Dáng điệu tiệm cận và tính ổn định của nghiệm của phương trình sai phân ẩn tuyến tính chỉ số 1

Dáng điệu tiệm cận và tính ổn định của nghiệm của phương trình saiphân ẩn tuyến tính chỉ số 1 Ngô Thị Thanh Nga Khoa Toán-Tin, Đại học Thăng Long Tóm tắt: Trong những năm gần đây phương

Trang 1

Dáng điệu tiệm cận và tính ổn định của nghiệm của phương trình sai

phân ẩn tuyến tính chỉ số 1

Ngô Thị Thanh Nga

Khoa Toán-Tin, Đại học Thăng Long

Tóm tắt: Trong những năm gần đây phương trình sai phân ẩn (IDEs), hay còn gọi là phương trình

sai phân kỳ dị (SDEs), nhận được mối quan tâm lớn bởi sự xuất hiện của chúng trong nhiều lĩnh vực thực hành, ví dụ như mô hình động lực Leontiev cho hệ kinh tế đa ngành, mô hình tăng trưởng dân số Leslie, các bài toán điều khiển tối ưu rời rạc suy biến, Phương trình sai phân ẩn cũng xuất hiện một cách tự nhiên trong quá trình rời rạc hóa để giải phương trình vi phân đại số (DAEs) và phương trình đạo hàm riêng đại số, những đối tượng đã và đang thu hút nhiều sự chú ý của các nhà nghiên cứu Trong báo cáo này, chúng tôi đưa ra một số định lý về dáng điệu tiệm cận và tính ổn định của nghiệm của phương trình sai phân ẩn tuyến tính chỉ số 1 Ở trường hợp hệ số hằng, chúng tôi đã đưa ra một

số điều kiện của B(n) và F (n) để nếu phương trình ban đầu Ex(n + 1) = Ax(n), n ∈ N (n0) ổn định

(tương ứng ổn định tiệm cận) thì phương trình (E + F (n))x(n + 1) = (A + B(n))x(n), n ∈ N (n0) cũng ổn định (tương ứng ổn định tiệm cận) Trường hợp hệ số biến thiên, kết quả chúng tôi đạt được đang dừng lại ở việc đưa ra được một số định lý về tính ổn định đều và ổn định mũ đều cho tình huống nhiễu tuyến tính bên phải

1 Một số kiến thức về đại số tuyến tính và phương trình sai phân thường

1.1 Một số kiến thức về đại số tuyến tính:

Định nghĩa 1.1 Cho A là một ma trận, A ∈ R d ×d Chỉ số Kronecker của ma trận A, ký hiệu ind A

là số tự nhiên k sao cho Im A k = Im A k+1 , và Im A k −1 ̸= Im A k

Định nghĩa 1.2 Cho E, A là hai ma trận, E, A ∈ R d ×d Cặp ma trận {E, A} được gọi là chính quy nếu tồn tại số thực c sao cho: ma trận cE + A là ma trận khả nghịch.

Định nghĩa 1.3 Cho cặp ma trận chính quy {E, A} Chỉ số Kronecker của cặp ma trận {E, A}, ký hiệu ind {E, A}, là chỉ số Kronecker của ma trận (cE + A) −1 E.

Bổ đề 1.4 Cho E, A là hai ma trận thuộcRd ×d , rank(E) = r Giả sử cặp ma trận {E, A} là chính quy Khi đó tồn tại U , V khả nghịch sao cho:

U EV =

(

E11 0

)

, U AV =

(

A11 A12

A21 A22

)

,

trong đó E11là ma trận vuông cấp r không suy biến.

Chú ý:

• ind{E, A} = 1 tương đương với A22không suy biến

• Cách xây dựng U, V : Để thuận lợi cho các tính toán phía sau, ở đây ta đưa ra cách xây dựng

U, V khá đặc biệt Chọn U1, V1 ∈ R d ×(d−r)có các cột tạo thành cơ sở của không gian hạch trái,

tương ứng hạch phải của E, ký hiệu U1⊥ , V1⊥ tương ứng là hai không gian con trực giao với U1

và V1 Khi đó U = [U1⊥ U1]T , V = [V1⊥ V1]

7UuQJ9LKeF7KQJ/RQJ

61

Trang 2

Bổ đề 1.5 Cho p, q là hai số thực không âm, f (l) ≥ 0 với mọi l ∈ N , l ≥ n0, n0 ∈ N cho trước (có thể viết gọn là l ∈ N (n0)) Giả sử

u(k) ≤ p + q

k −1

∑

l=n0

f (l)u(l), ∀k ∈ N (n0).

Khi đó,

u(k) ≤ p

k∏−1 l=n0

(1 + qf (l)), ∀k ∈ N (n0).

1.2 Một số định lý về dáng điệu tiệm cận của phương trình sai phân thường chịu nhiễu

Xét phương trình sai phân thường hệ số hằng:

trong đó: x(n) ∈ R d , ∀n ∈ N (n0); A ∈ R d ×dlà một ma trận cho trước Khi có nhiễu tuyến tính bên

phải ta được phương trình

trong đó ma trận nhiễu B(n) ∈ R d ×d , ∀n ∈ N (n0)

Định lý 1.6 (Xem trong [1]) Giả sử tất cả các nghiệm của phương trình (1) đều bị chặn trên N (n0)

và

∞

∑

l=n0

∥B(l)∥ < ∞.

Khi đó tất cả các nghiệm của phương trình (2) cũng bị chặn trên N (n0).

Định lý 1.7 (Xem trong [1]) Giả sử tất cả các nghiệm x(k) của phương trình (1) đều tiến về 0 khi

k → ∞ và ∥B(k)∥ → 0 khi k → ∞ Khi đó tất cả các nghiệm y(k) của phương trình (2) cũng tiến

về 0 khi k → ∞.

2 Một số định lý về dáng điệu tiệm cận của phương trình sai phân

ẩn tuyến tính chỉ số 1 chịu nhiễu

2.1 Các kết quả đạt được đối với trường hợp hệ số hằng

Xét phương trình sai phân ẩn tuyến tính hệ số hằng, chỉ số 1

trong đó: E, A ∈ R d ×d , rank(E) = r, x(n) ∈ R d , n ∈ N (n0)

Phương trình (3) được gọi là có chỉ số 1 nếu ind{E, A} = 1 hay A22không suy biến Khi đó, đặt

x(n) = V y(n) = V

(

y1(n)

y2(n)

)

và U AV =

(

A11 A12

A21 A22

) , phương trình (3) trở thành (

E11 0

) (

y1(n + 1)

y2(n + 1)

)

=

(

A11 A12

A21 A22

) (

y1(n)

y2(n)

)

,

62

Trang 3

hay ta có hệ: {

E11y1(n + 1) = A11y1(n) + A12y2(n)

Do E11và A22khả nghịch nên (4) tương đương với hệ:

{

y1(n + 1) = E11−1 (A11− A12A −122A21)y1(n)

y2(n) = A −122A21y1(n)

Xét dạng nhiễu tuyến tính của phương trình (3)

Ex(n + 1) = (A + B(n))x(n), n ∈ N (n0), (5)

trong đó: B(n) ∈ R d ×d , n ∈ N (n0) là ma trận nhiễu

Sử dụng cách biến đổi như đối với phương trình (3), đồng thời đặt U B(n)V =

(

B11(n) B12(n)

B21(n) B22(n)

)

ta đưa phương trình (5) về dạng sau:

{

E11y1(n + 1) = (A11+ B11(n))y1(n) + (A12+ B12(n))y2(n)

0 = (A21+ B21(n))y1(n) + (A22+ B22(n))y2(n) (6) Nếu A22+ B22(n) khả nghịch với mọi n ∈ N (n0) thì từ phương trình thứ hai của hệ (6) ta rút ra được

y2(n) = (A22+ B22(n)) −1 (A21+ B21(n))y1(n). (7) Thay vào phương trình đầu ta thu được phương trình sai phân thường

y1(n + 1) = [E11−1 (A11− A12A −122A21) + E11−1 R(n)]y1(n), (8) trong đó

R(n) = B11(n) + B12(n)A −122A21− B12(n) ˜ B22(n)A21

− A12B˜22(n)A21+ A12A −1

22B21(n) + B12(n)A −122B21(n)

− B12(n) ˜ B22(n)B21(n) − A12B˜

22(n)B21(n),

với ˜B22(n) = A −122B22(n)(A22+ B22(n)) −1

Một số điều kiện được sử dụng trong các định lý và hệ quả sẽ phát biểu:

Điều kiện (A1): A22+ B22(n) khả nghịch, với mọi n ∈ N (n0)

Điều kiện (A2): Tồn tại hằng số c > 0 sao cho ∥(A22+ B22(n)) −1 (A21+ B21(n)) ∥ < c, với mọi

n ∈ N (n0)

Điều kiện (A3):

∞

∑

l=n0

∥E −1

11R(l) ∥ < ∞.

Điều kiện (A4): ∥E −1

11R(k) ∥ → 0 khi k → ∞

Nhận xét: Có thể thấy các điều kiện này là các điều kiện đặt lên cho hệ nhiễu (6) của hệ gốc ban đầu

(4)

Định lý 2.1 Giả sử phương trình (3) có chỉ số 1, và các giá trị riêng của cặp ma trận {E,A} đều có

mô đun nhỏ hơn hoặc bằng 1 và những giá trị riêng có mô đun bằng 1 đều là nửa đơn Nếu thêm vào

đó các điều kiện (A1), (A2) và (A3) đều được thỏa mãn thì mọi nghiệm của phương trình (5) đều bị chặn.

Trang 4

Chứng minh: Các điều kiện đặt lên cho cặp ma trận {E,A} đã đảm bảo cho mọi nghiệm của phương trình (3) bị chặn Khi điều kiện (A1) được thỏa mãn thì mọi nghiệm v(n) của phương trình (5) đều được xác định bởi v(n) = V ¯ y(n) = V

(

¯1(n)

¯2(n)

) , trong đó ¯y1(n) là nghiệm của (8) và ¯ y2(n) được xác định qua phương trình đại số (7) Khi điều kiện (A3) được thỏa mãn, áp dụng định lý 1.6

ta được ¯y1(n) bị chặn Kết hợp thêm điều kiện (A2) ta cũng suy ra được ¯y2(n) cũng bị chặn Từ đó nghiệm v(n) của (5) là bị chặn.

Hệ quả 2.2 Giả sử cặp ma trận {E,A} thỏa mãn các điều kiện đã nêu trong định lý 2.1, thêm vào đó nếu các điều kiện sau được thỏa mãn:

(i) sup

n ∈N (n0 )

∥A −1

22B22(n) ∥ < 1,

(ii) với mọi i, j ∈ {1, 2}, ta có

∞

∑

l=n0

∥B ij (l) ∥ < ∞,

thì ta cũng thu được kết luận giống như trong định lý 2.1.

Chứng minh: Dễ dàng chỉ ra được, điều kiện (i) kéo theo điều kiện (A1 ) và (A2) Khi điều kiện

(ii) được thỏa mãn, ta cũng suy ra được điều kiện (A3) Áp dụng định lý 2.1 ta được điều phải chứng minh

Định lý 2.3 Giả sử phương trình (3) có chỉ số 1 và mọi giá trị riêng hữu hạn của cặp {E,A} đều có

mô đun nhỏ hơn 1 Khi đó nếu các điều kiện (A1), (A2) và (A4) đều được thỏa mãn thì mọi nghiệm v(n) của phương trình (5) đều tiến về 0 khi n → ∞.

Chứng minh Các điều kiện đặt lên cho cặp ma trận{E,A} đã đảm bảo cho mọi nghiệm u(n) của phương trình (3) tiến về 0 khi n → ∞ Khi điều kiện (A1) được thỏa mãn thì mọi nghiệm v(n) của phương trình (5) được xác định như đã nêu trong chứng minh định lý 2.1 Khi điều kiện (A4) được thỏa mãn, áp dụng định lý 1.7 ta được ¯y1(n) tiến về 0 khi n → ∞ Kết hợp thêm điều kiện (A2) ta cũng suy ra được ¯y2(n) cũng tiến về 0 khi n → ∞ Từ đó nghiệm v(n) của (5) tiến về 0 khi n → ∞.

Hệ quả 2.4 Giả sử cặp ma trận {E,A} thỏa mãn các điều kiện đã nêu trong định lý 2.3, thêm vào đó nếu các điều kiện sau được thỏa mãn:

(i) sup

n ∈N (n0 )

∥A −1

22B22(n) ∥ < 1, (ii) với mọi i, j ∈ {1, 2}, ∥B ij (k) ∥ → 0 khi k → ∞,

Chứng minh: Dễ dàng chỉ ra được, điều kiện (i) kéo theo điều kiện (A1 ) và (A2) Khi điều kiện

(ii) được thỏa mãn, ta cũng suy ra được điều kiện (A4) Áp dụng định lý 2.3 ta được điều phải chứng minh

Nhận xét: Các định lý và hệ quả nói trên thực chất là phát biểu cho hệ có nhiễu (6) và hệ gốc ban

đầu (4)

Sau đây ta xét phương trình có nhiễu tuyến tính cả hai bên của phương trình (3):

(E + F (n))x(n + 1) = (A + B(n))x(n), n ∈ N (n0), (9)

trong đó: F (n), B(n) ∈ R d ×d là các ma trận nhiễu, với F (n) có cấu trúc đặc biệt Nhiễu F (n) thỏa

mãn điều kiện sau:

Điều kiện (B1): Ker E ⊂ Ker F (n) hay Ker E = Ker(E + F (n)), với mọi n ∈ N (n0)

64

Trang 5

Khi điều kiện (B1) được thỏa mãn, ta chứng minh được ma trận U F (n)V có dạng:

U F (n)V =

(

F11(n) 0

F21(n) 0

)

.

Tiếp tục sử dụng cách đổi biến và biến đổi giống như trước ta đưa được phương trình (9) về hệ: {

(E11+ F11(n))y1(n + 1) = (A11+ B11(n))y1(n) + (A12+ B12(n))y2(n)

F21(n)y1(n + 1) = (A21+ B21(n))y1(n) + (A22+ B22(n))y2(n) (10)

Điều kiện (B2): E11 + F11(n) khả nghịch, với mọi n ∈ N (n0)

Khi điều kiện (B2) được thỏa mãn, ta có

(E11+ F11(n)) −1 = E11−1 − E −1

11F11(n)(E11+ F11(n)) −1 Nhân cả hai vế phương trình đầu của hệ (10) với E11(E11+ F11(n)) −1, ta được:

E11y1(n + 1) = (A11+ ¯B11(n))y1(n) + (A12+ ¯B12(n))y2(n),

trong đó

¯

B11(n) =B11(n) − F11(n)(E11+ F11(n)) −1 (A11+ B11(n))

¯

B12(n) =B12(n) − F11(n)(E11+ F11(n)) −1 (A12+ B12(n))

Nhân cả hai vế phương trình đầu của (10) với−F21(n)(E11+F11(n)) −1rồi cộng vế với vế vào phương trình thứ hai của hệ, ta thu được phương trình:

0 = (A21+ ¯B21(n))y1(n) + (A22+ ¯B22(n))y2(n),

trong đó

¯

B21(n) =B21(n) − F21(n)(E11+ F11(n)) −1 (A11+ B11(n))

¯

B22(n) =B22(n) − F21(n)(E11+ F11(n)) −1 (A12+ B12(n))

Như vậy hệ (10) tương đương với hệ

{

E11y1(n + 1) = (A11+ ¯B11(n))y1(n) + (A12+ ¯B12(n))y2(n)

0 = (A21+ ¯B21(n))y1(n) + (A22+ ¯B22(n))y2(n) (11)

Nhận xét: hệ (11) là hệ có nhiễu có dạng giống với (6) của hệ gốc ban đầu (4).

Đặt

¯

R(n) = ¯ B11(n) + ¯ B12(n)A −122A21− ¯ B12(n) ˜ B¯22(n)A21

− A12B˜

22(n)A21+ A12A −122B¯21(n) + ¯ B12(n)A −122B¯21(n)

− ¯ B12(n) ˜ B¯22(n) ¯ B21(n) − A12B˜

22(n) ¯ B21(n),

với ˜B¯22(n) = A −122B¯22(n)(A22+ ¯B22(n)) −1

Các điều kiện được đưa ra như sau:

Điều kiện (B3): A22+ ¯B22(n) khả nghịch, với mọi n ∈ N (n0)

65

Trang 6

Điều kiện (B4): Tồn tại hằng số c > 0 sao cho ∥(A22+ ¯B22(n)) −1 (A21+ ¯B21(n)) ∥ < c, với mọi

n ∈ N (n0)

Điều kiện (B5):

∞

∑

l=n0

∥E −1

11R(l)¯ ∥ < ∞.

Điều kiện (B6): ∥E −1

11R(k)¯ ∥ → 0 khi k → ∞

Định lý 2.5 Giả sử cặp ma trận {E,A} thỏa mãn các điều kiện đã nêu trong định lý 2.1, thêm vào đó nếu các điều kiện (B1), (B2), (B3), (B4) và (B5) đều được thỏa mãn Khi đó mọi nghiệm của phương trình (9) đều bị chặn.

Chứng minh: Điều kiện (B1 ) và (B2) đảm bảo cho phương trình (9) được đưa về hệ (11) Từ đó

áp dụng trực tiếp định lý 2.1 ta được điều phải chứng minh

Hệ quả 2.6 Giả sử phương trình (3) thỏa mãn các điều kiện như trong định lý 2.1 Khi đó nếu điều

kiện (B1) và các điều kiện dưới đây được thỏa mãn:

(i) sup

n ∈N (n0 )

∥E −1

11F11(n) ∥ < 1,

(ii) sup

n ∈N (n0 )

∥A −1

22(B22(n) − F21(n)(E11+ F11(n)) −1 (A12+ B12(n))) ∥ < 1,

(iii) với mọi i, j ∈ {1, 2}, ta có

∞

∑

l=n0

∥B ij (l) ∥ < ∞,

(iv) với mọi i ∈ {1, 2}, ta có

∞

∑

l=n0

∥F i1 (l) ∥ < ∞,

Chứng minh: Từ (i) ta suy ra (B2) Khi điều kiện (B1), (B2) được thỏa mãn thì phương trình (9) đưa được về hệ (11) Các điều kiện (i), (ii), (iii), (iv) suy ra hệ (11) thỏa mãn các điều kiện trong hệ quả 2.2, từ đó áp dụng trực tiếp hệ quả này ta có điều phải chứng minh

Định lý 2.7 Giả sử cặp ma trận {E,A} thỏa mãn các điều kiện đã nêu trong định lý 2.3, thêm vào đó nếu các điều kiện (B1), (B2), (B3), (B4) và (B6) đều được thỏa mãn Khi đó mọi nghiệm v(n) của phương trình (9) đều tiến về 0 khi n → ∞.

Chứng minh: Nhờ có điều kiện (B1) và (B2) ta đưa được phương trình (9) đưa được về hệ (11)

Từ đó, do các điều kiện (B3), (B4) và (B6) đều được thỏa mãn nên áp dụng định lý 2.3 ta được điều phải chứng minh

Hệ quả 2.8 Giả sử phương trình (3) thỏa mãn các điều kiện như trong định lý 2.3 Khi đó nếu điều

kiện (B1) và các điều kiện dưới đây được thỏa mãn:

(i) sup

n ∈N (n0 )

∥E −1

11F11(n) ∥ < 1,

(ii) sup

n ∈N (n0 )

∥A −1

22(B22(n) − F21(n)(E11+ F11(n)) −1 (A12+ B12(n))) ∥ < 1, (iii) với mọi i, j ∈ {1, 2}, ta có ∥B ij (k) ∥ → 0 khi k → ∞,

66

Trang 7

(iv) với mọi i ∈ {1, 2}, ta có ∥F i1 (k) ∥ → 0 khi k → ∞,

Chứng minh: Tương tự cách chứng minh hệ quả 2.6, ta đưa phương trình (9) về hệ (11), rồi từ

đó áp dụng hệ quả 2.4 để thu được điều phải chứng minh

2.2 Phương trình sai phân ẩn tuyến tính hệ số biến thiên chỉ số 1

2.2.1 Định nghĩa phương trình sai phân ẩn tuyến tính chỉ số 1

Định nghĩa về phương trình sai phân ẩn tuyến tính chỉ số 1 và một số tính chất đã được trình bày chi tiết trong [5] Phương trình sai phân ẩn tuyến tính là phương trình có dạng sau:

E n x(n + 1) = A n x(n), n ∈ N (n0), (12)

trong đó: E n , A n ∈ R d ×d là các ma trận cho trước và các ma trận E

n suy biến với mọi n ∈ N (n0)

Định nghĩa 2.9 Phương trình (12) được gọi là có chỉ số 1 nếu thỏa mãn các điều kiện sau:

(i) rank(E n ) = r với mọi n ∈ N (n0),

(ii) S n ∩ N n −1 ={0}, với mọi n ∈ N (n0+ 1), trong đó S n ={z ∈ R d : A n z ∈ Im E n }.

Để điều kiện (ii) trong định nghĩa 2.9 có thể đúng với n ∈ N (n0), ta giả sử thêm dimS0 = r, và cho E n0−1 ∈ R d ×dlà một ma trận cố định thỏa mãnRd = S0⊕ Ker E n0−1.

Đặt G n = E n − A n T n Q n , n ∈ N(n0), trong đó: Q n là một phép chiếu lên N n = Ker(E n ); T nlà các phép biến đổi khả nghịch trên Rd sao cho khi hạn chế trên N n ta được một đẳng cấu từ N n lên

N n −1

Mệnh đề 2.10 Ta có ba điều kiện sau là tương đương nhau:

• S n ∩ N n −1 ={0}, trong đó S n={z ∈ R d : A n z ∈ Im E n };

• ma trận G n = E n − A n T n Q n khả nghịch;

• R d = S n ⊕ N n −1 .

Mệnh đề 2.11 Khi phương trình (12) có chỉ số 1 ta có một số tính chất quan trọng sau:

(i) P n = G −1 n E n ,

(ii) P n G −1 n A n = P n G −1 n A n P n −1 và P n G −1 n A n = Q n G −1 n A n P n −1 − T −1

n Q n −1 ,

(iii) ˜Q n −1 = T n Q n G −1 n A n là phép chiếu lên N n −1 dọc theo S n ( ˜ Q n −1 được gọi là phép chiếu chính tắc lên N n −1 ).

2.2.2 Ma trận nghiệm cơ bản:

Khi phương trình (12) có chỉ số 1, nhân bên phải cả hai vế của phương trình lần lượt với P n G −1 n và

Q n G −1 n , đồng thời chú ý rằng P n G −1 n E n = P2

n = P n , Q n G −1 n E n = Q n P n = 0 (theo tính chất (i) của mệnh đề 2.11), ta được:

{

P n x(n + 1) = P n G −1 n A n x(n), với mọi n ∈ N (n0),

0 = Q n G −1 n A n x(n), với mọi n ∈ N (n0).

67

Trang 8

Tiếp tục sử dụng tính chất (ii) của mệnh đề 2.11 ta biến đổi được về hệ tương đương sau:







P n −1 x(n) = P n −1 G −1 n−1 A n −1 x(n − 1), với mọi n ∈ N (n0+ 1),

Q n−1 x(n) = T n Q n G −1 n A n P n−1 x(n), với mọi n ∈ N (n0+ 1),

Q n0−1 x(n0) = T n0Q n0G −1 n

0A n0P n0−1 x(n0).

Cộng vế với vế hai phương trình đầu của hệ, cùng với lưu ý ma trận T n Q n G −1 n A n P n −1là lũy linh cấp

hai nên (I − T n Q n G −1 n A n P n −1)−1 = I + T n Q n G −1 n A n P n −1, ta có:

{

x(n) = (I + T n Q n G −1 n A n P n −1 )P n −1 G −1 n −1 A n −1 x(n − 1), với mọi n ∈ N (n0+ 1),

Q n0G −1 n0A n0x(n0) = 0.

Khi ta sử dụng phép chiếu chính tắc ˜Q n −1 = −T n Q n G −1 n A n , n ∈ N (n0), hệ có thể viết dưới dạng

x(n) = ˜ P n −1 G˜−1 n −1 A n −1 x(n − 1), ∀n ∈ N (n0+ 1),

˜

Q n0−1 x(n0) = 0.

Từ đó, toán tử Cauchy Φ(k, l) của (12) có thể xác định theo công thức sau:

Φ(k, l) =

l

∏

i=k −1

˜

P i G˜−1 i A i , P˜l −1 Φ(l, l) = ˜ P l −1 , ∀k ≥ l, k, l ∈ N (n0).

Giả sử Φ0(k, l) là ma trận Cauchy của phương trình

x(n) = ˜ P n −1 G˜−1 n −1 A n −1 x(n − 1), ∀n ∈ N (n0+ 1).

Tức là ta có {

Φ0(k + 1, l) = ˜ P k G˜−1

k A kΦ0(k, l), ∀k, l ∈ N (n0), k ≥ l,

Φ0(l, l) = I.

Khi đó ta có: Φ(k, l) = ˜ P kΦ0(k, l) ˜ P l−1 Dễ dàng chỉ ra được Φ(k, l) có những tính chất sau:

• Φ(n, m) = Φ(n, k).Φ(k, m), với mọi n ≥ k ≥ m, và k, m, n ∈ N (n0),

• ˜ P m −1 Φ(m, m) = ˜ P m −1 ,

• Φ(n, m) ˜ P m −1 = Φ(n, m),

2.2.3 Công thức biến thiên hằng số:

Xét phương trình có nhiễu bên phải của phương trình (12):

E n x(n + 1) = (A n + B n )x(n), n ∈ N (n0), (13)

trong đó B(n) ∈ R d ×d là các ma trận nhiễu Nghiệm y(n) bất kỳ của phương trình (13) đều có thể

biểu diễn bởi công thức biến thiên hằng số sau:

y(n) = Φ(n, n0) ˜P n0−1 y(n0) +

n −1

∑

i=n0

Φ(n, i + 1) ˜ P i G˜−1

i B i y(i) + T n Q˜n G˜−1

n B n y(n).

Nếu I − T n Q˜

n G˜−1

n B nkhả nghịch, ta có:

y(n) = (I − T n Q˜n G˜−1

n B n)−1 (Φ(n, n0) ˜P n0−1 y(n0) +

n −1

∑

i=n0

Φ(n, i + 1) ˜ P i G˜−1 i B i y(i)). (14)

Trang 9

2.2.4 Các kết quả đạt được:

Các điều kiện sẽ được sử dụng trong các định lý:

Điều kiện (C1 ) Tồn tại hằng số c1 > 0 sao cho:

sup

n ≥m,m,n∈N (n0 )

∥Φ(n, m)∥ < c1.

Điều kiện (C2 ) Các ma trận I − T n Q˜n G˜−1

n B n khả nghịch và tồn tại hằng số c2 > 0 sao cho

∥(I − T n Q˜n G˜−1

n B n)−1 ∥ < c2, ∀n ∈ N (n0).

Điều kiện (C3)∃c3 > 0, 0 < δ < 1 sao cho:

∥Φ(k, l)∥ ≤ c3δ k −l , ∀k ≥ l, k, l ∈ N (n0).

Điều kiện (C4) Tồn tại hằng số ε đủ nhỏ để δ + c2ε < 1 và tồn tại N đủ lớn sao cho:

∥ ˜ P l G˜−1

l B l ∥ < ε, ∀l ∈ N (N).

Điều kiện (C5)

∞

∑

l=n0

∥ ˜ P l G˜−1 l B l ∥ < ∞.

Điều kiện (C6)

∥ ˜ P l G˜−1 l B l ∥ → 0 khi l → ∞.

Điều kiện (C7)

sup

n ∈N (n0 )

∥T n Q˜n G˜−1

n B n ∥ < 1.

Nhận xét:

• Điều kiện (C2) dễ dàng được suy ra từ điều kiện (C7)

• Hơn nữa, điều kiện I − T n Q˜

n G˜−1

n B nkhả nghịch kéo theo phương trình (13) có chỉ số 1

• Khi điều kiện (C5) được thỏa mãn, ta có tồn tại hằng số c4 > 0 sao cho:

k

∑

l=n0

∥ ˜ P l G˜−1 l B l ∥ < c4, ∀k ∈ N (n0).

Định lý 2.12 Giả sử các điều kiện (C1), (C2), (C5) được thỏa mãn Khi đó, tồn tại hằng số c > 0 sao cho: mọi nghiệm y(k) của (13) đều thỏa mãn

∥y(k)∥ < c∥y(l)∥, với mọi k ≥ l, k, l ∈ N (n0).

Chứng minh: Khi điều kiện (C2) được thỏa mãn, ta có mọi nghiệm y(k) của phương trình (13) đều

có thể viết dưới dạng:

y(k) = (I − T k Q˜k G˜−1

k B k)−1 (Φ(k, l) ˜ P l −1 y(l) +

k −1

∑

i=l

Φ(k, i + 1) ˜ P i G˜−1

i B i y(i)).

69

Trang 10

Do đó,

∥y(k)∥ ≤ ∥(I − T k Q˜k G˜−1

k B k)−1 ∥.(∥Φ(k, l)∥.∥y(l)∥ +

k −1

∑

i=l

∥Φ(k, i + 1)∥.∥ ˜ P i G˜−1 i B i ∥.∥y(i))∥

≤ c2.c1 ∥y(l)∥ + c2.c1.

k −1

∑

i=l

∥Φ(k, i + 1)∥.∥ ˜ P i G˜−1

i B i ∥.∥y(i)∥( theo (C1), (C2)).

Áp dụng bổ đề 1.5, ta thu được:

∥y(k)∥ ≤ c1.c2 ∥y(l)∥.

k −1

∏

i=l

(1 + c1.c2 ∥ ˜ P i G˜−1 i B i ∥),

≤ c1.c2 ∥y(l)∥.

k −1

∏

i=l

exp(c1.c2 ∥ ˜ P i G˜−1 i B i ∥),

≤ c1.c2 ∥y(l)∥ exp(c1.c2.

k −1

∑

i=l

∥ ˜ P i G˜−1

i B i ∥),

< c1.c2 exp(c1.c2.c4) ∥y(l)∥.

Đặt c = c1.c2 exp(c1.c2.c4), ta có điều phải chứng minh

Định lý 2.13 Giả sử các điều kiện (C2 ), (C3) và (C5) được thỏa mãn Khi đó, tồn tại hằng số c > 0

và 0 < δ1 < 1 sao cho: mọi nghiệm y(k) của (13) đều thỏa mãn

∥y(k)∥ < cδ k −l

1 ∥y(l)∥, với mọi k ≥ l, k, l ∈ N (n0).

Chứng minh: Giả sử y(k) là một nghiệm bất kỳ của phương trình (13) Trước tiên ta chú ý một

nhận xét quan trọng sau: với mọi N ∈ N (n0), tồn tại K > 0 sao cho ∥y(k)∥ ≤ K.∥y(l)∥, ∀k ∈

N (n0), k ≤ N (ở đây K chỉ phụ thuộc vào N và bản chất của phương trình (13) mà không phụ thuộc vào nghiệm y(k) cụ thể nào).

Khi các điều kiện (C2), (C3) và C4đều được thỏa mãn, ta có:

∥y(k)∥ ≤ c2.c3.δ k −l ∥y(l)∥ + c2.

k −1

∑

i=l

δ k −(i+1) ∥ ˜ P i G˜−1 i B i ∥.∥y(i)∥,

≤ c2.c3.δ k−l ∥y(l)∥ + c2.

N−1∑

i=l

δ k−(i+1) ∥ ˜ P i G˜−1 i B i ∥.K.∥y(l)∥ + c2.

k−1

∑

i=N

δ k−(i+1) ε ∥y(i)∥.

Nhân cả hai vế với δ −k, ta được:

δ −k ∥y(k)∥ ≤ (c2.c3.δ −l ∥y(l)∥ + c2.

N∑−1 i=l

δ −(i+1) ∥ ˜ P i G˜−1 i B i ∥.K.∥y(l)∥) + εc2

δ .

k −1

∑

i=N

δ −i ∥y(i)∥.

Áp dụng bổ đề 1.5, ta có:

δ −k ∥y(k)∥ ≤ (c2.c3.δ −l + K.c2.

N∑−1 i=l

δ −(i+1) ∥ ˜ P i G˜−1 i B i ∥).∥y(l)∥.

k −1

∏

i=N

(1 + εc2

δ .

hay

∥y(k)∥ ≤ (c2.c3+ K.c2.

N −1

∑

i=l

δ l −(i+1) ∥ ˜ P i G˜−1 i B i ∥)δ N −l (δ + εc

2)k −N ∥y(l)∥,

< (c2.c3+ K.c2.

N∑−1 i=l

δ l −(i+1) ∥ ˜ P i G˜−1 i B i ∥).(δ + εc2)k −l ∥y(l)∥,

≤ c.δ k−l

1 ∥y(l)∥,

70

Định dạng
Số trang	11
Dung lượng	573,24 KB