Sáng kiến kinh nghiệm môn toán hay

Sáng kiến kinh nghiệm môn toán Sáng kiến kinh nghiệm môn toán Sáng kiến kinh nghiệm môn toán Sáng kiến kinh nghiệm môn toán Sáng kiến kinh nghiệm môn toán Sáng kiến kinh nghiệm môn toán Sáng kiến kinh nghiệm môn toán Sáng kiến kinh nghiệm môn toán Sáng kiến kinh nghiệm môn toán Sáng kiến kinh nghiệm môn toán Sáng kiến kinh nghiệm môn toán Sáng kiến kinh nghiệm môn toán Sáng kiến kinh nghiệm môn toán

SÁNG TẠO BÀI TOÁN TÍCH PHÂN MỚI TỪ MỘT SỐ BÀI TOÁN

TÍCH PHÂN CƠ BẢN A- MỞ ĐẦU:

1 Lý do chọn đề tài:

Trong chương trình Toán phổ thông ,Tích phân là một trong những phầnquan trọng của môn Giải tích lớp 12 Các bài toán tích phân rất đa dạng vàphong phú, thường có mặt trong các kì thi tốt nghiệp , thi tuyển sinh Đại học vàCao đẳng Đây là những bài tập gây cho học sinh không ít khó khăn dẫn đếntâm lý sợ và ngại, thiếu tự tin vào khả năng của mình

Chương trình giáo dục phổ thông ban hành kèm theo Quyết định số16/2006/QĐ-BGDĐT ngày 5/6/2006 của Bộ trưởng Bộ GD&ĐT đã nêu: “Pháthuy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặctrưng bộ môn, đặc điểm đối tượng học sinh , điều kiện của từng lớp học; bồidưỡng cho học sinh phương pháp tự học, khả năng hợp tác ; rèn luyện kĩ năngvận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứngthú và trách nhiệm học tập của học sinh”

Trong quá trình giảng dạy, người thầy cần nâng cao được tính tích cực,chủ động và sáng tạo của học sinh, rèn luyện cho học sinh có khả năng phát hiện

ra những bài toán mới từ những bài toán đã có; cần khơi dậy và phát triển tiềmnăng sáng tạo còn tiềm ẩn trong mỗi học sinh

Bài viết này tôi xin đưa ra một biện pháp được áp dụng trong khi dạy chủ

đề tự chọn Nguyên hàm-Tích phân lớp 12 là “sáng tạo bài toán tích phân mới từmột số bài toán tích phân cơ bản”, nhằm giúp các em học sinh có kiến thức sâu ,rộng về tích phân; có thêm nhiều bài tập để rèn luyện kỹ năng , và giúp học sinhphát triển tư duy sáng tạo

2 Đối tượng nghiên cứu:

- Học sinh lớp 12 trường THPT Quang Trung

- Kiến thức về Nguyên hàm và Tích phân; Kỹ năng tìm Nguyên hàm vàtính Tích phân

-Giải pháp giúp học sinh lớp 12 học tốt Tích phân

3 Phạm vi của đề tài:

Đề tài được nghiên cứu, thử nghiệm trong phạm vi lớp 12A trường THPTQuang Trung,vào các tiết tự chọn thuộc chủ đề Nguyên hàm-Tích phân

a) Nghiên cứu tài liệu:

Nghiên cứu những tài liệu có liên quan đến đề tài:

- Sách giáo khoa Giải tích lớp 12

- Tài liệu tham khảo

b) Điều tra:

- Thực dạy và kết quả kiểm tra:

Trong quá trình nghiên cứu đề tài, tôi đã tiến hành thực dạy các lớp 12:+Năm học 2008-2009: Lớp 12A: đối chứng

+Năm học 2011-2012: Lớp 12A: thực nghiệm

- Dự giờ: Thường xuyên dự giờ để biết được mức độ hiểu biết và khảnăng giải toán tích phân của học sinh và cách giải quyết vấn đề của đồng nghiệp,

từ đó để đánh giá chính xác kết quả phương pháp của mình

c)Giả thuyết khoa học:

Nếu học sinh tìm ra được bài toán mới thì các em cảm thấy hăng say, tíchcực , tự tin , và kết quả kiểm tra cho thấy các lớp thực nghiệm vẫn cao hơn

B-NỘI DUNG :

1.Cơ sở lí luận:

Có nhiều bài tập tích phân và ví dụ trong SGK khi giải xong học sinh vẫnchưa hiểu tại sao lại giải như vậy, và những bài toán như thế nào thì vận dụngphương pháp giải đó Và khi gặp bài toán có một số điểm tương tự với bài toán

đã giải là học sinh cứ mặc nhiên vận dụng mà không phát hiện ra sự nhầm lẫncủa mình Nhiều giáo viên đã đưa ra được nhiều phương pháp giải quyết vấn đề

đó có hiệu quả như: Phân dạng bài tập theo phương pháp giải và giải nhiều bàitập cho học sinh ghi nhớ Theo phương pháp này đôi khi học sinh cảm thấy sợ

vì phải ghi nhớ quá nhiều; thậm chí có học sinh tưởng mình biết tất cả cácphương pháp giải rồi dẫn đến không còn hứng thú trong giải các bài toán tíchphân mới

2 Cơ sở thực tiễn:

a) Thực trạng việc dạy của giáo viên:

Có một số giáo viên đã vận dụng phương pháp dạy học sáng tạo nhưngthường dừng lại ở mức độ nhỏ lẻ như khai thác những bài toán tương tự, tìm vàgiải bài toán tổng quát

b) Thực trạng việc học của học sinh:

Đa số học sinh chỉ biết giải các bài tập tích phân tương tự với những bài

mà mình đã giải rồi, và bế tắc khi gặp bài toán tích phân mới Nhiều học sinhkhông hề có chút suy nghỉ tìm lời giải khi gặp những bài toán tích phân mới

Chất lượng thực tế qua khảo sát chất lượng năm 2008-2009:

c)Sự cần thiết của đề tài:

Qua phân tích thực trạng việc học của học sinh và việc dạy của giáo viên,tôi nhận thấy đề tài cần thiết đối với giáo viên trực tiếp giảng dạy nhằm giớithiệu những kinh nghiệm và phương pháp phù hợp để nâng cao hiệu quả dạytích phân cho học sinh lớp 12

3 Nội dung vấn đề:

a)Vấn đề được đặt ra:

Hiện nay cách dạy mới là làm sao phát huy được tính tích cực , chủ động

và sáng tạo của học sinh trong học tập và rèn luyện Để phát huy điều đó, chúng

ta cần phải đưa ra được những phương pháp dạy học hợp lí nhằm tạo cho họcsinh có hứng thú trong học tập, để đem lại kết quả trong học tập tốt hơn ,và hiệuquả giảng dạy cao hơn

b)Sơ lược quá trình thực hiện sáng kiến kinh nghiệm:

Để hoàn thành đề tài, tôi đã tiến hành các bước sau: Chọn đề tài; Điều trathực trạng; Nghiên cứu đề tài; Xây dựng đề cương và lập kế hoạch;Tiến hànhnghiên cứu; Thống kê so sánh; Viết đề tài

c)Các bước sáng tạo bài toán tích phân mới từ một số bài toán tích phân cơ bản:

Trước tiên ta bắt đầu từ bài toán tích phân của một hàm số thường gặp màkhông có trong bảng nguyên hàm của các hàm số thường gặp của sách giáo khoaGiải tích 12 :

Bài toán 1: Tính tích phân :

1 ln

e

I =∫ xdx Giải:

Đặt

1 ln

I =∫ x + x+ dx; b)

I =∫ x + +x dx;

I =∫ x+ x + dx;

5

2 2

ln tan cos

ln(tan ) cos

∫ ( với f x( )là một trong các hàm số thường gặp), ví dụ:

ln 1 (ln 1)

I =∫ x+ dx;

1

2 2

I =∫ x + x+ dx;b)

2

2 1

log ( 1)

I =∫xα xdx α ≠ − ;

2 2

2 1

cos log (sin )

sin log (cos )

log (tan ) cos

Do học sinh không được làm quen với cách đặt x a= cost hoặc x a= sint

trong những bài toán giải phương trinh vô tỉ có chứa biểu thức a x+ , a x− và

2 2

a −x nên còn khó hiểu khi giải bài toán sau đây:

Bài toán 2.Tính các tích phân sau: (Bài tập SGK)

2.1)Qua bài toán trên ta thấy xuất hiện các biểu thức lượng giác sin t và cost

thay thế vị trí của biến x và a2 −x2 ; và bài toán tích phân hàm số vô tỉ được chuyển thành bài toán tích phân hàm số lượng giác Chính vì thế mà ta nghĩ ngay đến việc thay thế các biểu thức sin t và cos t trong các bài toán tích phân hàm số lượng giác đơn giản bởi biến x và a2 −x2 để được các bài toán tích phân mới ,ví dụ :

1) a) =∫1 + −

0 1 1 2

1

dx x

I ; b)

1

2 0

I ; b)

1

2 0

1 4

2 1

2012

0

1 1

c)Cho

1

2012 2 2012

0 1

I =∫x −x dx Lập hệ thức giữa I2012 và I2014

5) Cho

2 2012 2

1

3 0

1 3 4

I =∫ + x− x dx; b)

1 3 0

I =∫ x − +x dx; c)

Theo cách trên ta đã đưa ra được một loạt các bài tập tương tự với bài toán

đã cho (bài toán 2) Ta tiếp tục với việc tìm kiếm bài toán ẩn chứa trong đó là bài toán 2) như sau:

2.2)Vì hàm số f x( ) = a2 −x2 là một hàm số chẵn nên ta nghĩ ngay đến bài toán

)

(

dx x f dx

a

x

f

x (với a> 0 , α > 0 và f (x) là hàm số chẵn trên đoạn [− α α; ] )

(Chứng minh xem bài toán 5), và chọn một số hàm số chẵn đơn giản có chứa

biểu thức a2 −x2 để tạo ra các tích phân mới :

) ( )

1 ln(

) (x e dx xf x dx

2

2 2

ln( 1)

e

x e

1 1

1 1

2.5)Từ các bài toán tích phân 2.4) ta đưa ra các bài toán tích phân có chứa một

trong các biểu thức a x+ , a x− nhưng giải được theo phương pháp đặt

t= a x+ ( hoặc t= a x− ) , để ghép vào như :

1 1

1 1

1 1

1 2

1 4

1 2

1 4

−

= +

3 1

3 5

5 3

3 1

3 5

5 3

b a

4

b a

∆ −

2

b a

2

I =∫ x x dx− ; b)

1

2 1

3 2

−

=∫ + − ; c)

1

2 0

( 1) 3 2

I =∫ x+ + x x dx− ; d)

1

2 0

3 x 6.3x 5

I =∫ − + − dx

2.12)Từ việc quá quen thuộc với cách giải đối với bài toán tích phân có chứa

biểu thức a2 −x2 ở trên nên ta đưa ra các bài toán tích phân mới có chứa biểu thức a2 −x2 nhưng giải được theo phương pháp đổi biến khác (đặt t= a2 −x2 )

x

I =∫xe − dx; c)

1

2 0

x a x dx a x

x dt

2 2

2 2 2

1 (

+

+ +

= +

a

a a a

2 5 (ln ) ln

1 2

a

a a a

2

a a

a a

4

I = ∫ x + dx;

5 2 2

1

J = ∫ x − dx;c)

3

0

1 1

3.4)Từ các bài toán 3.1), 3.2) và 3.3) ta đưa ra những bài toán tích phân có chứa

một trong các biểu thức x2 +a2 và x2 −a2 nhưng được giải theo phương pháp khác (đặt t= x2 +a2 hoặc t= x2 −a2 ), ví dụ:

1

J = ∫ x x − dx;c)

3

2 0

1 2

a

vdu v

u udv ( ) , ta xem tích phân trong bài toán 3.1) và

2 25 9

1

( Bài tập SGK ).Giải:

a)Đặt x= tant,với [0; ]

I =∫1 +++

0

2

2 1

2

; c)

ln (1 ln )

a

vdu v

u udv ( ) , ta xem tích phân trong bài toán 4) là biểu

a)

1

2 0

ln(1 )

I =∫ +x dx; b)

1

2 2 2

ln (1 )

x x

x

= +

4.4)Qua hai ví dụ ở bài toán 4) khiến ta không thể không xét bài toán quát :

x

I =∫1 + − +

0

2 1 ) )(

2 (

2 4

) ( 1

) (

dx x f dx a

x f

α α

α α

α α

dx a

x f dx x f dx a

x f a dx a

x f

x x

x

) ( )

( 1

) ( 1

) (

) ( 2 1

) (

a

x f

) ( 1

) (

dx x f dx a

x f

x x

;

π

dx e

π

π

dx e

x x

M x ; đ) 2 2

1

a x a

1 1

ln( 1) 1

a

vdu v

u udv ( ) , ta xem các tích phân trong bài 5.1) là

) (

dx e

e x x

π

dx e

x e

x

; c)

2 2 2

2 2

x x

dx e

e x

π

dx e

x e

x x

x a

1 1

x x

5.4)Thay f (x) bởi một số hàm số cụ thể và chọn a= 2 ta có các tích phân sau:a)

5.5)Từ các bài toán 5.1) và 5.3) ta rút ra bài toán sau:

Cho f (x) là hàm số chẵn trên đoạn [− α α; ].Chứng minh rằng:

a

f x dx a

α α

a

vdu v

u udv ( ) , ta xem các tích phân trong bài 5.3) là

a) ∫

−

+ +

sin π

π

dx e

5.7)Từ các tích phân trong bài 5.6) ta có bài toán tổng quát :

Cho f (x) là một hàm số lẻ trên đoạn [− α α ; ] Chứng minh rằng :

∫ + =∫

−

α α

) ( )

1 ln(

) (x e dx xf x dx

(với α > 0)

5.8)Từ bài toán 5.7) thay e x =t, ta có bài toán sau:

Cho f (x) là hàm số lẻ trên đoạn [− 1;1].Chứng minh rằng:

∫

0 1

) ( )

1 ln(

)

x

dx x

I

1

) 1 ln(

ln ; b) =∫e + + +

e

x

dx x x

x I

1

2 1 ) ln( 1 ) ln

5.10) Từ bài toán 5.7) thay x cos= t, ta có bài toán sau:

Cho f (x) là hàm số lẻ trên đoạn [− 1;1].Chứng minh rằng:

0 0

ln(

) (cos

5.12) Từ bài toán 5.7) thay x sin= t, ta có bài toán sau:

Cho f (x) là một hàm số lẻ trên đoạn [− 1;1] Chứng minh rằng :

−

1 0 2

2

ln(

) (sin

2 sin π

π

dx e

( ) 1

1 1

( ) 1

x x

ln 1

b)

2 1

1 ln 1

1 ln 1

Qua thực hiện sáng kiến kinh nghiệm, tôi nhận thấy các em có nhiều tiến

bộ qua tiết học, lớp được dạy thử nghiệm 12A

Đối tượng học sinh 12A (2008-2009) có trình độ ngang nhau (đối chứng)với 12A (thực nghiệm)

Còn ở lớp thực nghiệm, đa số các em giải toán đạt đô chính xác cao

Với những biện pháp đã áp dụng, sau khi thực nghiệm và đối chứng đề tài

ở lớp, tôi thu được kết quả sau:

Lớp lượng Số

Đạt yêu cầu Không đạt yêu cầu

Ghi chú Số

Số

Lớp lượng Số

Đạt yêu cầu Không đạt yêu cầu

Ghi chú Số

C- KẾT LUẬN:

Để có thể đạt được mục đích đề ra của sáng kiến kinh nghiệm là giúp học

sinh hiểu sâu kiến thức về tích phân, có nhiều bài tập cho các em rèn luyện kỷnăng và phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh lớp 12A trường THPT QuangTrung, Tôi nghiên cứu tìm hiểu thêm ở các lớp khác, ở các tài liệu chuyên mônkhác, sử dụng các hình thức so sánh đối chiếu trong giảng dạy

1 Bài học kinh nghiệm:

Qua thử nghiệm đã nêu ở trên, tôi thấy kết quả thu được cao hơn giờ dạyđối chứng Điều đó chứng tỏ rằng để học sinh tích cực, chủ động, sáng tạo vàhiệu quả trong học tập ; người giáo viên cần sử dụng linh hoạt và nhuần nhuyễncác biện pháp giảng dạy, phát huy được tính sáng tạo của mình trong giảng dạy;song song đó cần tích cực nghiên cứu sách vở và trau dồi năng lực chuyên môn

Khi nghiên cứu đề tài “Sáng tạo bài toán tích phân mới từ một số bài

toán tích phân cơ bản”, tôi nhận thấy bản thân mình đã trở thành một con người

sáng tạo, kiến thức mở rộng thêm

Bên cạnh những mặt đạt được cũng còn những hạn chế, một số học sinhyếu không nắm được nguyên hàm của các hàm số thường gặp nên chưa tiếp cậnđược cách khai thác bài toán tích phân mà tôi đã đưa ra Tôi cố gắng tìm ra biệnpháp để nâng cao hiệu quả trong những năm sắp tới Mong các đồng nghiệp vàcác bạn giáo viên trong tổ, trong trường hỗ trợ nhiều cho tôi về phương pháp

dạy học “Sáng tạo bài toán tích phân mới từ một số bài toán tích phân cơ

bản”

Trong khi viết đề tài này, bản thân không tránh khỏi những sai sót, rấtmong Sở Giáo dục và các anh chị đồng nghiệp góp ý chân thành để tôi rút kinhnghiệm cho những năm sau viết tốt hơn

2 Hướng phổ biến áp dụng đề tài:

Đề tài đã được thực hiện có hiệu quả ở lớp 12A ; sẽ được phổ biến trong khối 12 của trường THPT Quang Trung, và các lớp khối 12 trung học phổ thông

3 Hướng nghiên cứu tiếp của đề tài:

Khai thác thêm các bài toán tích phân cần phải sử dụng kết hợp cả hai phương pháp( phương pháp đổi biên và phương pháp từng phần) để giải Bổ sung vào đề tài và thực nghiệm thêm nhiều lớp khối 12 trường THPT Quang Trung

Quang Trung, ngày 19 tháng 05 năm 2012 Người viết

Đinh Quang Đạo Nhận xét , đánh giá xếp loại của Hội đồng khoa học trường THPT Quang Trung:

Tài liệu tham khảo

1.Nguyễn Thế Thạch (Chủ biên) và các tác giả: Hướng dẫn thực hiện chương

trình, sách giáo khoa lớp 12- NXBGD,2008.

2.Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên)- Vũ Tuấn (chủ biên) và các tác giả: Giải tích

12 – NXBGD,2008.

3 Bộ Giáo dục và Đào tạo :Đề thi tuyển sinh – Môn Toán - NXBGD,1996.

4 Trần Văn Hạo (Chủ biên) và các tác giả: Chuyên đề luyện thi vào đại học

Giải tích – đại số tổ hợp-NXBGD,2002

5 Bộ Giáo dục và Đào tạo :Tạp chí Toán học& Tuổi trẻ-NXBGD.

6 Sở Giáo dục và Đào tạo Nghệ An : Kỷ yếu hội thảo đổi mới cách dạy, cách

học bộ môn Toán trung học phổ thông,2008.

MỤC LỤC

Trang

A- MỞ ĐẦU 01

1- Lý do chọn đề tài 01

2- Đối tượng nghiên cứu 01

3- Phạm vi nghiên cứu 01

4- Phương pháp nghiên cứu 02

B- NỘI DUNG 02

1- Cơ sở lý luận 02

2- Cơ sở thực tiễn 03

3- Nội dung vấn đề 03

C- KẾT LUẬN 20

1- Bài học kinh nghiệm 20

2- Hướng phổ biến áp dụng đề tài 21

3- Hướng nghiên cứu tiếp của đề tài 21

4- Tài liệu tham khảo 22