chyuyeen đề về phương trình và bất phương trình

tổng hợp tài liệu ôn thi đại học môn toán đanh cho tất cả các sinh viên ôn thi dại học cao đẳngtổng hợp tài liệu ôn thi đại học môn toán đanh cho tất cả các sinh viên ôn thi dại học cao đẳngtổng hợp tài liệu ôn thi đại học môn toán đanh cho tất cả các sinh viên ôn thi dại học cao đẳng

Chuyên đề:

phơng trình,bất phơng trình vô tỉ,hệ phơng trình

và hệ bất phơng trình

Biên soạn :trịnh xuân tình

Phần I: Phơng trình vô tỉ

Ph

ơng pháp 1:Ph ơng pháp giải dạng cơ bản:

1/ f x ( ) = g x ( ) ⇔ ( )

( ) 2( )

≥





=



2/ f x ( ) + g x ( ) = h x ( ) Bình phơng hai vế

1-(ĐHQGHN KD-1997) 16x 17 8x 23 + = −

2-(ĐH Cảnh sát -1999) x2 + x2 + 11 31 =

3-(HVNHHCM-1999) − + x2 4x 2 2x + =

4-(ĐH Thơng mại-1999) Giải và biện luận pt: m − x2 − 3x 2 + = x

5-(ĐHCĐ KB-2006) Tìm m để pt sau có hai nghiệm thực phân biệt: x2 + mx 2 + = 2x 1 +

6-(ĐGKTQD-2000) 5x 1 − − 3x 2 − − x 1 0 − =

7-(ĐHSP 2 HN) x x 1 ( − + ) x x 2 ( + ) = 2 x2

8-(HVHCQ-1999) x 3 + − 2x 1 − = 3x 2 −

9-(HVNH-1998) 3x 4 + − 2x 1 + = x 3 +

10-(ĐH Ngoại thơng-1999) 3 x x − + 2 − 2 x x + − 2 = 1

Ph

ơng pháp 2: ph ơng pháp đặt ẩn phụ:

I-Đặt ẩn phụ đ a pt về pt theo ần phụ:

Dạng 1: Pt dạng: ax2 + bx c + = px2 + qx r + trong đó a b

p = q

Cách giải: Đặt t = px2 + qx r + ĐK t 0 ≥

1-(ĐH Ngoại thơng-2000) ( x 5 2 x + ) ( − ) = 3 x2 + 3x

2-(ĐH Ngoại ngữ -1998) ( x 4 x 1 + ) ( + − ) 3 x2 + 5x 2 6 + =

3-(ĐH Cần thơ-1999) (x 1)(2 x) 1 2x 2x + − = + − 2

4- 4x2 + 10x 9 5 2x + = 2 + 5x 3 + 5- 2 3 2

18x − 18x 5 3 9x + = − 9x 2 +

6- 3x2 + 21x 18 2 x + + 2 + 7x 7 + = 2

Dạng 2: Pt Dạng:α P(x) + β Q(x) + γ P(x).Q(x) = 0 ( αβγ ≠ 0 )

( )

pt

=





* Nếu P x ( ) ≠ 0chia hai vế cho P x ( ) sau đó đặt ( )

( )

Q x t

P x

= t 0 ≥

1-(ĐHCĐ KA-2007) Tìm m để pt sau có nghiệm: 3 x 1 m x 1 2 x − + + = 4 2 − 1

2- 2 x ( 2 − 3x 2 + ) = 3 x3 + 8 3- 2 x ( 2 + 2 ) = 5 x3 + 1

Dạng 3: Pt Dạng :

Cách giải : Đặt t = P x ( ) ± Q x ( ) ⇒ = t2 P x ( ) + Q x ( ) ± 2 P x Q x ( ) ( ) 1-(ĐHQGHN-2000) 2 2

3

2-(HVKTQS-1999) 3x 2 − + x 1 4x 9 2 3x − = − + 2 − 5x 2 +

3-(Bộ quốc phòng-2002) 2x 3 + + x 1 3x 2 2x + = + 2 + 5x 3 16 + −

4- 4x 3 + + 2x 1 6x + = + 8x2 + 10x 3 16 + −

5-(CĐSPHN-2001) x 2 − − x 2 + = 2 x2 − − 4 2x 2 +

Dạng 4 : Pt Dạng: a cx + + b cx d a cx b cx − + ( + ) ( − ) = n

Trong đó a, b,c,d, n là các hằng số ,c 0,d 0 > ≠

Cách giải : Đặt t = a cx + + b cx( a b − + ≤ ≤ t 2 a b ( + )

1-(ĐH Mỏ-2001) x + 4 x − 2 = + 2 3x 4 x − 2

2- 3 x + + 6 x − − ( 3 x 6 x + ) ( − ) = 3

3-(ĐHSP Vinh-2000) Cho pt:

x 1 + + 3 x − − ( x 1 3 x + ) ( − ) = m

a/ Giải pt khi m 2 = b/Tìm các gt của m để pt có nghiệm

4-(ĐHKTQD-1998) Cho pt 1 x + + 8 x − + (1 x)(8 x) + − = a

a/Gpt khi a 3 = b/Tìm các gt của a để pt có nghiệm

5-TT ĐT Y tế tphcm-1999) Tìm các gt của m để pt có nghiệm

x 1 − + 3 x − + (x 1)(3 x) − − = m

6-(ĐH Ngoại ngữ-2001) x 1 + + 4 x − + (x 1)(4 x) 5 + − =

Dạng 5: Pt dạng: x a + − +2 b 2a x b − + x a + − −2 b 2a x b − = cx m +

Trong đó a, b,c, m là hằng số a ≠ 0

Cách giải : Đặt t = x b − ĐK:t 0 ≥ đa pt về dạng:

t a + + − = t a c(t2 + + b) m

1-(ĐHSP Vinh-2000) x 1 2 x 2 − + − − x 1 2 x 2 1 − − − =

2-(HV BCVT-2000) x 2 x 1 + − − x 2 x 1 2 − − =

3-(ĐHCĐ KD-2005) 2 x 2 2 x 1 + + + − x 1 4 + =

2

+

5- x 3

2

+

6- Xét pt: x m

6

+

a/ Giải pt khi m 23 = b/ Tìm các gt của m để pt có nghiệm

II-Sử dụng ẩn phụ đ a pt về ẩn phụ đó ,còn ẩn ban đầu coi là tham số :

1- 6x2 − 10x 5 + − ( 4x 1 6x − ) 2 − 6x 5 0 + =

2-(ĐH Dợc-1999) ( x 3 10 x + ) − 2 = x2 − − x 12

3-(ĐH Dợc-1997) 2 1 x ( − ) x2 + 2x 1 x − = 2 − 2x 1 −

4- ( 4x 1 − ) x2 + = 1 2x2 + 2x 1 + 5- 2 1 x ( − ) x2 + + = x 1 x2 − 3x 1 −

6-(ĐHQG-HVNH KA-2001) x2 + 3x 1 (x 3) x + = + 2 + 1

III-Sử dụng ẩn phụ đ a về hệ pt:

Dạng 1: Pt Dạng: xn + = a b bx an −

Cách giải: Đặt y = n bx a − khi đó ta có hệ:

n n

 − + =







1-(ĐHXD-DH Huế-1998) x2 − = 1 x 1 +

2- x2 + x 5 5 + = 3- x2 − 2002 2002x 2001 2001 0 − + =

4- (ĐH Dợc-1996) x3 + = 1 2 2x 13 −

ax b + = r ux v + + dx e + trong đó a, u, r 0 ≠

Và u ar d, v br e = + = +

2 2







1-(ĐHCĐ KD-2006) 2x 1 x − + 2 − 3x 1 0 + =

2- 2x 15 32x + = 2 + 32x 20 − 3- 3x 1 + = − 4x2 + 13x 5 −

4- x 5 + = x2 − 4x 3 − 5- x2 = 2 x 2 − +

6- x 1 3 x x − = + − 2

Dạng 3: PT Dạng: n a f x − ( ) +m b f x + ( ) = c

Cách giải: Đặt u = n a f x , v − ( ) = m b f x + ( ) khi đó ta có hệ: u v cn m

+ =





1-(ĐHTCKT-2000) 3 2 x 1 − = − x 1 −

2- 3 x 34 + − 3 x 3 1 − = 3- 3 x 2 − + x 1 3 + =

4- 4 97 x − + 4 x = 5 5- 418 x − + 4 x 1 3 − =

Ph

ơng pháp 3: Nhân l ợng liên hợp:

Dạng 1: Pt Dạng: f x ( ) + ± a f x ( ) = b

Cách giải: Nhân lợng liên hợp của vế trái khi đó ta có hệ: ( ) ( )





1- 4x2 + 5x 1 + + 4x2 + 5x 7 3 + = 2- 3x2 + 5x 1 + − 3x2 + 5x 7 − = 2 3- 3- (ĐH Ngoại thơng-1999 ) 3 x x − + 2 − 2 x x + − 2 = 1

4-(ĐH Thơng mại-1998) x2 − 3x 3 + + x2 − 3x 6 3 + =

1

Dạng 2: Pt Dạng: f x ( ) ± g x ( ) = m f x ( ( ) ( ) − g x )

5

+ + − − =

2-(HVKTQS-2001) 3(2 + x 2) 2x − = + x 6 +

Ph

ơng pháp 4:Ph ơng pháp đánh giá:

1- x 2 − + 4 x − = x2 − 6x 11 + 2- x2 + − + x 1 x x − 2 + = 1 x2 − + x 2

3-(ĐHQGHN-Ngân hàng KD-2000) 4x 1 − + 4x2 − = 1 1

4-(ĐH Nông nghiệp-1999) x2 − 2x 5 + + x 1 2 − =

Ph

ơng pháp 5:Ph ơng pháp đk cần và đủ:

1-Tìm m để pt sau có nghiệm duy nhất: x + 2 x − = m

2- Tìm m để pt sau có nghiệm duy nhất x 5 − + 9 x − = m

3- Tìm m để pt sau có nghiệm duy nhất 4 x + 41 x − + x + 1 x − = m

Ph

ơng pháp 6: Ph ơng pháp hàm số (Sử dụng đạo hàm)

1-(ĐHCĐ KB-2004) - Tìm m để pt sau có nghiệm :

m 1 x ( + 2 − 1 x − 2 + 2 ) = 2 1 x − 4 + 1 x + 2 − 1 x − 2

2- - Tìm m để các pt sau có nghiệm :

1*/ 4 x − 2 = mx m 2 − + 2*/ x 1 + + x 1 − − 5 x − − 18 3x − = 2m 1 +

3 (ĐHCĐ KA-2007) Tìm m để pt sau có nghiệm:

4 2

3 x 1 m x 1 2 x − + + = − 1

4-(ĐHCĐKB-2007) CMR∀ > m 0pt sau có 2nghiệm pb:x2 + 2x 8 − = m(x 2) −

5- 1*/ x + x 5 − + x 7 + + x 16 14 + =

2*/ x 1 − = − − x3 4x 5 + 3*/ 2x 1 − + x2 + = − 3 4 x

6-(HVAn ninh KA-1997)Tìm m để pt sau có nghiệm: x2 + 2x 4 + − x2 − 2x 4 + = m

Phần II: BấT Phơng trình vô tỉ

Phơng pháp 1: Ph ơng pháp giải dạng cơ bản:

1/

2

g(x) 0

f (x) 0

f (x) g(x)

g(x) 0

f (x) g (x)

<









 >





2/

2

g(x) 0

f (x) g (x)

 <



 <



3/ f (x) ± g(x) ≥ h(x) Bình phơng hai vế bpt

1-(ĐHQG-1997) − + x2 6x 5 8 2x − > −

2-(ĐHTCKT Tphcm-1999) 2x 1 8 x − ≤ −

3-(ĐH Luật 1998) x 2x − 2 + > − 1 1 x

4-(ĐH Mỏ-2000) (x 1)(4 x) + − > − x 2

5-(ĐH Ngoại ngữ) x 5 + − x 4 + > x 3 +

6-(ĐHCĐKA-2005) 5x 1 − − x 1 − > 2x 4 −

7-(ĐH Ngoai thơng-2000) x 3 + ≥ 2x 8 − + 7 x −

8-(ĐH Thuỷ lợi -2000) x 2 + − 3 x − < 5 2x −

9-(ĐH An ninh -1999) 5x 1 − − 4x 1 3 x − ≤

10-(ĐHBK -1999) x 1 3 + > − x 4 +

11-(ĐHCĐ KA-2004)

2

x 3

Ph ơng pháp 2: Sử dụng các phép biến đổi t ơng đ ơng

1/ f (x) f (x) 0

0

g(x) 0 g(x)

>



> ⇔  >

 hoặc

f (x) 0 g(x) 0

<



 <



2/ f (x) f (x) 0

0

g(x) 0 g(x)

>



< ⇔  <

 hoặc

f (x) 0 g(x) 0

<



 >



1

>



> ⇔  >

 2*/

B 0 A

1

A 0 B

<



< ⇔  ≥

 hay 2

B 0

A 0

A B

 >

 ≥



 <



1-(ĐHTCKT-1998) 51 2x x2

1

1 x

− − <

− 2-(ĐHXD)

2

2 x

− + + + <

3-(ĐH Ngoại ngữ -1998) 1 1 4x2

3 x

− − < 4-(ĐHSP) 2 x 4x 3

2 x

− + − ≥

Ph

ơng pháp 2:Nhân biểu thức liên hợp:

1-(ĐHSP Vinh-2001)

2 2

x

x 4

1 1 x > −

2

2x

x 21

3 9 2x 2 < +

3- 4(x 1) + 2 < (2x 10)(1 + − 3 2x) + 2

Ph

ơng pháp 3:Xác định nhân tử chung của hai vế :

1-(ĐH An ninh -1998) x2 + − + x 2 x2 + 2x 3 − ≤ x2 + 4x 5 −

2-(ĐHBK-2000) x2 + 3x 2 + + x2 + 6x 5 + ≤ 2x2 + 9x 7 +

3-(ĐH Dợc -2000) x2 − 8x 15 + + x2 + 2x 15 − ≤ 4x2 − 18x 18 +

4-(ĐH Kiến trúc -2001) x2 − 4x 3 + − 2x2 − 3x 1 x 1 + ≥ −

Ph

ơng pháp 4: Đặt ẩn phụ:

1-(ĐH Văn hoá) 5x2 + 10x 1 7 x + ≥ − 2 − 2x

2-(ĐH Dân lập phơng đông -2000) 2x2 + 4x 3 3 2x x + − − 2 > 1

3-(HV Quan hệ qt-2000) (x 1)(x 4) 5 x + + < 2 + 5x 28 +

4-(ĐH Y-2001) 2x2 + x2 − 5x 6 10x 15 − > +

5-(HVNH HCM-1999) x(x 4) − − + x2 4x (x 2) + − 2 < 2

2x

2 x

7-(ĐH Thuỷ lợi) 2 1

2x x

8-(HV Ngân hàng 1999) x 2 x 1 + − + x 2 x 1 3 2 − − >

9- Cho bpt: − 4 (4 x)(2 x) − + ≤ x2 − 2x a 18 + −

a/ Giải bpt khi a 6 =

b/Tìm a để bpt nghiệm đúng ∀ ∈ − x [ 2;4 ]

10-Xác định m để bpt sau thoả mãn trên đoạn đã chỉ ra :

(4 x)(6 x) + − ≤ x2 − 2x m + trên[ − 4;6 ]

Ph

ơng pháp 5: Ph ơng pháp hàm số:

1-(ĐH An ninh-2000) 7x 7 + + 7x 6 2 49x − + 2 + 7x 42 181 14x − < −

2- x + x 7 2 x + + 2 + 7x < 35 2x −

3- x 2 + + x 5 2 x + + 2 + 7x 10 5 2x + < −

4- Xác định m để bpt sau có nghiệm: a/ 4x 2 − + 16 4x − ≤ m

b/ 2x2 + ≤ − 1 m x

Phần III: Hệ Phơng trình

A- một số hệ pt bậc hai cơ bản

I-hệ pt đối xứng loại 1

1*/ Đ ịnh nghĩa : f (x; y) 0

g(x; y) 0

=



 Trong đó f (x; y) f (y; x),g(x; y) g(y; x) = =

2*/ Cách giải: Đặt S x y, P xy= + = ĐK:S2 ≥ 4P

Dạng 1: Giải ph ơng trình

1-(ĐHQG-2000) x y xy 112 2



 2-

x x y y 35







x y y x 30









5- (ĐH Ngoại thơng-1997)

1 1

x y

 + + + =





 + + + =



6-(ĐH Ngoại thơng -1998)









Dạng 2: Tìm ĐK để hệ có nghiệm:

1-(ĐHCĐKD-2004) Tìm m để hệ sau có nghiệm: x y 1

x x y y 1 3m







2- Tìm a để hệ sau có nghiệm: x y xy a2 2





3-Cho hệ pt:

xy(x 1)(y 1) m



a/ Giải hệ khi m 12 = b/ Tìm m để hệ có nghiệm

4-Cho hệ pt: x xy y m 12 2

x y y x m





a/ Giải hệ khi m=-2

b/ Tìm m để hệ có ít nhất một nghiệm ( x; y ) thoả mãn x 0, y 0 > >

5- Tìm m để hệ có đúng hai nghiệm:

2







6-(ĐHCĐKD-2007) Tìm m để hệ sau có nghiệm:

 + + + =







Dạng 3: Tìm ĐK để hệ có nghiệm duy nhất.

1-(HHVKTQS-2000) Tìm mđể hệ sau có nghiệm duy nhất x y xy m 22 2

x y y x m 1





2-(ĐHQGHN-1999) Tìm mđể hệ sau có nghiệm duy nhất: x xy y 2m 12





3- Tìm mđể hệ sau có nghiệm duy nhất:

x y y x 2(m 1) 2xy x y 2(m 2)



Dạng 4: Hệ pt đối xứng ba ẩn số :

Nếu ba số x, y, z thoả mãn x y z p, xy yz zx q, xyz r + + = + + = = thì chúng là nghiệm của pt:t3 − pt2 + − = qt r 0

1-Giải các hệ pt sau :

a/

x y z 1

 + + =

 + + = −



 + + =



b/ 2 2 2

x y z 1

+ + =



 + + =



 + + =



c/

x y z 9

xy yz zx 27

1 1 1

1

x y z



 + + =





 + + =



2- Cho hệ pt:

xy yz zx 4

 + + =

 Giả sử hệ có nghiệm duy nhất

CMR: 8 8

x, y, z

II-Hệ ph ơng trình đối xứng loại 2

1*/ Định nghĩa f (x; y) 0

g(x; y) 0

=



 trong đó :f (x; y) g(y; x),f (y; x) g(x; y) = =

2*/ Cách giải: Hệ pt f (x; y) g(x; y) 0 (x y)h(x; y) 0

x y 0

f (x; y) 0

− =



 hay

h(x; y) 0

f (x; y) 0

=





Dạng 1: Giải ph ơng trình:

1-(ĐHQGHN-1997)

y

x 3y 4

x x

y 3x 4

y

 − =





 − =



2-(ĐHQGHN-1998)

3 3







3-(ĐHQGHN-1999)

2x

2y

 + =





 + =



4-(ĐH Thái nguyên-2001)

3 3

 + =



 + =



5-(ĐH Văn hoá-2001) x 1 7 y 4





2

2

8

x 8

y

 + − =







Dạng 2:Tìm đk để hệ có nghiệm:

1-(ĐHSP Tphcm-2001) Tìm m để hệ có nghiệm: x 1 y 2 m







2- Tìm m để hệ có nghiệm: 2x y 3 m







Dạng 3: Tìm đk để hệ có nghiệm duy nhất

1-(ĐHSP-Tphcm-2001) Tìm a để hệ sau có nghiệm duy nhất: ( )2

2







2- Tìm m để hệ sau có nghiệm duy nhất:

2 2







3- Tìm a để hệ sau có nghiệm duy nhất:

2 2







III - Hệ ph ơng trình đẳng cấp:

*/ Hệ pt đợc gọi là đẳng cấp nếu mỗi pt trong hệ có dạng ax2 + bxy cy + 2 = d

*/ Cách giải: Đặt x = ty

*/ Lu ý: Nếu (a;b) là nghiệm của hệ thì (b;a) cũng là nghiệm của pt

Dạng 1: Giải ph ơng trình:

1-(ĐHPĐ-2000)











3-(ĐH Mỏ-1998)







Dạng 2: Tìm đk để hệ có nghiệm, có nghiệm duy nhất

1-(ĐHQG HCM-1998) Tìm m để hệ sau có nghiệm :







2-(ĐHAnninh2000)Tìm ađể hệ có nghiệm:







3-Tìm mđể hệ sau có nghệm diuy nhất:





B- Một số ph ơng pháp giải hệ pt :

Ph ơng pháp 1:Ph ơng pháp thế:

1-(ĐHSP Quy nhơn -1999) Cho hệ pt: x y m 1 + = +



1/ Giải hệ khi m 3 =

2/Tìm m để hệ trên có nghiệm

2-(ĐHCĐKB-2002)

3











4-(ĐH Huế-1997) Tìm k để hệ sau có nghiệm:

x y k



5-(ĐH Thơng mại-2000) Cho hệ pt: x my m2 2





a GiảI hệ khi m 1 = b Biện luận số nghiệm của pt

c.Khi hệ có hai nghiệm phân biệt (x ; y );(x ; y )1 1 2 2 tìm m để :

A (x = 2 − x )1 2 + (y2 − y )1 2 đạt giá tri lớn nhất

6-(SP TPHCM-1999) Tìm m để hệ sau có 3 nghiệm phân biệt: x y 13 3

+ =





Ph ơng pháp 2: ph ơng pháp biến đổi t ơng đ ơng:

1-(ĐHGTVT TPHCM-1999) xy 3x 2y 162 2



 HD:nhân pt đầu với 2 vàcộng với pt sau

2-(ĐHThơng mại-1997)

x xy y 1

y yz z 4

z zx x 9



 + + =



 + + =



3-(ĐHBKHN-1995) 2 2 2

2

x y z 7

+ + =



 + + =



 =



4-(ĐHSPHN-2000)





 HD:chia cả hai vế của2pt cho

2

x

Ph ơng pháp 3: Ph ơng pháp đặt ẩn phụ:

1-(ĐH Ngoại ngữ-1999)

xy

xy

 − =





 − =



2-(ĐH Công đoàn-2000)

2







3-(ĐH Hàng hải-1999)

1









(x 0, y 0) > >







Phần:IV Hệ Bất Phơng trình

A- Hệ bpt một ẩn số:

Cho hệ: 1( )

2

f (x) 0(2)

>



 >

 (I) Gọi S ,S1 2Lần lợt là tập nghiệm của (1)&(2)

S là tập nghiệm của (I) ⇔ = ∩ S S1 S2

Tìm m để hệ sau có nghiệm:

1 -(HVQH Quốc tế-1997)

2 2







2-(ĐH Thơng mại-1997)

2





3-2 2







4-(ĐH Thuỷ lợi-1998)

2

 − <





5-(ĐH Thơng mại-1998)

2

 − + ≤







Tìm m để hệ sau vô nghiệm:

1-

2

2

(m x )(x m) 0

 − ≤





2-2





3-2 2

m x 1 3 (3m 2)x

 + − <





+ > + −



Tìm m để hệ sau có nghiệm duy nhất:

1-2

2

 − + ≤







2-2 2











− + <



B- Hệ bpt hai ẩn số:

Tìm a để hệ sau có nghiệm:

+ ≤







x y a 0



3- 4x 3y 2 02 2





Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất:

x y a 0



x y 1



 + ≤

Phú xuyên ngày 15 tháng 07 năm 2007

trịnh xuân tình