Tài liệu ôn thi tốt nghiệp lý thuyết đạo hàm

Tài liệu ôn thi tốt nghiệp lý thuyết đạo hàm

Lý thuyết đạo hàm

I Định nghĩa đạo hàm

1) Đạo hàm tại 1 điểm

Cho hàm số y = f(x) xác định trong một lân cận của x0 khi x0 nhận một số gia Δx thì y0 = x thì y0 = f(x0) nhận một số gia tương ứng là Δx thì y0 = y = f(x0 + Δx thì y0 = x) - f(x0)

Nếu lim (Δx thì y0 = y0Δx thì y0 = x) tồn tại thì ta gọi đó là đạo hàm của hàm số f tại x0 Ký hiệu f'(x0) :

Δx thì y0 = x→0

f'(x0) = lim (Δx thì y0 = y0Δx thì y0 = x) = lim [f(x0 + Δx thì y0 = x) - f(x0)]0Δx thì y0 = x

Δx thì y0 = x→0 Δx thì y0 = x→0

Nếu đặt x = x0 + Δx thì y0 = x thì Δx thì y0 = x → 0 tức x → x0 và ta có:

Đạo hàm 1 phía

a) Bên phải

b) Bên trái

2- Đạo hàm trên một khoảng, một đoạn

f(x) có đạo hàm trên (a;b) ↔ f(x) có đạo hàm tại mọi x thuộc (a;b)

f(x) có đạo hàm trên [a;b] ↔ f(x) có đạo hàm trên (a;b), f'(a+) và f'( tồn tại

3-Quan hệ giữa đạo hàm và liên tục của hàm số

Cho hàm số có đạo hàm tại xo =>hàm liên tục tại đó

không có dấu chỉ chiều ngược lại

4-Ý nghĩa hình học của đạo hàm

Cho hàm số f(x) có đạo hàm tại xo thì tại điểm đó đồ thị của nó có tiếp tuyến dạng :

50 Các công thức đạo hàm cơ bản

Cho hàm u ,v ta có các công thức sau :

II ĐẠO HÀM CẤP CAO - VI PHÂN

1/ Đạo hàm cấp cao

Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm y' = f'(x) Đạo hàm cấp n (nếu có) của f(x) được xác định một cách quy nạp như sau :

[f'(x)]' = f''(x) = f(x)(2) : đạo hàm cấp 2 của f(x)

[f''(x)]' = f'''(x) = f(x)(3) : đạo hàm cấp 3 của f(x)

[f'''(x)]' = f''''(x) = f(x)(4) : đạo hàm cấp 4 của f(x)

[f(x)(n-1)]' = f(x)(n) : đạo hàm cấp n của f(x)

2/ Vi phân

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x0 Gọi Δx thì y0 = x là số gia của biến số tại x0 Tích f'(x0).Δx thì y0 = x được gọi là vi phân của hàm số f tại x0 ứng với số gia Δx thì y0 = x (vi phân của f tại x0) Ký hiệu : df(x0) = f'(x0).Δx thì y0 = x

Nếu lấy f(x) = x thì df = dx = (x)'.Δx thì y0 = x = Δx thì y0 = x Do đó ta thay Δx thì y0 = x = dx và có : df(x0) = f(x0)dx Tổng quát : df(x) = f'(x)dx

III- Một số bài toán về tính đạo hàm

Ví dụ 1:Tính đạo hàm cấp 1 của

Riêng về những dạng đạo hàm

thì không thể dùng những phương pháp thông thường được ,Ta cần ln hai vế

Sau đó đạo hàm hai vế lúc đó ta có :

Từ đó ==> đạo hàm cần tìm

IV ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM

1/ Tính đơn điệu của hàm số

a/ Điều kiện cần của tính đơn điệu

Cho y = f(x) là hàm số có đạo hàm trên (a;b)

f(x) tăng trên (a;b) → f'(x) ≥ 0, với mọi x thuộc (a;b)

f(x) giảm trên (a;b) → f'(x) ≤ 0, với mọi x thuộc (a;b)

b/ Điều kiện đủ của tính đơn điệu

Cho y = f(x) là hàm số có đạo hàm trên (a;b)

f'(x) > 0, với mọi x thuộc (a;b) → f(x) tăng trên (a;b)

f'(x) < 0, với mọi x thuộc (a;b) → f(x) giảm trên (a;b)

c/ Hàm hằng

f là hàm hằng trên (a;b) ↔ f'(x) = 0, với mọi x thuộc (a;b)

2/ Chứng minh bất đẳng thức

a/ Định lý Lagrange: Nếu f là hàm liên tục trên [a;b] và có đạo hàm trên (a;b) thì tồn tại ít

nhất một số c thuộc (a;b) sao cho

* Ý nghĩa hình học : Trên cung AB của đồ thị hàm f, tồn tại ít nhất một điểm mà tại đó tiếp tuyến song song với đường thẳng AB

* Áp dụng : Nếu f'(x) bị chặn trong khoảng (a;b), tức tồn tại 2 số m, M sao cho :

m < f'(x) < M, với mọi x thuộc (a;b) → tồn tại c : m < f'(c) < M

Suy ra :

b/ Tính đơn điệu hoặc bảng biên thiên

- Khảo sát sự biến thiên của hàm f

- Dựa vào bảng biến thiên, rút ra đpcm (có thể dùng f'' để xét dấu f')

3/ Biện luận phương trình và bất phương trình

a/ Phương trình f(x) = m

- Phương trình f(x) = m là phương trình hoàng độ điểm chung của đường thẳng (d): y = m và

đồ thị hàm số (C): y = f(x)

- Số nghiệm của phương trình là số điểm chung của (d) và (C)

- Dựa vào bảng biến thiên của hàm f và giá trị của m, kết luận số điểm chung, tức số nghiệm của phương trình

- Một cách tổng quát: phương trình f(x) = m có nghiệm ↔ m thuộc MGT của f

b/ Bất phương trình f(x) < m

Gọi D là MXĐ của f(x)

- Nghiệm của bất phương trình f(x) < m là hoành độ các điểm thuộc đồ thị (C): y = f(x) nằm dưới đường thẳng (d): y = m

- Bất phương trình f(x) < m có nghiệm ↔ có một phần của đồ thị (C) nằm dưới đường thẳng (d)

thẳng (d)

** Tương tự với các bất phương trình : f(x) > m , f(x) ≤ m, f(x) ≥ m

BÀI TẬP ĐẠO HÀM

Bài 1: Bằng định nghĩa, hãy tính đạo hàm của hàm số: y = 2x 1 tại x0 = 5

Giải: Tập xác định D = x : x 1

2



 Với x là số gia của x0 = 5 sao cho 5+ x   thì

 y = 2(5 x) 1 - 10 1

 Ta có: y

x



x

  

y lim x

 



   

x 0

lim

 

     

   

9 2 x 9

lim

 

  

2 lim

9 2 x 3

     =1

3

Bài 2 : Chứng minh hàm số y x

x 1



 liên tục tại x0 = 0, nhưng không có đạo hàm tại điểm đó

HD: Chú ý định nghĩa: x = x ,neáu x 0

-x ,neáu x<0







 Cho x0 = 0 một số gia x

y = f(x0+x) –f(x0) = f(x) –f(0) = x

x 1



 

y

x



x



  

 Khi x  0+ ( thì x > 0) Ta có:

y lim x



 



 =

 

x 0

x lim



 



   =

1 lim

x 1



    =1

Bài 3: Cho hàm số y = f(x) =

2

,





neáu x 0

x neáu x<0 a) Cm rằng hàm số liên tục tại x = 0b) Hàm số này có đạo hàm tại điểm x = 0 hay không ? Tại sao?

Bài 4: Chứng minh rằng hàm số y = f(x) =

2

(x 1) , n

, n





 2

eáu x 0 -x eáu x<0 không có đạo hàm tại x =

0 Tại x = 2 hàm số đó có đạo hàm hay không ?

Bài 5: Chứng minh rằng hàm số y = f(x) =

2

(x 1) ,

,

2

neáu x 0 (x+1) neáu x<0





0, nhưng liên tục tại đó

HD:a) f(0) = (0-1)2 = 1;

y lim x



 



 = -2;

y lim x



 



 = 2

y lim x



 



  x 0

y lim x



 



  hàm số không có đạo hàm tại x0 = 0

b) Vì  lim f (x)x 0 =1;  lim f (x)x 0 =1; f(0) = 1  lim f (x)x 0



  = lim f (x)x 0 = f(0) = 1

 hàm số liên tục tại x0 = 0

Bài 6: Cho hàm số y = f(x) = cos x,

sin x

Neáu x 0 Neáu x<0











a) Chứng minh rằng hàm số không có đạo hàm tại x = 0.

b) Tính đạo hàm của f(x) tại x =

4



HD:a) Vì xlim f (x)0 =xlim cos x0 =1 và xlim f (x)0 =xlim ( sin x)0

 = 0; f(0) = cos0 = 1 

xlim f (x)0

 xlim f (x)0



 hàm số không liên tục tại x0 = 0 (hàm số gián đoạn tại x0 = 0)

Bài 7: Tính đạo hàm các hàm số sau:

1 y = ( 2

x -3x+3)( 2

x +2x-1); Đs: y’ = 4x3-3x2 – 8x+ 9

2 y = (x3-3x+2)(x4 +x2 -1); Đs: y’ =7*x^6-12*x^2+3-10*x^4+8*x^3+4*x

3 Tìm đạo hàm của hàm số: y = 2 3x  x 1

x

Giải: y’ = 2 3x ' x 1

x

x

2

x



2

x

x x 2 x

3 y =  x 1  1 1

4 y = 3 x 2 1   3x2 3x

5 y = ( 2

x -1)( 2

x -4)( 2

x -9); Đs: 6*x^5-56*x^3+98*x

6 y = (1+ x )(1+ 2x )(1+ 3x )

7 y = 1 x





8 y =

3

3





9 y = x 1

x 1



(x 1)(x 1) 

10 y = 1 x22

1 x



 ; Đs:- 22x 2 3

(1 x )(1 x ) 

11 y = cos2

  

sin 2

12 y = (1+sin2x)4; Đs: 2 3

(1 sin x) sin 2x

13 y =sin2(cos3x); Đs: -3sin(2cos3x)sin3x

14 y =sin x cos x

sin x cos x



2 (sin x cos x)

15 y = sin 3x2

sin x.cos x

518) y = f(x) = x

1 cos x ; y’ =

 2

1 cos x x sin x

1 cos x



519) y = f(x) = tan x

x ; y’ = 2 2

x sin x cos x

x cos x



522) y = f(x) = sin x

1 cos x ; y’ = 1

1 cos x

523) y = f(x) = x

sin x cos x ; y’ = sin x cos x x(sin x cos x)

1 sin 2x



526) y = f(x) = 1tan x4

4 ; y’ = tan

cos x 527) y = f(x) = cosx 1 3

cos x 3

 ; y’ = -sin3x

528) y = f(x) = 3sin2x –sin3x; y’ = 3sin 2x(2 sin x)

529) y = f(x) = 1

3tan

3x –tanx + x; y’ = tan4x

535) y = f(x) = tanx 1

2



; y’ = 2

1

x 1 2cos

2



539) y = f(x) = cos34x; y’ = -12cos24x.sin4x

544) y = f(x) = 1 tan x 1

x

   

  ; y’ =

2



672) y = f(x) = 3cos2x –cos3x; y’ = 3

2sin2x(cosx-2) 682) y = f(x) =

2

2sin x cos 2x ; y’ = 2

2sin 2x cos 2x 684) y = f(x) =

tan cot

x



; y’ = 2(x cos x sin x)2 2

x sin x





685) y = f(x) = 2 x x

sin cot

3 2 ; y’ =

cot sin

2

sin

689) y = f(x) = 1 tan x tan x 2  4 ; y’ =

2

tan x(1 2 tan x) cos x 1 tan x tan x



 

694) y = f(x) = 1 sin 3x6 1 sin 3x8

53xcos33x

705) y = f(x) = cosx. 1 sin x 2 ; y’ =

3 2

2sin x

1 sin x





706) y = f(x) = 0.4

2

2x 1

2





2





2x 1

2





713) y = f(x) = 1 2

1 sin x ; y’ =

sin 2x

2 1 sin x





721) y = f(x) = sin2x.sinx2; y’ =2sinx(xsinx.cosx2+cosx.sinx2)

722) y = f(x) = 2cos x

cos 2x ; y’ =

2sin x cos 2x cos 2x

BÀI TẬP ĐẠO HÀM BỔ SUNG 1.Tìm đạo hàm của hàm số: y = x cot2x Giải: y’ = ( x )cot2x+ x (cot2x)’ = 1

2 x cot2x

2

2 x

sin 2x



2 Tìm đạo hàm của hàm số: y = 3sin2xcosx+cos2x

y’ = 2(sin2x)’cosx+3(sin2x)(cosx)’+(cos2x)’

= 6sinxcos2x-3sin3x-2cosxsinx =sinx(6cos2x-3sin2x-2cosx)

3 Cho hàm số : y = 2 x

x  x 1 Tìm TXĐ và tính đạo hàm của hàm số ? TXĐ: D = R

y’ =

2

2 2

2x 1



  

 

 

=

2

3 2

2(x x 1) x(2x 1)

   

Bài : Chứng minh rằng các hàm số sau có đạo hàm không phụ thuộc x:

a) y = sin6x + cos6x +3sin2xcos2x;

HD:

Cách 1: y = (sin2x)3+(cos2x)3+3sin2xcos2x= (sin2x+cos2x)(sin4x-sin2xcos2x+cos4x) +3sin2xcos2x

= [(sin2x)2+[(cos2x)2+2sin2xcos2x-3sin2xcos2x] +3sin2xcos2x

=[(sin2x+cos2x)2-3sin2xcos2x] +3sin2xcos2x

= 1

 y’ = 0 (đpcm)

Cách 2:

y’ = 6sin5x.(sinx)’ +6cos5x.(cosx)’+3[(sin2x)’.cos2x+sin2x(cos2x)’]

= 6sin5x.cosx -6cos5x.sinx + 3[2sinx(sinx)’.cos2x+sin2x.2cosx.(cosx)’]

= 6sinx.cosx(sin4x-cos4x) + 3[2sinx.cosx cos2x-sin2x.2cosx.sinx]

= 6sinx.cosx(sin4x-cos4x) + 6sinx.cosx(cos2x – sin2x)

b) y = cos2

x 3





  +cos2

x 3





  +cos2

2 x 3





  +cos2

2 x 3





  -2sin2x

Bài : Cho hàm số y = f(x) = 2cos2(4x-1)

a) Tìm f'(x); b)Tìm tập giá trị của hàm số f'(x)

Bài : Cho hàm số y = f(x) = 3cos2(6x-1)

a) Tìm f'(x); b)Tìm tập giá trị của hàm số f'(x)

Bài : Chứng minh rằng các hàm số sau thỏa mãn phương trình :

a) y = 2x x 2 ; y3y"+1 = 0 b) y = e4x+2e-x; y''' –13y' –12y = 0 c) y = e2xsin5x; y"-4y'+29y = 0

d) y = x3[cos(lnx)+sin(lnx)]; x2y"-5xy'+10y = 0 e) y =x x212; (1+x2)y"+xy'-4y

= 0

Bài : Cho hàm số

y= f(x) = 2x2 + 16 cosx – cos2x

10 Tính f’(x) và f”(x), từ đó tính f’(0) và f”() 20 Giải phương trình f”(x) = 0

Bài : Cho hàm số y = f(x) = x 1

2

 cos2x

a) Tính f'(x) b) Giải phương trình f(x) -(x-1)f'(x) = 0

Bài : Giải phương trình f’(x) = 0 biết rằng:

f(x) = 3x+60

64 x

 +5; b) f(x) = sin 3x

3 +cosx- 3 sin x cos3x

3



Giải:

f’(x) = 3 602

x

2 6

64.3x

60 x

 +64.34

20 64 1

 

f’(x) = 0  20 642 4

1

 

 = 0 x4-20x2+64 = 0 (x 0)  … 2; 4