SKKN Một số kinh nghiệm bài tập hình học không gian

Việc sáng tác các bài toán hìnhhọc không dễ như đối với các bài toán đại số và lượng giác..Trong quá trìnhgiảng dạy tôi cũng đã rút ra được một số kinh nghiệm về sáng tác các bài toánhìn

PHÁT HUY KHẢ NĂNG TƯ DUY HÌNH KHÔNG GIAN

CỦA HỌC SINH QUA VIỆC SÁNG TÁC CÁC BÀI TOÁN MỚI

TỪ CÁC BÀI TOÁN QUEN THUỘC.

A Đặt vấn đề

Phần hình học không gian (quan hệ song song, quan hệ vuông góc, góc,khoảng cách, thể tích, diện tích ) là phần kiến thức quan trọng góp phân nângcao tư duy hình học, trí tưởng tượng không gian; hơn nữa nó là phần không thểthiếu trong các đề thi Đại học và cao đẳng Tuy nhiên việc học phần hình họckhông gian của học sinh gặp nhiều khó khăn, vì nhiều học sinh không tưởngtượng được hình không gian, không hứng thú với môn học và cảm giác nó rấtkhó Các bài toán hình không gian lại có rất ít bài toán tương tự nên học sinhcảm thấy các bài toán đó ít có liên hệ với nhau Việc sáng tác các bài toán hìnhhọc không dễ như đối với các bài toán đại số và lượng giác Trong quá trìnhgiảng dạy tôi cũng đã rút ra được một số kinh nghiệm về sáng tác các bài toánhình không gian giúp học sinh nâng cao khả năng giải toán hình không gian, vàtôi muốn chia sẻ với các bạn đồng nghiệp Chính vì các lý do đó mà tôi viết

SKKN với đề tài: "Phát huy khả năng tư duy hình không gian của học sinh

qua việc sáng tác các bài toán mới từ những bài toán quen thuộc".

B Giải quyết vấn đề

1 Cơ sở lý luận

Để có thể đưa ra giải pháp phát huy khả năng tư duy hình không gian củahọc sinh, ta cần trang bị cho học sinh đầy đủ các kiến thức cơ bản về hình họckhông gian; như: các quan hệ song song, quan hệ vuông góc, góc, khoảng cách,diện tích, thể tích

Sau đây tôi chỉ nêu một số kiến thức được nhấn mạnh trong các bài toán

ví dụ của tôi

- Để chứng minh hai đường thẳng a và b vuông góc, ta có thể sử dụng các

phương pháp sau:

a b⊥ ⇔uuur uur⊥u ⇔u uuuruur= với u uuur uura, b

là các vector chỉ phương của a và b.Chuyển về xác định góc giữa a và b và gắn góc đó vào góc của một tam giác,rồi chứng minh tam giác đó vuông

Cách thông dụng: Chỉ ra một mặt phẳng (P) chứa b và vuông góc với a.

- Để chứng minh đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P), ta chọn hai đường thẳng cắt nhau trong (P) và chứng minh chúng cùng vuông góc với a.

- Để chứng minh hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau thì ta chọn lấymột đường thẳng a nằm trong (P) và vuông góc với giao tuyến của (P) và (Q) rồichứng minh a vuông góc với (Q)

b) Phương pháp xác định đường cao của khối chóp.

- Tìm một mặt phẳng (P) đi qua đỉnh S của hình chóp mà vuông góc với đáy.Dựng hình chiếu H của đỉnh S trên giao tuyến của (P) và đáy

Khi đó SH là đường cao của hình chóp

Chú ý: Nếu trên các đường thẳng SA, SB, SC không đồng phẳng, lần lượt lấy

- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b:

+ Nếu a và b vuông góc với nhau thì lấy mp(P) chứa b và vuông góc với

a Trong (P) ta dựng đoạn vuông góc chung của a và b Khi đó khoảng cách giữa

a và b là độ dài đoạn vuông góc chung đó

+ Nếu a và b không vuông góc với nhau thì ta chuyển qua khoảng cáchgiữa đường thẳng a và mặt phẳng (Q) chứa b và song song với a, cuối cùngchuyển về khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên a đến (Q)

Chú ý: Trong quá trình tính khoảng cách, ta có thể phải tính gián tiếp và dùng tỉ

số khoảng cách Nếu đường thẳng d cắt (P) tại C và trên d có hai điểm phân biệt

A, B khác C thì ( ( ) )

( ) ( ;; )

Vấn đề phát huy khả năng tư duy hình không gian cũng đã có một sốngười làm, tuy nhiên làm bằng cách tạo ra các bài toán mới, dựa trên một số đặcđiểm và tính chất của hình ở bài toán cũ (học sinh đã được làm rồi) để từ đó họcsinh có thể sử dụng các kiến thức cũ đó để giải quyết bài toán mới thì còn rất ítngười làm Đối với trường THPT Tĩnh Gia 1, thì chưa có thầy cô nào làmSKKN về đề tài này

3 Giải pháp và tổ chức thực hiện

Từ một bài toán quen thuộc trong SGK hay SBT, ta có thể sáng tác ranhững bài toán khác, nhằm phát huy khả năng tư duy hình không gian của họcsinh Trong quá trình giảng dạy tôi đã tự sáng tác các bài toán mới từ một bàitoán cũ (học sinh đã giải rồi) và cho học sinh giải, sau đó phân tích cùng với họcsinh để học sinh thấy được mối quan hệ giữa các bài toán mới và các bài toán cũnhư thế nào, từ đó giúp học sinh nhận ra các đường lối tư duy hình không gian,

hệ thống được kiến thức và cũng tự sáng tác được các bài toán mới cho riêngmình, cách làm này giúp học sinh hứng thú hơn trong việc học hình không gian,tăng cường khả năng tư duy hình không gian

Sau đây là một số hướng sáng tác và các ví dụ minh họa mà tôi đã thựchiện, các ví dụ này áp dụng cho học sinh lớp chọn (Lớp 12A1- Trường THPTTĩnh Gia 1)

Hướng 1: Dùng giả thiết của một bài toán cũ với kết luận mới.

Ta có thể lấy một bài toán cũ rồi giữ nguyên giả thiết và thay câu hỏi cũbằng một câu hỏi mới, ta sẽ có một bài toán mới

Bài toán 1: (Bài tập 30 trang 117-SGK Hình học 11 NC)

Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có tất cả các cạnh đều bằng a Góc tạo bởi cạnhbên và mặt đáy bằng 30 0 Hình chiếu H của A trên mặt phẳng (A'B'C') thuộcđường thẳng B'C'

a) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng đáy

b) Chứng minh rằng hai đường thẳng AA' và B'C' vuông góc với nhau, tínhkhoảng cách giữa chúng.

* Bây giờ giữ nguyên giả thiết và thay kết luận của bài toán 1 ta có bài toán mới, ví dụ như bài toán 2 sau đây.

Bài toán 2:

Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có tất cả các cạnh đều bằng a Góc tạo bởi cạnhbên và mặt đáy bằng 30 0 Hình chiếu H của A trên mặt phẳng (A'B'C') thuộcđường thẳng B'C'

a) Tính thể tích và diện tích xung quanh của lăng trụ ABC.A'B'C'

b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AA' và B'C

Giải:

a) Gọi H' là trung điểm của B'C' Vì tam giác

A'B'C' đều cạnh a nên ' ' 3

b) d AA B C( '; ' ) =d AA D( ( ' ) (; BCC B' ') ) =d H AA D( ;( ' ) ) =HK với K là hình chiếu của

H trên AA' Từ đó suy ra ( '; ' ) 1 ' 3

a

d AA B C = A H =

* Nhận xét: Cách làm trên giúp cho học sinh có thể sử dụng được các tính chất

của hình cũ vào trả lời các câu hỏi mới với chiều sâu hơn, đòi hỏi kỹ năng và tư duy tổng hợp hơn.

Hướng 2: Sử dụng tỉ số thể tích, tỉ số khoảng cách để sáng tác.

Bài toán 3 : (Dựa trên bài tập 2 trang 120, SGK Hình học 11 Nâng cao)

Cho hình chóp S.ABC có SA SB SC a= = = , ·ASB= 60 , 0 ·BSC= 90 , 0 CSA· = 120 0 Tínhthể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC

Vì SA SB SC a= = = nên chân đường cao của hình

chóp S.ABC kẻ từ S là tâm đường tròn ngoại tiếp

đáy, nghĩa là nó trùng với trung điểm của AC

Từ đó suy ra đường cao 0 1

Bài toán 4: Cho hình chóp S.ABC có SA a SB= , = 2 ,a SC= 3a, ·ASB= 60 , 0 BSC· = 90 , 0

· 120 0

CSA= Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đườngthẳng SA và BC

Giải:

Trên các cạnh SB và SC lần lượt lấy các điểm B’ và C’ sao cho SB' =SC' =a

Khi đó S.AB’C’ là hình chóp trong Bài toán 1

Vậy ta có d BC SA( ; ) = 6d H SAI( ;( ) ).

Gọi K, I lần lượt là hình chiếu của H trên

AI và SK Khi đó suy ra d H SAI( ;( ) ) =HI

Để tính HI ta phải tính góc ·HAK

(Hướng dẫn HS vẽ hình phẳng để suy luận và tính toán được chính xác)

Từ hình bình hành SBCI, suy ra B I' = 3 ' ' 3 2B C = a , suy ra AI =a 19; C I' = 2a 2.

Theo định lý cô sin trong tam giác AC'I ta có ·

Hướng 3: Thay đổi mặt đáy.

Với bài toán 1, ta thấy đường cao của hình chóp là đường cao của một mặt bên, bây giờ ta giữ nguyên đường cao này và thay đáy từ tam giác vuông thành tam giác khác (đều, cân, thường) hoặc thành tứ giác (hình vuông, chữ nhật, thoi, hình bình hành, hình thang ) Khi đó ta lại có một số bài toán mới.

Bài toán 5: Cho hình chóp tứ giác S ABCD.

có đáy ABCD là hình thang vuông tại A,

//

AD BC, BC a= , AD= 2 ,a SD= 3a (a> 0) và

mặt bên SAB là tam giác đều nằm trong mặt

phẳng vuông góc với đáy Tính thể tích khối

dt ABCD = AD BC AB+ = a a a+ = Gọi I là trung điểm của AB,

suy ra SI ⊥AB, do đó SI ⊥(ABCD), hay SI là đường cao của hình chóp

Vậy thể tích khối chóp S.ABCD là: 1 ( ). 1 3. 2 5. 15 5 3 3

Bài toán 6: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông

tại A và B; AB BC= = 2 ,a AD= 3a a( > 0) Mặt bên SAB là tam giác vuông cân tại S,

Vì tam giác SAB vuông cân tại S có AB= 2a

nên SB AB= cos 45 0 =a 2 Tam giác SBC có

BC +SB = a + a = a =SC Suy ra tam

giác SBC vuông tại B Do đó BC⊥SB ( )1

Vì ABCD là hình thang vuông tại B nên BC⊥AB ( )2

Từ (1) và (2) suy ra BC⊥(SAB) Vì SH ⊥(ABCD) nên SH ⊥CD ( )6 .

Từ (5) và (6) suy ra CD⊥(SHC) Do đó CD⊥HK ( )7

Ta lại có HK⊥SC ( )8 Từ (7) và (8) suy ra HK ⊥(SCD) Do đó HK ⊥CM

Gọi I là trung điểm của HD và J là hình chiếu của I trên CM

Ta có MI SH// nên MI ⊥(ABCD), do đó MI ⊥HD ( )1 .

Do ∆HBC= ∆DEC c g c( − − ) nên CH CD= Suy ra ∆HCD cân tại C

Vì I là trung điểm của HD nên CI ⊥HD ( )2 .

Từ (1) và (2) suy ra HD⊥(MIC) Do đó HD⊥IJ ( )3 Ta lại có IJ ⊥CM ( )4

Từ (3) và (4) suy ra IJ là đoạn vuông góc chung của HD và CM

Vậy khoảng cách giữa HD và CM là d HD CM( ; ) =IJ .

Trong tam giác vuông cân SAB ta có 1

Bài toán 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân,

,

AD BC a= = AB=2 ,a CD=3a Các cạnh bên tạo với đáy các góc bằng nhau

và bằng 60 Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a 0

Suy ra các tam giác SAH, SBH, SCH, SDH là

các tam giác vuông bằng nhau Do đó

HA HB HC HD= = = , hay H là tâm đường tròn ngoại tiếp hình thang ABCD Bánkính đường tròn ngoại tiếp hình thang ABCD là R AH= và cũng là bán kính

đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD Ta có 3 5

Hướng 4: Thay đổi đường cao.

Ta cũng có thể thay đổi đường cao để có bài toán mới Để làm điều này, ta cho chân đường cao ở một vị trí nào đó trên mặt đáy theo ý định, sau đó sử dụng các điều kiện về góc và khoảng cách để tìm giả thiết phù hợp với vị trí chân đường cao đã cho Tất nhiên ta có thể cho luôn giả thiết về chân đường cao nằm ở đâu, hoặc dấu đi bằng các giá thiết khác có liên quan đến góc và cạnh

Bài toán 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a,

Bài toán 9: Cho hình chóp .S ABCD có đáy

ABCD là hình thoi cạnh a , · BAD=600 Tam giác

SAC vuông tại S và tam giác SBD cân tại S Góc giữa SC và mặt phẳng đáy

bằng 30 Tính thể tích khối chóp .0 S ABCD và khoảng cách giữa hai đường

thẳng AB và SC

Giải:

* Gọi O là giao điểm của AC và BD Vì ABCD là hình thoi nên BD⊥ AC (1)

Vì ∆SBD cân tại S nên BD⊥SO (2)

Từ (1) và (2) suy ra BD⊥(SAC), do đó (SAC) (⊥ ABCD) (3)

Từ (3) suy ra hình chiếu của SC trên (ABCD) là AC Suy ra góc giữa SC và(ABCD) là góc ·SCA Vậy SCA· = 30 0 Vì ·ASC= 90 0 nên SAC· = 60 0, hay ∆SAO đều.Gọi H là trung điểm của AO, ta có SH ⊥ AC (4)

Từ (3) và (4) suy ra SH ⊥(ABCD) Vậy SH là đường cao của hình chóp

S.ABCD

* Do ·BAD= 60 0 nên tam giác ABD đều cạnh a Suy ra BD a= và AO=a23

Suy ra diện tích hình thoi ABCD là 1 . 3. 2 3

AO= nên đường cao SH =34a

Vậy thể tích khối chóp S.ABCD là . 1 . 1 2 3 3. 3 3

Bài toán 10: Cho hình chóp tam giác S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại

A , góc ·ACB= 30 0 SA BC⊥ và SA SM= =m (m> 0) với M là điểm thuộc cạnh

BC sao cho 4BM =BC Góc giữa mặt bên SBC và đáy bằng 60 0

a) Tính thể tích khối chóp S ABC theo m

b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC theo m

Giải :

a) - Gọi I là trung điểm của BC Do tam giác ABC vuông

tại A, góc ·ACB= 30 0 nên tam giác ABI là tam giác đều Vì

1

4

BM = BC nên M là trung điểm của BI Do đó AM là

đường cao của tam giác ABI, hay AM ⊥BC (1)

Theo giả thiết ta có SA⊥BC (2)

Từ (1) và (2) suy ra BC⊥(SAM) hay (SAM) (⊥ ABC) ( )3

Vì SA SM= =m nên tam giác SAM là tam giác cân tại S

Gọi H là trung điểm của AM, suy ra SH ⊥ AM (4)

Từ (3) và (4) suy ra SH ⊥(ABC) hay SH là đường cao của hình chóp S ABC.

- Vì BC⊥(SAM) nên BC⊥SM (5) Từ (1) và (5) suy ra góc giữa (SBC) và đáy

là góc ·SMH Vậy ·SMH= 60 0 Suy ra tam giác SAM là tam giác đều cạnh bằng m

- Vì tam giác SAM đều cạnh bằng m nên =m 3 và AM =m

- Vì tam giác ABI đều nên 0

2 sin 60 3

b) –Qua C kẻ Cx AB// , qua H kẻ EF AC// với E Cx F AB∈ , ∈ Khi đó ACEF là

hình bình hành Do CAB· = 90 0 nên ACEF là hình chữ nhật Ta có EF = AC= 2m

- Xét tam giác AHF vuông tại F, ta có · 1 0 1 1

- Gọi K là hình chiếu của H trên SE Khi đó HK ⊥SE (6)

Ta có SH ⊥(ABC)⇒SH ⊥CE (7); ACEF là hình chữ nhật nên EF ⊥CE (8) Từ(7) và (8) suy ra CE ⊥(SEF) Do đó CE⊥HK (9)

Từ (6) và (9) suy ra HK ⊥(SCE) hay d H SCE( ,( ) ) =HK.

Xét tam giác vuông SHE ta có: 12 12 12 42 162 2442

Hướng 5: Ta có thể đổi đỉnh và đáy trong trường hợp hình chóp tam giác.

Bài toán 11: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam

giác nhọn ABC, 5

3

BC a= (với a> 0); mặt bên SAB

là tam giác vuông cân tại S và nằm trong mặt phẳng

vuông góc với đáy, SA a= ; góc giữa mp(SAB) và mp(SBC) bằng 60 0 Tính thể

tích của khối chóp S.ABC theo a

Giải:

Gọi H là hình chiếu của C trên AB, vì tam giác ABC nhọn nên H nằm giữa A và

B Vì (SAB) (⊥ ABC) nên CH ⊥(SAB)

Như vậy ta có thể xem đỉnh chóp là C và đáy chóp là mặt SAB.

Gọi I là hình chiếu của H trên SB, suy ra SB⊥(CHI) và góc giữa hai mặt

phẳng (SAB) và (SBC là góc ) ·CIH Vậy CIH· = 60 0

Đặt HI x= (0< <x a) Vì tam giác HIB vuông cân tại I nên HB x= 2

Trong tam giác vuông CHI ta có HC HI= tan60 0 = x 3 1( ), trong tam giácvuông BHC ta có 2 2 2 5 2 2 ( )

a − x = x ⇔ =x thoả mãn điều kiện 0 x a< < Thay x vào (1) ta được HC a=

Tam giác SAB vuông cân tại S và SA=a nên ( ) 1 1 2

Hướng 6: Cho các giả thiết về góc, khoảng cách đa dạng hơn, phức tạp hơn

Thay cho các giả thiết đơn giản trong các bài toán quen thuộc đã giải, ta cho các giả thiết đa dạng và phức tạp hơn về các quan hệ song song, vuông góc, góc

và khoảng cách để học sinh phải suy luận chuyển các giả thiết phức tạp đó về các giả thiết đơn giản hơn, góp phần nâng cao tư duy của học sinh.

Bài toán 12: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a,

mặt bên AA’C’C nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, A B' ⊥ AC Tính thể

tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ biết khoảng cách giữa AC’ và BA’ là 2a5

Giải:

Gọi H là trung điểm của AC, suy ra

BH⊥ AC⇒ A HB ⊥AC⇒ A H ⊥AC

Do (ACC A' ') (⊥ ABC) nên A H' ⊥(ABC)

Gọi D đối xứng với C qua A

Vì tam giác ABC vuông tại C và A' cách đều A, B, C nên chân đường cao hạ từ A' của hình chóp A'.ABC trùng với trung điểm H của AB Từ đó suy ra

(ABB A' ') (⊥ ABC).

Gọi I là trung điểm của HB

Vì ·ABC= 60 0 nên tam giác HBC đều Do đó CI ⊥AB, suy ra CI ⊥( ABB A' ')

Vì CC'//(ABB A' ') nên d CC A B( ', ' ) =d CC ABB A( ', ( ' ')) =d C ABB A( , ( ' ')) =CI

Từ đó suy ra CI = a Ta có 0

2 sin 60 3

Bài toán 14: Cho lăng trụ đứng ABC A B C ' ' ' có đáy ABC là tam giác vuông tại

B và AC= 2AB Góc giữa hai mặt phẳng (AB C' ) và (BCC B' ') bằng 60 0 Khoảng

cách giữa A C' và B C' ' bằng 33

11

a Tính thể tích khối

tứ diện ABA C' ' và bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối tứ

diện ABA C' ' theo a

Giải:

* Đặt AB x BB= ; ' = y Do tam giác ABC vuông tại B có AC= 2AB nên AC= 2x

Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của B trên AC và B’H Khi đó BK ⊥(AB C' )

Vì BA⊥(BCC B' ') nên góc giữa mp(AB C' ) và mp(BCC B' ') bằng góc giữa BK và

BA Vì tam giác BAK vuông tại K nên góc giữa BK và BA là góc ·ABK Do đó