SKKN Giải pháp giúp học sinh THPT tiếp cận và hứng thú giải bài toán xác suất

Trong quátrình giảng dạy ,giáo viên phải đặt ra cái đích là giúp học sinh nắm được kiếnthức cơ bản ,hình thành phương pháp ,kỹ năng ,kỹ xảo, từ đó tạo được thái độ vàđộng cơ học tập đúng

SỞ GD&ĐTTHANH HÓA

TRƯỜNG THPT NGUYỄN XUÂN NGUYÊN

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

THANH HOÁ NĂM 2013

PHẦN I ĐẶT VẤN ĐỀ

I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Mỗi một nội dung trong chương trình toán phổ thông đều có vai trò rấtquan trọng trong việc hình thành và phát triển tư duy của học sinh Trong quátrình giảng dạy ,giáo viên phải đặt ra cái đích là giúp học sinh nắm được kiếnthức cơ bản ,hình thành phương pháp ,kỹ năng ,kỹ xảo, từ đó tạo được thái độ vàđộng cơ học tập đúng đắn.Thực tế dạy và học cho chúng ta thấy còn có nhiềuvấn đề cần phải giải quyết Lí thuyết xác suất có nhiều ứng dụng rộng rãi trongnhiều lĩnh vực khoa học, công nghệ, kinh tế…Chính vì lẽ đó lí thuyết xác suất

đã được đưa vào chương trình toán lớp 11 nhằm cung cấp cho học sinh THPTnhững kiến thức cơ bản về ngành toán học quan trọng này

Để có thể học tốt xác suất học sinh phải nắm vững các khái niệm cơ bảncủa xác suất đồng thời phải biết vận dụng các kiến thức đó để giải quyết các bàitoán vào tình huống cụ thể Qua thực tiễn giảng dạy xác suất cho học sinh lớp11- chương trình nâng cao môn Toán tôi nhận thấy: đa số các em chưa hiểu thấuđáo các khái niệm cơ bản như: không gian mẫu,biến cố, biến cố độc lập, biến cốxung khắc, biến cố đối,…các em chỉ biết giải bài toán xác suất trong một số kiểubài tập quen thuộc, đa số học sinh chưa biết sử dụng linh hoạt các quy tắc cộng

và quy tắc nhân xác suất để giải quyết các tình huống cụ thể

Với mong muốn giúp các em học sinh lớp 11 nắm vững các kiến thức cơbản về xác suất đồng thời biết vận dụng một cách linh hoạt các kiến thức đó để

giải quyết nhiều tình huống khác nhau, tôi chọn đề tài: “ Giải pháp giúp học sinh THPT tiếp cận và hứng thú giải bài toán xác suất”

II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Nhằm giúp học sinh nắm vững các khái niệm và các quy tắc cơ bản của xácsuất đồng thời phải biết vận dụng các kiến thức đó để giải quyết các bài toán vàtình huống cụ thể ,qua đó bồi dưỡng học sinh thi Cao đẳng ,Đại học và bồidưỡng học sinh giỏi ,giúp các em hiểu sâu sắc hơn về xác suất của biến cố Từ

đó giúp học sinh có điều kiện hoàn thiện các phương pháp và rèn luyện tư duysáng tạo của bản thân

III PHẠM VI NGHIÊN CỨU

Các kiến thức cơ bản về xác suất trong chương trình SGK nâng cao môntoán lớp 11

IV ĐỐI TƯỢNG

 Học sinh thực hiện nội dung này là học sinh lớp 11

 Đối tượng nghiên cứu: các khái niệm và các quy tắc cơ bản của xác suất,các bài toán xác suất

V.NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU

 Trình bày hệ thống các kiến thức cơ bản về xác suất

 Hướng dẫn học sinh giải quyết các bài toán xác suất trong một số tìnhhuống cụ thể

 Đưa ra những hình ảnh trực quan, những video liên quan đến xác suất

VI PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

 Kết hợp linh hoạt các phương pháp dạy học

 Phỏng vấn trình độ nhận thức, kỹ năng giải toán của học sinh

 Tổng kết kinh nghiệm, tìm ra những khó khăn, thuận lợi khi giải quyếtcác bài toán ở những lớp trước

VI THỜI GIAN NGHIÊN CỨU

Tôi thực hiện nghiên cứu đề tài này từ tháng 9 năm 2012 đến tháng 5 năm 2013

PHẦN II NỘI DUNG

A CƠ SỞ LÝ LUẬN

Đề tài được nghiên cứu thực hiện trên thực tế các tiết dạy xác suất của biến

cố Khi giải bài tập toán, người học phải được trang bị các kỹ năng suy luận, liên

hệ giữa cái cũ và cái mới, giữa bài toán đã làm và bài toán mới Các tiết dạy bàitập của một chương phải được thiết kế theo hệ thống chuẩn bị sẵn từ dễ đến khónhằm phát triển tư duy cho học sinh trong quá trình giảng dạy, phát huy tính tíchcực của học sinh Hệ thống bài tập giúp học sinh có thể tiếp cận và nắm bắtnhững kiến thức cơ bản nhất, và dần dần phát triển khả năng tư duy, khả năngvận dụng các kiến thức đã học một cách linh hoạt vào giải toán và trình bày lờigiải Từ đó học sinh có hứng thú và động cơ học tập tốt Trong quá trình giảngdạy xác suất của biến cố ở bộ môn đại số và giải tích 11 của trường NguyễnXuân Nguyên ,tôi thấy đa phần học sinh rất lúng túng, kỹ năng giải toán còn yếu.Do đó dạy bài tập ,thiết kế trình tự bài giảng hợp lý giảm bớt khó khăn giúp học

sinh nắm được kiến thức cơ bản ,hình thành phương pháp ,kĩ năng ,kĩ xảo vàlĩnh hội lĩnh kiến thức mới ,từ đó đạt kết quả cao nhất có thể được trong kiểm tra,đánh giá

B THỰC TRẠNG CỦA ĐỀ TÀI

Phần lớn học sinh của trường Nguyễn Xuân Nguyên học bài toán về xác suấtcủa biến cố còn yếu ,trong khi đó nội dung này thường khai thác rất nhiều kiếnthức trong thực tế và cũng là nội dung được đề cập thi Cao đẳng ,Đại học Chính vì vậy đề tài này đưa ra giúp học sinh hiểu sâu sắc hơn về xác suất củabiến cố.Từ đó giúp học sinh có điều kiện hoàn thiện các phương pháp và rènluyện tư duy sáng tạo của bản thân ,chuẩn bị tốt cho kỳ thi ,Cao đẳng ,Đại học

b) 0 £ P(A) £ 1 với mọi biến cố A

c) Nếu A và B là hai biến cố xung khắc:P(AÈB) = P(A) + P(B)

Hệ quả: Với mọi biến cố A ta luôn có :

A và B là hai biến cố độc lập khi và chỉ khi P(A.B) = P(A).P(B)

Một số phép thử nếu sử dụng hình ảnh trực quan sẽ giúp học sinh xác định tốtkhông gian mẫu và biến cố đã cho, đồng thời học sinh thấy được sự cần thiết ápdụng bài toán xác suất trong cuộc sống.Việc sử dụng giải pháp này được thựchiện ngay trong phần định nghĩa cổ điển của xác suất.

Ví dụ 1: Gieo một đồng tiền

Các kết quả là:

Ví dụ 2: Gieo con súc sắc

Các kết quả là:

Ví dụ 3: Bắn một mũi tên vào đích (Quy ước bắn trúng cây đầu tiên là điểm 10,tiếp theo là 9,8,7,6,5,4,3,2,1; Không bắn trúng cây nào là điểm 0)

Các kết quả là:

0;1;2;3;4;5;6;7;8;9;10

(Lần 1) (Lần 2)

Qua các hình ảnh trực quan như vậy giáo viên đưa ra các câu hỏi về số phần tửcủa không gian mẫu, số phần tử của biến cố mà giáo viên đưa ra,từ đó học sinhxác định được xác suất một cách dể dàng.Ngoài ra giáo viên có thể mở rộng câuhỏi ví dụ như : gieo đồng tiền hai lần, gieo con súc sắc hai lần…

Giải pháp 2: Sử dụng video trong bài giảng về bài toán của xác suất

Giáo viên có thể quay lại hình ảnh của một phép thử ví dụ như : rút một cây bài,rút cùng lúc hai thẻ,rút lần lượt hai thẻ,lấy ra hai viên bi….Qua đó giáo viên cóthể đặt ra nhũng câu hỏi về số phần tử của không gian mẫu, số phần tử của biến

cố và xác suất của biến cố Trong quá trình giảng dạy ở lớp 11C5 và 11C10 tôi

đã tự quay lại hình ảnh lấy ra hai viên bi cùng một lúc ở hộp bi đựng 7 viên bi

đỏ ,4 viên bi xanh,2 viên bi vàng.Tôi đã đặt câu hỏi về số phần tử của khônggian mẫu ; số phần tử của biến cố lấy ra hai viên bi cùng màu,khác màu Tôinhận thấy học sinh rất thích thú và nhiều bạn đã mạnh dạn phát biểu

Những hình ảnh video đưa ra phải ngắn gọn và học sinh dể hình dung phép thửđó

Việc sử dụng giải pháp này được thực hiện ngay trong tiết dạy về bài xác suấtcủa biến cố

Giải pháp 3: Xây dựng hệ thống bài tập theo hướng giúp học sinh tiếp cận và

dần dần phát triển tư duy

Trong quá trình giảng dạy ,tôi đã chia thành các nhóm bài tập sau:

Nhóm 1: Tính xác suất của biến cố dựa vào định nghĩa

Nhóm 2: Tính xác suất của biến cố dựa vào tính chất của xác suất

Nhóm 3: Tính xác suất của biến cố dựa vào công thức nhân xác suất

Trong các ví dụ sau giáo viên hướng dẫn học sinh mô tả được không gian mẫu

và biến cố ,sau đó xác định số phần tử của không gian mẫu và biến cố.Từ đótính xác suất dựa vào công thức

Ví dụ 1: Gieo ngẫu nhiên một con súc sắc cân đối và đồng chất hai lần Tính xácsuất để tổng các chấm của hai lần gieo bằng 3

Ví dụ 3 Gieo ngẫu nhiên 1 đồng tiền cân đối và đồng chất 3 lần.Tính xác suất

để có đúng hai lần xuất hiện mặt ngửa

Bài làm:

W ={SSS,SSN,SNN,SNS,NNN,NSS,NSN,NNS} ; A={SNN,NSN,NNS}Vậy P(A)=3/8

Ví dụ 4.Gieo ngẫu nhiên một con súc sắc cân đối và đồng chất.Tính xác suất để xuất hiện mặt lẻ

Bài làm:

W ={1;2;3;4;5;6} ; A={1;3;5} Vậy P(A)=1/2

Sau khi học sinh giải các bài toán tính xác suất mà không gian mẫu và biến cốđược mô tả cụ thể ,tôi hướng học sinh thêm một bước mới là xét bài toán tìm

xác suất khi không gian mẫu được mô tả trừu tuợng hơn.Vậy tìm số phần tử củakhông gian mẫu và biến cố như thế nào?Bây giờ ta đi tìm lời giải cho vấn đề nàyngay sau đây.

2/ Hướng dẫn học sinh tiếp cận các bài toán xác suất có không gian mẫu được mô tả trừu tượng hơn

Trong các ví dụ sau ,học sinh rất khó mô tả không gian mẫu.Giáo viên phảihướng dẫn cho học sinh tìm số phần tử của không gian mẫu và biến cố dựa vàoquy tắc đếm,tổ hợp ,chỉnh hợp,hoán vị từ đó áp dụng công thức để có kết quả vềxác suất

Ví dụ 5: Một hộp đựng 7 quả cầu đỏ và 5 quả cầu xanh Chọn ngẫu nhiên 3 quả cầu Tính xác suất biến cố A: “ ba quả cầu cùng màu”

Bài làm:

Chọn 3 quả cầu từ 12 quả cầu có số cách là

Chọn 3 quả cầu cùng màu có hai phương án

- Chọn 3 quả màu đỏ từ 7 quả màu đỏ có 35 cách

- Chọn 3 quả màu xanh từ 5 quả màu xanh có 10 cách

4

6

C

C C

=73

Ví dụ 7:

3 12

Có 4 em bé lên một đoàn tàu lượn gồm 4 toa Mỗi em bé độc lập với nhau vàchọn ngẫu nhiên một toa Tính xác suất để 1 toa có 3 người, 1 toa có 1 người, 2toa còn lại không có ai.

Bài làm :

Phép thử T: ‘‘Xếp 4 người lên một đoàn tàu 4 toa’’

Mỗi người có 4 cách chọn toa nên có 44 ách xếp 4 người lên một đoàn tàu 4 toasuy ra không gian mẫu: gồm 44 phần tử

Xét biến cố A: 1 toa có 3 người, 1 toa có 1 người, 2 toa còn lại không có ai

Số cách chọn 1 toa có 3 người, 1 toa có 1 người, 2 toa còn lại không có ai là A42,

số cách chọn 3 người ở chung 1 toa là C43

Xác suất của A là P(A)= 4 43

2 4 4

Không gian mẫu: gồm 1212 phần tử

Xét biến cố A: 12 người chọn ngẫu nhiên có ngày sinh rơi vào 12 tháng khácnhau

n(A)=12!

Xác suất của A: P(A)= 12

12

! 12

Ví dụ 9: Một hộp đựng 4 viên bi đỏ và 3 viên bi xanh (các viên bi chỉ khác nhau

về màu sắc).Lấy ngẫu nhiên từ hộp ra 3 viên bi cùng một lúc.Tính xác suất để 3viên bi lấy ra có đúng hai viên bi màu đỏ

Bài làm:

n(W)= 3

7

C =35

Trong 3 viên bi lấy ra có đúng 2 viên bi màu đỏ, nghĩa là lấy được 2 bi đỏ và 1

Như vậy việc tìm số phần tử của không gian mẫu và biến cố dựa vào kiến thức

Nếu A và B là hai biến cố xung khắc thì: P(AÈB) = P(A) + P(B)

Ví dụ 10:Có 8 học sinh lớp A, 6 học sinh lớp B, 5 học sinh lớp C Chọn ngẫunhiên 8 học sinh.Tính xác suất để 8 học sinh được chọn thuộc vào không quá haitrong 3 lớp

Bài làm:

Không gian mẫu gồm 8

19

C phần tửGọi A là biến cố 8 học sinh được chọn đều thuộc lớp A

Gọi B là biến cố 8 học sinh được chọn thuộc lớp A và B

Gọi C là biến cố 8 học sinh được chọn thuộc lớp A và C

Gọi D là biến cố 8 học sinh được chọn thuộc lớp C và B

A,B,C,D là các biến cố xung khắc

AÈBÈCÈD là biến cố 8 học sinh được chọn thuộc vào không quá hai trong 3 lớp

Vậy xác suất để 8 học sinh được chọn thuộc vào không quá hai trong 3 lớp bằng:

P(AÈBÈCÈD)=P(A)+P(B)+P(C)+P(D)

V í d ụ 11: Một hộp đựng 7 quả cầu đỏ và 5 quả cầu xanh Chọn ngẫu nhiên 3 quả cầu Tính xác suất biến cố A: “ ba quả cầu cùng màu”.

Bài làm:

n(W)=

A= “ Chọn 3 quả màu đỏ từ 7 quả màu đỏ” n(A)= 35

B= “Chọn 3 quả màu xanh từ 5 quả màu xanh”  n(B)= 10

A và B là hai biến cố xung khắc

Vậy xác suất của biến cố cần tìm là: P(AÈB)=P(A)+P(B)=22035 22010 =449

Giúp học sinh đưa ra nhận xét : Trong những bài toán mà các kết quả thuận lợicủa biến cố A chia thành nhiều nhóm ta có thể coi biến cố A là biến cố hợp củacác biến cố A1 , … , An xung khắc tương ứng Sau đó sử dụng quy tắc cộng xácsuất để tính xác suất của biến cố A

4/Hướng dẫn học sinh sử dụng biến cố đối trong các bài toán tính xác suất

Trong một số bài toán tìm xác suất , học sinh sử dụng tính chất sau:

Với mọi biến cố A ta luôn có : P(A)=1-P(A)

Ví dụ 12:Có 5 học sinh lớp A, 4 học sinh lớp B, 3 học sinh lớp C Chọn ngẫu nhiên 4 học sinh.Tính xác suất để 4 học sinh được chọn thuộc vào không quá haitrong 3 lớp

Bài làm:

Không gian mẫu gồm 4

12

C phần tửGọi A là biến cố 4 học sinh được chọn thuộc cả lớp A, lớp B, lớp C

A là biến cố 4 học sinh được chọn thuộc vào không quá hai trong 3 lớp

Gọi A là biến cố “Có ít nhất một người là nữ” thì Alà biến cố “ Cả hai người

là nam”

Vậy P(A)=1-P(A)=1- 2

12

2 7

C

C

=158Trong những bài toán mà các kết quả thuận lợi của biến cố A chia thành quá nhiều nhóm khác nhau ta nên sử dụng biến có đối để lời giải đơn giản

5/Hướng dẫn học sinh sử dụng quy tắc nhân xác suất trong các bài toán tính xác suất

Trong một số bài toán tìm xác suất ,học sinh sử dụng tính chất sau:

A và B là hai biến cố độc lập khi và chỉ khi

P A 

Gọi A2 là biến cố A bắn trượt lần bắn thứ hai thì 2

3 ( ) 10

2 5

3 ( ) ( ) ( )

10

Ví dụ 15: Có hai hộp chứa các quả cầu Hộp thứ nhất chứa 6 quả trắng, 4 quảđen.Hộp thứ hai chứa 4 quả trắng, 6 quả đen Từ mỗi hộp lấy ngẫu nhiên mộtquả.Tính xác suất để hai quả cầu lấy ra cùng màu trắng

Bài làm:

A là biến cố: “ quả lấy từ hộp thứ nhất là màu trắng”

B là biến cố: “ quả lấy từ hộp thứ hai là màu trắng”

A và B là biến cố độc lập

Vậy P(AB)=P(A).P(B)

Trong những bài toán mà các kết quả thuận lợi của biến cố A phải đồng thờithỏa mãn nhiều điều kiện ràng buộc khác nhau ta có thể coi biến cố A là biến cốgiao của các biến cố A1 , … , An độc lập tương ứng Sau đó sử dụng quy tắcnhân xác suất để tính xác suất của biến cố A

6/Sử dụng kết hợp các quy tắc xác suất giải các bài toán tính xác suất

Ví dụ 16:Trong lớp học có 6 bóng đèn, mỗi bóng có xác suất bị cháy là 0,25.Lớp học đủ ánh sáng nếu có ít nhất 4 bóng hỏng Tính xác suất dể lớp họckhông đủ ánh sáng

Bài làm:

Mỗi bóng có xác suất bị cháy là 0,25, mỗi bóng có xác suất hỏng là 0,75

Gọi A1 là biến cố 4 bóng hỏng 2 bóng tối, A1 là biến cố hợp của C64biến cố

( ) 1 ( ) 0,8305

P A   P A 

Ví dụ 17:Một người bắn 3 viên đạn Xác suất để cả 3 viên trúng vòng 10 là 0,008, xác suất để 1 viên trúng vòng 8 là 0,15, xác suất để 1 viên trúng vòng dưới 8 là 0,4 Tính xác suất để xạ thủ đạt ít nhất 28 điểm

Giải pháp này được thực hiện vào các tiết luyện tập và các tiết tự chọn

Giải pháp 4: Đưa ra tình huống thực tế và yêu cầu học sinh hoàn thành

Ở lớp 11C5, tôi đã đưa bảng điểm thi khảo sát chất lượng lần 2 về môn toán củalớp 11C5 cho học sinh Chọn điểm thi môn toán của hai học sinh trong lớp.Một

số câu hỏi mà tôi đưa ra cho học sinh để học sinh thảo luận:

- Tính xác suất để điểm thi của hai em được chọn là loại khá trở lên?

- Tính xác suất để điểm thi của hai em được chọn là trung bình trở lên?

-Tính xác suất để một điểm thi là trung bình,một điểm thi là khá trở lên?

Tôi thấy học sinh rất say mê thảo luận để nhanh đưa ra kết quả

Giải pháp này được thực hiện ở tiết tự chọn sau khi đã hoàn thành xong kiếnthức về xác suất

Như vậy trong quá trình giảng dạy , tôi đã kết hợp 4 giải pháp trên và thực hiện

theo quy trình: Giải pháp 1  Giải pháp 2  Giải pháp 3  Giải pháp 4

Riêng đối với lớp C10 (Đây là lớp thi khối C), ở giải pháp 3 tôi đã không đưa những bài tập ở mục “ 6/Sử dụng kết hợp các quy tắc xác suất giải các bài toán tính xác suất”

III/ Một số bài tập tham khảo

Bài 1: Hai bạn nam và hai bạn nữ được xếp ngồi ngẫu nhiên vào 4 ghế thành 2

dãy đối diện nhau.Tính xác suất sao cho:

a) Nam,nữ ngồi đối diện nhau

b)Nữ ngồi đối diện với nhau

Bài 2: Một hộp đựng 4 viên bi đỏ và 3 viên bi xanh(Các viên bi chỉ khác nhau

về màu sắc).Lấy ngẫu nhiên từ hộp ra 3 viên bi cùng một lúc.Tính xác suất để 3viên bi lấy ra có đúng 2 viên bi màu đỏ

Bài 3: Có hai bình,bình A đựng 2 viên bi xanh và 5 bi trắng,bình B đựng 4 viên

Bài 4: Từ một hộp chứa 3 bi xanh,2 bi đen.Lấy ngẫu nhiên 2 viên bi

a) Xác định số phần tử của không gian mẫu.\

b) Tính xác suất để được 2 bi cùng màu xanh;2 bi cùng màu đen;2 bi cùngmàu;2 bi khác màu

Bài 5: Một tổ có 7 nam và 5 nữ.Chọn ngẫu nhiên 2 người.Tính xác suất sao cho: