Các bài toán dẫn đến khái niệm đạo hàmaBài toán tìm vận tốc tức thời Một chất điểm M chuyển động trên trục s’Os.. Quãng đường s của chuyển động là một hàm số của thời gian t, s = st.. Tí
Trang 21 Các bài toán dẫn đến khái niệm đạo hàm
a)Bài toán tìm vận tốc tức thời
Một chất điểm M chuyển động trên trục s’Os
Quãng đường s của chuyển động là một hàm số của thời gian t, s = s(t) Tính vận tốc của chất điểm tại thời điểm to ?
Giải
{Tại to} {Tại t}
MMo = s(t) – s(to)
Tại thời điểm to chất điểm đi được quãng đường là s(to) còn tại thời điểm
t chất điểm đi được quãng đường là s(t)
Vậy trong khoảng thời gian từ to đến t, chất điểm đi được quãng đường là:
Nếu chất điểm chuyển động đều thì tỉ số
0
( ) ( )o
t t
−
−
Là vận tốc của chuyển động tại mọi thời điểm
Trang 3a)Bài toán tìm vận tốc tức thời
Một chất điểm M chuyển động trên trục s’Os
Quãng đường s của chuyển động là một hàm số của thời gian t, s = s(t) Tính vận tốc của chất điểm tại thời điểm to ?
Giải
{Tại to} {Tại t}
Nếu chất điểm chuyển động không đều thì tỉ số trên là vận tốc trung bình của chất điểm
Khi t – to càng nhỏ (tức là t càng gần to ) thì vận tốc trung bình càng thể hiện chính xác mức độ nhanh chậm của chuyển động tại to
Vì vậy người ta coi giới hạn (nếu có)
0
→
−
−
lim
o
o
t t
s t s t
t t
Là vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm to
Trang 41 Các bài toán dẫn đến khái niệm đạo hàm
a)Bài toán tìm vận tốc tức thời
b)Bài toán tìm cường độ tức thời (SGK)
0
→
−
=
−
( ) lim
o
o
o t t
s t s t
v t
t t
Vận tốc tức thời tại thời điểm to là:
Cường độ tức thời của dòng điện tại thời điểm to là:
0
→
−
=
−
( ) lim
o
o
o t t
I t
t t
0
→
−
−
( ) ( )
o
o
x x
Trang 52 Định nghĩa đạo hàm tại một điểm
ĐỊNH NGHĨA:
Cho hàm số y =f(x) xác định trên khoảng (a; b) và xo ∈(a;b)
Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn) thì giới hạn đó được gọi
là đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm xo và kí hiệu là f ’(xo) (hoặc y’(xo) ), tức là:
0
→
−
−
lim
o
o
x x
f x f x
x x
0
→
−
=
−
'( ) lim
o
o
o x x
f x f x
f x
x x
0
∆ →
∆
=
∆
x
y
y x
x
Chú ý: ∆ = − x x xo Là số gia của đối số tại xo
∆ = y f x ( ) − f x ( )o =
Là số gia của hàm số ứng với số gia ∆x tại xo
+ ∆ −
( o ) ( )o
Khi đó:
Trang 61 Các bài toán dẫn đến khái niệm đạo hàm
2 Định nghĩa đạo hàm tại một điểm
Ví dụ 1: Cho hàm số y = f(x) = x2 Hãy tính y’(- 2) bằng định nghĩa?
Hướng dẫn:
* ∆ = y f − + ∆ − 2 x f − 2
2
4
x
= − + ∆ −
= ∆ − + ∆
* y 4 x x
∆ = − +∆
∆
y
x x
∆ → ∆ = ∆ → − + ∆ = −
∆
( )
: ' 2 4
Trang 72 Định nghĩa đạo hàm tại một điểm
Ví dụ 2: Tính đạo hàm của các hàm số
3 Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa
Bước 1: Giả sử ∆x là số gia của đối tại xo, tính
∆y= f(x o + ∆x) – f(x o ) Bước 2: Lập tỉ số y
x
∆
∆
Bước 3: Tìm
0
y
∆ →
∆
∆
lim
2
1
1
) ( ) o
x tại
b g x x tại x
Trang 8Ví dụ 2: Tính đạo hàm của các hàm số
3 Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa
2
1
1
) ( ) o
Giải
+ Giả sử ∆x là số gia của đối số tại x o = 1 + Giả sử ∆x là số gia của đối số tại x o = 2
Ta có:
1
1
∆ = + ∆ − = −
+ ∆
y f x f
2 2
2 1
− ∆ − ∆
=
+ ∆
x
2 2
2 1
∆ = − ∆ − ∆
∆ ∆ + ∆
( )
y
+
x
x x
x x
0
∆
lim y
+
x
x
Vậy f '( )1 = −2
x
∆ = + ∆ −
x x
+
y x
lim lim
x x
0
2
∆ →
+ ∆ +
lim
∆ →
∆
=
∆ + ∆ +
lim
x
x
2
2
=
'( )
g
2 2 0
2 1
∆ →
− ∆ − ∆
( ) lim
x
2 0
2 1
∆ →
− − ∆
=
+ ∆
lim
x
x
x = − 2
Trang 94.Quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm và tính liên tục của hàm số Định lí 1: Nếu hàm số y = f(x) cĩ đạo hàm tại xo thì nĩ liên tục tại điểm đĩ
Chú ý: * Hàm số y = f(x) gián đoạn tại xo thì nĩ khơng cĩ đạo hàm tại xo
* Mệnh đề đảo của định lý 1 khơng đúng
Ví dụ: Chứng minh rằng hàm số
liên tục tại x = 0 nhưng không có đạo hàm tại điểm đó.
2
=
( ) x
x nếu x < 0
Ta có nên liên tục tại x = 0.
2
lim lim
Mặt khác
và
Hàm số không có đạo hàm tại x = 0.(đpcm)
Hướng dẫn giải
Trang 10D - 4
C - 1,08
gia ∆ x = - 0,2 là :
Câu 2 : Đạo hàm của hàm số y = x2 + 2x tại điểm x0 = -3 là :
Câu 3 : Đạo hàm của hàm số tại điểm là :
1
y
x
Câu 4 : Đạo hàm của hàm số tại điểm x1 0 = - 3 là :
1
x y
x
+
=
−
A.1/4
1 2
Trang 111 Các bài toán dẫn đến khái niệm đạo hàm
2 Định nghĩa đạo hàm tại một điểm
3 Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa
4.Quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm và tính liên tục của hàm số