SKKN Tạo hứng thú cho học sinh khi học về số phức

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓATRƯỜNG THPT NÔNG CỐNG II SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM VAI TRÒ CỦA GIÁO VIÊN CHỦ NHIỆM LỚP TRONG CÔNG TÁC GIÁO DỤC ĐẠO ĐỨC HỌC SINH Người thực hiện : Trần Văn Ti

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

TRƯỜNG THPT NÔNG CỐNG II

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

VAI TRÒ CỦA GIÁO VIÊN CHỦ NHIỆM LỚP TRONG

CÔNG TÁC GIÁO DỤC ĐẠO ĐỨC HỌC SINH

Người thực hiện : Trần Văn Tiến

Chức vụ : Giáo viên SKKN thuộc lĩnh vực (môn) : Toán

THANH HÓA NĂM 2013

A ĐẶT VẤN ĐỀ:

Trong 5 năm trở lại đây Bộ giáo dục đã đưa phần số phức vào chương trình 12 Đây là vấn đề mới đối với học sinh và đây là nội dung trong chương trình thi tốt nghiệp cũng như thi tuyển sinh vào đại học – cao đẳng Học sinh thường ngại học phần này do chưa nắm được khái niệm cũng như áp dụng vào giải bài tập Thực tế phần này là phần không phức tạp, mức độ ra đề thi học sinh rất dễ lấy được điểm Trong nội dung bài viết này tôi muốn nêu ra một vài kinh nghiệm tổng kết, sắp xếp các dạng bài tập cơ bản tạo hứng thú trong học tập cho học sinh, làm cho học sinh thấy dễ hiểu và vận dụng tốt hơn, đạt hiệu quả trong làm bài tập

Với mong muốn các phương trình đều có nghiệm, toán học đã mở rộng tập hợp

số thực đó là tập hợp số phức để mọi phương trình bậc n đều có nghiệm

Người ta đưa ra một số mới i với i2 = -1 Vậy x2 = i2  x = i (với i là đơn vị ảo)

- Định nghĩa: Số phức là số có dạng z = a + bi Trong đó:

+ i là đơn vị ảo thỏa mãn i2 = -1

C PHÂN LOẠI MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN

Lời giải: Giả sử z = a + bi  = a – bi

(1)  a + bi + 2(a – bi) = (23 + 3.22.i + 3.2.i2 + i3)(1 – i)

b a

13 9 13 9 13 3

Lời giải: (1 + i)2(2 – i)z = 8 + i + (1 + 2i)z

 (2i)(2 – i)z – (1 + 2i)z = 8 + i

15 10 5

) 2 1 )(

8 ( 2

VD 4: Tìm môđun của z biết z z i i i

2 1

i i

8 5







 2 1

) ( 5

(1)Tính môđun của số phức  = 1 + z + z2

bi a

i bi a

5

i z

b

a a

b

b a

a b b

i b a

i bi ai bi

a b

1 0

4 3

0 2

3

0 ) 1 2

5 5 ( 2

3

2 2

2 ) 1 ( 5

1

) 2 1 ( 2 ) 2

) 2 1 ( 2

1 2

7 3 2

8 7 2

2 1

2

2

8 7 )

1 )(

1 (

) 1 )(

2 1 ( 2 2

2

2 2

b

a a

b

b

a

i i

i i bi

ai bi

a

i i

i

i i

bi ai bi

a

Do đó = 3 + 2i + 1 + i = 4 + 3i  || = 4 2 3 2 5





; 2 0 2 0

2 2

b a b a b a ab b a b

VD 8 (ĐH A - 2011): Tính môđun của số phức z biết:

) 1 ( 2 2 ) 1 )(

1 ( + i) + 1)(1 -

Lời giải: (1)  (2a + 2bi – 1) (1 + i) + (a – bi + 1)(1-i) = 2 – 2i

 2a + 2ai + 2bi + 2bi2 – 1 –i + a – ai – bi + bi2 + 1 – i = 2 – 2i

3 9 9 3

18 3 26

3 2 2 3

y y x xy x i iy

Bài 2 Tìm phần thực; phần ảo; môđun và số phức liên hợp của mỗi số phức sau:

i

i

3 2

2 3

i i

Bài 3 Tìm phần ảo của số phức z, biết: z  2  i 21  2i.

Bài 4 Tính môđun của các số phức sau:

) 3 1

Định nghĩa: Cho số phức z = a + bi

Căn bậc hai của số phức z là số phức z1 = a1 + b1i thỏa mãn z12 = z

VD1 : Tìm căn bậc hai của số phức: z = 5 + 12i

Lời giải: Giả sử m + ni (m,n ) là căn bậc hai của z

Ta có: (m + ni)2 = 5 + 12i  m2 + 2mni + n2i2 = 5 + 12i

2

5 2 2

2 2

n m n m mn

n m

) / ( 4

2 2

loai n

m t n

3 2

m n

m n

Vậy z có hai căn bậc hai là 3 + 2i và -3 – 2i

VD2 : Tìm căn bậc hai của số phức z =  164  48 5i

Lời giải: Giả sử m + ni (m, n ) là căn bậc hai của z

5 6 4

n m

n m

Vậy z có hai căn bậc hai là: 4  6 5i và  4  6 5i

Bài tập luyện: Tìm các căn bậc hai của các số phức sau:

) 1 ( 164 5

48

2

164

2 2 2

2

m n

n m

mn

n

m

, 2

Đặc biệt nếu b = 2b’, ta tính được ’

a

k b z a

k

b

z  ' ',  ' '

VD 1: Giải phương trình: z2 + (3i + 8)z + 11i + 13 = 0

Lời giải: = (3i + 8)2 – 4(11i + 13) = 4i + 3

Ta có: (m + ni)2 = 5 + 12i  m2 + 2mni + n2i2 = 3 + 4i

2

3 2 2

2 2

m n n m mn

n m

1 2

) ( 1

4 0

4 3 3

2

2

2 2

2 2

2

n m

n m

loai m

m m

m m

2 8 3

5 2 2

2 8 3

i i i z

i i

i z

VD 2: Giải phương trình: z2 + 4z + 7 = 0

Lời giải: ’ = 22 = 7 = -3 = 3i2  các căn bậc hai của ’ là i 3

Vậy nghiệm của phương trình là: z   2  3i,z   2  3i

VD 3: Giải phương trình: z3 + 4z2 + (4 + i)z + 3 + 3i = 0 (1)

Lời giải: Dễ thấy z = -i là nghiệm của (1) nên:

(1)  (z + i)[z2 + (4 – i)z + 3 – 3i] = 0 

0

z

i z

Giải (2):  = (4 – i)2 – 12 + 12i = 16 – 1 – 8i – 12 + 12i = 3 + 4i = 4+4i+i2 = (2+i)2

Vậy  có hai căn bậc hai là: 2 + i và -2 – i

2 2 4

1 2

2 4

i i z

i i

i z

Vậy (1) có ba nghiệm là –i, -3, -1 + i

1 ,

2

5 2

2 2

2 1

1 1 1 1

z z z

i z

z z

1 1 2 1

4 3 2 1

4

2 3

2 2

2 1

z z z z

VD 6: Lập phương trình bậc hai có 2 nghiệm: z1 = 6 – i và z2 = 4 + 3i

Lời giải: Ta có tổng và tích:

S = z1 + z2 = (6 – i) + (4 + 3i) = 10 + 2i

P = z1.z2 = (6 – i)(4 + 3i) = 24 + 18i – 4i – 3i2 = 27 + 14i

Vậy z1, z2 là nghiệm của phương trình bậc hai: z2 – Sz + P = 0

hay : z2 + (10 + 2i)z + 27 + 14i = 0

VD 7: Không giải phương trình: z2 + (2 – i)z + 3 + 5i = 0

z14+ z24 = (z12 + z22) – 2z12z22 = (-3 – 14i)2 – 2(3 + 5i)2 = -155 + 24i

VD 8: Giải phương trình sau trên tập số phức : 1 0

2

2 3

4  z z z 

Lời giải: Nhận xét z = 0 không phải là nghiệm của phương trình (1) vậy z 0.

Đặt t z 1z Khi đó : 1 2 1 2 2

2

2 2

2 2

z t

2

5 4 1 )

3 ( 0 2

5

i t

t          

2

3 1

2 1

i t

Có  = (1 + 3i)2 + 16 = 8 + 6i = 9 + 6i + i2 = (3 + i)2

4

) 3 ( ) 3 1 (

2 1

i z

i

t   ta có 2 nghiệm là: 3 1  , 4  i21

z i z

2

1 ,

i z i z

Bài tập luyện tập: Giải các phương trình sau:

a) z2 – 7z + 11 + i = 0 b) z2 + 2(1 – 2i)z – (7 + 4i) = 0c) z2 – 2(2 – i)z + 6 – 8i = 0 d) z2 – (2 + i)z + i +1 = 0

e) z3 – (2 + i)z2 + (2 + 2i)z – 2i = 0 f) 2z3 – 9z2 + 14z – 5 = 0

IV TÌM TẬP HỢP ĐIỂM BIỂU DIỄN SỐ PHỨC Z

Cách giải: Giả sử z = a + bi (a, b  ) ; thay vào giả thiết, tìm được một hệ thức nào đó đối với a và b Từ đó suy ra tập hợp các điểm biểu diễn số phức z

VD 1: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z sao cho

i z

i z

Lời giải: Giả sử z = a + bi (a, b  ), khi đó:

2 2

) 1 (

) 1 ( ) 3 ( 2 )

1

(

3 2

i b a i b a

i b

a

i bi

a

Từ số bằng a2 + b2 + 2a + 2b – 3 + 2(2a – b + 1)i

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là một đường tròn tâm I(-1; -1) , bán

VD 2: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z, biết z thỏa mãn: 1 (*)

4

3 2

i z

Lời giải: Giả sử z = a + bi

) 3 ( 3 1

3 1

2 2

) 3 1

(

i

i b a

z i

bi a

z z

1

) 3 ( 3 2

3 1

) 3 (

i

i b a

16 ) 3 (





i z

i z



 z z

V TÌM SỐ PHỨC Z CÓ MÔĐUN LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT.

Bài toán : Cho số phức z = a + bi thỏa mãn điều kiện G nào đó Tìm số phức z có

môđun nhỏ nhất, lớn nhất

Trường hợp 1: giả thiết G có dạng ma + nb = k Ta rút ra a theo b (hoặc b theo a)

sau đó ta sử dụng phương pháp nhóm tổng bình phương

VD 1: Biết rằng số phức z thỏa mãn u  (z 3  i)(z 1  3i) là một số thực Tìm giá trị lớn nhất của |z|

Lời giải: Giả sử : z = a + bi, ta có:

u = [a + 3 + (b – 1)i][a + 1 – (b – 3)i] = a2 + b2 + 4a – 4b + 6 + 2(a – b – 4)i

VD 2: Cho phức z thỏa mãn : |zi 1 |  |z 2i| Tìm giá trị nhỏ nhất của z

Lời giải: Giả sử : z = a + bi, ta có:

|a + bi + i + 1| = |a – bi – 2i|  (a + 1)2 + (b + 1)2 = a2 + (b + 2)2

 a2 + 2a + 1 + b2 + 2b + 1 = a2 + b2 + 4b + 4  2a – 2b – 2 = 0  a = b – 1

 a2 + b2 = (b + 1)2 + b2 = 2b2 + 2b + 1 = 2(b + 21 )2 + 12 

2 1

 |z| 

2

1

 a = 21 ; b = -21 Vậy Min |z| = 12

Trường hợp 2: Giả thiết G có dạng (x + a)2 + (y + b)2 = k2

Bài toán: Tìm GTLN, GTNN của S = AsinmxBcosmxC

B A

A mx B

A

A mx B

2 2

2 2

sin

cos

B A B B A A

k m m x C B A

2

2 2

k b x

k a x

Sau đó ta làm tương tự như bài toán trên

VD 3: Cho số phức z thỏa mãn : |z – 3 + 4i| = 4 Tìm giá trị nhỏ nhất của |z|

Lời giải: Giả sử z = a + bi, ta có : |a + bi – 3 + 4i| = 4  (a – 3)2 + (b + 4)2 = 16

4 sin 5

3 40 41 cos 32 sin

24

41

cos 32 16 cos

16 sin 24 sin

16 9

40 41

Ngoài ra để tìm GTNN, GTLN của |z| ta có thể sử dụng phương pháp hình học

VD 4: Cho hai số phức z1, z2 thỏa mãn |z1 + 5| = 5, |z2 + 1 – 3i| = |z2 – 3 – 6i|

Tìm GTNN của |z1 – z2|

Lời giải: Giả sử điểm M(a;b) là điểm biểu diễn của số phức z 1 = a + bi, N(c;d) là

điểm biểu diễn của số phức z 2 = c + di.

Ta có: |z1 + 5| = 5  (a + 5)2 + b2 = 25

Vậy M thuộc đường tròn (C): (x + 5)2 + y2 = 25

|z2 + 1 – 3i| = |z2 – 3 – 6i|  8c + 6d = 35

Dễ thấy đường thẳng d1 không cắt (C) và |z1 – z2| = MN

Bài toán trở thành : Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) : (x + 5)2 + y2 = 25

(C) và N chạy trên đường thẳng d1

Gọi d2 là đường thẳng qua I và vuông góc với d1 Phương trình đường thẳng d2 là:6x – 8y = -30.

Gọi H là giao của d1 và d2 Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ:

; 9 3

; 1 30

Bài tập luyện tập :

2 3

2 2

i z

, hãy tìm số phức z có môđun nhỏ nhất

1

2 2

i z

, hãy tìm số phức z có môđun nhỏ

3 Cho hai số phức z1, z2 thỏa mãn |z1 + i| = 5, |z2 – 5| = |z2 -7| Tìm giá trị nhỏ nhất của |z1 – z2|.

VI DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG

b b

a

a b a

z

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

a a

b a

b b

Khi đó: z a2 b2 (cos   sin  ) r(cos  isin  ) (*) r | z|  a2 b2

+ Nhân chia số phức dạng lượng giác :

Cho : z1r1(cos 1isin 1);z2 r2(cos 2isin 2) Khi đó :

)]

sin(

) [cos(

)]

sin(

) [cos(

2 1 2

1 2

2

2

1

2 1 2

1 2

r

z

z

i r

i r

z

n n









(**) gọi là công thức Moavơrơ

VD 1: Viết số phức sau dạng lượng giác: z 3  i

2

3

z

) 10

3 cos(

2 10

3 sin 10

3 cos 2 ) 5 2 sin(

) 5 2

2 2 2

2 2

z

Áp dụng công thức Moavơrơ ta có:

2012 2012

2012

2012 ( 2 2 ) ( 1 0 ) ( 2 2 )

4

2012 sin 4

2012 cos )

) 4 cos(

2 2 4

sin 4 cos 2 2 2 2

2 2

cos 4 2

1 2

2 cos 3

i i

i

Lời giải: Ta có:

3

sin 3

cos 4 2

3 2

1 4 4

) 3 1 ( 8 ) 3 )(

3 (

) 3 ( 8 3

i

i i i

2 sin 3

3

2 cos 4 3

2 sin 3

2 cos 3

sin 3

i z

Vậy môđun và một acgumen của số phức z lần lượt là : 4 và 3

VD 7: Tìm một acgumen của số phức : z ( 1 i 3 )biết một acgumen của z bằng

2

3 2

1 ) 2

| (|

) 3 1

- Khi |z| > 2, một acgumen của z ( 1 i 3 )là

3



- Khi 0< |z| < 2, một acgumen của z ( 1 i 3 ) là 3  43

- Khi |z| = 2 thì z ( 1 i 3 )= 0 nên có acgumen không xác định

5 cos 2 7 2

sin 7

2 cos 2 7

cos 7

2 cos 2 2

3 2

1

2

1 3

;

1

3

1 3 4

z

i i

z

i z

i

z

i

VD 10: Tính tổng: 2012

2012

2010 2012

6 2012

4 2012

2 2012

0

2012 C C C C C C

Lời giải: Ta có :

2012 2012 2012 2011

2011 2012 3

3 2012 2

2 2012

1 2012

0 2012 2012

2012 2012 2012 2011

2011 2012 3

3 2012 2

2 2012

1 2012

0 2012 2012

C i

C i C i C C

i

i C i

C i

C i C i C C

6 2012

4 2012

2 2012

0 2012 2012

2012

4

sin 4

cos 2 )

sin  i 



2 0

( cos sin

i

2 6 2 6

6

sin 6 cos 4

1



Bài 3: Viết dạng lượng giác của mỗi số phức sau:

a)

2 sin

2

.

 i b) cos  isin( 1  sin  )

Bài 4: Tìm phần thực và phần ảo của mỗi số phức sau :

Bài 5: Dùng công thức khai triển nhị thức Niu- tơn (1 _ i)

19

và công thức Moa–vrơ

để tính :

18

19

16 19

4 19

2 19

5 19

3 19

1

19 C C C C C

B      

VII MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ CHỨNG MINH

Lời giải các bài toán về chứng minh thường dựa trên các tính chất về môđun và liên hợp của số phức, chú ý rằng nếu các sô phức z1, z2 có các điểm biểu diễn tương ứng là A, B thì OA = |z1|; OB = |z2|; AB = |z1 – z2| Từ đó suy ra :

+ |z1| + |z2|  |z1 – z2|

+ |z1| - |z2|  |z1 – z2|

+ |z1 + z2|  |z1| + |z2|

VD 1: Giả sử z1, z2 là các số phức khác không thỏa mãn: z12 – z1z2 + z22 = 0 Gọi A,

Lời giải: Ta có z13z23  (z1z2)(z12 z1z2z22)  0, suy ra :

z13 = - z23  |z1|3 = |z2|3  |z1| = |z2|  OA = OB

VD 2 : Cho 3 số phức z1, z2, z3 đều có môđun bằng 1 Chứng minh rằng :

|z1 + z2 + z3| = |z1z2 + z2z3 + z3z1|

Lời giải : Vì |z1z2z3| = 1 nên :

) (

|

|

|

1 1 1

|

|

3 2 1 3

2

1

3 2 1 3 2 1 3

2 1

1 3 3 2 2 1 1 3 3

2

2

1

ðpcm z

z z z

z

z

z z z z z z z

z z

z z z z z z z z

z z

3

Suy ra :

a z

z z

z z

Bài tập luyện tập

Bài 1: Cho hai số phức z1, z2 đều có môđun bằng 1 Chứng minh rằng

2 1

2 1

1 z z

z z z

Bài 3 : Chứng minh rằng với mỗi số phức z, có ít nhất một trong hai bất đẳng thức

sau xảy ra : z 1  12 hoặc 2 1 1

D KẾT LUẬN

Phần chương trình số phức ở lớp 12 là phần mới đối với học sinh

Bằng phương pháp trình bày sắp xếp có hệ thống các dạng bài tập cơ bản từ dễ đến nâng cao, các ví dụ thực tế từ các đề thi những năm gần đây đem lại hứng thú

và trao dồi khả năng tư duy, so sánh để học sinh dễ dàng nhận ra sự lôgic trong kiến thức, mối liên hệ giữa các đơn vị kiến thức với nhau giúp học sinh có phương pháp và biết áp dụng rộng rãi các bài tập tương tự.

XÁC NHẬN Thanh Hóa, ngày 06 tháng 5 năm 2013

CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của người khác

MỤC LỤC

A Đặt vấn đề ……… Trang 1

B Các khái niệm ……… ……… Trang 1

C Phân loại một số dạng bài tập cơ bản ……… Trang 1

I Các phép toán trên số phức ……… Trang 1

II Căn bậc hai của số phức ……… Trang 4 III Giải phương trình bậc hai trên tập số phức ……… Trang 5

IV Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z ……… Trang 8

* Tài liệu tham khảo :

- Sách giáo khoa lớp 12 cơ bản và nâng cao

- Sách bài tập lớp 12 cơ bản và nâng cao

- Phương pháp ôn luyện thi đại học cao đẳng môn toán chủ đề số phức – Nhà xuất bản đại học sư phạm (tác giả: Hoàng Văn Minh – Nguyễn Quốc Hùng)

- Một số đề thi đại học và thi thử đại học các năm