳng (P) có vtpt

Gọi (d) là đường thẳng qua A và vuông góc với (P), ta được:

Vì hình chiếu vuông góc H của A lên (P) chính là giao điểm của (d) và (P), do đó:

thay các tọa độ của (d) vào (P)

6 BÀI TOÁN 6:

Bước 1: Xác định tọa độ hình chiếu vuông góc H của A lên mặt phẳng (P).

Bước 2: Suy ra tọa độ điểm A1 từ điều kiện H là trung điểm của AA1

7 BÀI TOÁN 7:

“Lập phương trình đường thẳng (d1) qua A,

vuông góc với (d) và cắt (d)”

“Xác định tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm A

lên mặt phẳng (P)

“Xác định tọa độ điểm A1 đối xứng với A qua mặt

phẳng (P)

“Xác định tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm A

lên đường thẳng (d)

Cách 1:

Gọi là vtcp của (d), ta có

Chuyển phương trình (d) về dạng tham số:

Vì , nên H (theo t)

Cách 2:

Gọi là vtcp của (d), ta có

Gọi H(x,y,z) là hình chiếu vuông góc của A lên đường thẳng (d), suy ra:

8 BÀI TOÁN 8:

Bước 1: Xác định tọa độ hình chiếu vuông góc H của A lên đường thẳng (d) Bước 2: Suy ra tọa độ điểm A1 từ điều kiện H là trung điểm của AA1

Bài 1: Cho (d1) là đường thẳng: và đường thẳng (d2): Lập phương trình mặt phẳng chứa (d1) và (d2) ĐS: 6x-8y+z+11=0

Bài 2: Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm M(-1, 2, -3), vuông góc với vectơ

và cắt đường thẳng:

ĐS:

“Xác định tọa độ điểm A1 đối xứng với A qua

đường thẳng (d)

Bài 3: Tìm phương trình đường thẳng đi qua điểm (1; 2; -2) và song song với đường thẳng: ĐS:

Bài 4: Trong không gian Oxyz cho điểm A(-1, 2, 3); và đường thẳng (d) có phương trình a) Lập phương trình mặt phẳng chứa A và (d) B)Lập phương trình đường thẳng đi qua A và vuông góc với vectơ và cắt đường thẳng (d) ĐS: : 3x+3y+2z-9=0;

Bài 5: Trong không gian Oxyz cho điểm A(2, -1, 1); và đường thẳng a) Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với b) Xác định tọa độ điểm B đối xứng với A qua ĐS: ; B(0; 3; 5)

Bài 6: Trong không gian Oxyz cho điểm A(3, 2, 1); và đường thẳng:

a)Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và chứa (d)

b) Viết phương trình đường thẳng đi qua A, vuông góc với (d) và cắt (d)

ĐS: (P): 14x-5y-8z-24=0;

Bài 7: Viết phương trình đường thẳng đi qua M(1; 1; 2) và song song với đường thẳng: ĐS:

Bài 8: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng (d) và mặt phẳng (P) có phương trình:

a) Tìm tọa độ các điểm thuộc đường thẳng (d) sao cho khoảng cách từ mỗi điểm đó đến mặt phẳng (P) bằng 1

b) Gọi K là điểm đối xứng của điểm I(2; -1; 3) qua đường thẳng (d) Hãy xác định tọa độ điểm K

ĐS: M1(-3; 4; -6) và M2(9; -2; 12); K(4; 3; 3)

Bài 9: Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(1; 3; 2), B(1; 2; 1), C(1; 1; 3) Hãy viết phương trình tham số của đường thẳng (d) đi qua trọng tâm tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng chứa tam giác đó ĐS:

Bài 10: Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M(2; -1; 0), vuông góc và cắt đường thẳng (d) có phương trình:

ĐS:

Bài 11: Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (P): 3x+6y-z-2=0, và đường thẳng: a) Tìm tọa độ giao điểm A của (P) và (d) b) Tìm phương trình mặt phẳng qua B(1; 2; -1) và vuông góc với (d) ĐS: A(0; 0; -2); : 4x+3y+z-9=0

Bài 12: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng (d) và mặt phẳng (P) có phương trình:

a) Tìm tọa độ các điểm thuộc đường thẳng (d) sao cho khoảng cách từ mỗi điểm đó đến mặt phẳng (P) bằng

b) Tìm tọa độ của điểm N đối xứng với điểm M(2; 0; -1) qua đường thẳng (d)

ĐS:

Bài 13: Lập phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng: và vuông góc với mặt phẳng: x – 2y + z + 5 = 0 ĐS: : 11x – 2y -15z – 3 = 0

Bài 14: Cho đường thẳng và đường thẳng Tìm tọa độ giao điểm của (d1) và (d2)

ĐS: A(2; 3; 1)

Bài 15: Chứng minh rằng hai đường thẳng sau đây cắt nhau: ĐS: M(3; 7; 18)

Bài 16: Chứng tỏ rằng hai đường thẳng sau đây không cắt nhau và vuông góc nhau:

Bài 17: Viết phương trình chính tắc của đường thẳng (d) qua M(1; 5; 0) và cắt cả hai đường thẳng: ĐS:

Bài 18: Viết phương trình chính tắc của đường thẳng (d) qua A(0; 1; 1), vuông góc với thẳng: và cắt đường thẳng Viết phương trình chính tắc của đường thẳng (d) qua M(1; 5; 0) và cắt cả hai đường thẳng: ĐS:

Bài 19: Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm A(-1, 2, -3), vuông góc với vectơ

và cắt đường thẳng (d):

ĐS:

Bài 20: Cho 2 đường thẳng a) Chứng minh (d1)//(d2) Viết phương mặt phẳng chứa (d1) và (d2) b) Tìm tọa độ điểm N đối xứng với M(-2; 3; -4) qua (d1) ĐS: x + 4y + 11z +10 = 0; N(4; -3; 2)

Bài 21: Cho điểm A(0; 1; 1) và 2 đường thẳng Lập phương trình đường thẳng qua A, vuông góc (d1) và cắt (d2) ĐS:

Bài 22: Trong không gian cho 2 đường thẳng Chứng tỏ rằng hai đường thẳng đó chéo nhau

Bài 23: Cho đường thẳng xác định bởi phương trình: và điểm M(4; -3; 2) Tìm tọa độ điểm N là hình chiếu vuông góc của điểm M lên đường thẳng đã cho ĐS: N(1; 0; -1)

Bài 24: Cho điểm A(1; 0; 0) và đường thẳng (d): a) Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với (d) b) Tính khoảng cách từ A đến (d) ĐS: x + 2y + z – 1 = 0;

Bài 25: Cho điểm A(1; 2; 1) và đường thẳng (d): a) Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và chứa đường thẳng (d) b) Tính khoảng cách từ A đến đường thẳng (d) ĐS: 15x – 11y –z + 8 = 0;

Bài 26: Trong không gian cho 2 đường thẳng a) Chứng tỏ rằng (d1) và (d2) chéo nhau b) Tính khoảng cách giữa (d1) và (d2) ĐS:

Bài 27: Trong không gian cho 2 đường thẳng a) Chứng tỏ rằng (d1) và (d2) chéo nhau b) Tính khoảng cách giữa (d1) và (d2) ĐS:

Bài 28: Trong không gian cho 2 đường thẳng a) Chứng tỏ rằng (d1) và (d2) chéo nhau b) Tính khoảng cách giữa (d1) và (d2) ĐS:

Bài 29: Trong không gian cho 2 đường thẳng a) Tính khoảng cách giữa (d1) và (d2) b) Tìm tọa độ điểm A đối xứng với điểm B(3; -3; 2) qua đường thẳng (d1) ĐS: ;