KỸ NĂNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH 8

Để đáp ứng đợc yêu cầu của sự nghiệp giáo dục và nhu cầu học tập của các em học sinh, trong quá trình giảng dạy mỗi ngời giáo viên phải biết chắt lọc những nội dung kiến thức cơ bản một

Nội dung đề tài Trang

Phần 1 : MỞ ĐẦU 1

1-LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI 1

2- MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU 2

3- ĐỐI TƯỢNG PHẠM VI NGHIÊN CỨU

2 4-NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU 2

5- CÁC PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 2

Phần 2 : NỘI DUNG 2

1-CƠ SỞ LÍ LUẬN 2

2- CƠ SỞ THỰC TIỄN 3

3-NỘI DUNG VÀ PHƯƠNG PHÁP TIẾN HÀNH

4 4- BIỆN PHÁP VÀ KẾT QUẢ THỰC HIỆN 13

Phần 3 : KẾT LUẬN 16

*TÀI LIỆU THAM KHẢO: 20

Phần 1 : Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài:

Cùng với sự phát triển của đất nớc ta, sự nghiệp giáo dục cũng không ngừng đổi mới Để đáp ứng đợc yêu cầu của sự nghiệp giáo dục và nhu cầu học tập của các em học sinh, trong quá trình giảng dạy mỗi ngời giáo viên phải biết chắt lọc những nội dung kiến thức cơ bản một cách rõ ràng ngắn gọn và đầy đủ , phải đi từ dễ đến khó,

từ cụ thể đến trừu tợng và phát triển rút ra những nội dung kiến thức chính trong bài học giúp học sinh có thể nắm đợc nội dung chính trong bài học đồng thời có thể gợi

mở, đặt vấn đề để học sinh phát triển t duy và kĩ năng phân tích nội dung và làm các bài tập toán học một cách chặt chẽ, rõ ràng có hệ thống, đồng thời giúp cho các em nhận ra các dạng bài toán đã học một cách nhanh nhất

Trong chửụng trỡnh ẹaùi soỏ lụựp 8, thỡ daùng baứi taọp veà giaỷi phửụng trỡnh laứ noọi dung quan troùng cuỷa chửụng trỡnh , vieọc aựp duùng cuỷa daùng toaựn naứy raỏt phong phuự, ủa daùng vaứ phửực taùp Vỡ vaọy ủeồ giuựp hoùc sinh naộm ủửụùc cách giải phửụng trỡnh, giaỷi thaứnh thaùo caực daùng phửụng trỡnh laứ yeõu caàu heỏt sửực caàn thieỏt ủoỏi vụựi ngửụứi giaựo vieõn Qua thửùc teỏ giaỷng daùy nhieàu naờm, cuừng nhử qua vieọc theo doừi keỏt quaỷ baứi kieồm tra, baứi thi cuỷa hoùc sinh,tôi nhận thấy vaón coứn nhieàu hoùc sinh maộc phaỷi caực sai laàm khoõng ủaựng coự, giaỷi phửụng trỡnh coứn nhieàu sai soựt, raọp khuoõn maựy moực hoaởc chửa laứm ủửụùc, do chửa naộm vửừng chaộc caực caựch giaỷi, vaọn duùng kyừ naờng bieỏn ủoồi chửa linh hoaùt vaứo tửứng daùng toaựn veà phửụng trỡnh

Nhaốm giuựp hoùc sinh thaựo gụừ vaứ giaỷi quyeỏt nhửừng khoự khaờn, vửụựng maộc trong hoùc taọp ủoàng thụứi nhằm phát triển năng lực t duy cho học sinh thông qua việc giải phơng trình tôi nhận thấy việc rèn kĩ năng giải phơng trình cho học sinh trong quá trình giải toán là rất cần thiết nên trong quá trình giảng dạy tôi đã lu tâm đến vấn đề này.Tôi xin đợc trình bày một vài kinh nghiệm đợc rút ra trong quá trình giảng dạy với tên đề

tài “Rèn kĩ năng giải phơng trình cho học sinh lớp 8 ”

2 Mục đích nghiên cứu:

Giúp học sinh lớp 8 có kỹ năng giải phơng trình Cũng từ đó mà phát triển t duy lôgic cho học sinh, phát triển năng lực giải toán cho các em, giúp cho bài giải của các em hoàn thiện hơn, chính xác hơn và giúp các em tự tin hơn trong học tập

3 Đối t ợng phạm vi nghiên cứu:

+ Đối tợng nghiên cứu: Reứn kyừ naờng giaỷi phửụng trỡnh cho hoùc sinh lớp 8

+ Phạm vi nghiên cứu:

- Hoùc sinh lụựp 8B trửụứng THCS Bắc Kạn naờm hoùc 2009 - 2010

- Các bài toán giải phơng trình không vợt quá chơng trình toán lớp 8

4 Nhiệm vụ nghiên cứu:

- Xaõy dửùng caực phửụng phaựp giaỷi cụ baỷn theo tửứng daùng phửụng trỡnh

- Sửỷa chửừa caực sai laàm thửụứng gaởp cuỷa hoùc sinh trong giaỷi toaựn

- Cuỷng coỏ caực pheựp bieỏn ủoồi vaứ hoaứn thieọn caực kyừ naờng giaỷi phửụng trỡnh

5 Các ph ơng pháp nghiên cứu:

- Tìm hiểu, nghiên cứu tài liệu bồi dỡng, sách giáo khoa, sách tham khảo…

- Trao đổi với bạn bè , đồng nghiệp

- Nghieõn cửựu qua thửùc teỏ giaỷi baứi taọp cuỷa hoùc sinh , kết quả caực baứi kieồm tra

Phần 2: Nội dung

I.Cơ sở lý luận: Vụựi sửù phaựt trieồn maùnh meừ neàn kinh teỏ tri thửực khoa hoùc hieọn ủaùi, buứng noồ coõng ngheọ thoõng tin, ủaồy maùnh ửựng duùng coõng ngheọ thoõng tin trong daùy hoùc vaứ quaỷn lyự giaựo duùc, toaứn caàu hoựa nhử hieọn nay, ủaừ vaứ ủang taùo ủieàu kieọn thuaọn lụùi cho neàn giaựo duùc vaứ ủaứo taùo cuỷa nửụực ta trửụực nhửừng thụứi cụ vaứ thaựch thửực mụựi ẹeồ ủaựp ửựng ủửụùc muùc tieõu giaựo duùc moọt caựch toaứn dieọn cho hoùc sinh, con ủửụứng duy nhaỏt laứ naõng cao hieọu quaỷ chaỏt lửụùng hoùc taọp cuỷa hoùc sinh ngay tửứ nha ứtrửụứng pho ồthoõng Muoỏn vaọy trửụực heỏt giaựo vieõn laứngửụứi ủũnh hửụựng vaứ giuựp ủụừ hoùc sinhcuỷa mỡnh lúnh hoọi kieỏn thửực moọt caựch chuỷ ủoọng, reứn luyeọn tớnh tửù hoùc, tớnh caàn cuứ, sieõng naờng, chũu khoự, … taùo ủieàu kieọn khụi daùy loứng ham hoùc, yeõu thớch boọ moõn, phaựt huy tử duy saựng taùo cuỷa hoùc sinh Moõn toaựn laứ một trong những moõn hoùc có thể ủaựp ửựng ủaày ủuỷ nhửừng yeõu caàu ủoự

Hoùc toaựn khoõng phaỷi chổ laứ hoùc nhử saựch giaựo khoa, khoõng chổ laứm nhửừng baứi

suy nghĩ, tìm tßi,ø rút ra được những cách giải hay Do đó dạng toán giải phương trình của môn đại số 8 là nền tảng, làm cơ sở để các em học tiếp các chương trình như giải bất phương trình, chương trình lớp 9 sau này Vấn đề đặt ra là làm thế nào để học sinh giải được các dạng phương trình một cách nhanh chóng và chính xác Để thực hiện tốt điều này, đòi hỏi giáo viên cần xây dựng cho học sinh những kỹ năng như quan sát, nhận xét, đánh giá, đặc biệt là kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử, kỹ năng giải phương trình, kỹ năng vận dụng vào thực tiễn Tuỳ theo từng đối tượng học sinh, mà ta xây dựng cách giải cho phù hợp để giúp học sinh học tập tốt bộ môn

II C¬ së thùc tiƠn :

Về học sinh: Còn nhiều hạn chế trong tính toán, kỹ năng quan sát, nhận dạng

phương trình , thực hành giải toán còn yếu , do rçng kiến thức căn bản ở các lớp dưới, nhất là chưa chủ động học tập ngay từ đầu chương trình lớp 8, do lười học ,

ỷ lại, chưa nỗ lực học tập các em sử dụng các loại sách bài tập có đáp án để tham khảo, nên khi gặp bài tập thường lúng túng, không tìm được hướng giải thích hợp

Về giáo viên: Chưa thật sự định hướng, xây dựng, giúp đỡ ở học sinh thói quen

học tập và lòng yêu thích môn học, dạy học đổi mới chưa triệt để, ngại sử dụng

đồ dùng dạy học, phương tiện dạy học, ứng dụng công nghệ thông tin

Về phụ huynh: Chưa thật sự quan tâm đúng mức đến việc học tập của con em

mình như theo dõi, kiểm tra, đôn đốc nhắc nhở sự học tập ở nhà, việc theo dõi nắm bắt thông tin kết quả học tập của con em hầu như không có

III.

Néi dung vµ ph ¬ng ph¸p tiÕn hµnh :

V× khả năng nhận thức của học sinh đại trà nên đề tài chỉ đề cập đến ba dạng phương trình và các phương pháp giải thông qua các ví dụ cụ thể

1 Củng cố kiến thức cơ bản về phương trình Đối với học sinh yếu, kém:

+ Phương pháp giải phương trình đưa được về dạng ax + b = 0

+ Phương pháp giải phương trình tích

+ Phương pháp giải phương trình chứa ẩn ở mẫu

2 Phát triển tư duy và kỹ năng giải phương trình Đối với học sinh đại trà:

+ Phát triển kỹ năng giải các dạng phương trình, khai thác bài toán (nâng cao) + Đưa ra cách giải hay, sáng tạo, cho các dạng phương trình

A Củng cố kiến thức cơ bản về phương trình

 Phương trình đưa được về dạng ax + b = 0



Dạng1: Phương trình chứa dấu ngoặc:

Phương pháp chung:

- Thực hiện bỏ dấu ngoặc

- Thực hiện phép tính ở hai vế và chuyển vế đưa phương trình về dạng ax = c

 Chú ý: Nếu a  0, phương trình có nghiệm x = c a

Nếu a = 0, c  0, phương trình vô nghiệm Nếu a = 0, c = 0, phương trình có vô số nghiệm

Ví dụ 1: Giải phương trình: (x – 1) – (2x – 1) = 9 – x (1 ) (BT-17f)-SGK-tr14)

Gợi ý: Bỏ dấu ngoặc, chuyển vế, thu gọn, tìm nghiệm.

Lời giải sai: (x – 1) – (2x – 1) = 9 – x

 x – 1 – 2x – 1 = 9 – x (bỏ ngoặc sai)

 x – 2x – x = 9 – 2 (chuyển vế không đổi dấu)

 –2x = 7 (sai từ trên)

 x = 7 – 2 = 5 (tìm nghiệm sai)

Sai lầm của học yếu kém thường gặp ở đây là:

Thực hiện bỏ dấu ngoặc sai: không đổi dấu hạng tử trong dấu ngoặc

Thực hiện chuyển vế sai: không đổi dấu hạng tử đã chuyển vế

Tìm nghiệm sai: số ở vế phải trừ số ở vế trái

Lời giải đúng: (2)  x – 1 – 2x + 1 = 9 – x  x – 2x + x = 9  0x = 7 Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

Qua ví dụ này, giáo viên củng cố cho học sinh:

Quy tắc bỏ dấu ngoặc, quy tắc nhân, quy tắc chuyển vế, phương pháp thu gọn và chú ý về cách tìm nghiệm của phương trình



Dạng 2: Phương trình chứa mẫu là các hằng số:

Phương pháp chung:

- Thực hiện quy đồng mẫu ở hai vế rồi khử mẫu, đưa phương trình về dạng 1

- Thực hiện cách giải như dạng 1

Ví dụ 2: Giải phương trình: 1 1 1 2

x x x

   (2) (ví dụ 4 Sgk-tr12)

Gợi ý: Quy đồng-khử mẫu, bỏ dấu ngoặc, chuyển vế, thu gọn, tìm nghiệm.

Lời giải sai: 1 1 1 2

x x x

  

 3( 1) 2( 1) 1 12

x  x  x

 (sai ở hạng tử thứ ba)

 3(x 1) 2(  x 1)  x 1 12  (sai từ trên)

 4x 18 (sai từ trên)

 x 4,5 (sai từ trên)

Sai lầm của học ở đây là : đưa dấu trừ của phân thức lên tử thức chưa đúng.

Lời giải đúng: 1 1 1 2

x x x

  

 3( 1) 2( 1) ( 1) 12

x  x  x



 3x 3 2  x 2  x  1 12  4x 16  x 4 Vậy: S =  4 

Qua ví dụ trên, giáo viên củng cố cho học sinh: Cách quy đồng mẫu, cách

chuyển dấu trừ của phân thức lên tử hoặc xuống mẫu khi tử và mẫu của phân thức là những đa thức

 Ở ví dụ trên học sinh có thể giải theo cách khác như sau:

Cách 1: (2)  1 1 1

2 3 6

x    

( 1) 2 6

 x  1 3  x = 4

Vậy: S =  4 

Cách 2: Đặt t = x -1

2 3 6

  

 3t 2t t  2.6  t 3 3

t   x  1 3  x = 4 Vậy: S =  4 

Ví dụ 3: Giải phương trình: 2 0,5 1 2 0, 25

x

   (3) (BT-18b)-SGK-tr14)

Gợi ý: Quy đồng-khử mẫu, bỏ dấu ngoặc, chuyển vế, thu gọn, tìm nghiệm.

Cách giải 1: (3)  4(2 x) 20 0,5   x 5(1 2 ) 20 0, 25  x  

 8 4  x 10x  5 10x 5  4x = 2  x = 0,5 Vậy: S =  0,5 

 Ở ví dụ trên học sinh có thể giải theo cách khác như sau:

Cách 2: Chuyển phương trình về phân số

(3)  2 1 2 1

5 2 4 4

5 2 2

5 2

x





Cách 3: Chuyển phương trình về số thập phân

(3)  0, 2 (2  x) 0,5  x 0, 25 (1 2 ) 0, 25   x 

 0, 4 0, 2  x 0,5x 0,5 0,5  x  0, 2x 0,1



Phương trình tích

Phương pháp chung:

Dạng tổng quát A(x).B(x).C(x) … = 0, với A(x), B(x), C(x) là các biểu thức.

Cách giải: A(x).B(x).C(x) … = 0  A(x) = 0 hoặc B(x) = 0 hoặc C(x) = 0

 Để có dạng A(x).B(x).C(x) … = 0 Ta thường biến đổi như sau:

Bước 1: Đưa phương trình về dạng tích

- Chuyển tất cả các hạng tử sang vế trái khi đó vế phải bằng 0.

- Thu gọn, tìm cách phân tích vế trái thành nhân tử.

Bước 2: Giải phương trình tích nhận được và kết luận.

Ví dụ 4: Giải phương trình (3x – 2)(4x + 5)= 0 (4) (BT- 21a)-Sgk-tr17)

Lời giải: (3x – 2)(4x + 5) = 0  3x – 2 = 0 hoặc 4x + 5= 0

 3x = 2 hoặc 4x = – 5  x = 23 hoặc x =  54

Vậy S = ; 2 5

3 4



Ở ví dụ trên Giáo viên hướng dẫn học sinh làm quen với kí hiệu sau:

(3x – 2)(4x + 5)= 0  3 2 0

4 5 0

x x

 



  



( 



ky ùhiệu thay cho chư õhoặc)

* Tuy nhiên trong giải toán ta thường gặp phải những phương trình bắt buộc ta phải biến đổi để đưa phương trình đã cho về phương trình tích

Ví dụ 5: Giải phương trình x 2 – x = –2x + 2 (5) (BT-23b)-Sgk-tr17)

Chuyển vế các hạng tử rồi nhóm

Cách 1: (5)  x 2 – x + 2x – 2 = 0

Nhóm các hạng tử rồi chuyển vế

Cách 2: (5)  x(x – 1) = – 2(x – 1)

 x(x – 1) + 2(x – 1) = 0

 (x – 1)(x + 2) = 0



    

Vậy S =  1 ; 2  

 x(x – 1) + 2(x – 1) = 0

 (x – 1)(x + 2) = 0



    

Vậy S =  1 ; 2  

- Trong ví dụ trên học sinh thông thường biến đổi như sau:

(5)  x2 – x + 2x – 2 = 0  x2 + x – 2 = 0 đây là phương trình rất khó chuyển về phương trình tích đối với học sinh trung bình và yếu kém Vì vậy giáo viên cần định hướng cho học sinh cách giải hợp lý

Ví dụ 6: Giải phương trình (x + 2)(3 – 4x) = x2 + 4x + 4 (6) (BT-28f)-Sgk-tr7)

- Trong ví dụ trên học sinh thông thường biến đổi như sau: Bỏ dấu ngoặc, chuyển vế các hạng tử, thu gọn hai vế phương trình

(6)  –4x2 – 5x + 6 – x2 – 4x – 4 = 0

 –5x2 – 9x + 2 = 0 đây là phương trình rất khó chuyển về phương trình tích Giáo viên định hướng gợi ý cách phân tích hợp lý

Giải: (6)  (x + 2)(3 – 4x) = (x + 2) 2  (x + 2)(3 – 4x) – (x + 2) 2 = 0

 (x + 2)(3 – 4x – x – 2) = 0 

2

2 0

1

5 1 0

5

x x





 



   





Vậy S = 2 ; 1

5



Giáo viên củng cố cho học sinh kinh nghiệm khi đưa phương trình về dạng tích: Nếu nhận thấy hai vế phương trình có nhân tử chung thì ta biến đổi phương trình và đặt ngay nhân tử chung ấy

Nếu nhận thấy một trong hai vế của phương trình có dạng hằng đẳng thức thì ta sử dụng ngay phương pháp hằng đẳng thức để phân tích thành nhân tử

Khi đã chuyển vế mà ta thấy không thể phân tích vế trái thành nhân tử thì nên

Phương trình chứa ẩn ở mẫu

Phương pháp chung

Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình.

Bước 2: Quy đồng mẫu hai vế của phương trình và khử mẫu.

Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được.

Bước 4: (Kết luận) Trong các giá trì tìm được ở bước 3, các giá trị thỏa

mãn điều kiện xác định chính là nghiệm của phương trình đã cho

Ví dụ 7: Giải phương trình x x2 12 xx x( 2 2)

  (7) (BT 52b)-Sgk-tr33)

Khi giải phương trình chứa ẩn ở mẫu học sinh thường mắc các sai lầm sau:

Lời giải sai: ĐKXĐ: x  2 ; x  0

(7)  ( 2) 1( 2) 2

( 2) ( 2)

  



 x(x + 2) – 1(x – 2) = 2 (dùng ký hiệu  là không chính xác)

 x2 + 2x – x + 2 = 2

 x2 + x = 0  x(x + 1) = 0

 0 0 (



 

  



không kiểm chứng với điều kiện)

Vậy S =  0 ; 1   (kết luận dư nghiệm)

Sai lầm của học sinh là: Dùng ký hiệu “ ”không chính xác

Không kiểm tra các nghiệm tìm được với điều kiện

Lời giải đúng: ĐKXĐ: x  2 ; x  0

(7)  ( 2) 1( 2) 2

( 2) ( 2)

  



 x(x + 2) – 1(x – 2) = 2 (7’) x2 + 2x – x + 2 = 2

 x2 + x = 0  x(x + 1) = 0

 x = 0  x = 0 (Không thỏa mãn điều kiện)

HoỈc (x + 1) = 0  x = -1 (Thỏa mãn điều kiện)Vậy S =  1  

Giáo viên cần củng cố cho học sinh :

- Khi khử mẫu ta chỉ thu được phương trình hệ quả của phương trình đã cho, nên ta dùng ký hiệu “ ” hay nói cách khác tập nghiệm của phương trình (8’) chưa chắc là tập nghiệm của phương trình (8)

- Kiểm tra các nghiệm tìm được với điều kiện rồi mới kết luận

Ví dụ 8: Giải phương trình 1 3 3

2 2

x



 

  (8) (BT 30a)-Sgk-tr23)

- Trước hết cho học sinh nhận xét mẫu thức của phương trình trước, tìm mẫu thức chung của phương trình, rồi tìm ĐKXĐ

- Lưu ý quy tắc đổi dấu, bước khử mẫu của phương trình và kiểm tra nghiệm

Giải: ĐKXĐ: x  2 (8)  1 3( 2) 3



 1 + 3(x – 2) = 3 – x  1 + 3x – 6 = 3 – x

 4x = 8  x = 2 (không thỏa mãn điều kiện) Vậy phương trình vô nghiệm

Qua ví dụ này giáo viên củng cố lại ở học sinh và rèn các kỹ năng sau:

- Tìm ĐKXĐ của phương trình:

* Tìm các giá trị của ẩn để các mẫu đều khác 0 (Cho các mẫu thức khác 0)

* Tìm các giá trị của ẩn để các mẫu bằng 0, rồi loại giá trị đó (Cho các mẫu thức bằng 0)

- Khi giải phương trình chứa ẩn ở mẫu để không sót điều kiện của phương trình nên cho học sinh tìm trước mẫu thức chung (MTC) và cho MTC khác 0, đây là

- Rèn cho học sinh về kỹ năng thực hiện ở các bước giải phương trình, kỹ năng về phân tích đa thức thành nhân tử để tìm MTC, các quy tắc dấu như quy tắc đổi dấu, quy tắc dấu ngoặc và việc triển khai tích có dấu trừ ở đàng trước

B

Phát triển tư duy và kỹ năng gi ả i ph ươ ng trình

Ví dụ 9:

Giải phương trình 3 5 4 5 32 1

x

   (9) (Sách Bổ trợ-Nâng cao)

- Đối với bài tập này gợi ý cách giải: Thực hiện quy đồng khử mẫu hai lần.

Lần 1: Mẫu chung là 15

Lần 2: Mẫu chung là 10

Hướng dẫn: (9)  3 4 9 3

15 15 15

 10x 2(3x 4)  5(9 3 ) 150  x  (học sinh giải tiếp)

 Phương pháp nhóm, thêm bớt, tách hạng tử:

Ví dụ 10:

Giải phương trình (x + 2)(2x2 – 5x) – x3 = 8 (10) (Sách Bổ trợ-Nâng cao)

Gợi ý phân tích: Chuyển số 8 về vế trái, nhóm x3 và 8

Hướng dẫn: (10)  (x + 2)(2x2 – 5x) – (x3 + 8) = 0

 (x + 2)(2x2 – 5x) – (x + 2)(x2 – 2x + 4) = 0

 (x + 2)(2x2 – 5x – x2 + 2x – 4) = 0

 (x + 2)(x2 + x – 4x – 4) = 0

 (x + 2)(x + 1)(x – 4) = 0 (học sinh giải tiếp)