SKKN Xây dựng chùm bài tập từ một số đẳng thức trong bồi dưỡng học sinh giỏi Toán trung học cơ sở

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆMĐỀ TÀI: "XÂY DỰNG CHÙM BÀI TẬP TỪ MỘT SỐ ĐẲNG THỨC TRONG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN TRUNG HỌC CƠ SỞ "... Trong những năm gần đây, bản thân được nhà trường phân côn

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ĐỀ TÀI:

"XÂY DỰNG CHÙM BÀI TẬP TỪ MỘT SỐ ĐẲNG THỨC TRONG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN TRUNG HỌC CƠ SỞ "

Quý thầy cô giáo đồng nghiệp kính mến!

Các em học sinh lớp 8, lớp 9 thân mến !

Trước sự phát triển mạnh mẽ của nền kinh tế tri thức, sự phát triển mạnh mẽ của côngnghệ thông tin như hiện nay đã đặt nền giáo dục và đào tạo trước những thời cơ và tháchthức mới Để hòa nhập với tiến độ phát triển đó thì giáo dục và đào tạo phải đảm nhận vaitrò hết sức quan trọng trong việc “đào tạo nhân lực, nâng cao dân trí, bồi dưỡng nhân tài”

mà Đảng và Nhà nước ta đã đề ra theo Nghị quyết số 40/2000/QH của Quốc hội về việcđổi mới giáo dục phổ thông Nhằm đáp ứng mục tiêu giáo dục toàn diện cho học sinh,con đường duy nhất là nâng cao chất lượng học tập của học sinh ngay từ khi còn ngồitrên ghế nhà trường phổ thông Nhưng để nâng cao chất lượng học tập của học sinh thìcần rèn luyện kĩ năng tư duy, kích thích sự phát triển tư duy sáng tạo Đó là một yêu cầukhông thể thiếu trong việc dạy học nói chung, cũng như dạy học môn toán nói riêng Vấn

đề này lại càng được đặc biệt chú ý đối với đối tượng học sinh khá, giỏi; với công tác bồidưỡng học sinh giỏi

Trong những năm gần đây, bản thân được nhà trường phân công giảng dạy môn Toán 8,Toán 9 và bồi dưỡng học sinh giỏi các cấp, tôi nhận thấy hầu hết học sinh thường khaithác dữ kiện bài toán một cách phiến diện chưa triệt để, thiếu tính sáng tạo, còn phụ thuộcvào sách giáo khoa; sự hướng dẫn của một số giáo viên còn rập khuôn, máy móc; trongquá trình dạy toán giáo viên thường hướng dẫn học sinh tìm ra lời giải của bài toán màkhông hướng dẫn các em khai thác bài toán Vì vậy, khi gặp các bài toán cùng dạngnhưng thay đổi cách hỏi,…các em thường lúng túng và không biết cách giải Làm thếnào để xoá được cách nhìn xơ cứng của học sinh trước một bài toán? Đó là vấn đề luônluôn đặt ra trong suy nghĩ của tôi Thực hiện được điều đó là việc làm hết sức khó khăn,không phải chỉ trong ngày một, ngày hai mà đòi hỏi người thầy phải có kiến thức vững

vàng, có khả năng thâu tóm vấn đề tốt, phải luôn chịu khó tích luỹ kiến thức, có lòng đam

mê khoa học và truyền được lòng đam mê đó tới học sinh Giúp học sinh phát hiện đượccái mới từ những cái đã biết là đã tạo cho các em sự nhạy bén trong tư duy, kích thíchhọc sinh tìm tòi, linh hoạt, sáng tạo, từ đó tạo được hứng thú trong học toán Tuy nhiên,hiện nay có rất ít tài liệu, sách báo viết về đề tài này nên học sinh ít có tài liệu để nghiêncứu, tham khảo

Xuất phát từ những vấn đề trên nên tôi đã đầu tư nghiên cứu “Xây dựng chùm bài

tập từ một số đẳng thức trong bồi dưỡng học sinh giỏi Toán trung học cơ sở”.

2 PHẠM VI ÁP DỤNG

Sáng kiến kinh nghiệm này đã được áp dụng ở các lớp 8A, 9A (năm học 2012-2013); cáclớp 8A, 8B, 8C, 9A (năm học 2013-2014) của trường THCS thị trấn Ba Tơ; áp dụngtrong quá trình dạy bồi dưỡng học sinh giỏi các cấp và đang được các bạn đồng môn ápdụng thử nghiệm tại trường THCS Ba Vì và trường THCS Ba Động (năm học 2013-2014)

Phần II GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

1 CƠ SỞ LÍ LUẬN:

Nếu "Toán học là một môn thể thao của trí tuệ" thì công việc của người thầy dạy toán là

tổ chức hoạt động trí tuệ ấy Có lẽ không có môn học nào thuận lợi hơn môn Toán trongcông việc đầy khó khăn này

Quá trình giải Toán chính là quá trình rèn luyện phương pháp suy luận khoa học, là quátrình tự nghiên cứu và sáng tạo Không dừng lại ở mỗi bài toán đã giải mà hãy tìm thêmcác kết quả thu được sau mỗi bài toán tưởng chừng như đơn giản Đó là tinh thần tiếncông trong học toán và đó cũng là điều kiện để phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh.Trong các yêu cầu của việc giải bài tập toán thì việc tìm hiểu sự liên hệ của bài toán nàyđối với bài toán khác, của đẳng thức này đến đẳng thức khác,… là một trong những yêucầu cần đặt ra đối với học sinh Trong quá trình giảng dạy môn Toán ở trường trung học

cơ sở tôi nhận thấy các bài tập về đẳng thức đều mang đậm một nội dung phong phú và

đa dạng; ở những bài tập đó tiềm ẩn các giả thiết và kết luận mới, đòi hỏi sự khai thácsáng tạo; phát hiện ra điều mới ấy sẽ mang lại cho người học những kết quả đầy lý thú,kiến thức mở rộng và sâu sắc hơn Tuy nhiên, thông qua việc giao lưu trao đổi kinhnghiệm với đồng nghiệp giảng dạy cùng môn trên địa bàn huyện Ba Tơ, cũng như thôngqua việc dạy bồi dưỡng học sinh giỏi các cấp, bản thân tôi nhận thấy hầu hết các giáoviên khi dạy bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán chỉ tập trung giảng dạy theo từng chuyên

đề riêng lẻ Điều này cũng rất đáng quý Nhưng có quá nhiều chuyên đề cần phải giảngdạy cho học sinh mà thời gian dạy bồi dưỡng thì quá ít dẫn đến dạy nhồi nhét kiến thức,tạo áp lực học tập cho học sinh mà hiệu quả không cao Chính vì thế qua các lần thi họcsinh giỏi cấp huyện đạt kết đạt được là rất thấp.

2 THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ:

2.1 Thuận lợi: Được sự quan tâm của phòng Giáo dục và Đào tạo huyện Ba Tơ, của ban

giám hiệu nhà trường, tổ chuyên môn, của bạn đồng nghiệp Đặc biệt với sự nỗ lực củacác em học sinh đã giúp tôi hoàn thành sáng kiến kinh nghiệm này Cụ thể:

- Về phía học sinh (đặc biệt là học sinh khá giỏi) đã tích cực thực hiện theo các yêu cầucủa giáo viên

- Về phía bạn bè đồng nghiệp đã góp ý bổ sung và áp dụng thử nghiệm sáng kiến này tạitrường THCS Ba Vì và trường THCS Ba Động

- Về phía tổ chuyên môn trong nhà trường đã góp ý bổ sung giúp tôi hoàn thành sángkiến kinh nghiệm

- Về phía nhà trường đã phân công cho tôi giảng dạy môn toán 8, toán 9 và bồi dưỡnghọc sinh giỏi môn toán 8, toán 9, bồi dưỡng học sinh giỏi giải toán bằng máy tính cầm taynên tôi đã nghiên cứu và áp dụng thử nghiệm (năm học 2012 – 2013) từ đó mới thấyđược kết quả khả quan của sáng kiến

- Về phía phòng Giáo dục và Đào tạo đã phân công cho tôi dạy bồi dưỡng học sinh giỏicấp huyện dự thi học sinh giỏi cấp tỉnh môn toán, giải toán trên máy tính cầm tay Do đótôi càng có điều kiện nghiên cứu thêm và áp dụng sáng kiến này

2.2 Khó khăn:

* Về phía Học sinh: Mặc dù học sinh đã có ý thức về tầm quan trọng của môn Toán Tuy

nhiên chất lượng học tập môn Toán chưa thật sự cao, chưa đồng đều, các em người dântộc thiểu số còn học kém nhiều Cụ thể:

- Chất lượng đầu vào của học sinh chưa cao Chẳng hạn một số em đã được lên lớp 8, lớp

9 nhưng một số kiến thức cơ bản ở các lớp dưới chưa nắm chắc Do đó, trong quá trìnhhọc tập môn toán, học sinh thường mắc phải những sai lầm rất cơ bản trong phép biến đổitoán học đơn giản; khả năng tiếp thu của học sinh còn hạn chế và chưa linh động trongviệc xử lý các tình huống Toán học đơn giản Có quá nhiều lổ hổng kiến thức vì vậy họcsinh dễ chán nản và không ham thích học Toán Đây là hệ quả tất yếu của quá trình cho

học sinh lên lớp, học sinh xếp loại môn học từ trung bình trở lên theo chỉ tiêu đề ra ở đầunăm học

- Đa phần học sinh chưa xác định đúng được động cơ và mục đích học tập, không thểhiện được ý thức phấn đấu, vươn lên trong học tập

- Chưa có sự quan tâm đúng đắn từ phía phụ huynh Nhiều phụ huynh hầu như khoántrắng việc học của con em mình cho nhà trường, chưa có biện pháp đề nghị nhà trườnggiúp đỡ con em mình học tốt hơn

* Về phía Giáo viên:

Trong những năm gần đây chúng ta đã chú trọng đổi mới phương pháp dạy học nhưngchưa đi vào thực chất và chưa có chiều sâu, chưa triệt để; chỉ mới dừng lại ở việc cải tiếnphương pháp dạy học truyền thống bằng cách sử dụng các câu hỏi tái hiện, các câu hỏinêu vấn đề nhưng chưa thực sát Trong quá trình giảng dạy chúng ta chú ý nhiều đến việctruyền thụ khối lượng kiến thức nhưng chưa chú trọng đến cách dẫn dắt học sinh tìm hiểukhám phá và lĩnh hội kiến thức từ những bài tập đơn giản mà các em đã biết Do đó, khigiảng dạy (đặc biệt là đối tượng học sinh giỏi) giáo viên thường hay yêu cầu học sinh nhớquá nhiều các dạng bài tập nhiều khi không cần thiết nên tạo áp lực quá lớn cho học sinh

3 CÁC BIỆN PHÁP ĐÃ TIẾN HÀNH GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ:

Trong quá trình dạy bồi dưỡng học sinh giỏi các cấp, các tiết dạy tự chọn cũng như trongcác tiết luyện tập tại lớp bản thân tôi luôn luôn coi trọng việc khai thác bài toán để từ đótìm thêm cách giải khác, xây dựng bài tập tương tự, bài toán tổng quát, bài toán mới, từnhững bài toán đơn giản mà học sinh có thể dễ dàng giải được Chẳng hạn:

Nên a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b)3 - 3ab(a + b) + c3 – 3abc

= (a + b)3 + c3 – 3ab(a + b) – 3abc = (a + b)3 + c3 – 3ab(a + b + c)

= ( a + b + c)3 - 3(a + b).c.(a + b + c) – 3ab(a + b + c)

= (a + b + c)[(a + b + c)2 - 3(a + b).c – 3ab]

Từ bài toán trên ta có thể xây dựng được vô số bài toán, chẳng hạn:

3.1.1 Xây dựng chùm bài tập trong bài toán phân tích đa thức thành nhân tử; chứng minh chia hết:

Bài toán A 1: Phân tích đa thức: a3 b3 c3  3abc thành nhân tử

Trích đề vào 10 chuyên Toán, THPT Lê Hồng Phong- TP.Hồ Chí Minh, 1988

Hướng dẫn: Xem cách 2 của bài toán A

Nhận xét 1: Từ bài toán A Do đa thức đã cho có bậc lẻ đối với tất cả các biến nên dấu

của a cũng là dấu của a3, dấu của b cũng là dấu của b3, dấu của c cũng là dấu của c3 Do

đó ta có thể đề xuất bài toán sau:

Bài toán A 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

Từ bài toán A và bài toán A2.a) ta có thể xây dựng tiếp một số bài toán sau:

Bài toán A 3: Chứng minh rằng a3  b3 c3  3abc chia hết cho a – b + c

liên tiếp thì B là một số nguyên chia hết cho 3

Lời giải: Ta có abc 9 M  a b c 9   M (1)

Lại có a3b3 c3  3abca b c a    2 b2  c2  ab – ac bc  (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra điểu phải chứng minh.

Bài toán A 7:

a) Cho cho a, b, c, k là các số nguyên thỏa mãn a b c k   M Chứng minh rằng

b) Cho cho a, b, c, k là các số nguyên thỏa mãn a 2  b 2  c 2  ab bc ca k   M Chứng minh rằng

Hướng dẫn: Giải tương tự bài toán A6

Bài toán A 8: Cho abc là số tự nhiên có ba chữ số thỏa mãn abc 11 M

Chứng minh rằng a3  b3 c3  3abc chia hết cho 11

Lời giải: Vì số có hiệu của tổng các chữ số hàng chẵn với tổng các chữ số hàng lẻ chia

hết cho 11 thì chia hết cho 11 nên từ abc 11 M  a b c 11   M (1)

Lại có a3  b3 c3  3abca b c a    2  b2  c2 ab – +ac bc (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra điểu phải chứng minh

Bài toán A 9: Cho a, b,c N *  và ƯCLN(abc, a + b + c) = 1 Chứng minh rằng nếu

Bài toán A 10: Cho x a 2  bc y b;  2  ac z c;  2  ab

Chứng minh rằng: a) (ax by cz) (a b c) b) (ax by cz) (x y z)   M     M  

Nhận xét 3: Nếu thay a, b, c bởi các đa thức một biến hoặc nhiều biến vào đa

thức a3 b3c3  3abcthì ta sẽ được vô số các bài toán tương tự bài toán A

Bài toán A 13: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) (x1)3(2x3)3(x 4)3  3(x1)(2x3)(x 4)

b) (x y )3 (y z )3 (z x )3 3(x y y z z x )(  )(  )

c) (x2 )y 3 (y z )3 (z x )33(x2 )(y y z z x )(  )

Hướng dẫn: Đặt ẩn phụ để đưa bài toán về bài toán A

3.1.2 Xây dựng chùm bài tập trong chứng minh đẳng thức; trong tính toán; rút gọn biểu thức:

Bài toán A 14:

Chứng minh rằng, nếu a3 + b3 + c3 = 3abc thì a = b = c hoặc a + b + c = 0

Lời giải: Ta có a3b3 c3 3abc a3 b3c3 3abc0

Bài toán A 15: Cho a + b + c = 0 Chứng minh rằng a3 + b3 + c3 = 3abc

Trích bài 38- Trang 13- SBT Toán 8-Tập 1

Hướng dẫn: Xem các cách giải ở bài toán B trang 21

Bài toán A 16: Rút gọn các biểu thức sau:

b) Phương pháp giải tương tự câu a.

Nhận xét 4: Từ bài toán A16.a) nếu cho biết a + b + c bằng một giá trị nào đó thì ta có thểtính được giá trị của biểu thức A Chẳng hạn:

Bài toán A 17: Cho a + b + c = 2014

Tính giá trị của biểu thức A =

+ Nếu a=b=c thì N= 81

Bài toán A 19:

Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện a a + b b + c c - 3 abc = 0

Tính giá trị biểu thức P = (1 + b a ) (1 + b c ) (1 + a c )

Hướng dẫn: Tương tự bài toán A 18 a)

Bài toán A 20: Cho abc 0 thỏa mãn điều kiện a3b3 + b3c3 + c3a3 = 3a2b2c2

Bài toán A 21: Cho a + b + c = 2014 và a, b, c đôi một khác nhau Hãy chứng

tỏ giá trị của biểu thức

trị của a, b, c

Hướng dẫn: A = (a b c)1    1.2014 1007

Bài toán A 22: Cho a, b, c là ba số nguyên liên tiếp Chứng minh rằng giá trị của biểu thức

Vây giá trị của biểu thức A không phụ thuộc vào giá trị của a, b, c.

3.1.3 Xây dựng chùm bài tập trong chứng minh bất đẳng thức:

Ta có nhận xét sau: M 0  với mọi a + b +c  0 Dấu đẳng thức xảy ra khi

a = b = c, từ đó, ta có thể xây dựng một số bài tập sau:

Bài toán A 23: Chứng minh rằng x3 +y3 +z3  3xyz khi và chỉ khi x+y+z  0

Lời giải: Xét hiệu x3 +y3 +z3 -3xyz = 21 (x+y+z)(x-y)2 +(x-z)2 +(y-z)2

Ta có (x-y)2 +(x-z)2 +(y-z)2 ≥ 0 với mọi x, y, z

 21 (x+y+z)(x-y)2 +(x-z)2 +(y-z)2 ≤ 0 (vì x+y+z  0)

Vậy x3 +y3 +z3  3xyz

Bài toán A 24: Cho các số dương x, y, z Chứng minh rằng x3 +y3 +z3 - 3xyz không âm

Hướng dẫn: Giải tương tự bài toán A23 (x, y, z là ba số dương nên x+y+z 0)

Bài toán A 25: Cho ba số không âm x, y, z

Chứng minh rằng x y z 3 xyz    3 Dấu “=” xảy ra khi nào? ( Bất đẳng thức Cô-si cho 3

số không âm)

Lời giải: x y z 3 xyz    3       3 x 3  3 y 3 3 z 3  3 xyz 03 

Ta có:      3 x 3  3y 3  3 z 3 3 xyz3

 x y z 3 xyz    3 Dấu “ =” xảy ra khi x = y = z.

Bài toán A 26: Cho a, b, c là ba cạnh của một tam giác, không phải là tam giác cân Chứngminh rằng a3 +b3 +c3 – 3abc > 0

Lời giải: Ta có a3b3 c3  3abc(a b c a  ) 2 b2c2 ab bc ca  

Bài toán A 27: Cho tam giác nhọn ABC Chứng minh rằng:

a) sin3A + sin3B + sin3C – 3sinA.sinB.sinC ≥ 0

b) cos3A + cos3B + cos3C – 3cosA.cosB.cosC ≥ 0

c) tan3A + tan3B + tan 3C – 3tanA.tanB.tanC ≥ 0

Hướng dẫn: Giải tương tự bài toán 23

3.1.4 Xây dựng chùm bài tập trong giải phương trình; giải hệ phương trình:

Nhận xét 6: Nếu thay a, b, c bởi các đa thức một biến hoặc nhiều biến vào đa thức

Vậy tập nghiệm của phương trình(1) là: S = 2; 23 

Bài toán A 29: Giải phương các trình sau:

a) (x + 1)3 + (2x + 1)3 + (x + 2)3 – 3(x + 1)(2x + 1)(x + 2) = 0

b) (1– x)3 + (2x – 1)3 – (1 + 3x)3 + 3(1– x)(2x – 1)(1 + 3x) = 0

c) (x + 1)3 + (x – 1)3 + (2x + 1)3 + 3(1 – x2)(2x + 1) = 0

Hướng dẫn: Câu a, b ta sử dụng bài toán A để giải trực tiếp.

Câu c, ta phải biến đổi 3(1 – x2)(2x + 1) = - 3(x + 1)(x – 1)(2x + 1) sau đó giải tương tựcâu a, b

 a b c  (vì a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác nên a b c 0    )

Vậy tam giác đã cho là tam giác đều

Bài toán A 31: Giải hệ phương trình 2 2 2

Trích đề thi HSG Toán 9-TP.Hồ Chí Minh- Năm học 1986-1987

Lời giải: Ta có: x3 + y3 + z3 – 3xyz= (x + y + z).(x2 + y2 + z2 – xy – xz – yz)

 1 – 3xyz = 1.(1 – xy – xz – yz)  3xyz = xy + yz + xz (1)

Mặt khác ta có:

Hướng dẫn: Sử dụng kết quả bài toán A31, từ đó tính được giá trị biểu thức P

Bài toán A 33: Giải hệ phương trình 2 2 2

Đề thi HSG Toán 9- Tỉnh Phú Yên- Năm học 2001-2002

Lời giải: Ta có x3 + y3 + z3 – 3xyz= (x + y + z).(x2 + y2 + z2 – xy – xz – yz)

 38 – 3xyz = 2.( 26 – xy – yz – xz)  3xyz – 2(xy + yz + xz) = -14 ( 1)

Bài toán A 34: Giải hệ phương trình: 2 2 2

Trích Tạp chí Toán tuổi thơ – Số 71- Tháng 01/2009

Hướng dẫn: Tương tự như bài toán A33

Bài toán A 35: Giải hệ phương trình:

Đề thi vào 10 THPT chuyên Lê Khiết, 2001-2002

Hướng dẫn: Từ phương trình đầu     x y z x y z 0

b c (b a)(b c) (c a)(c a) x 0

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (x, y, z) = ( 0; 0; 0)

Bài toán A 37: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình

Vậy nghiệm nguyên dương của phương trình là (x, x, x) với x N * 

Bài toán A 38: Tìm các nghiệm nguyên dương của hệ phương trình:

Bài toán B: Cho a + b + c = 0 Chứng minh rằng a3 + b3 + c3 = 3abc

Trích bài 38- Trang 13- SBT Toán 8-Tập

1

của bài toán A, tuy nhiên tầm ứng dụng của nó cũng không kém gì so với bài toán A Bài toán này có rất nhiều cách giải, sau đây tôi chỉ nêu một số cách giải:

Sau đây là những ứng dụng của bài toán trên:

3.2.1 Xây dựng chùm bài tập trong bài toán phân tích đa thức thành nhân tử; chứng minh chia hết:

Bài toán B 1: Cho ba số nguyên a, b, c và a + b + c = 0

a Chứng minh rằng a3 + b3 + c3 chia hết cho 3

Bài toán B 2: Phân tích đa thức (a – b)3 + (b – c)3 + (c – a)3 thành nhân tử

Trích đề thi HSG Toán 8, TPHCM- Vòng 1- Năm học 1986 – 1987

Lời giải:

Bài toán B 3: Phân tích đa thức ( x2 + y2)3 + (z2- x2)3 - (y2+ z2)3 thành nhân tử

Trích đề thi Vô địch Toán 8-Vòng 1-Nước Cộng hoàn Belarutsia-Năm 1957

Hướng dẫn: Giải tương tự như bài toán B2

3.2.2 Xây dựng chùm bài tập trong chứng minh đẳng thức; trong tính toán; rút gọn biểu thức:

Bài toán B 4: Cho a+b+c = 0 và a, b, c khác 0

Tính giá trị của biểu thức B a3 b3 c3