Một vấn đề đặt ra trong chơng trình toán ở tiểu học có phần thực hiện dãy phép tinh dới dạng tính nhanh, tính bằng cách thuận tiện nhất, nhất là trong các kỳ thi chọn học sinh giỏi ở tiể
Trang 1Phơng pháp giải toán dạng bài “tính nhanh” ở tiểu học.
A Đặt vấn đề
Phơng pháp day học nói chung và phơng pháp dạy toán ở tiếu học nói riêng đã đợc đổi mới nhiều lần Theo đó, dạy toán theo phơng pháp mới ở tiểu học là dạy nh thế nào để học sinh tiếp thu kiến thức một cách nhẹ nhàng mà hiệu quả Qua đó “ Nhằm giúp học sinh hình thành những cơ sở ban đầu cho sự phát triển đúng đắn và lâu dài về
đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mỹ và các kỷ năng cơ bản, để học sinh tiếp tục học trung học cơ sở” ( Trích Luật giáo dục)
Một vấn đề đặt ra trong chơng trình toán ở tiểu học có phần thực hiện dãy phép tinh dới dạng tính nhanh, tính bằng cách thuận tiện nhất, nhất là trong các kỳ thi chọn học sinh giỏi ở tiểu học một trong những nội dung đề thi thờng có dạng toán này Khi gặp dạng này, học sinh thờng lúng túng, do đó khi giải các em có thể có kết quả
đúng nhng vẫn không đạt đợc yêu cầu của đề ra (tính nhanh hay tìm cách giải thuận tiện nhất.) vì các em chỉ thực hiên phép tính một cách thông thờng ( từ trái sang phải nếu nh dãy tính chỉ có 2 phép tính cộng, trừ hoặc nhân, chia; hoặc nhân chia trớc cộng trừ sau nếu trong dãy tính có các phép tính cộng, trừ, nhân, chia.) chứ các em cha biết
áp dụng tính chất của các phép tính để giải một cách “nhanh nhất”,
“thuận tiện nhất” nh yêu cầu của đề ra Để giúp học sinh có thể giải các bài toán thuộc dạng “tính nhanh” “tính bằng cách thuận tiện nhât” tôi xin mạnh dạn đa ra một số phơng pháp sau để các thầy, cô giáo và các bạn đồng nghiệp tham khảo
B Giải quyết vấn đề
I.Một số kiến thức cơ bản càn cung cấp cho học
sinh
Để giải quyết tốt các bài tập về bốn phép tính trớc hết giáo viên cần cho học sinh nắm vững một số kiến thức hết sức cơ bản sau đây:
1 Phép cộng:
1.1 Tính chất giao hoán: Tổng không thay đổi khi ta đổi chổ các
số hạng
Tổng quát: a + b + c + d = a + c + b + d = b + c + d + a = … 2.1 Tính chất kết hợp: Tổng không thay đổi, khi ta thay hai hay nhiều số hạng của tổng bằng tổng của chúng
Trang 2Tổng quát: a + b + c + d = a + (b + c) + d = a + b +(c + d) = … 3.1 Tổng không thay đổi, khi ta thêm số hạng này bao nhiêu đơn
vị và bớt đi số hạng kia bấy nhiêu đơn vị
Tổng quát: a + b = (a - n) + (b + n) = (a + n) + (b - n)
2 Phép trừ:
1.2 Hiệu hai số không thay đổi, nếu ta cùng thêm (hoặc cùng bớt) ở hai số cùng một số nh nhau
Tổng quát: a - b = (a - n ) - (b - n) = (a + n) - (b + n)
2.2 Trong phép trừ thì:
Số bị trừ = số trừ + hiệu số
Số trừ = số bị trừ - hiệu số
Hiệu số = số bị trừ - số trừ
3 Phép nhân
1.3 Tổng các số hạng bằng nhau, có thể chuyển thành phép nhân, trong đó một thừa số là một số hạng còn thừa số thứ hai bằng số lợng
số hạng của tổng
Tổng quát: a + a + a + + a + a = a ì n ( Có n sồ hạng là a) 2.3 Tính chất giao hoán: Tích không thay đổi, khi ta đổi cổ các thừa số
Tổng quát: a ì b ì c ì d = a ì c ì b ì d = b ì d ì a ì c = 3.3 Tính chất kết hợp: Tích của chúng không đổi, khi ta thay hai hay nhiều thừa số bằng tích riêng của chúng
Tổng quát:
a ì b ì c ì d = (a ì b) ì (c ì d) = (a ìc) ì (b ì d) = (a ì d) ì (b ì c) 4.3 Muốn nhân một số với 0,5 ta chỉ cần chia số đó cho 2
Tổng quát: a ì 0,5 = a : 2 5.3 Muốn nhân một số với 0,25 ta chỉ cần chia số đó cho 4
Tổng quát: a ì 0.25 = a : 4
6 3 Muốn nhân một số với 0,2 ta chỉ cần chia số đó cho 5
Tổng quát: a ì 0.2 = a : 5
7 3 Muốn nhân một số với 0,125 ta chỉ cần chia số đó cho 8
Tổng quát: a ì 0.125 = a : 8 8.3 Muốn nhân một số với 0,05 ta chỉ cần chia số đó cho 20
Tổng quát: a ì 0.05 = a : 20
9.3 Muốn nhân một số với 0,025 ta chỉ cần chia số đó cho 40
Tổng quát: a ì 0.025 = a : 40
10.3 Muốn nhân một số với 0,02 ta chỉ cần chia số đó cho 50
Tổng quát: a ì 0.02 = a : 50
11.3 Muốn nhân một số với 0,0125 ta chỉ cần chia số đó cho 80
Tổng quát: a ì 0.0125 = a : 80
Trang 312.3 Muốn nhân một số với 0,1 ; 0,01 ; 0,001 ta chỉ cần chia
số đó cho 10 ; 100 ; 1000
Tổng quát: a ì 0.1 = a : 10 ; a ì 0.01 = a : 100 ;
a ì 0.001 = a : 1000 ; a ì 0.001 = a : 1000 13.3 Tích của hai thừa số không đổi khi ta tăng thừa số này lên bao nhiêu lần , thì giảm thừa số kia đI bấy nhiêu lần
Tổng quát: a ì b = (a ì n) ì ( b : n) = (a : n) ì (b ì n)
14.3 Tích bằng 0 khi có một thừa số bằng 0
Tổng quát: a ì b ì c ì d = 0 khi chỉ cần a, hoặc b, hoặc c hoặc, d bằng 0
4 Phép chia:
1.4 Trong phép chia thì:
* Số bị chia = số chia ì số thơng
* Số chia = số bị chia : số thơng
* Số thơng = số bị chia : số chia
2.4 Trong phép chia, nếu ta cùng tăng (hoặc cùng giảm)cả số bị chia và số chia đi cùng một số lần thi thơng không thay đổi
Tổng quát: a : b = (a ì n) : (b ì n) = (a : n) : (b : n)
3.4 Muốn chia một số cho 0,5, ta có thể nhân số đó với 2
Tổng quát: a : 0,5 = a ì2
4.4 Muốn chia một số cho 0,25, ta có thể nhân số đó với 4
Tổng quát: a : 0,25 = a ì 4
5.4 Muốn chia một số cho 0,2, ta có thể nhân số đó với 5
Tổng quát: a : 0,2 = a ì 5
6.4 Muốn chia một số cho 0,125, ta có thể nhân số đó với 8
Tổng quát: a : 0,125 = a ì 8
7.4 Muốn chia một số cho 0,5, ta có thể nhân số đó với 2
Tổng quát: a : 0,5 = a ì2
8.4 Muốn chia một số cho 0,025, ta có thể nhân số đó với 40 Tổng quát: a : 0,025 = a ì40
9.4 Muốn chia một số cho 0,2, ta có thể nhân số đó với 50
Tổng quát: a : 0,2 = a ì 50
10.4 Muốn chia một số cho 0,0125, ta có thể nhân số đó với 80 Tổng quát: a : 0,125 = a ì80
11.4 Muốn chia một số cho 0,1 ; 0,01 ; 0,001 ; ta có thể nhân…
số đó với 10 ; 100 ; 1000
Tổng quát: a : 0,1 = a ì10 ; a : 0,01 = a ì100 ; a : 0,001 = a ì1000 12.4.Thơng sẽ bằng 0 khi số bị chia bằng 0
Tổng quát: a : b = 0, khi a = 0
Trang 4Ngoài ra ta có thể hớng dẫn học sinh cách biến đổi từ só thập phân thành phân số hoặc thành tỷ lệ phần trăm khi chúng có dạng thích hợp
Ví dụ: 0,25 = 41 = 25%; 0,5 = 12= 50 %; 0,75 = 43 = 75 %; …
ii Một số dạng bài tập ứng dụng cơ bản :
Từ những kiến thức cơ bản này, học sinh có thể vận dụng một cách sáng tạo để giải quyết một cách nhanh nhất khi tính kết quả của một biểu thức từ đơn giản đến phức tạp Sau đây là một số phơng pháp giải các dạng toán tìm kết quả biểu thức bằng cách nhanh nhất:
I1.1 Dạng các biểu thức chỉ chứa các phép tính cộng (+) và trừ
(-), (loại này các số hạng bao gồm có thể là số tự nhiên, phân số hay
là số thập phân)
25 + 28 - 7 + 32 – 8 – 5 – 2 + 17
Đối với bài toán này yêu cầu học sinh phải tìm đúng kết quả bằng cách nhanh nhất, nếu chỉ thuần tuý thực hiện từ trái sang phảI theo cách thông thờng là không đạt yêu cầu Để giải bài này học sinh phải biết vận dụng tính chất giao hoán, tính chất kết hợp của phép cộng để giải Cụ thể cách làm nh sau:
5 + 28 - 7 + 32 - 8 - 5 - 2 + 17 =
= (
20
5
25− ) + (
20
8
28− ) + (
30
2
32 − ) + (
20
7
27 − )
= 20 + 20 + 30 + 20 = 90
Bài 2 Tính bằng cách nhanh nhất biểu thức sau:
0,125 + 21,075 + 88,36 + 9,875 + 78,925 + 11,6 =
cũng lý giảI nh bài 1 ta có cách tính nhanh nhất là:
0,125 + 21,075 + 88,36 + 9,875 + 78,925 + 11,64 =
(0,125 + 9,875) + (21,075 + 78,925) + (88,36 + 11,64) =
10 + 100 + 100 = 210 Bài 3: Tính bằnh cách nhanh nhất dãy tính sau:
128
1 64
1 32
1 16
1 8
1 4
1
+ + + + + Ta có thể thay 2 hay nhiều số hạng bằng tổng riêng của chúng mà tổng chung vẫn không đổi, ta cũng có thể thay một số hạng của tổng chung bằng nhiều số hạng nhỏ hơn khác mà tổng của các số hạng nhỏ này đúng bằng số hạng kia của tổng lớn.Từ đó ta có thể phân tích ra nh sau:
4
1 2
1
4
1
−
= ;
8
1 4
1 8
1 = − ;
16
1 8
1 16
Trang 5
32
1 16
1 32
1 = − ;
64
1 32
1 64
1
−
= ;
128
1 64
1 128
1
+
=
ta có:
128
1 64
1 32
1 16
1 8
1
4
1
+ + + +
− +
− +
− +
− +
− +
−
128
1 64
1 64
1 32
1 32
1 16
1 16
1 8
1 8
1 4
1 4
1
2
1
=21 −14+ 14−81 +81−161 +161 −321 + 321 − 641 + 641 −1281
=21−1281 = 12864 −1281 =12863
II.2 Dạng biếu thức chứa hỗn hợp nhiều dấu phép tính công, trừ, nhân, chia.
Đối với loại này học sinh phải vận dụng sáng tạo cách biến
đổi phép tính, khi thì giao hoán, khi thì kết hợp, lúc lại phân tích để có kết quả nhanh nhất, đúng nh … yêu cầu của bài toán Sau đây là một số ví dụ cụ thể:
Bài 1 Tính biếu thức bằng cách nhanh nhất:
36ì5 +72ì2 – 216 + 144 Ta nhận thấy:
72 = 36 ì 2 ; 216 = 36ì6 ; 144 = 36ì4 từ đó ta có:
36ì5 +72ì2 – 216 + 144 =
= 36ì5+ (36ì2) + (36ì6) + (36ì4)
= 36ì(5 + 2 + 6 + 4)
= 36 ì17 = 2112
Bài 2 Tính biếu thức bằng cách nhanh nhất:
1 − + + ì − + ì =
3
1 135 25
, 1 27 12 4
1 6 75 , 6 4 1
= (1 4
1
- 1,25) + (6,25 - 64
3
) +(12 ì 27 + 135 ì5
1
) = ( 1,25 - 1,25) + (6,75 – 6,75) +(12 ì 27 + 27 ì 1)
= 0 + 0 + 27 ì (12 + 1) = 27 ì 13 = 351
Bài 3 Tìm nhanh kết quả biêu thức sau:
1993 1995 1994
1 1994
1995
+
ì
−
ì
= 1993 1995 1994
1 ) 1 1993 ( 1995
+
ì
− +
ì
=
1994 1995
1993
1 1995 1993
1995
+
ì
− +
ì
=
1994 1993
1995
1994 1993
1995
+
ì
+
ì
= 1.
Trang 6Bài 4: Hãy tìm cách tính nhanh nhất biểu thức sau:
474747
373737
+ 4747
5757
101 57 10101 47
10101 37
ì
ì +
ì
ì
47
94 47
57 37 47
57 47
II.3 Dạng biểu thức là một tích có nhiều thừa số, trong
đó khi tính ra sẻ có một thừa số bằng 0.
Bài 1 Tính biếu thức bằng cách nhanh nhất:
(792,81ì0,25 + 792,81ì0,75)ì(11ì9 – 900 ì 0,1 - 9) Đặt biểu thức là S
Gọi thừa số thứ nhất: (792,81ì0,25 + 792,81ì0,75) = A Lúc này ta biểu thức có dạng:
S = Aì(11ì9 - 900 ì 0,1 - 9)
S = A ì(11ì9 - 900 ì 0,1 - 9)
S = A ì(11ì9 - 90 - 9)
S = Aì( 99 - 90 - 9)
S = A ì 0
S = 0
Bài 2: Tính giá trị của biểu thức bằng cách nhanh nhất:
( 1997ì1998 ì1999 ì1996 ì1998)ì(1 + )
3
1 1 2
1 1 : 2
1
−
Đặt A = 1997ì1998 ì1999 ì1996 ì1998 Lúc này biểu thức có dạng: A ì (1 + )
3
1 1 2
1 1 : 2
1
− = Aì (
3
1 1 2
1 1 : 2
1
= Aì (1+ 21: 23 − 34)
= Aì (
3
4 3
2 2
1
1 + ì − ) = Aì (
3
4 3
1
1 + − )
= Aì(
3
4 3
1 3
3
−
= Aì(
3
4 1
3 + −
) = Aì0 = 0
II.4 Dạng tinh nhanh tổng của một dãy số cho tr ớc
Trang 7Khi cho một dãy số (có quy luật viết nhất định), yêu cầu học sinh phải tính nhanh tổng của dãy số này nếu ta không hớng dẫn học sinh một phơng pháp tính thì sẻ gặp nhiều khó khăn, trong mục này tôi xin đa ra 2 ví dụ cụ thể, sau đó rút ra một cách tính tổng quát để khi gặp phải dạng toán này học sinh có thể giải một cách dễ dàng Bài 1: Cho dãy số: 1,4,7,10,13, 52,55,57 Hãy tìm tổng của dãy…
số đó?
Đây là một bài toán có dạng đặc biệt Cách tính nhanh nhất là phải
sử dụng các tính chất của phép cộng (giao hoán, kết hợp) để tìm ra các tình nhanh nhất và từ đó rút ra cách giải một cách tổng quát nhất Cách làm nh sau:
Ta nhận thấy, dãy số này bắt đầu từ số 1, kết thúc là số 57; số sau lớn hơn số trớc nó 3 đơn vị; dãy có 10 số Nếu tính cách thông thờng thc hiện từ trái sang phải thì rất lâu mà ta phải hớng dẫn học sinh sử dụng tính chất giao hoán để tính Ta có:
(1 + 58) + (4 + 55) + (7 + 52) + + (25 + 34) +(28 + 31) có 10 cặp Mỗi cặp có tổng số là 59 Nh vậy tổng của dãy số dễ dàng là: 59ì10
= 590
Bài 2 Cho dãy số: 1 , 3, 5, 7, ….,77, 79 Hãy tính tổng dãy số đó
bằng cách nhanh nhất
Ta có thể làm nh bài 1, nghĩa là lấy só đầu (1) cộng với số cuối (79) số thứ 2 (3) cộng với só thứ 2 cuối (77) và theo trình tự nh vậy cho đến hết sở dĩ nh vậy là ta chọn 2 số sao cho có tổng tròn chục (80) Từ 1 đến 79 có 40 số và do cách làm trên nên ta sẻ có 20 cặp ( tổng mỗi cặp là 80) nên dễ dàng tìm đợc tổng của dãy số là: 80 ì 20
= 1600
Từ cách giải trên nếu ta dừng lại đây thì cha đủ, thực tế có nhiều bài toán dẫy số có rất nhiều số, nên học sinh sể rất mất công để tìm ra
có bao nhiêu số trong dãy số đó, để tìm ra bao nhiêu cặp Lại nữa, muốn tìm xem một số nào đó trong dãy số là số thứ mấy của dãy số? Rồi số thứ n nào đó của dãy là số mấy?
Ví dụ: Cho dãy số 2,4,6,8,10, 2002,2004 Hãy:
a, Tìm tổng của dãy số?
b, Số Thứ 50 của dãy số là số mấy?
c, Số 1802 của dãy số là số thứ bao nhiêu của dãy?
Để giúp học sinh giải bài toán này và các bài toán tờng tự ta hãy cùng nhau xây dựng một công thức tổng quát mà trong phạm vi học sinh tiểu học có thể chấp nhận và áp dụng đợc
Trang 8Gọi dãy số cho trớc là a1,a2,a3, an trong đó a1,a2,a3 là các số thứ 1,2,3 của dãy số, an là số cuối cùng của dãy số ta hãy tìm công thức tổng quát, từ ví dụ cụ thể sau:
Ví dụ: Cho dãy số 1,5,9,13,17,21,25,29 hãy tìm tổng của dãy số đó? + Để tìm tổng của dãy số trớc hết ta phải tìm xem dãy số gồm có bao nhiêu số.Ví dụ: Cho dãy số 1,5,9,13,17,21,25,29.Nhận xét:
+ Dãy số có 8 số tức bằng 5 1 1
1 29
+
−
−
= 8 trong đó 29 là số cuối của dãy; 1 là số đầu của dãy; 5 là số thứ 2 của dãy (tơng đơng với các số
an,a1,a2 trong dãy số tổng quát ) và 5 1
1 29
−
−
= 7 chỉ số từ 1(số đầu dãy)
đến 29 ( số cuối dãy) có 7 khoảng và nh toán trồng cây ta phảicộng thêm 1để để tìm ra dãy số có bao nhiêu số và từ đây ta có công thức tìm dãy có bao nhiêu số
Đó là:
(1)
+ Tổng của dáy số là :
(2)
Trong đó S là tổng số cần tìm, an là số cuối dãy, a1 là số đầu dãy, n
là số số của dãy
L u ý : Đối với số có số số là lẻ hay chẵn đều cũng áp dung công
thức này vì: Nếu n là lẻ thì: n - 1 an+ a1
s = (an+ a1) ì +
2 2
= (an+ a1) ì
− +
2
1 1
n
= (an+ a1) 2
n
ì
Từ công thức (1) ta có thể tìm đợc an một cách dễ dàng khi biết n (thứ tự số)
Bây giờ ta trở lại giải bài tập trên
Bài 1: Cho dãy số 2,4,6,8,10, 2002,2004 Hãy:
a, Tìm tổng của dãy số?
b, Số Thứ 50 của dãy số là số mấy?
an- a1
n =
a2- a1
s = (an+ a1) ì 2
n
Trang 9c, Số 1802 của dãy số là số thứ bao nhiêu của dãy?
Ta có thể làm nh sau:
* Trớc hết ta tìm xem đãy số đã cho có bao nhiêu số (tức là tìm n):
an- a1 2004 - 2 2002
n = +1 = +1 = +1 = 1001 +1 = 1002
a2- a1 4 - 2 2
a, Tổng của dãy số là: S = (2004 + 2) 2
1002
ì
= 2006 ì 501 = 1005006
b, Số thứ 50 của dãy số là số mấy? Ia có:
an- a1 an - 2
50 = + 1 ⇒50 = + 1 ⇒ 50 ì 2 = an - 2 + 2
a2- a1 4 - 2
⇒ an = 100 Tức số thứ 50 của dãy số là số 100
c, Số 1802 là số thứ mấy của dãy số ?
an - a1 1802 - 2 1800
n = + 1 ⇒ n = + 1 ⇒ n = + 1
a2 - a1 4 - 2 2
n = 900 + 2 = 902 Vậy số 1802 có số thứ tự 902 trong dãy số