Ước lượng mức chi tiêu trung bình hàng tháng của sinh viên ngoại tỉnh trường đại học thương mại

2.3 Kiểm định giả thuyết về kỳ vọng toán của một ĐLNN 2.4 Kiểm định giả thuyết về tỷ lệ đám đông.. Vì vậy thường có những giả thuyết ước lượng hay những kiểm định mang tính định tính kết

MỤC LỤC

TrangLời mở đầu

Phần I Cơ sở lý thuyết

I Ước lượng các tham số của ĐLNN

1.1) Ước lượng điểm

1.2) Ước lượng bằng khoảng tin cậy

1.2.1)Ước lượng lỳ vọng toán của ĐLNN

1.2.2)Ước lượng tỷ lệ

1.2.3)Ước lượng phương sai của ĐLNN phân phối chuẩn

II Kiểm định giả thuyết thống kê

2.1) Khái niệm

2.2) Các sai lầm thường mắc phải khi làm kiểm định

2.3) Kiểm định giả thuyết về kỳ vọng toán của một ĐLNN

2.4) Kiểm định giả thuyết về tỷ lệ đám đông

2.5) Kiểm định giả thuyết về phương sai của ĐLNN phân phối chuẩn

Phần II Bài toán

LỜI MỞ ĐẦU

Trong đời sống thực tế có rất nhiều biến cố xảy ra, và con người không thể nào lường trước hết được Vì vậy thường có những giả thuyết ước lượng hay những kiểm định mang tính định tính kết quả đúng sai về các trường hợp xảy ra của các biến cố Chính vì lý do đó, việc nghiên cứu ước lượng các tham số của đại lượng ngẫu nhiên và kiểm định giả thuyết thống kê là rất cần thiết

Lý thuyết ước lượng, lý thuyết kiểm định các giả thuyết thống kê là những bộ phận quan trọng của thống kê toán Đây là phương tiện giúp ta giải quyết các bài toán nhìn từ góc độkhác liên quan đến dấu hiệu cần nghiên cứu trong tổng thể

Để ước lượng kỳ vọng toán của “đại lượng ngẫu nhiên” (ĐLNN) X, người ta giả sử trên đám đông có E(X) =µ và Var(X)= σ2

Trong đó µ chưa biết , cần ước lượng Từ đám đông ta lấy ra kích thước n: W=

(X1,X2…, Xn)

Từ mẫu này ta tìm được trung bình mẫu X và phương sai mẫu điều chỉnh S’2

Dựa vào đặc trưng mẫu này ta tìm được trung bình mẫuX và phương sai mẫu điều chỉnhS’

Dựa vào những đặc trưng mẫu này, ta xây dựng thống kê G thich hợp

Với vấn đề 1 của đề tài của đề tài thảo luận, đó là “Ước lượng mức chi tiêu trung bình hàng tháng của sinh viên ngoại tỉnh trường đại học Thương Mại”, nhóm

chúng tôi đã xác định dùng phương pháp ước lượng µ khi chưa biết quy luật phân phối của ĐLNN, kích thước mẫu n>30

Lấy một mẫu cụ thể w=(x1,…xn) từ mẫu này ta tính được utn với wα để bác bỏ haykhông bác bỏ Ho, chấp nhận hay không chấp nhận H1

Đó là phương pháp làm trong vấn đề 2 của nhóm chúng tôi :” Hiện nay tỷ lệ sinh viên ngoại tỉnh trường đại học Thương Mại có mức chi tiêu hang tháng từ 2tr đồng trở nên chiếm khoảng 60% với mức ý nghĩa 5% hãy kiểm định lại khẳng định trên “ 1)Tầm quan trọng của việc nghiên cứu đề tài.

Trường ĐHTM là một ngôi trường có quy mô lớn với số lượng sinh viên theo học đông đảo Trong đó đa phần là các bạn sinh viên ngoại tỉnh theo học, trong đó chi một phần nhỏ được sống trong lí túc xá của trường còn lại phải tự lo từ chỗ ở đến các vấn đề khác trong cuộc sống ngoài nhiệm vụ chính là học tập Cuộc sống học tập xa nhà, xa bố mẹ khiến các bạn sinh viên phải tự lên kế hoạch chi tiêu hàng tháng cho bản thân sao cho hợp lý Trước thực trạng đó nhóm 4 đã chọn và nghiên cứu đề tài 2 nêu trên.

2) Mục tiêu nghiên cứu

Đế tài được thực hiện với mục tiêu :” tìm hiểu mức chi tiêu của sinh viên ngoại tỉnh trường ĐHTM và so sánh với mức chi tiêu của sinh viên nói chung Qua đó đưa ra một sốgiải pháp giúp sinh viên cân bằng mức chi tiêu cho hợp lý”

3) Phương pháp nghiên cứu

Nhóm đã tiến hành lấy mẫu ngẫu nhiên n=200 trên đám đông là toàn thể sinh viên ngoại tinh trường ĐHTM Mẫu được điều tra trên nhiều khoa, nhiều khoá sinh viên của trường

để có tính xác thực nhất Từ đó kết luận được mức chi tiêu trung bình của sinh viên ngoạitinh trường ĐHTM và kiểm định giả thuyết đề tài đưa ra

PHẦN I: CƠ SỞ LÝ THUYẾT

I, Ước lượng các tham số của ĐLNN

1.1, Ước lượng điểm

Giả sử ta cần ước lượng tham số θ của ĐLNN trên một đám đông thì ta tiến hành theo các bước sau:

- Bước 1: Lấy mẫu NN, kích thước N: W = ( x1 ,x2… xn)

- Bước 2: Tùy vào tham số θta xác định hàm thống kê θ* = f( x1 ,x2… xn)

- Bước 3: Khi n đủ lớn với mẫu cụ thể : W = ( x1 ,x2… xn), tính toán:

θtn = f( x1 ,x2… xn)

- Bước 4: Ta lấy θ ≈ θtn làm ước lượng cho tham sốθ

1.2, Ước lượng bằng khoảng tin cậy.

Để tiến hành ước lượng khoảng ta tiến hành ước lượng như sau:

- Bước 1: chọn mẫu ngẫu nhiên: W = ( x1 ,x2… xn)

- Bước 2: Từ ước lượng tốt nhất của θxác định thống kê.:

G = f( x1 ,x2… xn ,θ ) Sao cho hàm thống kê G có quy luật phân phối hoàn toàn xác định không phụ thuộc vào tham số θ

- Bước 3: Với xác suất : γ = 1 - α cho trước, xác định α1 > 0 ; α2 > 0 thỏa mãn α1+ α2 = α

Đồng thời, tìm được : g 1−α1và g α2 thỏa mãn :

I = θ2¿

- θ1¿ được gọi là độ dài khoảng tin cậy

1.2.1 Ước lượng kì vọng toán của ĐLNN

Giả sử X tuân theo quy luật phân phối nào đó : E(X) = µ ; Var(X) = σ2 ; µ chưa biết, ta cần ước lượng µ

 TH1) X tuân theo quy luật chuẩn với Var(X) = σ2 đã biết X~ N(µ;σ 2 )

X N¿) => U =

⃗X−μ σ

√n

N (0 ;1)

 Khoảng tin cậy đối xứng : α1 = α2 = α2

Với độ tin cậy : 1 - α ta tìm được phân vị u α

2 sao cho : P( -u α

2 < U < u α

2) = 1 – α Với U =

Trong đó ε= σ

√n

u α

2 (1) gọi là sai sốước lượng

Chú ý: Nếu ta đã biết µ cần ƯL X´ ta sẽ có:

P( µ−α<¿ X <µ+α´ ) = 1 – α = γ

Từ đó có khoảng tin cậy của X´: (µ−ε; µ+ε)

Bài toán 1 : tìm sai số ƯL tính theo (1)

Bài toán 2 : Tìm độ tin cậy γ

(1) => u α

2

=ε√n

σ => tìm được α2 => tìm γ = 1 – α Bài toán 3: Tìm kích thước mẫu : n = ( σ ε u α

Biết lượng xăng tiêu thụ của xe trên 100km là 1 ĐLNN tuân theo quy luật phân phối chuẩn với độ lệch tiêu chuẩn là 2,5lit

Giải

Gọi X là lượng xăng tiêu thụ trên 100km

X lượng xăng tiêu thụ trung bình trên 100km trên mẫu

μ là lượng xăng tiêu thụ trung bình trên 100km trên đám đông

Ta có X ~ N(µ; σ2 ) nếu σ = (2,5) đã biết

 X´~ ( µ; σ 2

µ ) Thông kê: U =

´

X−μ σ

√n

~ N ( 0 ;1 )

Với độ tin cậy γ= 1 – α ta tìm được u α

2 P(-u α

2= u0,005 = 2,58Khoảng tin cậy của µ : ¿- σ

√n u α

2 ; X´ + σ

√n u α

2)Hay: ( 13,2 – 2,5

√9.2,58 ; 13,2 + 2,5

√9.2,58) ≈ ( 11,05 ; 15,35 )Với độ tin cậy 99% ta có thể nói rằng lượng xăng tiêu thụ trung bình của loại xe ô tô trên nằm trong khoảng ( 11,05 ; 15,35)

b, Sai số ƯL : ε ≤ 2l/100km Tìm số lần thử xe để µmin

n ≥ ( 2,52 2,58 )2 ≈ 10,4 => n = 11.

Như vậy để sai số không vượt quá 2l/100km, ta cần phải điều tra thếm ít nhất I2' lần chạy thử xe nữa

 Khoảng tin cậy phải: α1 = 0 ;α2= α ;ƯL giá trị tối thiểu của µ

Ta vẫn dung thống kê trên, với độ tin cậy γ = 1 – α, xác định phân vị uα sao cho:

P ( U < uα) = 1 – α

P( √σ n u α<μ) = 1 – α = γ

Khoảng tin cậy phải ( σ

√n u α; +∞)

 Khoảng tin cậy trái : α1 = α ;α2= 0 ƯL giá trị tối đa của µ

Ta vẫn dùng thống kê, với độ tin cậy 1 – α , xác định phân vị uα sao cho:

 Khoảng tin cậy đối xứng : (α1 = α2 = α2 )

Với độ tin cậy 1 – α ta tìm được phân vị T α

Khoảng tin cậy của µ: (X – ε ; ´X +ε´ ) Trong đó : ε = s '

Để tìm được kích thước mẫu n, ta phải sử dụng phương pháp mẫu kép như sau:

Bước 1: Điều tra mẫu sơ bộ có kích thước là k:

 Khoảng tin cậy phải : (α1 = 0 ;α2= α ; ƯL giá trị tối thiểu của µ)

Với độ tin cậy 1 – α ta tìm được phân vị t α n−1 sao cho:

 Khoảng tin cậy trái: α1 = α ;α2= 0 ƯL giá trị tối đa của µ

Với độ tin cậy 1 – α ta tìm được phân vị t α n−1 sao cho:

Ví dụ: Theo dõi ngẫu nhiên doanh số bán hàng trong 9 ngày của một cửa hàng bán bia tại

Hà Nội thu được kết quả ( đơn vị triệu đồng)

130 150 140 180 100 120 110 120 90

Với độ tin cậy 90% hãy ước lượng doanh số trung bình một ngày cảu cửa hàng Biết doanh số bán ra một ngày của cửa hàng là một ĐLNN phân phối theo quy luật chuẩn.

Gọi X là doanh thu trong 1ngày của cửa hàng:

X là doanh thu trung bình trong 1 ngày của cửa hàng trên mẫu

μ là doanh thu trung bình trong 1 ngày của cửa hàng trên đám đông

⟺ P(- t(α n−1)< T <t(α n−1)) = 1-α = γ

= t0,18 = 1,397Khoảng tin cậy của μ (113,924 ;139,412)

 TH3) Chưa biết quy luật phân phối của X nhưng kich thước mẫu n>30.

Vì n>30 nên X  N(µ;❑2

n ) => U=

−µ σ

√n

 N(0,1)

Từ đó các bài toán sẽ được giải quyết tương tự trường hợp X có phân phối chuẩn

Với N>0 thì σ ≈ s’

Ví dụ: Theo dõi 36 công nhân cùng sản xuất ra một loại sản phẩm và tuh được bản thống

kê (đơn vị phút) sản xuất ra một laoij sản phẩm như sau:

S '2=n−11 ( ∑n i x i2−n x2)= 0,716; s’≈ 0,7863

Vì n>30 =>X ~ N(µ;❑2

n ), γ= 0,99Gọi X là thời gian cần thiết sản xuất một sản phẩm

μ là thời gian trung bình cần thiết sản xuất một sản phẩm trên đám đông

x là thời gian trung bình cần thiết sản xuất một sản phẩm trên mẫu

Do n=36>30, X chưa biết quy luật: X N(µ;❑2

Với x = 10,694; n=36 >30 Nên ta lấy σ = s’ = 0,7863; u α¿u0,01= 2,33

Thay số: khoảng tin cậy (−∞ ; 10,9993)

Khoảng tin cậy đối xứng của p: (f- ε; f+ ε) với ε= √pq n u α2

Bài toán 1:tìm sai số ước lượng ε= √pq n u α2

Bài toán 2: tìm độ tin cậy: u α = ε√n

√pq => tìm được α2 => tìm được γ = 1-α

Bài toán 3: tìm kích thước mẫu n: n= pq(u α

2

ε )2Chú ý:

1 Để tìm số phần tử mang dấu hiệu (A), nA trên đám đông thì ta phải tìm khoảng tin cậy của p sau đó nhân với kích thước của đám đông N

2 Muốn ƯL số phần tử của đám đông N, ta phải ƯL khoảng tin cậy của T

Độ tin cậy 1-α, xác định phân vị u α sao cho P(U < u α) ≈ 1-α

Thay biểu thức của U, biến đổi ta được: P(f −√pq n u α<p)≈ 1-α

Ta lấy khoảng tin cậy p ≈ f, khoảng tin cậy phải của p: (f −√f (1−f ) n u α ;1)

 Khoảng tin cậy trái: α1=¿α ;α2=0¿

Tương tự với độ tin cậy phải, (1-α) xác định phân vị u α sao cho:

P(-u α< U) = 1- α

Thay biểu thức U, biến đổi ta được P(p<f +√pq n u α) ≈ 1-α

p ≈ q khoảng tin cậy trái của p (0 ; f +√pq n u α)

Ví dụ: Điều tra 100 cửa hàng kinh doanh mặt thực phẩm có 85 cửa hàng đạt tiêu chuẩn

về VSATTP

a, với độ tin cậy 98% hãy ước lượng các cửa hàng đảm bảo VSATTP

b, với độ tin cậy là bao nhiêu có thể nói rằng tỷ lệ các cửa hàng đảm bảo VSATTP nằm trong khoảng từ 0,78 → 0,92

GIẢI:

Gọi p là tỷ lệ cửa hàng bảo đảm VSATTP

f là tỷ lệ cửa hàng bảo đảm VSATTP trên mẫu

n=100 lớn; f = N(p ; pq

n )

b, Gọi p là tỷ lệ cửa hàng bảo đảm VSANTP.

f là tỷ lệ cửa hàng bảo đảm VSANTP trên mẫu

Khoảng tin cậy của p: (f − f (1−f )

1.2.3 Ước lượng phương sai của ĐLNN phân phối chuẩn:

Cho ĐLNN: X ~ N(μ;❑2); ❑2chưa biết Cần ước lượng ❑2.Lấy mẫu W={X1,X2, … , X n} => S2

⟺ P(- p((n−1) s '2

❑α 2(n−1) <❑

2)=γ

Khoảng tin cậy của❑2: ((n−1) s '2

- Giả thiết thống kê là các giả thiết về trung bình (μ), phương sai mẫu (σ2), tỉ lệ (f),… củađám đông (mẫu ) đang xét

- Nội dung của bài toán kiểm định: Cho hai giả thiết H0, H1 (thường là đối nghịchnhau) Dựa vào các số liệu thu được, ta phải quyết định xem giả thiết H0 đúng hay sai.Giả thiết H1 đối nghịch với giả thiết H0 gọi là đối thiết của H0 Việc đưa ra quyết định

chấp nhận hay bác bỏ một giả thiết thống kê gọi là làm kiểm định (hay kiểm định thốngkê).

Khi giả thiết H0 có dạng: H0 : a = a0 (a là 1 tham số nào đó của đại lượng ngẫu nhiên tađang nghiên cứu; a0 là giá trị đã biết)

Khi đó: H1 có thể là: H1 : a ≠ a0 Việc kiểm định giả thiết với đối thiết dạng này được gọi

là kiểm định hai phía (vì miền bác bỏ nằm về hai phía của miền chấp nhận).

Giả thiết đối dạng H1 : a ≠ a0 thường được áp dụng khi ta chưa biết rõ trong thực tế a >

a0 hay a< a0

Nhưng nếu qua quan sát, phân tích ta biết được xu hướng là a > a0 thì ta có thể đặt đốithiết H1 : a > a0 Hoặc ta biết được khả năng a <a0 thì đặt đối thiết H1 : a < a0

Nếu kiểm định giả thiết với giả thiết đối dạng H1 : a > a0 thì được gọi là kiểm định giả

thiết về phía bên phải Nếu kiểm định giả thiết với giả thiết đối dạng H1 : a < a0 thì được

gọi là kiểm định giả thiết về phía bên trái

2.2 Các sai lầm mắc phải khi làm kiểm định:

Khi làm kiểm định, ta có thể mắc phải các sai lầm sau đây:

 Sai lầm loại 1: Bác bỏ 1 giả thiết đúng ( Bác bỏ H0 khi H0 đúng)

 Sai lầm loại 2: Chấp nhận 1 giả thiết sai (Nhận H0 khi H0 sai)

Kết luận

Tất nhiên, khi kiểm định một giả thiết Ta cố gắng hạn chế các sai lầm, tức là cần giảmthiểu tối đa xác suất phạm cả hai sai lầm Tuy nhiên, đây là điều trong thực tế không thể

làm được vì nếu ta muốn giảm sai lầm loại 1 thì sẽ làm tăng xác suất sai lầm loại 2 vàngược lại.

Trong thống kê, ta quy ước rằng lỗi lầm loại 1 là tai hại hơn, và cần tránh trước Do đó,

với xác suất α nhỏ cho trước, ta cần ra quyết định sao cho: P(Phạm sai lầm loại 1) ≤

α α gọi là mức ý nghĩa của kiểm định.

Tiêu chuẩn kiểm định:

Từ điểm W=( X1,X 2,… , X n) ⟹ G= f( G= f(X 1, … X n)

Sao cho : θ0 phụ thuộc H0 và khi H0 đúng thì G có quy luật xác định Khi đó G được goi

là tiêu chuẩn kiểm định

Ngược lại, nếu trong một lần thực thực thử:

G tn ∈ W α : trái với nguyên lý xác suất nhỏ

B2: Xây dựng thống kê kiểm định.

B3: Xác định miền bác bỏ

B4:Tính G tn và dựa vào quy tắc kiểm định để kết luận

2.3, Kiểm định giả thuyết thống kê về kỳ vọng toán.

Giả sử H0đúng, khi đó U~N(0;1)

Với α cho trước xác định được u α

Ví dụ: Trước khi thay đổi trang thiết bị,tiền lãi trung bình mỗi ngày của một cửa hàng là

20 triệu đồng Sau khi thay đổi trang thiết bị, theo dõi 16 ngày liên tiếp thấy tiền lãi trung bình của mỗi ngày là 20,3 triệu đồng

Với mức ý nghĩa 0,05 có thể cho rằng sau khi thay đổi trang thiết bị tiền lãi trung bình đã thay đổi hay không?

GIẢI:

x= 20,3; X ~ N( 20; 0,62)

Gọi X là tiền lãi 1 ngày

μ là tiền lãi trung bình 1 ngày trên đám đông

xlà tiền lãi trung bình 1 ngày trên mẫu

2) = α

Vì α nhỏ nên theo nguyên lý xác suất nhỏ ta có miền bác bỏ :

Với α= 5% việc thay đổi trang thiết bị làm thay đổi tiền lãi trung bình 1 ngày

 TH2 X chưa biết quy luật phân phối:

 TH3 X~ (μ;❑2¿ với2 chưa biết.

Xây dựng tiêu chuẩn kiểm định: T=

2.4 Kiểm định giả thuyết thống kê về tỷ lệ:

Xây dựng tiêu chuẩn kiểm định: U¿

f − p0

√p0q0n

 bài toán 1: với mức ý ngĩa α {H0: p= p0

 bài toán 2: {H0: p= p0

H1: p> p0

Miền bác bỏ W α= {❑tn2 :❑tn2>❑1−α 2(n−1)}

Ví dụ: Một máy đóng gói tự động được coi là hoạt động bình thường nếu phương sai về

trọng lượng của các gói hàng do máy đóng không vượt quá 100(gam)2 Cân ngẫu nhiên

15 gói hàng do máy đóng và tính được phương sai mẫu điều chỉnh là 180 (gam)2 Với mức ý nghĩa 5% có thể nói máy vẫn hoạt động bình thường hay không? Biết trọng lượng của các gói hàng do máy đóng là một ĐLNN phân phối chuẩn

GIẢI:

Gọi X là trọng lượng của các gói hàng

❑2 là phương sai về khối lượng các gói hàng

Giả thiết X~ N( μ, ❑2)

với mức ý nghĩa α= 5% : : {H0:❑2=❑2

H1:❑2>❑2

Xây dựng tiêu chuẩn kiểm định: ❑2~ ❑2(n−1)

với mức ý nghĩa α= 5% tìm được ❑2 α 2(n−1) sao cho P(❑2>❑α 2(n−1)) = α

3 Nguyễn Thị Thuỳ Linh K48B5 12D110261 Bắc Ninh 1.5

33 Nguyễn Thị Nguyên K48H6 12D180300 Hải Dương 2.5

48 Nguyễn THị Hải Yến K48H6 12D180359 Nam Định 2.5

53

Lương Thị Hồng

57 Hoàng Thị Phương Anh k48e6 12d130329 Lạng Sơn 2.5

73 Ngô Thùy Dương k49e2 13d23012

Thái

78 Nguyễn Thanh Lam K48B6 12D110257 Thái Bình 2.5

84 Nguyễn Thị Lan Anh K48C4 12D120181 Thái Bình 1.5

100 Nguyễn Thị Khánh Ngọc K48C4 12D120226 Hưng Yên 2

101

Nguyễn Lệ Phương

113 Trần Thị Kim Phượng K48E1 12D130032 Ninh Bình 2

114 Lương Thị Kim Liên K48E5 12D130253 Quảng Ninh 2.5

118 Nguyễn Thị Khánh Hoà K48E6 12D130307 Thanh Hoá 2

125

Nguyễn Thị Minh

134 Nguyễn Thị Thuỳ Dung K48t1 12D220048 Bắc Ninh 2

139 Trương Thị Dung Thoa K48E6 12D130344 Hà nam 2.7

153 Nguyễn Thị Hồng Nga K48C5 12D120271 Vĩnh Phúc 1.8

166 Trần Thị Kim Phượng K48E1 12D130032 nam Định 2.5