góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau,…mà tác giả gọi là “Các bài toán định lượng trong hình học không gian”.Sau nhiều năm giảng dạy ở các lớp mũi nhọn ôn thi HSG, ôn thi ĐH-
Trang 1góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau,…mà tác giả gọi là “Các bài toán định lượng trong hình học không gian”.
Sau nhiều năm giảng dạy ở các lớp mũi nhọn ôn thi HSG, ôn thi ĐH-CĐ, tôi nhận thấy để có được kết quả tốt trong giảng dạy nội dung HHKG ở trường
THPT thì phải tạo ra tâm lý “thích học hình không gian” của học sinh, nhất là học sinh lớp 11; phải tìm cách tiếp cận HHKG đơn giản, dễ hiễu và có “thuật giải” rõ ràng để có thể áp dụng cho nhiều bài tập, tránh trường hợp mỗi bài vận
dụng mỗi cách khác nhau gây tâm lý hoang mang cho học sinh khi mới tiếp cận HHKG; phương pháp giải phải gần gũi với các nội dung đại số, phương trình,
hệ phương trình – là các nội dung được học rất nhiều trong chương trình THPT
và có thể nói là nội dung “sở trường”, là điểm mạnh của đại đa số học sinh
Phương pháp véc tơ đáp ứng được các yêu cầu nói trên Tuy nhiên trong chương trình SGK Hình học lớp 11 NC, phương pháp véc tơ chỉ được đề cập ở hai bài đầu tiên của Chương III với thời lượng 4 tiết là quá ít so với nội dung đồ
sộ của phần HHKG Chính vì vậy Phương pháp véc tơ đôi khi bị xem nhẹ, trang
bị không đầy đủ, thiếu tính hệ thống làm cho học sinh không biết vận dụng vào giải quyết các bài toán hình học
Vì những lí do trên, tôi đã chọn đề tài SKKN mang tên “Phát triển tư duy thuật giải, tư duy sáng tạo cho học sinh lớp 11 – THPT thông qua việc giải một số bài toán định lượng trong hình học không gian bằng phương pháp
véc tơ ” với mục đích trang bị cho học sinh các kiến thức và kỹ năng vận dụng
phương pháp véc tơ vào giải toán HHKG, hình thành cho học sinh phương pháp
tư duy thuật giải, tư duy sáng tạo, tạo tâm lý hứng thú khi học HHKG, góp phần nâng cao chất lượng dạy và học HHKG ở trường THPT nói chung cũng như Trường THPT Triệu Sơn 3 nói riêng Đồng thời tác giả cũng mong muốn được trao đổi ý tưởng và cách làm tới các đồng nghiệp trong và ngoài đơn vị và hy
Trang 2Thứ nhất: Phương pháp véc tơ đã được đề cập trong Chương III- SGK
Hình học lớp 11 NC với thời lượng là 4 tiết, tuy nhiên chỉ tập trung chủ yếu vào việc chứng minh các đẳng thức véc tơ và biễu diễn tuyến tính một véc tơ theo các véc tơ không đồng phẳng Rất ít nội dung vận dụng phương pháp véc tơ vào
“Các bài toán định lượng trong hình học không gian”.
Thứ hai: Rất nhiều bài toán về HHKG lớp 11 khi giải bằng phương pháp
hình học tổng hợp thì tương đối phức tạp và gây nhiều khó khăn cho học sinh, tuy nhiên khi vận dụng phương pháp véc tơ thì có lời giải rất gọn, đẹp, có tính đại số và thuật giải, gây nhiều hứng thú cho học sinh
2 Mục tiêu của đề tài:
Trên cơ sở lý luận như trên, tôi nêu ra một số mục tiêu cần phải đạt như sau:
a) Đối với tác giả của đề tài
Thứ nhất: Xây dựng được hệ thống các thuật giải tổng quát cho các bài
toán cơ bản về định lượng trong HHKG lớp 11, cụ thể là các bài toán về sử dụng điều kiện cùng phương của hai véc tơ, điều kiện đồng phẳng của ba véc tơ; tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Thứ hai: Xây dựng được hệ thống các bài tập minh họa cùng lời giải phù
hợp và thể hiện tính điển hình, tối ưu của phương pháp véc tơ so với các phương pháp khác Các bài tập nêu ra phải đảm bảo yêu cầu bám sát nội dung thi HSG
và thi ĐH-CĐ
Thứ ba: Xây dựng được hệ thống bài tập tương tự có chỉ dẫn hoặc đáp số
làm tư liệu phục vụ cho quá trình dạy và học HHKG Các bài tập nêu ra cũng phải đảm bảo yêu cầu bám sát nội dung thi HSG và thi ĐH-CĐ
b) Đối với học sinh khi được triển khai áp dụng:
Thứ nhất: Được trang bị đầy đủ, có tính hệ thống về phương pháp véc tơ và
thuật giải một số dạng toán cơ bản trong HHKG lớp 11
Trang 3Thứ hai: Biết vận dụng thành thạo và có sáng tạo phương pháp véc tơ trong
quá trình học tập môn HHKG, có tâm lý tự tin và hứng thú khi giải các bài tập
về HHKG
Thứ ba: Hình thành và phát triển tư duy thuật giải, tư duy sáng tạo.
3 Đối tượng nghiên cứu của đề tài:
Để có cơ sở đánh giá về hiệu quả của việc áp dụng đề tài vào thực tế dạy học, tôi chọn 2 lớp theo ban KHTN của Trường THPT Triệu Sơn 3 năm học 2012-2013, cụ thể: lớp đối chứng: 11G2, lớp thực nghiệm:11G7
Các lớp được chọn tham gia nghiên cứu cho đề tài có nhiều điểm tương đồng nhau về tỉ lệ giới tính, kết quả và ý thức học tập của học sinh, đặc biệt là năng lực học tập và kết quả điểm kiểm tra môn Toán trước khi tác động
II THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ
Thực trạng dạy và học HHKG ở trường THPT nói chung và trường THPT Triệu Sơn 3 nói riêng thể hiện ở một số điểm sau:
Thứ nhất: Đối với giáo viên, việc dạy HHKG thường mất nhiều thời gian
và công sức, đồng thời nội dung HHKG trong các đề thi tốt nghiệp THPT, đề thi đại học, đề thi HSG thường là những nội dung khó, có tính chất phân loại cao và
chỉ chiếm tỉ lệ từ 10%-15% số điểm của toàn bài thi, do đó có tâm lý “xem nhẹ”
nội dung này trong quá trình dạy học, ôn tập
Thứ hai: Đối với học sinh, để học tốt môn HHKG thì cần phải nắm vững
kiến thức về hình học phẳng ở chương trình THCS, đồng thời phải có tư duy trừu tượng, khả năng đoán nhận tốt Thực tế điều này lại là điểm yếu của không
ít học sinh THPT nói chung và học sinh THPT Triệu Sơn 3 nói riêng, kể cả học
sinh khá giỏi, do đó dẫn đến tâm lý “sợ” học HHKG, “ngại” học HHKG.
Thứ ba: Các tài liệu trình bày về phương pháp véc tơ còn hạn chế, chưa có
tính hệ thống, chuyên sâu và hệ thống bài tập chưa đa dạng gây nhiều khó khăn cho người dạy và người học
III GIẢI PHÁP THỰC HIỆN
Tư tưởng chủ đạo để xác định các giải pháp là vận dụng quan điểm triết học trong câu nói của Chủ tịch Hồ Chí Minh : “Dĩ bất biến, ứng vạn biến”
1 Giải pháp thứ nhất: Xây dựng các thuật giải – các đối tượng “bất biến”:
Thực chất là các quy trình, các bước thực hiện cố định để tìm ra đáp số của một
Trang 4dựng thuật giải giúp cho học sinh phát triển tư duy thuật giải – một loại hình tư duy rất quan trọng không chỉ trong toán học mà cả trong nhiều lĩnh vực khoa học khác Tạo tâm lý hứng thú, tự tin cho học sinh khi học môn HHKG.
2 Giải pháp thứ hai: Xây dựng các bài tập minh họa thuật giải – các đối tượng
“vạn biến”: Chính là lớp các bài toán cụ thể với giả thiết luôn thay đổi theo từng đặc trưng của mỗi bài Việc áp dụng các thuật giải – tức là cái “bất biến” vào để giải một lớp các bài toán với các giả thiết khác nhau – tức là cái “vạn biến” giúp cho học sinh hình thành tư duy sáng tạo, linh hoạt trong từng tình huống cụ thể; tập luyện cho học sinh khả năng ứng biến và vận dụng khéo léo các tính chất, các định lí cơ bản của véc tơ trong không gian vào để giải quyết các bài toán hình học
IV BIỆN PHÁP TỔ CHỨC THỰC HIỆN
1 Thuật giải trong các bài toán liên quan đến điều kiện cùng phương của hai véc tơ, điều kiện đồng phẳng của ba véc tơ.
a) Thuật giải: Ta có thuật giải tổng quát như sau:
Bước 1: Chọn một hệ ba véc tơ ar, br, cr không đồng phẳng
Bước 2: Biểu diễn các véc tơ theo ar, br, cr
Bước 3: Sử dụng điều kiện cùng phương của hai véc tơ, điều kiện đồng phẳng
của ba véc tơ để lập một hệ phương trình đại số
b) Một số định lí cơ bản của véc tơ trong không gian:
Định lí 1.1 Cho hai véc tơ ar và br(a 0r r≠ ) Khi đó hai véc tơ ar và br cùng phương khi và chỉ khi tồn tại số thực k sao cho b k.ar= r
Định lí 1.2 Trong không gian, cho ar và br là hai véc tơ không cùng phương và véc tơ cr Khi đó ba véc tơ ar, br, cr đồng phẳng khi và chỉ khi tồn tại các số thực
m, n sao cho c ma nbr= r+ r Hơn nữa các số m, n là duy nhất
Định lí 1.3 Trong không gian, cho ba véc tơ ar, br, cr không đồng phẳng Khi đó với véc tơ dr tùy ý, tồn tại các số thực m, n, p sao cho d ma nb pcr= r+ r+ r Hơn nữa các số m, n, p là duy nhất
c) Bài tập minh họa:
Trang 5Bài 1.1 Cho hình hộp ABCDA1B1C1D1 Gọi M và N là các điểm lần lượt thuộc
các đường thẳng AB1 và A1C1 sao cho MN//BD1 Tính tỉ số
a AB,b AD,c AAr uuur r uuur r uuuur= = =
+) Đặt AM xABuuuur= uuuur1 =x a c( )r r+
Bài 1.2 Cho hình tứ diện ABCD Gọi M, N, P lần lượt là các điểm thuộc các
cạnh BC, BD, AC sao cho BC 4BM,BD 2BN,AC 3AP= = = Mặt phẳng (MNP)
Trang 6+) Chọn hệ véc tơ a AB,b AC,c ADr uuur r uuur r uuur= = =
Bài 1.3 Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 1 Gọi M, N lần lượt là trung
điểm của BD và AC Trên đường thẳng AB lấy điểm P, trên đường thẳng DN lấy điểm Q sao cho PQ//CM Tính độ dài PQ
Lời giải Bài 1.3.
c r
b r
a r
QP
NM
D
CB
A
Trang 7+) Chọn hệ véc tơ a AB,b AC,c ADr uuur r uuur r uuur= = =
uuur uuur uuuur r r r
PQ PA AD DQuuur uuur uuur uuur= + + 1 ( )
CA biết đường thẳng MK song song với mp (PDC1).
b) Gọi E và F lần lượt là các điểm thỏa mãn AE mAPuuur= uuur,CF nCIuur= uur sao cho O, E,
PN
MD
BC
A
Trang 8tại các số x, y sao cho:
Trang 92 2
d) Nhận xét: 1.1 Điểm mấu chốt của cả 4 bài toán trên là sử dụng định lí về sự
biểu diễn tuyến tính duy nhất của một véc tơ tùy ý trong không gian theo ba véc
tơ không đồng phẳng (Định lí 1.3), từ đó dẫn đến việc giải một hệ phương trình
3 ẩn Việc làm này được lặp lại ở 4 bài với giả thiết và yêu cầu khác nhau đã thể hiện rõ tính thuật giải, tính ưu điểm lớn của phương pháp véc tơ
1.2 Việc chọn hệ ba véc tơ không đồng phẳng (hệ cơ sở) một cách khéo léo để
có thể biễu diễn các véc tơ khác theo chúng một cách thuận lợi nhất đã thể hiện được tính sáng tạo trong quá trình vận dụng phương pháp véc tơ vào giải toán hình học
2 Thuật giải trong các bài toán tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Cho hai đường thẳng chéo nhau d1 và d2 Giả sử d1 có véc tơ chỉ phương ur1, đi qua A; d2 có véc tơ chỉ phương ur2, đi qua B
a) Thuật giải:
Bước 1: Chọn một hệ ba véc tơ ar, br, cr không đồng phẳng Cần chọn ar, br, crkhéo léo để có thể tính các giá trị a , b , cur r r, a.br r, b.cr r, c.ar r
Bước 2: Biểu diễn các véc tơ ur1 và ur2 theo ar, br, cr
* Để tính góc giữa d 1 và d 2 ta tiếp tục thực hiện theo hai bước sau:
Bước 3: Tính các giá trị u , u ,u ur1 r2 r r1 2
Trang 10* Để tính khoảng giữa d 1 và d 2 ta thực hiện theo hai bước sau:
Bước 5: Gọi EF là đoạn vuông góc chung của d1 và d2 (E d ,F d∈ 1 ∈ 2) Giả sử
AE x.u ,BF y.uuuur= ur uur= r Biểu diễn véc tơ EFuur theo ar, br, cr (phụ thuộc vào x, y)
Bước 6: Giải hệ phương trình đại số 1
2
EF.u 0EF.u 0
d d ,d =EF= EFuur = α + β + γ.ar br cr
b) Bài tập minh họa:
Bài 2.1 Cho hình chóp SABCD có đáy là hình thoi tâm O, có độ dài các đường
chéo AC 4a,BD 2a= = , SO 2 2a= và SO (ABCD)⊥ Gọi M là trung điểm của cạnh SC Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BM
Lời giải Bài 2.1.
+) Chọn hệ véc tơ
a CA,b DB,c OSr uuur r uuur r uuur= = = Khi đó: ar =4a, br =2a, cr =2 2a
và a.b b.c c.a 0r r r r r r= = =+) Ta có SA 1a c
M
a r
Trang 11uuur uuuruuur uuur
+) Tính khoảng cách d SA,BM : Gọi EF là đoạn vuông góc chung của SA và ( )
BM ( E SA,F BM∈ ∈ ) Giả sử EA x.SA,uuur= uuur BF y.BMuur= uuur Khi đó ta có:
Lời giải Bài 2.2.
Trang 12+) Tính cos A F,DE : ( 1 )
2 2
A F.DE 10
uuur uuuruuur uuur
.+) Tính khoảng cách d A F,DE : Gọi IJ là đoạn vuông góc chung của A( 1 ) 1F và
DE (I A F,J DE∈ 1 ∈ ) Giả sử JE x.DE,uur= uuur A I y.A Fuuur1 = uuur1 Khi đó ta có:
Lời giải Bài 2.3.
Trang 132a 2b 1c
= − r+ r+ r+) Tính cos MN,AC :( )
.+) Tính khoảng cách d MN,AC : Gọi EF là đoạn vuông góc chung của MN và ( )
AC ( E MN,F AC∈ ∈ ) Giả sử ME x.MN,uuur= uuuur AF y.ACuuur= uuur Khi đó ta có:
B
a r
b rc r
Trang 14Lời giải Bài 2.4.
+) Chọn hệ véc tơ
1
a AA ,b AB,c ADr uuuur r uuur r uuur= = = Khi đó: ar = = =br cr a và
2
aa.b b.c c.a
MN.B C 10
uuuur uuuruuuur uuur
+) Tính khoảng cách d MN,B C : Gọi EF là đoạn vuông góc chung của MN và ( 1 )
B1C (E MN,F B C∈ ∈ 1 ) Giả sử ME x.MN,uuur= uuuur B F y.B Cuuur1 = uuur1 Khi đó ta có:
x 1 x 1 1 5 3 7EF.MN 0 y a 1 b y x c a b c 0 x y
a rF
E
Trang 15còn yếu tố trực giao Tuy nhiên khi trình bày lời giải theo phương pháp véc tơ thì chúng ta thấy rõ “thuật giải” không có gì thay đổi so với hai bài trước đó Rõ ràng việc sử dụng phương pháp véc tơ để giải Bài 2.3 và Bài 2.4 là sự lựa chọn tối ưu và sáng tạo nhất Trong dạy học, giáo viên có thể thay đổi giả thiết về số
đo góc tam diện đỉnh A và độ dài các cạnh của hình hộp, chẳng hạn đối với Bài 2.4 ta có thể điều chỉnh giả thiết : BAD 60= 0, 0 0
DAA =90 ,A AB 120= ,
AB a= , AD 2a= , AA1=3a để có thêm nhiều nội dung luyện tập cho học sinh.2.2 Có thể kết luận: với thuật giải như trên thì có thể tính được góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau tùy ý trong không gian (với điều kiện là có thể chọn được một hệ véc tơ cơ sở ar, br, cr và có thể tính được các giá trị
a , b , c
ur r r
, a.br r, b.cr r, c.ar r) Đây chính là một điểm mạnh nữa của phương pháp véc
tơ so với các phương pháp khác
3 Các bài tập tương tự
Bài 3.1 Cho hình hộp ABCDA1B1C1D1 Gọi I và J là các điểm lần lượt thuộc
các đường thẳng B1D và AC sao cho IJ//BC1 Tính tỉ số
Bài 3.2 Cho hình lập phương ABCDA1B1C1D1 cạnh bằng 1 Trên đường thẳng
BC1 lấy điểm M sao cho các véc tơ D M, DA , ABuuuur uuuur uuuur1 1 1 đồng phẳng Hãy tính tỉ số
1
BM
MC và diện tích tam giác MAB1 ( Đáp số: 3 và 19
4 )
Bài 3.3 Cho hình lập phương ABCDA1B1C1D1 cạnh bằng 1 Trên các cạnh BC
và DD1 lấy các điểm M và N sao cho BM DN x 0 x 1 = = ( ≤ ≤ ) Chứng minh rằng
MN vuông góc với AC1 Tìm x để độ dài MN ngắn nhất (Đáp số: x 1
2
= và
MNmin= 6
2 )
Bài 3.4 Cho hình chóp SABC có đáy là tam giác đều với AB 4 2a = , SC⊥
(ABC) và SC 2a = Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC, AB Tính góc và
Trang 16Bài 3.5 Cho hình chóp SABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B, cạnh
bên SA vuông góc với đáy và SA a 3,AB a,BC 2a= = = Biết góc giữa SD và mặt phẳng (ABCD) bằng 300 Gọi M là trung điểm của BC Tính khoảng cách
giữa SM và CD ( Đáp số: 30a
10 )
Bài 3.6 Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông với AB 2a = , SA a = ,
SB a 3 = , mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng
SM và DN (Hướng dẫn:Kẻ đường cao SH của ∆SAB thì SH⊥(ABCD) và
Bài 3.7 Cho hình hộp đứng ABCDA1B1C1D1 có đáy là hình thoi cạnh bằng a,
góc BAD= α với cos 3
1 Phương pháp kiểm nghiệm:
Để đánh giá hiệu quả của đề tài, tôi tiến hành kiểm nghiệm theo các bước sau:
Bước 1: Đánh giá và so sánh năng lực học tập của lớp đối chứng và lớp thực
nghiệm trước khi tác động
Bước 2: Thực hiện việc tác động đối với lớp đối chứng và lớp thực nghiệm Cụ
thể như sau:
* Với lớp đối chứng 11G2: Trong thời gian từ 01/3/2013 đến 15/4/2013, tổ chức dạy 3 buổi (bằng 9 tiết) về các nội dung: tính tỉ số đoạn thẳng, độ dài đoạn thẳng, tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong không gian theo phương pháp hình học tổng hợp Trong 3 buổi trên có 2 buổi dạy lý thuyết và ví dụ minh họa, 1 tiết thảo luận các bài tập (mỗi dạng 2 bài tập)
Trang 17* Với lớp thực nghiệm 11G7: Cũng trong thời gian từ 01/3/2013 đến 15/4/2013 tôi tiến hành dạy 2 buổi lý thuyết và các ví dụ minh họa bằng phương pháp véc
tơ, 1 buổi thảo luận bài tập với các nội dung: tính tỉ số đoạn thẳng, độ dài đoạn thẳng, tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong không gian Các ví dụ minh họa là các bài có lời giải chi tiết nêu trong Phần III của SKKN, còn bài tập thảo luận cũng là các bài tập được nêu trong SKKN
Bước 3: Đánh giá và so sánh kết quả giữa lớp đối chứng và lớp thực nghiệm sau
khi tác động
2 Kết quả kiểm nghiệm:
a) Trước tác động: Tôi lấy kết quả điểm kiểm tra viết môn Toán (90 phút) do tổ
chuyên môn ra đề dùng khảo sát chất lượng học kì I, được tổ chức kiểm tra tập trung cho toàn khối, tổ chuyên môn chấm bài theo đáp án đã xây dựng:
Bảng 1: Bảng thống kê kết quả bài kiểm tra trước khi tác động
Bảng 2: Bảng so sánh kết quả bài kiểm tra trước khi tác động
Nội dung so sánh Lớp đối chứng Lớp thực nghiệm
Như thông tin trong các Bảng 1 và Bảng 2 đã chứng minh rằng, sự chênh lệch điểm trung bình của lớp thực nghiệm và lớp đối chứng trước tác động là không đáng kể, hai lớp được coi là tương đương và không cần thực hiện phép kiểm chứng T-Test để kiểm chứng sự chênh lệch giữa điểm số trung bình của các nhóm trước khi tác động
