1,0 điểm b Tính góc giữa đường thẳng AD và mặt phẳng ABC.. 1,0 điểm c Chứng minh rằng có một điểm cách đều các đỉnh của tứ diện ABCD.. 1,0 điểm b Tính góc giữa đường thẳng AD và mặt phẳ
Trang 1KIỂM TRA 1 TIẾT HÌNH HỌC – 11C2
Thời gian làm bài: 60 phút
Câu 1 (3,0 điểm): Tứ diện ABCD có AB ^(BCD), BCDD vuông cân tại C,
2
AB =BD =a
a) Chứng minh rằng tam giác ACD là tam giác vuông. (1,0 điểm)
b) Tính góc giữa đường thẳng AD và mặt phẳng ( ABC ) (1,0 điểm)
c) Chứng minh rằng có một điểm cách đều các đỉnh của tứ diện ABCD. (0,5 điểm)
Câu 2 (7,0 điểm): Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O, tất cả các cạnh
đều bằng a.
a) Chứng minh rằng, SA+SC =SB+SD
uur uuur uur uuur
(1,0 điểm)
b) Chứng minh rằng, SO ^(ABCD) và SC ^BD (2,0 điểm)
c) Tính góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng ( ABCD) (1,0 điểm)
d) Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm các cạnh SD,AD,CD Chứng minh NP P(SAC) (1,0 điểm)
BÀI GIẢI CHI TIẾT
Câu 1 (3,0 điểm): Tứ diện ABCD có AB ^(BCD), BCDD vuông cân tại C,
2
AB =BD =a
a) Chứng minh rằng tam giác ACD là tam giác vuông. (1,0 điểm)
b) Tính góc giữa đường thẳng AD và mặt phẳng ( ABC ) (1,0 điểm)
c) Chứng minh rằng có một điểm cách đều các đỉnh của tứ diện ABCD. (0,5 điểm)
a) Ta có,
( )
( ) ( )
AB BCD
CD BCD
ìï ^
íï Ì
ïî
Ngoài ra ta còn có
( )
ìï ^ Ì ïí
ïî nên CD ^(ABC) Vậy, CD ^AC Ì (ABC) hay tam giác ACD vuông tại C.
b) Theo câu a, CD ^(ABC) nên hình chiếu vuông góc của AD lên ( ABC )
là AC do đó góc giữa AD và ( ABC là ) j =1 CAD·
Tam giác BCD vuông cân tại C có 2CD2 =BC2+CD2=BD2 =2a2 nên CD =a
Tam giác ABC vuông tại B có AC = AB2+BC2 =a 3
Tam giác ACD vuông tại C nên
AC a
Vậy, góc giữa AD và ( ABC là ) j =1 CAD· =300
c) Ta có, ABD và ACD là hai tam giác vuông có chung cạnh huyền AD nên nếu gọi I
là trung điểm
Trang 2của cạnh AD thì
1 2
IC =ID = AD =IA =ID
Vậy, trung điểm của cạnh AD cách đều các đỉnh của tứ diện ABCD.
Trang 3Câu 2 (7,0 điểm): Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O, tất cả các cạnh
đều bằng a.
a) Chứng minh rằng, SA+SC =SB+SD
uur uuur uur uuur
(1,0 điểm)
b) Chứng minh rằng, SO ^(ABCD) và SC ^BD (2,0 điểm)
c) Tính góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng ( ABCD) (1,0 điểm)
d) Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm các cạnh SD,AD,CD Chứng minh NP P(SAC)(1)
(1,0 điểm)
Bài giải chi tiết a) SA+SC =SB+SD Û SA SB- =SD- SC Û BA=CD
uur uuur uur uuur uur uur uuur uuur uuur uuur
(ABCD là hình vuông nên đẳng thức cuối đúng do đó ta có
đpcm)
b 1) SACD và SBDD đều cân tại S, có chung trung tuyến SO
nên
ìï ^ Ì ïí
ï ^ Ì ïî
Ngoài ra, AC ÇBD =O nên ta có SO ^(ABCD)
b 2) AC và BD là hai đường chéo của hình vuông nên AC ^BD, do đó
( )
ìï ^ Ì ïï
íï
c) Ta có SO ^(ABCD) nên hình chiếu vuông góc của SD lên ( ABCD là OD, do đó) góc giữa SD
và ( ABCD là ) j =2 SDO·
Trong tam giác SBD cân tại S có BD2 =2a2 =SB2+SD2 do đó nó vuông cân tại S Vậy, góc giữa SD và ( ABCD là ) j =2 SDO· =450
d) Ta có
1 2
AD =CD = nên theo định lý Thalès đảo ta có NP ACP Ì (SAC)
Ngoài ra, NP Ì/ (SAC) nên NP P(SAC)
e) Gọi I =NP ÇOD, hoàn toàn tương tự câu d ta sẽ chứng minh được MN P(SAC) Khi đó,
ïï
íï
ïïî
P
Mà theo câu b2 OD ^(SAC) nên OD ^(MNP), từ đó hình chiếu vuông góc của SD lên (MNP là MI Cuối cùng, góc giữa SD và () MNP là ) j 3=IMD· =900- j 2=450