MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Từ lý do chọn đề tài, từ cơ sở thực tiễn giảng dạy các khối lớp ở trường THPT, cùng với kinh nghiệm trong thời gian giảng dạy.. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU Đối
Trang 1PHẦN I: MỞ ĐẦU
I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Bất đẳng thức là vấn đề khó đối với đa số học sinh và thường là câu chốt trong các đề thi đại học những năm gần đây, vì thế nhiều học sinh không mặn mà với các bài toán bất đẳng thức, thậm chí còn bỏ qua Vậy phải làm thế nào để đa số học sinh không xa lánh bất đẳng thức ? Đó là phải làm đơn giản hóa và phong
phú phương pháp chứng minh bất đẳng thức Phương pháp ”Sử dụng tọa độ của vectơ giải một lớp các bài toán bất đẳng thức” đã đem lại một phần sự yêu
thích bất đẳng thức của học sinh Tuy trước đây đã có một số tài liệu đề cập đến phương pháp này thông qua các bài toán nhưng chưa có hệ thống Tôi đã cố gắng tìm tòi các bài toán để cụ thể hóa vấn đề thông qua đề tài này nhằm giúp học sinh học tốt hơn về bất đẳng thức
II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Từ lý do chọn đề tài, từ cơ sở thực tiễn giảng dạy các khối lớp ở trường THPT, cùng với kinh nghiệm trong thời gian giảng dạy Tôi đã tổng hợp , khai thác và việc sử dụng véc tơ vào các bài toán chứng minh bất đẳng thức
Qua nội dung của đề tài này tôi mong muốn sẽ cung cấp cho học sinh một số phương pháp hiệu quả, giảm bớt sự choán ngợp của học sinh đứng trước bài toán bất đẳng thức Hy vọng đề tài nhỏ này giúp các bạn đồng nghiệp cùng các
em học sinh có một cái nhìn toàn diện cũng như phương pháp giải một lớp các bài toán về chứng minh bất đẳng thức
III ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU
Đối tượng nghiên cứu là các bất đẳng thức có chứa căn bậc hai và biểu thức trong căn bậc hai đưa được về dạng tổng của hai hay ba bình phương hoặc các giả thiết của bài toán biến đổi được về tổng của hai hay ba bình phương
IV PHẠM VI NGHIÊN CỨU
Nội dung phần bất đẳng thức trong chương trình đại số 10 và các bất đẳng thức trong các đề thi Đại học - Cao đẳng
V PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Phương pháp:
Nghiên cứu lý luận chung, khảo sát điều tra từ thực tế dạy và học, tổng hợp so sánh, đúc rút kinh nghiệm
Khi gặp bài toán chứng minh bất đẳng thức mà biểu thức dưới căn được biểu diễn dưới dạng tổng của hai bình phương m2 n2 , p2 q2 , Ta thiết lập các vectơ có tọa độ thích hợp trên hệ tọa độ Descartes Oxy sao cho độ dài các vectơ đó tương ứng bằng m2 n2 , p2 q2 , và áp dụng các bất đẳng thức trên để đi đến kết quả bài toán
Cách thực hiện:
Trao đổi với đồng nghiệp, tham khảo ý kiến giáo viên cùng bộ môn Liên hệ thực tế trong nhà trường, áp dụng đúc rút kinh nghiệm qua quá trình giảng dạy
Trang 2Thông qua việc giảng dạy trực tiếp ở các lớp khối 10 và 12 trong các năm học gần đây
VI NHIỆM VỤ VÀ YÊU CẦU CỦA ĐỀ TÀI
Xuất phát từ lý do chọn đề tài, sáng kiến kinh nghiệm thực hiện nhiệm vụ: Giúp cho giáo viên thực hiện tốt nhiệm vụ và nâng cao chất lượng giáo dục, giúp học sinh hình thành tư duy logic kỹ năng phân tích để đi đến một hướng giải đúng và thích hợp khi gặp bài toán chứng minh bất đẳng thức Muốn vậy người giáo viên phải hướng cho học sinh biết nhận dạng toán và phân biệt được khi nào nên sử dụng tọa độ của véc tơ vào việc giải toán
Yêu cầu của sáng kiến kinh nghiệm: Nội dung giải pháp rõ ràng không rườm rà lôgíc phù hợp với học sinh, có sáng tạo đổi mới Giới thiệu được các dạng toán cơ bản, sử dụng hợp lí tọa độ véc tơ vào giải từng bài cụ thể
Đề tài được sử dụng để giảng dạy và bồi dưỡng cho các em học sinh khối
10, học sinh khối 12 chuẩn bị thi Đại học, Cao đẳng và làm tài liệu tham khảo cho các thầy cô giảng dạy môn Toán Các thầy cô và học sinh có thể sử dụng các bài toán trong đề tài này làm bài toán gốc để đặt và giải quyết các bài tập cụ thể
Trong đề tài này tôi đã đưa ra và giải quyết một số dạng bài toán thường gặp tương ứng các bài tập tự luyện Sau mỗi bài toán tác giả đều có những nhận xét bình luận khắc phục những sai lầm cơ bản giúp bạn đọc có thể chọn ra cho mình những phương pháp giải tối ưu nhất, để có được những lời giải gọn gàng và sáng sủa nhất
VII THỜI GIAN NGHIÊN CỨU
Trong suốt thời gian trực tiếp giảng dạy lớp 10B7 ( khóa học 2011 - 2013) tại trường THPT Quảng Xương 2
PHẦN II: NỘI DUNG ĐỀ TÀI
I CỞ SỞ LÝ LUẬN
Nhiệm vụ trung tâm trong trường học THPT là hoạt động dạy của thầy và
hoạt động học của trò, xuất phát từ mục tiêu đào tạo “Nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài” Giúp học sinh củng cố những kiến thức phổ
thông đặc biệt là bộ môn toán học rất cần thiết không thể thiếu trong đời sống của con người Môn Toán là một môn học tự nhiên quan trọng và khó với kiến thức rộng, đa phần các em ngại học môn này đặc biệt là phần bất đẳng thức
Muốn học tốt môn toán các em phải nắm vững những tri thức khoa học ở môn toán một cách có hệ thống, biết vận dụng lý thuyết linh hoạt vào từng dạng bài tập Điều đó thể hiện ở việc học đi đôi với hành, đòi hỏi học sinh phải
Trang 3có tư duy logic và cách biến đổi Giáo viên cần định hướng cho học sinh học và nghiên cứu môn toán học một cách có hệ thống trong chương trình học phổ thông, vận dụng lý thuyết vào làm bài tập, phân dạng các bài tập rồi tổng hợp các cách giải
Do vậy, tôi mạnh dạn đưa ra sáng kiến kinh nghiệm này với mục đính giúp cho học sinh sử dụng tọa độ của vectơ để giải một lớp các bài toán bất đẳng thức
Dạng 1: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho các vectơ a(x1;y1),
)
;
(x2 y2
b
ta luôn có: a.b a.b hay 2
2 2 2 2 1 2 1 2 1 2
x , đẳng thức xảy ra khi
1 )
,
cos(ab a b cùng phương
2
1 2
1
y
y x
x
Trong không gian với hệ tọa độ Oxy cho các vectơ a(x1;y1;z1),
)
;
;
(x2 y2 z2
b
ta luôn có: a.b a.b hay 2
2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
xảy ra khi cos(a,b) 1 a b cùng hướng
2
1 2
1 2
1
z
z y
y x
x
Dạng 2: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho các vectơ a(x1;y1), b(x2;y2)
và c(x3;y3) ta luôn có:
2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2
1 y x y (x x ) (y y )
x , đẳng thức xảy ra khi
b
a, cùng hướng
2
1 2
1
y
y x
x
abc ab c abc
3 2 1 2 3 2 1 2 3 2 3 2 2 2 2 2
1
2
x , đẳng thức xảy ra khi
c
b
a, , đôi một cùng hướng x1 :x2 :x3 y1 : y2 : y3 hay
3
3 2
2 1
1
y
x y
x y
x
Dạng 3: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho các vectơ a(x1;y1), b(x2;y2)
ta luôn có: a b a b hay 2
2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2
1 y x y (x x ) (y y )
dấu bằng xảy ra khi a cùng hướng với a b
Nếu a,b 60 0 thì ab 2a b hay
2 2 1 2 2 1 2
2 2 2 2 1 2
1 y x y 2 (x x ) (y y )
x đẳng thức xảy ra khi a b
Dạng 4 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho các vectơ a(x1;y1),
)
;
(x2 y2
b
ta luôn có: a b a b hay 2 2 2 2 2
2 1 2 2
(x x y y x y x y
dấu bằng xảy ra khi a b cùng hướng
2
1 2
1
y
y x
x
II THỰC TRẠNG CỦA ĐỀ TÀI
Trang 4Đối tượng học sinh tôi trực tiếp giảng dạy có học lực trung bình và trung bình khá nên khi học phần bất đẳng thức học sinh thường choáng ngợp, vì vây không biết bắt đầu từ đâu khi đứng trước bài toán bất đẳng thức
Qua việc khảo sát kiểm tra định kỳ và việc học tập, làm bài tập hàng ngày nhận thấy học sinh thường bỏ qua hoặc không giải được
III GIẢI PHÁP TỔ CHỨC THỰC HIỆN
Qua nghiên cứu trao đổi và đúc rút kinh nghiệm từ thực tế và ý kiến của đồng nghiệp tôi mạnh dạn đưa ra hướng gải quyết các vấn đề trên của học sinh với những giải pháp: Đưa ra một số giải pháp giúp học sinh hình thành kĩ năng khi biến đổi và sử dụng véc tơ vào chứng minh bất đẳng thức, bằng phương pháp phân loại các dạng áp dụng với công thức tương ứng
1 DẠNG 1
Dạng bất đẳng thức sử dụng: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho các vectơ a(x1;y1), b(x2;y2)
ta luôn có: a.b a.b hay 2
2 2 2 2 1 2 1 2 1 2
x , đẳng thức xảy ra khi
1 )
,
cos(ab a b cùng phương
2
1 2
1
y
y x
x
Trong không gian với hệ tọa độ Oxy cho các vectơ a(x1;y1;z1), b(x2;y2;z2)
ta luôn có: a.b a.b hay 2
2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
xảy ra khi cos(a,b) 1 a b cùng hướng
2
1 2
1 2
1
z
z y
y x
x
1.1 Ví dụ 1: Cho x, y là các số thực thỏa mãn 36x2 + 16y2 = 9 Chứng minh rằng: 2 5 254
4
15
Lời giải:
Ta thấy: 36x2 + 16y2 = (6x)2 + (4y)2 và y – 2x = y 6x
3
1 4 4
1
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Descartes Oxy chọn:
3
1
;
4
1
9
1 16
1 6
3
1 4 4
1
y
Suy ra điều cần chứng minh Đẳng thức xảy ra khi:
20
95 2
20 9 5 2
3 1 6 4
1
4
9 16
y
x y
x x y
y
x
1.2 Ví dụ 2: Cho x, y, z là 3 số thực không âm thỏa mãn xyz 4 Chứng minh rằng
2
183 1
4 1 3 1
2x y z
3
1 3 2
1 2 1 4 1 3 1
2x y z x x x
nên trong không gian với mặt phẳng với hệ tọa độ Descartes Oxy chọn:
Trang 5
4
1
; 3
1
; 2
1 ,
4
;
3
;
2
183 4
1 3
1 2
1 4
3
2
1 4 1 3 1 2 1 4 1 3 1
2
.
z y x
b a z
y x
z y
x
b
a
108
217
; 36
49
; 27
17 4
1 4
1 3
1 3
1 2
1 2 1
4
z y
x z
y x
z y x
1.3 Ví dụ 3: Cho 3 số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 1 Chứng
minh rằng: 2 2 2 2 2 2 2
x
Lời giải:
Trong mặt phẳng với mặt phẳng với hệ tọa độ Descartes Oxy chọn:
) 1
; 1 ( ),
; ( ),
; (
),
;
(x y b y z c z x n
2 2
2
n
2 2
2
n
2 2
2 c z x z x
n
2
1 2 2 2 2 2 2
x
Đẳng thức xảy ra khi: xyz31
1.4 Ví dụ 4: Cho ba số thực x, y, z thỏa mãn hệ:
16
3 2 2
2 2
z yz y
y xy x
Chứng minh: xyyzzx 8
Lời giải:
2 2 2
2 2
2 2 2
2 2
3 2
4 3
2 2
3 2
4 3
z y z z
y z z yz y
x y x x
y x y xy x
nên ta biến đổi
2 2
3 2 2
3 3
zx
yz
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Descartes Oxy chọn:
x b y z z
y
x
a
2
3
; 2
, 2
;
2
3
2 2
3 2
2 2
3 3
xy
1.5 Ví dụ 5: Cho a, b, c > 0, trong đó a > c và b > c Chứng minh rằng
a c cb c ab
Lời giải:
Trong mặt phẳng với mặt phẳng với hệ tọa độ Descartes Oxy chọn:
)
; ( ),
;
u , ta có: ca c cb c u.vu.v ab
Đẳng thức xảy ra khi a b c
c b
c c
c
2 DẠNG 2
Trang 6Dạng bất đẳng thức sử dụng: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho các vectơ a(x1;y1), b(x2;y2) và c(x3;y3) ta luôn có:
2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2
1 y x y (x x ) (y y )
x , đẳng thức xảy ra khi
b
a, cùng hướng
2
1 2
1
y
y x
x
abc ab c abc
3 2 1 2 3 2 1 2 3 2 3 2 2 2 2 2
1
2
x , đẳng thức xảy ra khi
c
b
a, , đôi một cùng hướng x1 :x2 :x3 y1 : y2 : y3 hay
3
3 2
2 1
1
y
x y
x y
x
2.1 Ví dụ 1: Cho 3 số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 1 Chứng
minh rằng: x2 y2 y2 z2 z2 x2 2
Lời giải:
Trong mặt phẳng với mặt phẳng với hệ tọa độ Descartes Oxy chọn:
)
; ( ),
; (
),
;
(x y b y z c z x
2 2 2 2 2 2
Đẳng thức xảy ra khi 13
1
z y x x
z z
y y
x
2.2 Ví dụ 2: Cho x, y, z là ba số dương và xyz 1 Chứng minh rằng
82 1 1
1
2 2 2 2
2
2
z
z y
y
x
x ( trích đề thi Đại học Cao đẳng khối A năm 2003)
Lời giải:
Trong mặt phẳng với mặt phẳng với hệ tọa độ Descartes Oxy chọn:
z z c y y b
x
x
a ;1 , ;1 , ;1 , ta có: 2 12 2 12 2 12
z
z y
y x x c b a
1 1 1 80 18 9 80 82
18
80 1 1 1 81
1 1 1
2
2 2
2 2
2
z y x z
y x z
y
x
z y x z
y x z y x z
y x z y x
c
b
a
Vậy bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xảy ra khi xyz31
2.3 Ví dụ 3: Cho x, y, z > 0 Chứng minh rằng
x y z
x zx z z yz x y xy
x2 2 2 2 2 2 3
(trích đề thi Học viện Quan hệ Quốc tế, năm 1997)
Lời giải: Bất đẳng thức được viết lại
x y z
x x
x z
z y y
y
2
3 2
2
3 2
2
3 2
2 2
2 2
2 2
Trong mặt phẳng với mặt phẳng với hệ tọa độ Descartes Oxy chọn:
y y b y z z c z x x
x
a
2
3
; 2
, 2
3
; 2
, 2
3
;
Trang 7x y z
c
b
a
c b a x x
x z
z y y
y
x
3
2
3 2
2
3 2
2
3 2
2 3 2 2
3 2 2
3
x
x z z
z y y
y x
2.4 Ví dụ 4: Chứng minh rằng với mọi số thực x 32
3
5 7 2 2 2
3
2
x Lời giải:
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Descartes Oxy chọn: A(0; 2), B(-1; -1), M(x; 0)
Ta có: AM x2 4 ,BM x2 2x 2 ,
Gọi M1 là điểm xác định bởi: MM BM
2
3
1 ( do x 32 )
2
3
; 2
3 1
x
2
3
; 2
3 3 1
x M
2
3 2
2
3
; 2
3 1
x
3
5 7 49 ) 3 ( 2
1 2
2 2
3
1 1
1 2
2
x
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:
3 2
2 2
3 2
3
2
x x
x
x
2.5 Ví dụ 5: Với a, b là các số thực tùy ý Chứng minh rằng:
13
15 4 4 9
13 2
3 9
13 3
10 2 9
6
2
2 2
2 2
Lời giải:
Ta thấy: 2b2 6b 9 b2 b 3 2 ,
2 2
2 2
3
2 9
13 3
10
b a b a
ab
2 2
2
3
2 2 4
4
9
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Descartes Oxy chọn: A(0; 3), B(2; 0)
; ,
3
2
; a N b b
a
3
2
; 2 ,
3
2
; ),
3
;
AN
Khi đó: AN 2b2 6b 9 b2 b 3 2 , MN
2 2
2 2
3
2 9
13 3
10
b
2 2
2
3
2 2 4
4 9
Trang 8Gọi M1 là điểm xác định bởi MM BM
2
3
1
Suy ra M1 thuộc đường thẳng d cố định có
phương trình 2x – 3y – 9 = 0
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên d
13
15 ,
AH d A d , ta có:
Vậy bất đẳng thức (1) được chứng minh Đẳng thức xảy ra khi A, N, M, M1 thẳng hàng, khi đó:
3
2
; a
a
M thuộc đường thẳng AB có phương trình 3x 2y 6 0 a1318
b b
N ; thuộc đường thẳng AB có phương trình 3x 2y 6 0 b56
Tóm lại đẳng thức xảy ra khi a1318, b56
3 DẠNG 3
Dạng bất đẳng thức sử dụng: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho các vectơ a(x1;y1), b(x2;y2)
ta luôn có: a b a b hay 2
2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2
1 y x y (x x ) (y y )
dấu bằng xảy ra khi a cùng hướng với a b
Nếu a,b 60 0 thì ab 2a b hay
2 2 1 2 2 1 2
2 2 2 2 1 2
1 y x y 2 (x x ) (y y )
x đẳng thức xảy ra khi a b
3.1 Ví dụ 1: Cho 2 số thực phân biệt m và n Chứng minh rằng:
2 2 2
Lời giải:
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Descartes Oxy chọn: Ax m;m,Bx n;n., ta có
, 2 2 ,
2
x
2 2 2
2 2
Bất đẳng thức được chứng minh
m n
m n n m x m n
m n
m m x
3.2 Ví dụ 2: Cho x, y là các số thực thay đổi, Chứng minh rằng
1 2 2 1 2 2 2 2 3
x , (trích đề thi Đại học, Cao đẳng khối B năm 2006)
Lời giải:
y
M
x H
O
d
M1 B
13 15
4 4 9
13 9
13 3
10 2
9 6 2
1 1
2 2
2 2
1
AH AM
MM NM
AN
a a a
ab b
b b MM
NM
AN
Trang 9Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Descartes Oxy chọn: ax 1 ; y ,bx 1 ;y
Suy ra a b 2 ; 2y Do đó x 2 y2 x 2 y2 a b a b
1 1
4 2
x
Đẳng thức xảy ra khi 0
2 2
1
x y
y x
Khảo sát hàm số 2 1 2 2 2 3
y
3 /
1
,
y
3.3 Ví dụ 3: Chứng minh: 2 2 2 2 2 2
2
1
d c b a d
b c
a Trong đó a, b, c,
d là các số dương thỏa mãn điều kiện: 3
bd ac
ad bc
Lời giải: 3
bd ac
ad
1
c
d a
b d
c a b
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Descartes
Oxy chọn: A(a; b) thuộc nửa đường thẳng
x
a
b
y và B(c; d) thuộc nửa đường thẳng
x
d
c
y , với x > 0 Do 3
bd ac
ad bc
nên hai đường thẳng tạo với nhau góc 600
ta có: OA a2 b2 ,OB c2 d2 và
2 2
d b c
a
Do đó
2 2 2
2 2
Từ đó suy ra bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xảy ra khi
2 2 2
a
OB
4 DẠNG 4
Dạng bất đẳng thức sử dụng: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho các vectơ a(x1;y1), b(x2;y2)
ta luôn có: a b a b hay 2 2 2 2 2
2 1 2 2
(x x y y x y x y
dấu bằng xảy ra khi a b cùng hướng
2
1 2
1
y
y x
x
4.1 Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi số thực x ta có:
5 10 6 5
2
Lời giải:
Ta có: 2 2 5 ( 1 ) 2 4 , 2 6 10 ( 3 ) 2 1
x
Nên trong mặt phẳng với hệ tọa độ Descartes Oxy chọn: a(x 1 ; 2 ),b(x 3 ; 1 )
Ta có:
5 1 4 10
6 5
2
Đẳng thức xảy ra khi và chi khi: 5
1
2 3
1
x x
x
B
A
x b
a
y
x d
c
y
x O
y
600
Trang 104.2 Ví dụ 2: cho x, y là các số thực thay đổi Chứng minh rằng
4 1 2 1
2 2
Lời giải: Bất đẳng thức được viết lại
4 1 2 1
2
2
x
Vì vậy trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, chọn ax 1 ;y ,bx 1 ;y suy ra
2 ; 0
b
x
Bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xảy ra khi x 2 ,y 0
5 BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên ra dạng bài tập tương tự để học sinh giải Qua đó học sinh rèn luyện phương pháp giải hình thành kỹ năng giải toán.
5.1 Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn abbccaabc, chứng minh rằng
3 2
2
2
ca
c a bc
b c
ab
a
Hướng dẫn : đặt 1, 1, 1 xyz 1
c
z b
y a
x và bất đẳng thức trở thành
3 2
2
2
x , chọn ax; y b y; z c z; x
5.2 Cho x, y, z là ba số thực tùy ý Chứng minh rằng
.
2 2
2 2
2
2 xy y x xz z y yz z
5.2 Cho x là số thực thỏa mãn
3
4
x Chứng minh rằng
5 5 4 2
2
x
5.3 Cho a, b là các số thực thay đổi Chứng minh rằng
5
6 1 4 5 2 5 8 5 4
8
b
5.4 Cho x, y, z là các số thực thay đổi Chứng minh rằng
2 6 40 12 6
13 10
18 13 16 24
x
5.5 Chứng minh 2 4 13 2 2 2 5
PHẦN III: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
1 Kết luận
Sử dụng tọa độ của vectơ vào việc chứng minh bất đẳng thức tuy không
mới mẻ, nhưng đề tài : ”Sử dụng tọa độ của vectơ giải một lớp các bài toán