SKKN Vận dụng khái quát hoá, đặc biệt hoá và tương tự hoá để tìm lời giải thông qua các bài toán chứng minh bất đẳng thức

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: "VẬN DỤNG KHÁI QUÁT HOÁ, ĐẶC BIỆT HOÁ VÀ TƯƠNG TỰ HOÁ ĐỂ TÌM LỜI GIẢI THÔNG QUA CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC"... Sang bậc THPT, việc dạy học BĐT đã

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ĐỀ TÀI:

"VẬN DỤNG KHÁI QUÁT HOÁ, ĐẶC BIỆT HOÁ VÀ TƯƠNG

TỰ HOÁ ĐỂ TÌM LỜI GIẢI THÔNG QUA CÁC BÀI TOÁN

CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC"

A ĐẶT VẤN ĐỀ

I Lý do chọn đề tài:

Giáo sư Hoàng Tụy có viết trên tạp chí Toán học và tuổi trẻ “ Các nhà toán họcthường làm việc với bất đẳng thức nhiều hơn đẳng thức” Đối với chương trình toán ởtrường phổ thông, BĐT là một trong những phần quan trọng Ngay từ lớp 1, học sinhđược làm quen với BĐT thông qua các bài toán như: So sánh hai số, điền dấu   , vào

ô trống Đến lớp 9, học sinh đã được tiếp cận với một vấn đề về BĐT nhưng ở mức độcao hơn Sang bậc THPT, việc dạy học BĐT đã được đưa vào chương III - đại số 10.BĐT có trong tất cả các chủ đề của toán sơ cấp thông qua các dạng toán như: toán cựctrị, khảo sát hàm số, giải phương trình, giải bất phương trình… Có những bài toán,việc sử dụng BĐT đóng vai trò quyết định lời giải nhưng cũng có những bài toán ta chỉ

sử dụng BĐT như một khâu trung gian

Vì vậy, tôi viết sáng kiến kinh nghiệm “Vận dụng khái quát hoá, đặc biệt hoá và

tương tự hoá để tìm lời giải thông qua các bài toán chứng minh bất đẳng thức ”.

để hướng dẫn cho học sinh phương pháp tư duy giải toán

II Cơ sở khoa học của SKKN:

Bài tập chứng minh BĐT có vai trò quan trọng trong môn Toán Điều căn bản làbài tập có vai trò đánh giá hoạt động của học sinh Thông qua giải bài tập, học sinhphải thực hiện những hoạt động nhất định bao gồm cả nhận dạng và thể hiện địnhnghĩa, định lí, qui tắc hay phương pháp, những hoạt động trí tuệ phức hợp, những hoạtđộng trí tuệ phổ biến trong Toán học, những hoạt động trí tuệ chung và những hoạtđộng ngôn ngữ

Vai trò của bài tập chứng minh BĐT được thể hiện cụ thể là:

* Với chức năng giáo dục, bài tập chứng minh BĐT giúp học sinh hình thành thế giớiquan duy vật biện chứng và niềm tin phẩm chất đạo đức của người lao động mới, rèn

luyện cho học sinh đức tính kiên nhẫn, chính xác, chu đáo trong học tập, từng bướcnâng cao hứng thú học tập môn toán, phát triển trí thông minh, sáng tạo

* Với chức năng dạy học, bài tập chứng minh BĐT nhằm hình thành, củng cố cho họcsinh những tri thức, kĩ năng, kĩ xảo ở những khâu khác nhau của quá trình dạy học

* Với chức năng phát triển, bài tập chứng minh BĐT nhằm phát triển năng lực trí tuệ:rèn luyện những hoạt động tư duy, hình thành những phẩm chất trí tuệ

* Với chức năng kiểm tra, bài tập chứng minh BĐT nhằm đánh giá mức độ, kết quảdạy và học, đánh giá khả năng độc lập học toán và trình độ phát triển của học sinh Từnăm 2002 đến nay, đề thi vào đại học và cao đẳng được thực hiện theo hướng bachung, nội dung đề thi phải nằm trong chương trình học, phải bám sát chương trình,không quá khó, không mang tính đánh đố học sinh nhưng lại phải có khả năng phânloại được thí sinh Bài tập về BĐT hoặc những bài tập dưới dạng BĐT thường được sửdụng là bài tập để phân loại học sinh bởi BĐT là một nội dung khó, học sinh lại khôngđược rèn luyện nhiều, để giải BĐT đòi hỏi học sinh phải động não, tư duy mà điều đóthường chỉ học sinh khá, giỏi mới làm được

III Mục đích của SKKN: Giúp học sinh phát triển tư duy khái quát hoá, đặc biệt

hoá và tương tự hoá để tìm lời giải toán trong một số bài toán bất đẳng thức

IV.Đối tượng nghiên cứu:

- Khách thể: Học sinh THPT

- Đối tượng nghiên cứu: Một số bài toán bất đẳng thức

- Phạm vi nghiên cứu: Các bài toán sơ cấp bài toán bất đẳng thức trong chương trìnhPTTH

- Thực hiện đề tài trong các giờ bài tập của học sinh lớp 10A2,10D3,10A6 năm học

2013 -2014

V Phương pháp nghiên cứu:

Trong môn toán ở trường phổ thông có rất nhiều bài toán chưa có hoặc không cóthuật giải Đặc biệt với những bài chứng minh BĐT là những bài toán mà không cómột thuật toán nào để giải đòi hỏi các em phải luôn tư duy, động não Vì vậy, khi dạynhững bài chứng minh BĐT giáo viên hãy cố gắng hướng dẫn học sinh cách suy nghĩ,cách tìm tòi lời giải Biết đề ra cho học sinh, đúng lúc, đúng chỗ những câu hỏi gợi ýsâu sắc, phù hợp với trình độ của từng đối tượng

Dựa trên những tư tưởng tổng quát cùng với những gợi ý chi tiết của G Pôlya

về cách thức giải bài toán đã được kiểm nghiệm trong thực tiễn dạy học, có thể nêu lênphương pháp chung để giải bài toán như sau:

tương tự thường được sử dụng trong hai bước: Tìm cách giải và nghiên cứu sâu lờigiải

VI Thời gian hoàn thành SKKN: Tháng 04 năm 2014.

 Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = a = a = = a1 2 3 n

Đặc biệt với n = 2 ta có a+b ab

I.4 Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức

CH ƯƠNG II

VẬN DỤNG KHÁI QUÁT HOÁ, ĐẶC BIỆT HOÁ VÀ TƯƠNG TỰ HOÁ ĐỂ TÌM LỜI GIẢI CỦA BÀI TOÁN CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC II.1 Vận dụng khái quát hóa, đặc biệt hóa và tương tự hoá vào tìm lời giải của bài toán chứng minh bất đẳng thức

Các bài tập toán học ở nhà trường phổ thông có thể chia làm hai loại: loại có thuật toán

để giải và loại chưa có thuật toán để giải Bài tập chứng minh BĐT thuộc về dạng bàitập chưa có thuật toán để giải Để tìm cách giải dạng toán này ta có thể hướng dẫn họcsinh tìm tòi, phát hiện nhờ những suy nghĩ có tính chất tìm đoán: biến đổi cái đã cho,biến đổi cái phải tìm, liên hệ bài toán cần giải với một bài toán tương tự nhưng đơngiản hơn, mò mẫm dự đoán thử xét một vài trường hợp riêng, một bài toán tổng quáthơn hay một bài toán nào đó liên quan

Giáo viên: Như vậy BĐT trên được chứng minh nhờ thao tác đặc biệt hóa.

Cách 2: Sử dụng tương tự và đặc biệt hóa.

Chúng ta có thể biểu diễn (1) dưới dạng:

Học sinh: (3)  a -a 1 22  0 luôn đúng Đẳng thức xảy ra khi a = a1 2.

Vấn đề là sự tương tự giữa (2) và (3) có giúp gì cho việc chứng minh hay không?

Giáo viên hướng dẫn học sinh tìm mối liên hệ giữa (2) và (3)

Giáo viên: Như vậy (3) không những là một trường hợp tương tự của (2) mà còn là

và tương tự

Ví dụ 2

Cho A, B, C là ba góc trong của một tam giác Chứng minh rằng:

3osA+cosB+cosC

Giáo viên: Hãy xét BĐT tương tự với BĐT (2) nhưng đơn giản hơn

Học sinh: cosx+cosy cosx+y

2  2 với  x, y 0 x+y  ;  π (3)Học sinh có thể chứng minh (3) một cách dễ dàng

Ta có: cosx+cosy = cosx+ycosx-y cosx+y

Từ BĐT (3) học sinh vẫn chưa thể chứng minh được BĐT (2)

Giáo viên: Dựa vào BĐT (3) em hãy đánh giá hệ thức

Bài toán được giải nhờ việc giải một bài toán tổng quát của nó Để giải được bàitoán tổng quát (2) ta đã đi giải một bài toán tương tự (3) nhưng cũng là trường hợp đặcbiệt của nó Sau đó bằng đặc biệt hóa để trở về BĐT tổng quát ban đầu Chứng minhđược bài toán tổng quát ta lại tiếp tục đặc biệt hóa

để xuất hiện bài toán (1)

Sau khi tìm được lời giải, học sinh cần kiểm tra lời giải Kiểm tra lại lời giải bàitoán tức là xem xét lời giải có sai lầm hay thiếu sót gì không? Sai lầm khi chứng minhBĐT thường bắt nguồn từ việc vận dụng các BĐT cổ điển mà không để ý đến điều

kiện để BĐT đúng hoặc sử dụng sai sót các quy tắc suy luận khi từ BĐT này suy raBĐT kia

Áp dụng BĐT Cauchy cho hai số a và 1-a ta có:

Kiểm tra lại lời giải cũng có thể bằng cách đặc biệt hóa kết quả tìm được để xemxét tính đúng sai của kết quả bài toán thường là những bài toán tổng quát từ một bài

toán cho trước nào đó Chẳng hạn, ở ví dụ 1 của luận văn, sau khi dự đoán BĐT tổng

Sau khi đã tìm ra lời giải, ngoài việc kiểm tra lại lời giải, giáo viên cần khuyếnkhích học sinh tìm tòi những cách giải khác, so sánh chúng để chọn được cách giảihợp lí nhất Mọi cách giải đều dựa vào một số đặc điểm nào đó của các dữ kiện, chonên tìm được nhiều cách giải là luyện tập cho học sinh biết cách nhìn nhận một vấn đềtheo nhiều khía cạnh khác nhau, điều đó rất bổ ích cho việc phát triển năng lực tư duy.Mặt khác, tìm được nhiều cách giải thì sẽ chọn được cách giải hay nhất, đẹp nhất

II.2 Vận dụng khái quát hóa, đặc biệt hóa và tương tự hoá vào nghiên cứu lời giải của bài toán chứng minh bất đẳng thức

Sau bước tìm cách giải, học sinh thường bỏ qua bước nghiên cứu sâu lời giải.Giáo viên cần giúp học sinh làm quen và tập luyện một cách có ý thức bước nghiêncứu lời giải trên hai khía cạnh: nghiên cứu khả năng ứng dụng kết quả của lời giải vànghiên cứu giải những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề

Lời giải 1 Dùng bổ đề để chứng minh

Ta xét thêm một cách giải sau:

Lời giải 2 Dùng phương pháp biến đổi tương đương

2 2

Khai thác kết quả của bài toán.

Góc độ thứ nhất: Trong giả thiết của bài toán thì A, B, C là các góc của một tam giác

Nếu tam giác ABC không tù, từ kết quả của bài toán ta có BĐT

3cosA + cosB+ cosC

Ta còn có thể khai thác bài toán theo nhiều hướng khác

Góc độ thứ hai: Sử dụng các hệ thức liên hệ giữa các hàm lượng giác với các yếu tố

khác như độ dài, diện tích, chu vi,…

Chẳng hạn, từ (1) theo định lí côsin trong tam giác ta có:

Lời giải chỉ cần yêu cầu cosB+C= sinA

Cho a, b, c dương thỏa mãn a+b+c = 1, khi đó ta có:

2-a 2-b 2-c 5 (4)Cho a, b, c, d dương thỏa mãn a+b+c+d = 1, khi đó ta có:

2-a 2-b 2-c 2-d 7 (5)

Từ đó có thể khái quát hóa bài toán với n (n   *) số dương tùy ý

Cho n số dương tùy ý a , a , a , a1 2 3 n thỏa mãn

n i i=1

Vẫn là cách nhìn dưới góc độ trên, nếu như tổng của các biến không phải là 1 mà

là một số bất kì, tức là

n i i=1

Ta có thể xây dựng được BĐT trên bằng cách thay số 2 ở trong BĐT bởi mộttham số α bất kì với α 1  Khi đó ta có bài toán:

Cho n số dương tùy ý a , a , a , a1 2 3 n thỏa mãn

n i i=1

Ngoài ra ta còn có thể mở rộng bài toán bằng cách tăng số mũ của biến

Cho n số dương tùy ý a , a , a , a1 2 3 n thỏa mãn

n m i i=1

Thông qua bài toán này ta thấy việc nhìn bài toán dưới nhiều góc độ khác nhau sẽ giúp

ta khai thác và mở rộng bài toán theo nhiều hướng khác nhau

Ngoài việc nghiên cứu đào sâu các lời giải của một bài toán cụ thể, giáo viên còn

có thể giúp học sinh vận dụng cách giải của bài toán ban đầu cho một lớp các bài tậpkhác Đây có thể xem như sự khái quát hóa về phương pháp

Dấu “=” xảy ra khi a = b = c

Nhận xét hai cách giải này ta thấy:

Với cách giải 1

Giáo viên có thể yêu cầu học sinh giải tiếp các bài toán sau:

Bài toán 1

Cho a+b = 2 Chứng minh rằng: a +b 4 4  a +b 3 3.

Bài toán 2 (Học viện Công nghệ bưu chính viễn thông 1998-1999)

Cho a, b, c 0  và a+b+c = 3 Chứng minh rằng: a +b +c 4 4 4  a +b +c 3 3 3

Bài toán 3 (Đại học Ngoại thương TP Hồ Chí Minh 1995-1996)

Cho x 0, y 0   và x +y3 3 2 Chứng minh rằng: x +y2 2 2

Bài toán 4 (Đại học Y Dược TP Hồ Chí Minh 1992-1993)

Cho a+b 2  Chứng minh rằng: a +bn+1 n+1 a +bn n

Sau khi học sinh giải hệ thống bài toán trên, giáo viên yêu cầu học sinh tìmphương pháp chung để giải bài tập đó Nguyên tắc để thực hiện đó là tìm cách biến đổisao cho hai vế của BĐT cần chứng minh có cùng bậc Đây là một phương pháp chứngminh BĐT có điều kiện được gọi là phương pháp “cân bằng bậc”

Với cách giải 2

Học sinh có thể đặt câu hỏi số 1 trong BĐT Cauchy đến từ đâu? Tại sao ta lạinghĩ áp dụng BĐT Cauchy có sự tham gia của số 1

Câu trả lời là do tính bình đẳng của a, b, c nên ta dự đoán dấu đẳng thức có khi

a = b = c, kết hợp với điều kiện a+b+c = 3  a = b = c = 1 Phương pháp này được gọi

là phương pháp sử dụng điểm rơi để chứng minh BĐT

Chú ý: Nếu trong BĐT Cauchy có p biến tham gia đánh giá, và kết quả khai căn tổng

số của các biến bằng k, khi đó ta nói là “cân bằng bậc k cho p biến với điểm rơi”

Từ đó giáo viên có thể yêu cầu học sinh giải tiếp những bài tập sau:

Bài toán 1

Cho a, b, c 0  và a+b+c = 3 Chứng minh rằng:

a) a +b +c 3 3 3  1

Đến bài toán 2 và bài toán 3 học sinh có thể gặp lúng túng vì bài tập vẫn tương

tự như dạng trên nhưng không có điều kiện ràng buộc giữa các biến

Giáo viên có thể gợi ý cho học sinh đằng sau các biến x = , y = , z = a b c

giả thiết xyz = 1 Với gợi ý đó học sinh dự đoán được dấu đẳng thức có khi

= = = 1

bậc nhất cho một biến với điểm rơi là 1

x = y = z = 25 Vì giả thiết là xy+yz+zx = 15 nên ta dự đoán vế trái của BĐT được

so sánh với một biểu thức có chứa xy+yz+zx Bởi vậy có lời giải cân bằng bậc hai chomột biến với điểm rơi như sau:

Theo Cauchy ta có: x +y +25+25 20 xy4 4  20xy

a = 1

k i i=1

a = 1

 thìkết quả của BĐT không thay đổi

C PHẦN KẾT LUẬN

1.Kết quả thực hiện đề tài:

I Sau khi dạy xong lý thuyết ,phương pháp và bài tập áp dụng của sáng kiến kinh

nghiệm “Vận dụng khái quát hoá, đặc biệt hoá và tương tự hoá để tìm lời giải

thông qua các bài toán chứng minh bất đẳng thức ”tôi đã thử nghiệm cho học sinh

của hai lớp 10A2 , 10D3 làm thử bài tập vận dụng Kết quả cụ thể ở hai lớp nhưsau :

2 Tổng kết kinh nghiệm và ý kiến đề xuất:

Từ những vấn đề đã trình bày, SKKN đạt được kết quả sau:

+ Đã nghiên cứu việc vận dụng khái quát hóa, đặc biệt hóa và tương tự trong dạy họctìm lời giải và dạy học nghiên cứu lời giải thông qua các bài toán chứng minh bất đẳngthức

+ Đã hệ thống hóa mẫu nhóm bài toán chứng minh bất đẳng thức cùng dạng theophương pháp khái quát hóa, đặc biệt hóa và tương tự

+ Đã đề xuất một số biện pháp sư phạm nhằm rèn luyện năng lực khái quát hóa, đặcbiệt hóa, tương tự cho học sinh.

+ Tác giả đã bước đầu tổ chức thực nghiệm trên đối tượng học sinh cụ thể để kiểm tratính khả thi của SKKN

IV -TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan, Nguyễn Xuân Liêm, Đặng Hùng

Thắng, Trần Văn Vuông (2006), Đại số 10 nâng cao, NXBGD.

2.Trần văn Hạo, Vũ Tuấn, Doãn Minh Cường,Đỗ Mạnh Hùng,Nguyễn Tiến Tài

(2006), Đại số 10 cơ bản, NXBGD.

3.Nguyễn Huy Đoan,Phạm Thị Bạch Ngọc,Đoàn Quỳnh,Đặng Hùng Thắng, Lưu

Xuân Tình.(2006),Bài Tập Đại số 10 nâng cao, NXBGD

4.Nguyễn Thái Hòe (1998), Rèn luyện tư duy qua việc giải bài tập toán, NXBGD 5.G.Polia (1975), Giải một bài toán như thế nào, NXBGD.

6.Trần Phương, Nguyễn Đức Tấn (2004), Sai lầm thường gặp và các sáng

tạo khi giải toán, NXB Hà Nội.

7 Tạp chí Toán học và tuổi trẻ, các đề thi ĐH và một số tài liệu khác

MỤC LỤC

Lời nói đầu 1

Chương I Một số kiến thức cơ bản……… 4

Chương II Vận dụng khái quát hoá, đặc biệt hoá và tương tự hoá để tìm lời giải

thông qua các bài toán chứng minh bất đẳng thức 7

Kết luận 23

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

BÁO CÁO

YÊU CẦU CÔNG NHẬN SÁNG KIẾN CẤP CƠ SỞ

(Kèm theo CV số:1367/SGD ĐT- CNTT ngày 12 tháng 09 năm 2013)

I Thông tin chung:

Họ và tên tác giả sáng kiến : LÊ VĂN QUÝ

Ngày, tháng, năm sinh: 09- 08-1982

Nơi công tác : Trường THPT Tiên Lữ - Tỉnh Hưng Yên

Trình độ chuyên môn, nghiệp vụ: Đại học Sư phạm Hà Nội II - Khoa Toán.Đơn vị: Trường THPT Tiên Lữ - Tỉnh Hưng Yên

Các đồng tác giả : Không

Đề nghị xét, công nhận sáng kiến: Cấp cơ sở

Lĩnh vực áp dụng: Trong giảng dạy môn toán lớp 10

II Báo cáo mô tả sáng kiến bao gồm:

1 Tình trạng sáng kiến đã biết: Mô tả sáng kiến đã biết; ưu khuyết điểm của sáng kiến đã, đang được áp dụng tại cơ quan, đơn vị.

- Mô tả sáng kiến : Sáng kiến kinh nghiệm “Vận dụng khái quát hoá, đặc biệt hoá

và tương tự hoá để tìm lời giải thông qua các bài toán chứng minh bất đẳng thức

”được xây dựng trên cơ sở toán học Mục đích nhằm nâng cao chất lượng dạy - học ,

rèn luyện năng lực khái quát hóa, đặc biệt hóa, tương tự cho học sinh

* Ưu khuyết:

- Bố cục đúng mẫu hướng dẫn, chi tiết, lô gic, khoa học Giải pháp rõ ràng, tínhkhả thi cao Áp dụng thực tế có chất lượng chuyển biến, nâng cao Đặc biệt giải pháp

có thể áp dụng phạm vi rộng hơn cho nhiều năm

2 Nội dung sáng kiến đề nghị công nhận: Mục đích của sáng kiến; những điểm khác biệt, tính mới của sáng kiến so với sáng kiến đã, đang được áp dụng;

mô tả chi tiết bản chất của sáng kiến.

- Mục đích của sáng kiến: Nâng cao chất lượng dạy - học ,rèn luyện năng lực khái quáthóa, đặc biệt hóa, tương tự cho học sinh Tạo kinh nghiệm cho bản thân và hỗ trợ cho

GV và HS trong quá trình dạy và học bất đẳng thức cho học sinh lớp 10 đạt hiệu quảcao hơn

- Tính mới của sáng kiến, bản chất của sáng kiến: