Xác suất nâng cao - Giáo trình dành cho sinh viên đại học, học viên cao học

Lý thuyết xác suất L/TXS là một ngành toán học nghiên cứu các quy luật và các quy tắc tính toán trong thể giới ngẫu nhiên, một thế giới tưởng chừng như không có quy luật, không cần và kh

DANG HUNG THANG

Xac suat nang cao

Giao trinh danh cho sinh vién dai hoc, hoc vién cao hoc

Xác suất nâng cao Đặng Hùng Thắng

tháng 10 năm 2012

LAL DOGO eee 1

1.1.2 Độ đo ngoài và thác triển một độđo 4 1.1.3 Độ đoLebesgue-Steljles . c{ {co 9

114 Làm đủmộtđộđo {So h So nh 13

1.1.5 Không gian xắcSUẤt ào 15

12.2 Tíchphânhàm đođược {no 23

ii MUC LUC

3 Sự hội tụ của đấy biến ngẫu nhiên 81

3.1.1 Hội tụ hầu chắc chắn và hội tụ theo xác suất §L

3.1.2 Hội tụ trung bình và hội tụ theophânbố 87

3.2 Hàm đặctrứng eee 3.3 Chuỗi các biến ngẫu nhiên Lee wae 34 BRD eee ee 4 Cac dinh ly giới hạn 42 Luats6lén ee ee eee 4.1.1 Luật số lớn cho bảng tam giác 4.1.2 Luậtmạnhsốlớổn

4.2 Định lý giới hạn trung tâm 4.3 Luật loga lặp 4.4 Phân bố giới hạn của tổng các biến ngẫu nhiên : 156

44.1 Phânbốổnđịnh Quoc 156 442 Phânbếchiavôhạn 161

45 BaD o.oo eee cence eevee eeeues 166 5_ Giải tích ngẫu nhiên 169 51 Hàmngẫunhiên., cu 169 5.1 Các khái nệm cơbản 169

5.12 Tính chính quy của hàm ngẫu nhiên 175

5.1.3 Hai hàm ngẫu nhiên quantrọng 183

3.2 Tính toán vi tích phân ngẫu nhiên 190

5.2.1 Phép tính ví tích phân cho hàm ngẫu nhiên 190

5.3 Tích phân đối với độ do ngẫu nhiên 202

5.3.1 Tích phân đối với độ đo ngẫu nhiên 292

5.3.2 Tích phân đối với hàm ngẫu nhiên 5.3.3 Tích phân ngẫu nhiênHo 5.3.4 Khai niệm phương trình vi phân ngẫu nhiên

mm 8 233

6 Xác suất trên không gian metric 237

6.1 Độ đo xác suất trên không gian metic

6.1.1 Tính chính quy vàtnhRadon 6.12 Tích phân đối với độ đo xác suất 6.1.3 Sự hội tụ yếu của các độ đo xác suất

6.14 Tiêu chuẩncompacyểu 6.2 Đệ đo xác suất trên không gianBanaeh

iii

237

238

241 249

Lời nói đầu

Trong khoa học cũng như trong thực tiễn chúng ta thường gặp những hiện

tượng (biến cố, sự kiện) ngẫu nhiên Đó là những hiện tượng mà chúng ta không

thể nói trước một cách chắc chắn rằng chúng có xảy ra hay không xẩy ra

Lý thuyết xác suất (L/TXS) là một ngành toán học nghiên cứu các quy luật và các quy tắc tính toán trong thể giới ngẫu nhiên, một thế giới tưởng chừng như không có quy luật, không cần và không thể tính toán Khởi đầu những trao đổi thư

từ giữa hai nhà toán học vĩ đại người Pháp là B Pascal (1623 - 1662) và P Fermat

{1601 - 1665) xoay quanh một số bài toán rắc rồi nảy sinh trong các trò chơi cờ

bạc, LTXS đã ra đời và phát triển thành một lĩnh vực tri thức quan trọng với rất

nhiều ứng dụng thực tiễn

Tuy nhiên trong một thời gian khá đài, LTXS phát triển dựa chủ yếu trên suy

luận có lý, mang tính trực giác, thiếu tính chặt chế toán học cần thiết, Vì thế LTXS

đã không được các nhà toán học chấp nhận là một ngành Toán học chính thống Việc xây dựng một cơ sở toán học cho LTXS là một nhiệm vụ rất khó khăn, gây nhiều tranh cãi khi cần phải đề ra một hệ thống các khái niệm được định nghĩa chính xác nhưng đủ mềm đẻo để có thể áp dụng rộng rãi trong thực tiễn Trải qua gần ba thế kỷ mãi đến năm 1933 nhiệm vụ này mới được thực hiện một cách hoàn hảo bởi nhà toán học Nga lỗi lạc A Kolmogorov (1903-1987), Trong tác phẩm

"Cơ sở của Lý thuyết xác suất" xuất bản năm 1933 bằng tiếng Đức, Kolmogorov

đã đề xuất một hệ tiên đề cho LTFXS Dựa trên hệ tiên dé nay và những thành tựu

mới nhất của toán học lúc đó trong lĩnh vực lý thuyết độ đo và giải tích hàm ông

đã xây dựng nên cơ sở toán học cho LIXS Trên nên móng vững chãi này toà nhà

LTXS đã lớn lên rất nhanh trở thành một "lâu đài” nguy nga trong đô thị "toán học”

Ngày nay LTXS đã trở thành một ngành toán học lớn, vừa có tầm lý thuyết

ở trình độ cao, đáp ứng đầy đủ các tiêu chuẩn chặt chẽ chính xác của Toán học thuần tuý đồng thời lại có một phạm vi ting dụng hết sức rộng rãi trong khoa học

tự nhiên, khoa học xã hội, công nghệ, kinh tế, y sinh học Đặc biệt LTXS gắn bó mật thiết và là cơ sở lý luận cho khoa học Thống kê, một khoa học về các phương

vi

pháp thư thập tổ chức và phân tích dữ liệu để từ đó phát hiện ra các tri thức, thông

tín

Với tính ứng dụng cao như vậy nên LTXS được giẳng dạy ở hầu hết các trường

đại học và trong hầu hết các chuyên ngành Tuy nhiên với thời lượng khoảng 2-3 tín chỉ sinh viên chỉ được làm quen với LTXS "ngây thơ" tức là LTXS ở dạng mở đầu, đơn giản trong đó các khái niệm chưa được định nghĩa chính xác Vì không

có cơ sở toán học cân thiết nên nhiều định lý phải công nhận và bỏ qua các chứng

minh Thay vào đó là sự mô tả trực giác và kèm theo nhiều ví dụ minh hoạ các

khái niệm, định lý Sinh viên không có cơ hội học về cơ sở toán học của LTXS vì

điều đó đòi hỏi sự chuẩn bị khá kỹ về toán học mà họ chưa thể có được vào lúc

đó

Nhiễu bạn sau khi học xong giáo trình mé dau vé LTXS co nguyện vọng muốn tìm hiểu sâu hơn về LTXS, muốn được trang bị cơ sở toán học và bộ máy toán học của LTXS để có thể đi xa hơn trong việc nghiên cứu giảng dạy và áp dụng LTXS

Hiện tại các sách viết về Xác suất ở nước ta đã được xuất bản khá nhiều nhưng chủ yếu ở dạng LTXS "ngây thơ" theo nghĩa chúng tôi đã nói ở trên

Để đáp ứng nhụ cầu về giảng dạy học tập LTXS ở trình độ cao chúng tôi biên soạn cuốn sách "Xác suất nâng cao" Như tên gọi của nó, cuỗn sách này có thể xem là một mô đun tiếp nỗi của cuỗn sách "Mở đầu về lý thuyết xác suất và các ứng dụng" Đối tượng của cuỗn sách này là

1, Các bạn sinh viên hệ Cử nhân tài năng, chương trình tiên tiến ở các trường

Đại học

2 Các bạn học viên cao học, nghiên cứu sinh thuộc chuyên ngành LTXS va

“Thống kê và các chuyên ngành liên quan

3, Các cán bộ nghiên cứu, giảng viên các trường đại học và tất cả những ai

muốn nâng cao, bổ sung, hiện đại hoá các kiến thức của mình về LTXS Cuốn sách nhằm trang bị cho người đọc một cơ sở toán học chặt chẽ, những

công cụ và phương pháp toán học chủ yếu của LTXS từ đó giúp cho độc giả có thể nắm bắt, thấu hiểu hay đi sâu nghiên cứu những chủ đề mới của LIXS Để nắm được nội dung của cuốn sách độc giả cần có các kiến thức mở đầu về lý thuyết xác suất, các kiến thức cơ bản về giải tích, giải tích hàm của hai năm đầu bậc đại học Cuồn sách này được viết trên cơ sở các bài giảng chúng tôi đã giảng dạy những nắm gan đây cho Sinh viên hệ Cử nhân khoa học tài năng, học viên cao học và NCS của Trường ĐHKHTN, ĐHQG Hà Nội

Cuốn sách gồm ( 6 chương Các chương 1 - 3 trình bày các kiến thức cơ ban, quan trọng và sâu sắc nhất của LTXS như: không gian xác suất, biến ngẫu nhiên, tính độc lập và kỳ vọng có điều kiện, các dạng hội tụ của day biến ngẫu nhiên,

vii

hàm đặc trưng Chương 4 giới thiệu một số quy luật cơ bản của LTXS, những

"viên ngọc quý" của LTXS như : Luật số lớn, định lý giới hạn trung tâm, định lý

ba chuỗi, luật loga lặp Hai chương 5 và 6 giới thiệu hai chủ đề hiện đại và có tính thời sự của LTXS: Giải tích ngẫu nhiên và Xác suất trên không gian metric Các định lý được chứng minh chặt chẽ đẩy đủ Cuối mỗi chương đều có một hệ thông

chọn lọc các bài tập để độc giả được thử thách rèn luyện và tự kiểm tra

Chúng tôi xin cám ơn Ban Giám hiệu, Khoa Toán - Cơ - Tin học, Bộ môn Xác suất - Thông kê Trường ĐHKHTN - ĐHQG Hà Nội đã động viên và tạo điểu kiện

thuận lợi dé cuén sách được hoàn thành và ra mắt bạn đọc Cám ơn các phan biện

đã đọc bản thảo và cho những nhận xét quý báu và cám ơn Tiến sỹ Trần Mạnh Cường đã nhiệt tình giúp đỡ tác giá trong công việc chế bản và sửa lỗi bản thảo Mặc dù đã hết sức cô gắng nhưng cuốn sách khó tránh khỏi những sái sót Chúng tôi rất mong nhận được các ý kiến đóng góp phê bình của độc giả

Hà Nội, tháng 5 năm 2010

Chương 1

Khong gian xac suất va bien ngau nhién

1.1 Không gian xác suất

Lý thuyết xác suất là một ngành toán học nghiên cứu các hiện tượng ngẫu nhiên Nó ra đời cách đây hơn 350 năm xuất phát từ những việc xem xét giải đáp

một số vẫn đề rắc rồi nảy sinh trong các trò chơi cờ bạc may rủi Tuy nhiên, việc

xây dựng cơ sở toán học chặt chế cho lý thuyết xác suất chỉ xuất hiện cách đây vào những năm 30 của thế kỷ trước dựa trên những thành tựu của lý thuyết độ đo

và tích phân, một ngành toán học ra đời và phát triển trước đó không lâu Trong chương này chúng ta sẽ cho một định nghĩa toán học chính xác các khái niệm cơ bản của lý thuyết xác suất như không gian mẫu, biến cố và xác suất của các biến

cố, biển ngẫu nhiên

11.1 Độđo

Cho tập hợp X Ký hiệu 2 là họ tắt cả các tập con của X

1) Họ #,.C 2Ý được gọi là một vành nếu:

oe OER,

© Với mọi A,B € #,ta có AU8 € ® và B\A € Ñ,

Ta thấy, nếu %, là vành thì A18 = B\(B\A) € R

2) Họ 4C 2Ý được gọi là một đại số nếu:

1

2 CHƯƠNG I KHÔNG GIAN XAC SUAT VA BIEN NGAU NHIEN

eo OXEA,

e vdimoi A € Atacd AcE A,

e với mọi A,B € 3 ta có AU8€ 3 và AnBe 4

3) Họ ,$ C 2 được gọi là ơ- đại số nếu:

© OXEA,

« vdi moi A € A tacd ASE A,

© véi moi day (A,) € Atacd UA, ce Ava Ont An € 4

Dễ thấy một ơ-đại số là một đại số và một đại số là một vành Hơn nữa, một vành

là một đại số nếu và chỉ nếu nó chứa X

Cho € là họ các tập con nào đó của X Rõ tàng 2Ý là một ơ-đại số chứa C

Giao tắt cả các ø-đại số chứa € là một ơ-đại số, Đó là ø- đại số bé nhất chứa É

Ta gọi đó là ø-đại số sinh bởi £ và ký hiệu nó là ơ(€)

Định nghĩa 1.1 Cho £ C 2Ý với 0 € €

® Một ánh xạ M: C cò [—es; +es| gọi là một hàm tập trên C Hàm tập # gọi là không âm nếu u(C) > 0 với mọi C € C

® Hàm tập u gọi là cộng tính hữu hạn nếu H(0) = 0 và với mọi họ hữu hạn

các tập đôi một rời nhau Ái, Áu trong C sao cho Ar € € ta có

H (Us) = Sao,

® Hàm tập ù gọi là cộng tính đếm được hay G-cộng tính nếu với mọi ho dém được các tập đôi một rời nhau AI, «nÂn, trông C sao cho U1 Ai € € ta

® Hàm tập không âm G-cộng tinh trén o - dai sé S được gọi là một độ đo Bộ

ba (X S,u) được gọi là không gian có độ ảo

Dinh ly 1.1.1 Cho p la ham tập không âm cộng tính trên đại số A Khi đó:

1) (Tính đơn điệu): Nêu A C B thì H(A) < u(B).

1.1 KHONG GIAN XAC SUAT 3

2) Giả sử u hữu hạn tức là u(X) < œ Để cho 4 là G-cộng tính điều kiện cần

và đủ là: Với mỗi dãy đơn điệu giảm (An) trong A, Ant C An va (An = 0 (ta viet

An |0) ra có

limz(A„) = 0

Điều kiện này gọi là tính liên tục của hàm tập 4 tại 0

Chứng mình 1) Suy từ u(Ä) = n(B) + H(A \ B) > n(P)

2) Giả sử „ là ø-cộng tinh va A, | 0 Khi đó do (}Á„ = Ø nên LJA£ = X Từ đó

sử dụng giả thiết Áa | Ø ta có với mỗi „ > 1

i=l

Chú ý Từ chứng minh ta thấy: nếu ¿ tại @ thi ¿ là ơ - cộng tính (không cần giả thiết „ hữu hạn) Tuy nhiên để điều ngược lại đúng thì điều kiện „ hữu hạn là cần

thiết Thật vậy, xét ví đụ sau đây

Xét ¡ là độ đo đếm trên N tức là (A) = |A| = số phần tứ của A Giả sử

An = {kEN|k > nỳ Ta có Á„ | 0 nhưng n(A„) = +eVn

Sau đây là một số tính chất cơ bản của độ đo

Định lý 1.1.2 Cho (X,.$,n) là không gian đo Khi đó,

1, Nếu (An) | và với mọi n H(An) < œ thì

3 Với mợi đây (A,) thì

H (Us) < Yo ulAn)

ni

Chứng mình 1 Đặt A =(),An Ta cé

Ay =AL (Vie (Ai \4i41))

Cac tap A; \ Ara) 1a déi một rời nhau nên

HAI) =80(Ä)+ 3 HA \ An)

fl

= (A) + ¥ (uli) ~ (Ais)

mì

= H(A) + H(A1) —limp(An)

Vay ta cé limp(A,) = u(A)

2 Néu véi m nado d6 u(Am) = © thi (An) = vdi moi n > m do dé khdng dinh

đúng Giả sit u(4n) <2 voi moi n Tac6A =U, Ai = U8 (4s \Ain1) (vai

Ao = 0) Vay WA) = Ễ (HA) — ki») = lim, Š (uC A) ~ aA) = Ễ z

ma (An)

3 Đặt Dy = An \ (UjenAi) Dé thiy Dy C Ap, cdc D, rdi nhau va A = JD, =

UAn Vậy

HA) =F wl) < Fal) = i=1

1.1.2 D6 do ngoài và thác triển một độ đo

Dinh nghia 1.2 Ham tap u: 2Ã — [0;+e] được gọi là một độ đo ngoài nếu nó

1 g8) =0

2 (Đơn điệu): Nếu E\ C Ea thì H(EI) <Su()),

3 (Hán cộng tính)

“(U)<

1.1 KHONG GIAN XAC SUAT 5

Dinh nghĩa 1.3 Cho độ đo ngodi p Tap A CX goi ld tap t - áo được nếu với mọi

ECXiacó

M(E) = H(EnA) +i(E\A) = H(ETA) + H(EnA)

Lấy E =X ta suy ra: nếu A là ¿ - đo được thì

H(X) = HA) + (A*)

Họ các tập ¿ - đo được ký hiệu là 40)

Chú ý: Do tính chất bán cộng tính của độ đo ngoài nên A C X là ¿ - đo được

khi và chỉ khi

H(E) > HE DA) +u(E NA) = HA) +i(EnA*) aL)

Dinh ly 1.1.3 A(u) là mét o - dai sé va p ld dé do trén Alu)

Ching minh, D& ching minh @ € A(y),X € A(y) vanéu A € Ay) thi AS € A(y) Đầu tiên ta chứng minh 2(z} kín đối với giao hữu hạn Gid sit A,B € A(u) Ta cd

HE) = p(ENANB) +H(E\ (ANB)

Vay ANB E Alp)

Tiép theo gid sit (E,) € A(y) va F = U:E) Dit Fy = ULE; € Alu) Khong

giảm tổng quát ta giả sử các E„ rời nhau (Thật vậy nêu đặt Dạ = En\ (U¡ea#;) thì UnDn = UnEn va céc Dy r0i nhau) Ta có

HE) = HE\ Fx) +H(E 0 Fn) q4)

Dễ thấy sử dụng E„.¡ € 4Á) và các E„ rồi nhau ta thu được

H(EQ Foti) = HED Frat VE ptt) + HE Fag OER)

= MEN Ent1)

+HENA)-6 CHUONG 1 KHONG GIAN XAC SUAT VA BIEN NGAU NHIEN

HE) 2 Ya) + HBF)

>”(U, lang) +(E\F)

=u(Enf)+(E\F) > n(E)

Vậy

AE) =H(EE) +p(E\F) = Ÿ 2(EE)+EXP) i=l Q6

Từ đó Ƒ € Aly) Trong (1.4) cho E = F ta duge

= Ya)

ist

Bây giờ ta đi đến một kết quả quan trọng của lý thuyết độ đo: thác triển một

hàm tập ơ - cộng tính trên đại số ⁄4 thành một độ đo trên ơ - đại số chứa „4 Cho ¿ là hàm tập o - cộng tính trên đại số ⁄4, Ta xác định hàm tập ¿ :2Ÿ + [0; +20] béi

uw(E) = inf a(An ):An € ALEC U42): q7)

1.1 KHÔNG GIAN XÁC SUẤT 7

Chứng mình LỘ Rõ ràng ¿(0) = 0 Tinh đơn điệu là hiển nhiên Ta chứng

minh tính chất nửa cộng tính Cho € > 0 Với mỗi m tồn tai (Amn) € A sao

cho Ey C UmAmn Va LH(Amn) <H°(En) + gr Ta cé E =U, En C Un Um Amn-

m

Vậy u°(E) <DDM (Amn) < Lu" (En) + gr = Lat (En) +€ Suy ra p*(Z) S mm a "

De" (En)- ”

2 Cho A € 4 Ta phải chứng minh

(Œ) >0 (EnA) +ih(EVA) =w (EnA)+h(EnA?) (1.8)

Néu u*(E) = © thi (1.8) ding Xétu*(E) < 0 Cho € > 0 Tin tai (A,) € A

sao cho EC UpAg Vad (An) <pt(E)-+E VIEMACUn(ANAg), E\AC

a

Un(An \A) va dé 9 Fling theo định nghữa g”(A) < g(A) nếu Á € A nén tacé

w (EMA) +e (E\A) < Det 4M An) + Da An \A)

<} MAnA,)+} HAy\4)

= Ÿn(AnA,)n04/\4))

= TưAo <”'()+e

Vì e > 0 bé tùy ý nên ta suy ra (1.8)

3 Theo định nghĩa ¿#(4) < (4) Ta cần chứng minh bất đẳng thức ngược lại „(A) < # (4) Giả sit (An) € ⁄4 là một phủ bat ky cha A Dat B, =

AN An \ (UsenAi) DE thay (Bn) 1a ri nhau By C Ay VaA = UnBy Vay

HA) = Lo e(Bn) < L(An)-

Thành thử g(4) < #“(4)

” xác định bởi (1.7) được gọi là độ đo ngoài cam sinh bởi ¿i

Định lý 1.15 1 Néu 3 là một ø-đại số thì độ ảo ngoài k” có thể xác định bổi

#Ƒ(E) = inf{u(A),A € A, E CA} (1.9)

2 Tén tai E € A sao cho tÈ(E) = H(Ế) Ta gọi Ê là cái phủ ảo được của E.

8 CHUONG I KHONG GIAN XAC SUAT VA BIEN NGAU NHIEN

Chứng minh a) Do tính đơn điệu fa y* nén u*(E) < pt(A) = p(A) néu Ae

A,E CA Cho € > 0 Tén tai (An) € A sa0 cho E C UnAn VA Lu(An) <u"(E) +6 n

Dit A= UnAn € Atac6E CA p(A) <Lu(Ag) < w"(E) + Vay (1.9) duoc "

chứng minh

b) Với mỗi mè chọn C„ € ⁄ sao cho C C„, /(Cm) < wX(E) + 1/m Đặt

Ê =nnŒ € Ä ta có E C Ế và H(Ẽ) < H(Cm) < #h(E) + 1/m với mọi m, Cho

m — s 1a được H(Ế) < p*(E) Vay u*(E) = u(B) Qa

Từ định lý trên ta suy ra:

Dinh ly 1.1.6 7 Cho là hàm tập G - cộng tính trên đại số 24 Khi đó n được thác triển thành một độ đo trên ø(23)

2 Cho ứ là độ đo trên G(23) là thác triển của w (tức là 0(A) = M(A) với mọi A4) Khi đó với mọi A € G() mà th (A) < « ta có (A) = pA)

3 Từ đó suy ra nễu p là G-hữu hạn thì

VÀ € g(3) d(A) = (4)

Chứng mình, Để cho gọn ta kí hiệu 5 = ø(3)

1 Ta có 4C $C (w) do đó thu hẹp của ¿* trên $ là thác triển của ø:

2 Cho A € S Néu (A;) € ⁄4 là một phủ của A thì œ(A) < Lalan) = TW): Vậy œ(A) < ø*(A) Ta chứng minh bắt đẳng thức ngược lại Cho € > 0 Do

#(A) < œ nên tồn tại phủ (An) cla A sao cho

TH) <(A) +e, Dit B, = UL A; € A va B =U) 4; € S Tacé By € ABE S,AC B Vay

H°(B) < Pun) < eA) +e nh (B\A) <e,

Vì B„ † và ¿ˆ là độ đo trên $ nên với z đũ lớn „r (B„) > ¿*(B) — e Vậy

G(A) = a(B) - 0(B\A) > a(B,)~u*(B\A)

> 8(B„) ~e = g(By) —

>M*(B) ~E—e > #*(A) —2e

(Ta dùng bắt đẳng thức vừa chứng minh trên d(A) < „*(A) nếu A € $ và

đẳng thức œ(B„) = u(B,) do B, € 2) Vie > 0 bé tùy ý nên

g(A) >¿(4).

1.1, KHONG GIAN XAC SUAT 9

3 Ta có X =UnAnsH*(An) = u(An) <0 Vay A = AMX = Un(AMA,) Theo

P_.C¡ với các C¡ € ?Ð đôi một rời nhau

Bổ đề 1 Cho nữa đại số 2Ð Gọi 44 là họ các tập A có dạng

A=UL An với Ape DANA; = OIF Jj

Khi đó A ta mot dai sé Đó là đại số bé nhất chứa D và được gọi là đại 56 sinh bdi D

Chứng mình Giả sử A,B € A,A = UA), B = Ut_, By trong d6 céc Aj réi nhau,

các Bạ rời nhau

1, ANB € 3 Thật vậy A18 = (J;¿(Ai7180) € 2 (do Á¡ 1B, € Ø và chúng

rời nhau)

2 Đặt Cy = By \A Cac C, roi nhau va B\ A = UC, Để chứng minh B`\ A e 4

ta chỉ cần chứng minh C¿ € ⁄ với mỗi k Nhưng Œ¿ = f*(B¿ \ 4¡) Mà

By \Ai € 3 (vì nó là hợp của một số hữu hạn các tập rời nhau của ?) Theo phan l) ta suy ra Cụ € 4

3 Trước hết dễ thấy néu A,B roi nhau thi AUB € 44 Với A,B bất kỳ ta có AUB = AU(B\A) Theo phan 2.) B\A € A Vì A và B\ A là rồi nhau nên

AUBE A

Rõ ràng mọi đại số chứa # thì phải chứa các hợp hữu bạn các phân tử của 2 tức

10 CHUONG | KHONG GIAN XAC SUAT VA BIEN NGAU NHIEN

Bé d8 2 Cho nita dai s6 Dvaa: D— |0: +=] là hàm tập công tính Gọi 3 là đại số sinh bồi Ø Ta định nghĩa hàm tập t: 4 — [Ú;es| bởi

HA) =Ya(C;) néu A cd biéu dién A = URC

7

Khi đó

1 u định nghĩa đúng đắn và là hàm tập cộng tính trên A

2 Nếu œ là G - cộng tính trên /à thì wp cũng G - cộng tính trên 4

Chúng mình, 1 GiÁ sử A = U/Œ = U¿Ðy Khi đó véi moi iC; = Ux(C; Dy)

Vay „ được định nghĩa đúng đắn

Gia sit B = Ut, B), By = 07 ÌBụ trong đó các tập (B,) rồi nhau do đó họ (Big) cũng gồm các tập rời nhau Ta có B = UP_¡Ư un) ¡ Bụ nên

Về phải của (1.10) là

kín)

PMs i=l jet M1

1.1 KHONG GIAN XAC SUAT H

u(B) = ¥ aay)

r=l

Dé thấy o(A) = o(D) nén tit hai bé dé trén va theo định lý !,1.6 ta có

Định lý 1.1.7 Néu œ là một hàm tập ø-cộng tính trên nửa đại số ? thi 0 co the thác triển thành một độ đo 4 trên ø()

Bây giờ ta sẽ xét một ứng dụng quan trọng của định lý trên vào vấn để xây đựng độ đo trên đường thẳng thực IR

Xét trường hợp X = IR Gọi B là ø-đại số sinh bởi các tập mở Ta gọi B là

o-dai s6 Borel và một tập thuộc 2 sẽ được gọi là tập Borel Goi D là nửa đại số gồm các nửa khoảng dạng [a;b) Ta có ø() = 2

Thật vậy vì chứa các tập mở và tập đóng do đó chứa (a;6] = (a,b) U {b} Vậy Ø C 2 suy ra o() C ® Ngược lại vì (a,b) = U„[a-+ 1/n;b) € G() và mỗi tập mở là hợp đếm được các khoảng nên ø(2) chứa các tập mở Thành thử

Định ly 1.1.8 Cho trudc ham F(x) khong gidm va liên tục bên trái Khi đó tôn

tại dé do ytrén B sao cho

Oi([a;b)) = F(b) - F(a)

D6 do y ndy được goi la dé do Lebesgue-Stieltjes trén (R,B) sinh bdi ham F(x)

Chứng minh Ta định nghĩa hàm tập œ trên D bai công thức

0(Íø:ð)) = F(ð) ~ F(a)

Goi 4 1a dai sé sinh bởi Ø và ø là hàm tập trên 4 xác định bởi

HA) =3 d(C)) = 3 (F(b¡) —F(a)- nêu A có biểu diễn

A=ULIG, C= (a,b)

Ta chứng minh ¿ là ø-cộng tính, Muốn vậy chỉ cần chứng minh ø liên tục tại Ø

Gia st A, € A,A, } 9

Theo gid thiét A, = Ube [as bP) Vi F lign tục trái nên với e > 0 đã cho tim

được c7 € [aŸ; bƑ) sao cho

Do FT JÁ =0 nên OR Kn = 0 Do K, compac nén tén tai ny dé 1%, K, =O —›

Oya Bn = 0 n Bạ = 0 với moi m > ng Vậy với m > nọ

M(Am) = H(Tf—iAnG Anet By)

< Daan \Br) < Deze,

is]

Ths Vay theo Định lý I.1.7 œ thác triển thành 6 do trén o(D) = B

tị vn ¥ ting {4} = (z[a,a a) + 1/n)) = tìm; F(4 + 1/n) — F(a) = F(at) —

Oo

Trong trường hop F(x) = x thì độ đo tương ứng goi là độ đi ý

1.1 KHONG GIAN XÁC SUẤT 13

1.1.4 Lam đủ một độ đo

Cho (X,,.$,ø) là một không gian có độ đo Ta nói rằng nó có độ đo đủ nếu với moi tap con £ C D với Ð € $,u(D) = 0 thì £ € € Bài toán đặt ra là nếu (X,.S,) chưa đủ ta sẽ làm đủ nó bằng cách mở rộng ,$ lên một o- dai sé nao đó và thác triển tương ứng „ lên đó sao cho ta được một không gian có độ đo di

Một tập hợp # có ¿”(F) = 0 gọi là ø-bỏ qua Ký hiệu V(u) là họ các tập bỏ qua Do tính bán cộng tính của p* thi hop đếm được các tập ¿-bỏ qua là p-bé qua

Ký hiệu 5, là họ các tập con # có tính chất: tồn tại Ö € 9 sao cho „"(E A B) = 0 Định lý 1.1.9 .$, /à G- đại số bé nhất chúa Š$ và N(u) và H được thác triển lên ‹$„ Chứng mình, Ký hiệu Z3 là ø- đại số bé nhất chứa $ và N{u)

Trước hết ta chứng minh $„ C ⁄: Giả sử # € $„ Khi đó tồn tại Ø € 5 sao cho

EQB€ N(u) Khi 46 E\BEN(u) € A,B\E €N(u) € cA AE = (BNE)U(E\ B) € A vi (BNE) = (B\ (B\ £)) € cA Vay SC A

Đảo lại, dễ thấy $ C 5,,N(u) CS, Ta chi cdn chting minh 5, 1a o- dai s6

vi tit dé sé suy ra AC S, Gia sit (A,) € S, Voi mdi m tồn tại B„ € $ sao cho

An A By € N(y) Khi 46

(UnAn) S (UnBn) C Un(An A Bu) € N(u)

Vay UnAn € 5, Gid sit A € S, Khi đó tôn tai Be S$ sao cho AAB € Ny) Vi

Ao ABS = AAB nén suy ra A* € Sy

Bay giờ ta thác triển ¿ lên $, như sau:

Nếu A € 5, thi ta đặt

HA) = u(B)

trong đó 8 € S$ théa min AABe N(u)

Định nghĩa này đúng đắn Thật vậy giả sử C € S thoa min AAC € N(p) Khi

MBn-1)-14 CHUONG I, KHONG GIAN XAC SUAT VA BIEN NGAU NHIEN

Do đó từ (8,18) = 0 suy ra u(D,) = (By) Ta C6 B= UnBn = UnDn Do (Dy)

ri nhau nén p(B) = Ly u(Dn) = La tt(Bn) = Lafi{An) Lai c6 AA BC UA, A Bn) € N(u) Vay AAB € N(u) suy ra ñ(A) = u(B) Từ đó

Chúng mình, Trước hết ta chỉ ra rằng

Su = S(p)

That vậy xét trường hợp là hữu hạn Giả sử E œ S(u) Goi A € $ là phủ đo được của E (xem định lý 1.1.5) Ta có gẺ (E) = H(A) = pA) > w(A\E)=06 M(EAA) =0 Vậy E € ,s„ Điêu này chứng minh Su) C Su

Ngược lại ta chỉ cần chứng minh M{w) C $(/) (vì đã có ,$ G0) Giả sử

##(E) =9 Với mọi Á C X ta có

HA) >h(A\) =4 (AE) + (E) >àhANE)+t(AnE)

Vay E € S(u)

_Bây giờ nếu là ơ- hữu hạn thì X = UnEn, (En) < œ, Eạ„ € $ Ta chi phai chứng mình Sứ) C Sue Nếu £ € $0) thì £ = ENX = Uz(EnE,) Vì pt (En En) <p" (En) <0 vA EN By € S(u) nén theo tén ENE, € Su Vậy E € Sy

Vi rang ñ là một thác triển của ø lên sốu =.Š(w) và ¿ là G- hữu hạn nên theo tính duy nhất (định lý 1.1.6) ta có g# = & Do dinh ly 1.1.10 ta suy ra điều phai chứng minh

n

1.1 KHONG GIAN XAC SUAT 15

Chú ý: Cho ^ là độ đo Lebesgue Một tập E là À- đo được (tức là E € B())

được gọi là tập hợp đo được Lebesgue Lớp các tập đo được Lebesgue mặc dù rất rộng bao gồm tắt cả các tập thường gặp, nhưng không phái tắt cả các tập con của tập sô thực

Để chứng minh rằng có tập con không đo được Lebesgue người ta có thể nghĩ

đến việc chứng mình lực lượng của BA} la it hon lực lượng của họ tất cá các tập

con của tập số thực Tuy nhiên cách này không thành công vì người ta đã chứng minh được lực lượng của #(A) là bằng lực lượng của họ tắt cả các tập con của tập

số thực

Giả sử tiên đề chọn được thừa nhận (Tiên đề chọn: Cho một họ (4;)¡e; các tập

con của X không giao nhau đôi một Khi đó tồn tại tập A C X mà với mỗi ¡ € 7 Á

có chung với Á; đúng một phần tử, tức là có thể chọn ra từ mỗi A; mot phần tử để lập tập hợp 4) Khi đó người ta đã xây dựng được tập E C [0; 1] không đo được Lebesgue Cụ thể người ta đã xây dựng được tập E C [0; I] thoả mãn

X*{E) ='(0:1]\E) =1,

Do đó E không đo được Lebesgue vì A*(7) = ! #À*(In1E)+^*(\É) =2 Nếu độ đo Lebesgue À không xác định cho mọi tập con của |0; 1] thì liệu có thể thác triển nó thành độ đo xác định trên tất cả các tập con của 0; 1] được không? Câu trả lời là không thể nếu thừa nhận tiên để continum (Tiên để continum : Giữa lực lượng đếm được và lực lượng của [0; ¡] không có lực lượng trung gian) Ta có kết quả sau

Định lý (Banach-Kuratowski) Giả sử tiên để continum là đúng Khi đó không tôn tại độ đo ¿ xác định trên tắt cả các tập con cúa [Õ; 1] sao cho với ¿({0: I]) = I

và A{a} = 0 với moi diém a € (0; 1]

1.1.5 Không gian xác suất

Khái niệm cơ ban đầu tiên của xác suất là khái niệm phép thử ngẫu nhiên Đó

là một thí nghiệm, hành động, mà kết quả của nó không thể dự báo trước được Tập hợp các kết quả có thể của phép thử ngẫu nhiên đó được gọi là không gian mẫu và được ký hiệu là ©

Giả sử F 1a ơ-đại số nào đó các tập con của 7 Mỗi phần tử của # được gọi

là một biến cổ Nếu A là một biến cố thì Á xảy ra khí và chỉ khi kết quả của phép thử là thuộc vào A Không gian mẫu © là biến cỗ chắc chắn, nó luôn luôn xảy ra Tap 0 là biến cố không thể, nó không bao giờ xảy ra Các phép toán về tập hợp như phép hợp, phép giao, phép lấy hiệu, phép lầy phần bù phát biểu một cách trực quan theo ngôn ngữ xác suất như sau: Cho A, B 1a hai bién cố Khi đó biến cô AnB có nội dung là: "Xây ra A hoặc 8"; Biến cố Af18 có nội đung là: "Xảy ra cả

16 CHUONG I KHONG GIAN XAC SUAT VA BIEN NGẪU NHIÊN

A và 8" Trong xác suất bién c6 ANB con duge ky hiệu là 4ð Biến cô A° là biến cổ: "Không xảy ra A" Nếu AB = 0 thì ta nói hai biến cô A và # là xung khắc Với mỗi biến cố A người ta gắn cho nó một con số không âm P(A) Sô này đo

lường khả năng xuất hiện của A và được gọi là xác suất của biến cé A Phép gần

A P(A) phải thoả mãn các điều kiện sau

Bộ ba (Q, F , P) gọi là một không gian xác suất

Như vậy một không gian xác suất (Q, Z,P) không có gì khác hơn là một không gian có độ đo, trong đó độ đo P thoả mãn P(@) = 1 Độ đo P như vậy gọi

là một độ đo xác suất trên (Q, F)

Ví dụ 1 Giả sử phép thử ngẫu nhiên của ta có một số đếm được kết quả

có thể (@n),n = 1,2, m (ở đó m có thể là +ss), Nhự vậy không gian mẫu là Q= {e},n = 1,2, ,m Goi F là họ tất cả các tập con của © Cho (Pr) 1a một

day sé khéng 4m vdi Ep, = 1 VOiA € F ta đặt

P(A)= }) pn

WEA

DỄ kiểm tra rằng P là một độ đo xác suất trên (O,, 7) và (Ô, 7, P) lập thành một

không gian xác suất Vì P({œ„}) = p„ nên p„ chính là xác suất để xây ra kết quả ©, cla phép thử ngẫu nhiên

Ngược lại, để chứng minh được mỗi độ đo xác suất P trên một không gian

đếm được đều phải có dạng trên

Ví dụ 2 Giả sử phép thử ngẫu nhiên của ta là: “Chọn ngẫu nhiên một số trên đoạn [a;5]" Như vậy không gian mẫu của ta là Q = [a;b] Gọi Z là họ tắt cả các

tập con Borel của © Với Á € Z ta đặt

ð đó À là độ đo Lebesgue Dễ kiểm tra rằng P là một độ đo xác suất trên (Q, 7)

và (, F,P) lập thành một không gian xác suất Chú ý rằng ở đây không gian mẫu là không đêm được và ta có P({@}) = 0 với mọi kết quả œ € ©.

1.1 KHÔNG GIAN XÁC SUẤT 17

Vi du 3 Cho F(x) 1a một hàm không giảm, liên tục bên trái và thoả mãn điều

kiện

Xét Q = R và 7 = Ø là họ tất cả các tập con Borel của ©, Gọi ¿ là độ đo Lebesgue-

Stieltjes trén (R, B) sinh béi ham F(x) V6i A € F ta đặt

P(A) = IA)

Từ điều kiện (1.15) suy ra P(Q) = | do đó P la mot dé do xac suat trén (Q, F) và (Ó, 7, P) lập thành một không gian xác suất ,

Định nghĩa 1.5 Cho đấy (A„) các biến cố Ký hiệu

lim supAn = Mp) Ugg Aks

liminfAy = UZ_, ME, Ag

Biển cố limsupA, có nội dung là: "Xây ra vô số biến cố A„", Thật vậy nếu

@€ limsupA, thì œ € L_ ¡4y do đó tồn tại øị để (o € A„,, Tiếp đó vì œo € Uren Ak

nên tổn tai nz > dé © € App ta có sự xảy ra dãy vô hạn Ay, ,Agy,An;) CAC biến cố (Chú ý rằng các chỉ số mị, nạ, mạ, phụ thuộc vào @)

Biến cô liminfA„ có nội dung là: "Xây ra tất cả (có thể chỉ trừ ra một sẽ hữu hạn) các biến cổ A;" Thật vậy nếu œ € liminf4, thì tồn tại mị (phụ thuộc @) dé

OE ean Ax Do dé @ € Ax voi moi k > mị tức là Ay xdy ra với mọi & > mỊ

Hiển nhiên ta có bao hàm thức

liminfA, C limsupAy

Néu liminfA, = limsupA, = A thi ta ndi limA, tén tai vA limA, = A

Dic biét néu (A,) 1a day tng, ky higu 1a (Aq) †, thì ta cé US_,Ag = UR An,

Vn va Ne ,Ak = An nén

liminfA, = timsupAn =(JAn,

n tức là

18 CHUONG I KHONG GIAN XAC SUAT VA BIEN NGAU NHIEN

Dinh ly 1.1.12 Cho (Q, F ,P) la khong gian xác suất Khi đó

Nếu tồn tại limAn thì tôn tại lim, P(A,) và

lim P(An) = P(limA,)

Chitng minh Khang định 1 và 2 suy từ định ly 1.1.2 Ti 1) và 2) ta có

P(HminfA,) = limP(E.„4¿) < liminfP(A,), " "

P(IimsupA„) = lim P(Uj_,Ax) 2 limsup P(A,)

"

Từ đó nêu tồn tại limA„ thì liminf„ P(A„) = lim sup, P(An) n Kết quả sau đây, được gọi là Bổ đề Borel-Cantelli, thường được dùng trong xác suất

Dinh ly 1.1.13 a) Néu LP(A,) <0 thi

P(limsupA,) = 0, túc là với xác suất † chỉ xảy ra mội số hiữu han biễn cỗ (Án)

b) Nếu (An) là dãy biến có độc lập và }.P(Aa) = © thi

P(limsupA,) = 1,

tic 14 voi xdc sudt I xdy ra vé sé biến cé Ay.

1.2 BIEN NGAU NHIEN 19

Chitng minh a) Dat Cy = UG_,Ax Ta c6 Casi C Cy do đó

P((limsupA,) = limP(Ch)

Lai cé P(C,) < EPs) Vì chuỗi PP(A,) hội tụ nên ta có lim P(C„) = 0

b) Ta có

P(limsupA,) = 1 > P(UP_) ML, Ay) = 0 P(Iiminf4z) = 0

Đặt B„ = n_„Aÿ Ta c6 P(liminfAg) < L,P(Bn) do đó chỉ cần chứng minh

P(,) = 0 với mọi n

Do (An) độc lập nên (4z) Vay P(NZL,AG) = TIL, (P(Ag)) Thành thử

P(#u) = POLAR) = TTC - PUR) ken

<Íilsec- —P(A,)) = exp(~

Ta sii dung danh giá 1 — x < exp(—x) 6 (1.16)

Vay P(Bn) = littm P(N, AY) < exp(—s) = 0 Qo

1.2 Biến ngẫu nhiên

1.2.1 Ánh xạ đo được, hàm đo được

Định nghĩa 1.6 e Cho các không gian đo (X,.$) và (Y,Y) Ánh xạ ƒ:X — VY

gọi là ánh xạ đo được nếu với mọi tập A € !Y ta có

f(A) = {x EX: f(x) CAS ES

© Cho khong gian có độ do (X,.$,u) Hàm số ƒ: X — [—=;s}] được gọi là t-

đo được nếu véi moi tp Borel BC R ta có

20 CHUONG 1 KHONG GIAN XAC SUAT VA BIEN NGAU NHIEN

1 Hàm ƒ: X — [—s;®| là đo được

2 Mới mọi số thuc r tap {x EX : f(x) > r} do được

3 Véi moi sé thuc r tap {x EX: f(x) > r} do duge

4 Với mợi số thuc r tép {x © X : f(x) < r}do được

5 Véi moi s6 thuc r tap {x € X : f(x) <r} do được

Chitng minh, 1) — 2) 1 hién nhién

2 Gid sit f,g do dugc Khi dé cdc ham f V g = max{f,g},f Ag = min{f,g},

fe fg : (g #0) va |ƒ|* là đo được, ở đó œ là số thực đương

3 Néu f ld ham do duge va g(x) = f(x) pr hkn thì ạ cũng đo được

4 Cho (fn) là dây hàm đo được Khi đó các hàm

sup f, inf f,, lim sup f,, liminf fy

1.2 BIEN NGAU NHIEN 21

nên {ƒ < ø} đo được Từ đó {ƒ < ø} =X \{ø < ƒ} đo được và {ƒ = g} =

{F< gs} Nf 28)

2 Ta có {ƒVg > r} = {ƒ > r}U{g > r} và ƑAg > r} = {ƒ >r)n{a > r} Do đó ƒVg,ƒ^ ø đo được Tiếp theo ta có với mọi số thực c thì { ƒ + c > r} ={ƒf>r~e}, {ef > r} = {ƒ > r/c} nêu c >0 {eƒ > r} = {ƒ < r/c} néu c < 0 Thành thử ƒ + e và cf đo được Lại có {ƒ + g > r} ={—ƒ <

—g—r} là đo được theo 1) Lại có ƒ? đo được do {ƒ? < r} = {ƒ < wz}n {ƒ> —v?} nếu r > 0 và bằng Ø nếu r < 0 Từ đó

Vậy ø đo được

4 Suy từ {sup/2 < r} = f\y„ < r},[inff, > r} = („3 r} và

limsup f, = inf (sp fa) , liminff, = sup ( inf fn)

"` Nmền 1ø NHầN

A= {x: limsup f, = liminf f,} và f(x) = liminf f, ø-hkn

1

Định nghĩa 1.7 Hàm ƒ được gọi là hàm đơn giản nếu nó chỉ nhận một sô hữu

han gid tri

Dễ kiểm tra rằng nếu f,g 1a ham don gidn thi f+c,cf,f +g, fg cling 1a ham don gian

Nếu ƒ là hàm đơn giản nhận hữu hạn giá trị đ¡,đ2, , đ„ thì ta có thể viết

22 CHUONG 1 KHONG GIAN XAC SUAT VA BIEN NGAU NHIEN

trong d6 A; = {x: f(x) = aj}

Định lý sau đây cho cấu trúc hàm đo được

Định lý 1.2.16 Cho f là hàm đo được Khí đó tôn tại đây hàm đơn giản đo được

n) hội tụ tới ƒ tại mọi x € X túc là

Taco fy là hàm đơn giản không âm Ta chứng minh ƒ„ ¡ (x) > /„(x) Thật vậy

@ Néu f(x) <2 Khi đó 2z: < f0) < # với 1<i< 2" hay pat < f(x) <

grt Néu f(x) < Fat thi fri(s) = FSF = Ja(x) Neu Sap < f(x) thì ii) = Ÿm > Gt = fale)

e Nếu ƒ(x) >n+ I Khi đó ƒz.¡(x) =n+ 1 > falx) =n

+ Nếu n < ƒ(x) < n+ 1 Khi đó TP < ƒ(x) < “ee vay tổn tại 0 < ý €

2 1 sao cho Sar < f(x) < “NI,

Hn gi Suy ra fry = th >n

Ta chứng minh lim z(œ) = f(x) Néu f(x) < « thì ƒ(x) < m với m nào đó vậy f(x) < n,n > m do d6 f(x) = BL Vay |fn(x) — f(x)| < L/2",n > m Suy ra

đpcm

Néu f(x) = thi f(x) =n suy ra lim f,(c) = 0,

Bay giờ với ƒ đo duge bit ky taco f = f+ — f- vai ft = max{f,0}, f+ = max{—f,0} = min{ƒ,0} Ta có lim i„ = ft, lim gn = f~ do dé dat fr = gn —An

Định lý 1.2.17 (Egorov) Cho (fn), f là cde ham do duoc sao cho traf u- hkn, Khi dé vdi moi € > 0 tén tai tập A với p(A°) <€ sao cho f, hoi tụ đều tới ƒ trên Á,

i

12 BIẾN NGẪU NHIÊN 23

Chứng mình, Với mỗi m,n = 1,2, dat

Chang haa f,(x) = x” hội tụ tới 0 trên |0; I) nhưng không hội tụ đều Tuy nhiên với mọi > 0 dãy hội tụ đều trên tập [0; l — £]

1.2.2 Tích phân hàm đo được

Gợi 2/ là tập các hàm đơn giản đo được Ta định nghĩa ánh xạ 7 : 2í —› I bởi:

Néu f(x) = ¥ ala, trong d6 Aj, .,An 14 m6t phân hoạch của X thì

=1

| iAn=1U) =3} am):

Định nghĩa trên là đúng đấn tức là /(ƒ) không phụ thuộc vào biểu diễn trên của

ƒ Thật vậy, giả sử ƒ = Tai lạ, = Ebley Khi d6 {A; By} 1a phan hoạch của X

24 CHUONG 1 KHONG GIAN XAC SUAT VA BIEN NGAU NHIEN

vA a; = by néu A; NB, # 0 Do dé ta ludn có aju(A; By) = byu(Ai By) với mọi

Bé dé 3 Ham I(f) cé cde tinh chất sau

1 Với mỗi số thực a và ƒ € 2( ta có I(aƒ) = al(f)

2 HF +8) = HA) +18)

3 Nếu f < g hil(f) <H(g)

Chứng minh hiển nhiên Chang hạn với 2) ta giá sử ƒ = J4; la, ø = Ly delay Dat Cx = AiO By, cij = a; + by Khi d6 If + 8) = Ly Ly (ai + dy) e(Ai Be) =

Digi La e(Ai By) + Le bi Lindi Be) = 1(f) +1 (a)

Bây giờ ta định nghĩa 7(ƒ) cho hàm ƒ đo được không âm bắt kỳ bởi công thức

I(f) = sup{i(g)0 <8 < f,g € H}

Chú ý rằng J(g) > 0 và có thể bằng s

Từ định nghĩa để thầy nếu 0 < ƒ¡ < & thì 10) <1(9)

Dinh ly 1.2.18 (Dinh lý hội tu don điệu) Giả sử (ƒ,) là đây hàm đo được không

dm, don diéu fr < far hOi tu về ƒ Khi đó

limI(fn) = 1) Chứng mình Ta cần bổ đề sau

Bổ đề 4 Nếu g < ƒ,ø € 2Ý thì I{g) < lim 7( fn)

Chúng mình bổ để Giả sử g =" big Lay O<¢ <1 DatA(n) = {fy > cg}

Do tn & fati nén A(m) C A(n +1) Vi „ g >ce,limf, = f nén X = U,A(n)

1.2 BIEN NGAU NHIEN 25

Cho ¢ — 1 ta dude lim!(ƒ2) > I{g)

Bay gid ta chứng minh định lý Vì ƒ, < ƒ nên /(/¡) < I(f) Vay limal fn)

& 1{7) Ta chứng mình bất đẳng thức ngược lại, Xét trường hợp /(ƒ) < se Cho

e >0 Tôn tại g € 2/,g < ƒ sao cho /(ƒ) — e € /(ø) Theo bổ đề /(g) < lim/(fn)

Vay I(f) —€ < limI(f,) Vie > 0 bé thy ¥ nén I(f) < lim/(J,)

- Nếu /(ƒ) = œ Với mọi m tồn tại ø < ƒ,ø € 2Í sao cho I(g) > m Vay theo bd

đề limi (fz) > I(g) > m Vay lim1(ƒ,) = œ Định lý hội tụ đơn điệu được chứng

Dinh lý 1.2.19 (Bé dé Fatou) Cho day cdc ham do được không âm (fn) Khi do

I(liminf fy) < liminf( f,)-

Chứng mình Đặt un = infprofntp < fn (un) 1a day tăng va theo dinh nghia limu, = liminf fy Lai c6 I(us) < 1(fn)- Vay

I(liminf f,) = [(lim un) = lim I(t)

< liminf7 (fp)

o

Như vậy ta đã xác định mở rộng miễn xác định của ánh xạ tích phân 7 lên các hàm đo được không âm Ta xác định các tính chất của ï

Dinh ly 1.2.20 Ta co cdc tinh chdt sau

1 Với mọi a > 0 ta có (af) =al()

2 1+8) = 17) +18)

3 Nếu ƒ < g thì I(ƒ) < 1(8)

4 1ƒ) = 0 nếu và chỉ nếu ƒ = 0 u-hkn

5 Nếu I(ƒ) < = thì ƒ < = nhắm

6, Nêu ƒ = g u-hấn thì I(ƒ) = I8)

Chứng minh Chứng minh 1), 2) và 3) dựa vào các tính chất tương ứng của /(ø)

và sự kiện là /(ƒ) = lim/(ø„) trong 46 (gn) là dãy don điệu tăng bất kỳ các hàm đơn giản hội tụ tới ƒ

4) Ký hiệu A = {ƒ > 0} Giả sử ƒ = 0 -hkn Khi 46 (A) = 0 Dat uy = alls

(w„) là đãy tăng hội tụ tới hàm nào đó Định lý hội tụ đơn điệu cho ta lim/(„„) = 10) Tả có Ï{(u„) = nu(A) = 0 Vậy (u) = 0 Dễ thấy f < 4 Suy ra I(f) = 0

26 CHUONG I KHONG GIAN XAC SUAT VA BIEN NGAU NHIEN

Ngược lại giả sử /(Ƒ) = 0 Dat v, = nf + I(v_) = nlf) = 0 (v„) là dãy tăng hội tụ tới v Định lý hội tụ đơn điệu cho ta lim/(v,) = I(v) = 0 Dé thấy

Wx an 1A(x) <nƒ(x) = v„(x) < v(*) Suy ra la < y— u(A) < 1{v) =0 5) Ký hiệu A = {f =} Véi moi n tacé nl, < f + np(A) <1(f) Va H(A) = 0

6) Ký hiệu A = {ƒ # ø} Ta có „(A) = 0 Trước hết xét trường hợp f < g Xét ham (z) xác định bởi ø(x) = œ nếu x € A va A(x) = 0 nếu x # A Ta có h = Op hkn Do dé theo trén I(h) = 0 Vif Sg < + ñ nên !(ƒ) < /{g) <J +h) =1)

hay Hf) = I(g)

Trong trường hợp tổng quét xét F = min(f,g),G = max(f,g) ta cé F < G,{F # G} C {ƒ # g} Vay F = G pehkn Theo ching minh trén suy ra 1()= 1().Vì

IGF) < min{JỢ).!@)} < max{(/),1)} < I(G) =1(£)

nên mmin{Z(ƒ),{g)} = max{1(/),1(g)} Vậy !(/) = H4) D

Định nghĩa 1.8 Hàm đo được ƒ gọi là hàm u- khả tích nếu 1|) < = Khi đó ta đặt 1ƒ) = TT) TIỢT) và ký hiệu

1Ự)= | Fls\du(s) hay gon hon If) = Jy Fe

Néu A là một tập do được ta định nghĩa tích phân trên A của ƒ bỏi

Định lý 12.21 Taf) = al(f), 7 Nếu ƒ € Li(X;g) thì với mọi số thực a: a € L\(X;d) va

2 Néu fg © Ly(Xsp) thi f+ge Ly (X;u) khả tích va If + g) = 1(f) +1(g)

3 Néu f EL; (X;n) khả tích thì ƒŒ) < œ u-him,

4 Jf(7)| <1(|7).

1.2, BIEN NGAU NHIEN 27

5 Néu f(x) = gŒ) H- hàn, ƒ € LI(X;m) thì g € LI(X;p) và 1(ƒ) = !(8)

Chứng minh Khang dinh 1) vi 3) hign nhiên Chứng minh khẳng định 2) suy từ

ae thức /(|ƒ + g|) </(|ƒ|)+1(14|) và tay tf te =f tet tft

ø)"

6 INF) = PF) IF) SI) HA) = IAD)

5 Ta c6 f(x) = g(x) se hkn suy ra |f(x)| = |g(x)| „-hkn Theo (1.2.20) suy

ra !{|g|) =1(ƒl) < — g € Ly(X3y) Lai có |ƒ — g| = Ø „-hkn nên theo (1.2.20) suy ra /(|ƒ — ø|) = 0 Thành thử

|fỨ)—1@)I = MỮ ~ 8)| < 1ƒ~ ø) =9— 1) = lạ)

Oo Dinh lý 1.2.22 (Tính liên tục tuyệt đốt của tích phân) Giả sử ƒ € L(X,p) Khi

đó với mọi e > 0 tôn tại ỗ > 0 sao cho nếu H(A) < Š thì Jx |ƒldu < €

Chúng mình, Dat fa = [f\Mipicn ta 06 fn T L/| Theo định lý hội tụ đơn điệu ta có

Định lý L2.23 (Định lý hội tụ bị chăn) Cho (f,) là dấy hàm khả tích hội tụ tới ƒ

28 CHUONG 1 KHONG GIAN XAC SUAT VA BIEN NGAU NHIEN

That vay fnt+g > 0 nên theo bé dé Fatou ta c6 /{liminf(f,) + g) < liminf(7(f,)

+1(g)) hay

I(f +g) <liminf I f,) +1(g) > 1(f) < liminf (fy)

Lại có ø — #„ > 0 nên theo bổ dé Faton ta cé I(liminf(—f,) + g) < liminf(—I(f,)

+1(g)) hay

I(~f +g) < iminf(—(f,) + 1(g))

— ~I(f) < —limsup!(f,) > limsupI(fx) < 1(f)

“Thanh thir

limsup/(f,) = liminfl(f,) = If)

Hệ quả 12.1 1 NéwA = UnAn va cdc (An) roi nhau thi

du = | ‘du

[san fl fee

2 f=gp hkn néu va chi néu f, fdu= f, edu voi moi tap đo được A Ching minh, 1 Tacé fl, =D, fla,- Dat gn = T—¡ ƒ La, ta có gạ hội tụ tới

fi, va len| < [f| Vay theo dinh ly hdi tu bi chan lim, f, gndu = f fladu=

In fdu Mat khéc f gndu = E2_, Sag Fd Vay ta có

Định Wy 1.2.24, Cho day (fn) C lI(X,m) hội tụ tới f uehkn Gid sit day (fy) la kha tich déu theo nghia sau đây

1 sup, f Lfaldu < +20

1.2, BIEN NGAU NHIEN 29

2 Với mọi e > 0 tén tai 8 > 0 (chi phu thudc ©) sao cho néu p(A) <8 thi

Ialfeldu<e Vu

Khi dé lim, f fadu= f fp

Chứng mình Ta có su f |faldu < % B6 đề Fatou cho ta

[plese imine f falda < sup ƒ Mu <=

Dat f= flyjccy, ƒe= ƒlul>e)- Tà có ƒ= ƒ + # và

l„—/fI=l#~#+ #«— |

— Ílu~fldw< [U§— /u+ [eldt+ [ildg 0A8

Cho e > 0 Chọn c đủ lớn để

c|du = du <e, f weld = f \faldu <e

JIR= lu, „ lì Velde Joie Me

Vi fo — fi + 0,|f > f°] < 2enén theo định lý hội tụ bị chặn ƒ |/; /|dụ — 0 Vay tồn tại m sao cho nếu n > m thì ƒ|ƒý — ƒ du < Vậy với n > m từ (1.18)

Sf — Fldu + 0 Ta 06 f+ fy = max(f, fn) + min(f, fa) và O < min(f, fr) <

frmin(f, fa) > f Thành thử, đo định lý hội tụ bị chặn ta có

tim Í min(/,/,)4u= ƒ /4e

Lại có lima ƒ (ƒ + ý„)4u = 2 fdu Suy ralim, fmax(f, fa)du = lim, JỨ+ñ)đu—~ lim, ƒ min(ƒ, ƒ„)đu = ƒ ƒdụ Thành thử do

[fn — f| = max(f, fa) — mìn(ƒ, fr)

30 CHUONG 1 KHONG GIAN XAC SUAT VA BIEN NGAU NHIEN

tim Í ý, ~ fldu = im ( JmaxUf.f)án— Í min, fn) =0

Tu bat ding thitc |f frdu— f fdul < f [fa — fldu ta suy ra điều phải chứng minh

ob

1.2.3 Biến ngẫu nhiên

Định nghĩa 1.9 Cho không gian xác suất (Q, 7, P) Không giảm tổng quát ta có thể giả thiết (Q, Z,P) là không gian xác suắt đủ tức là nếu A là biến cô có xác suất 0 P(A) = 0 thì mọi tập con BC A cũng là biến cô (tức là B€ 7)

1 Giả sử E là không gian metric, ánh xạ X : Q — E được gọi là một biên ngẫu nhiên (b.n.n) với giá trị trên E (hay biên ngẫu nhiên E- giá trị) nêu với mỗi

Rõ ràng nếu X là vectở ngẫu nhiên n-chiều thì X có dạng X = (X\,Xa, ,X„) ở

đó X\, , X„, là các biến ngẫu nhiên

Cho #{@) là mệnh để chứa biến œ Ta nói H(@) đúng hầu chắc chắn (h.c.c.) néu tap 'hợp các œ để H(@) đúng có xác suất bằng 1 Ký hiệu Zo(Q) là tập các biến ngẫu nhiên

‘Tw định nghĩa ta thấy biến ngẫu nhiên X chẳng qua là một hàm đo được xác định trên không gian có độ đo (©, Z, P) Từ các kết quả về hàm đo được ở phần

trước ta có ngay các tính chất sau đây của biến ngẫu nhiên

Định lý 1.2.26 Giả sứ X,Y € Lạ(Q) Khi đó

1 X+Y € La(©) và XY € La() Nếu Y z 0 thì Š € Lạ(Q)

2 Với œ là số thực đương thì |X|E € La(©)

3 Nếu X € Lo(Q) và X(@) = Y(@) h.e.e thì Y € Lạ(Q)

4 Cho (Xn) la day bién ngẫu nhiên Khi đó các hòm

sup X„, infX;, lim sup X„, liminfX„

1.2 BIEN NGAU NHIEN 31

là biên ngẫu nhiên Néu ton tai h.c.c gidi han X(@) = limX,(@) gidi han X

là biến ngẫu nhiên

Biến ngẫu nhiên X gọi là biến ngẫu nhiên đơn giản nếu X chỉ nhận hữu hạn

Xe

Nếu tôn tại ham f(x) = f(xu, Xa) đo được không âm sao cho vôi mọi tập Borel B của R® ta co

P(X €B) = I, 7@)4Ng) = I, F(t kale dy

thi f (x) được gọi là hàm mật độ (xác suất) của X Ta cũng nói f(x1,42, 6.4,

Xu} là hàm mật độ đồng thời của các biến ngẫu nhiên X,Xo, Xn-

3 Cho X là biến ngẫu nhiên và X € Lị (Q,,P) Kỳ vọng của X, ký hiệu là E(X), được định nghĩa bi công thức

EÔ))-32 CHUONG 1 KHONG GIAN XAC SUAT VA BIEN NGAU NHIEN Dinh lý sau đây đóng vai trò cơ bẩn trong lý thuyết xác suất

Dinh ly 1.2.27 Gid sử X là biến ngẫu nhiên E-giá trị có phân bố xác suất tự

Cho 8: E — R la mét ham do duoc ux -khả tích xác định trên E Khi đó

1, Anh xa g(X) xác định bởi g(X) = g(X (@)) là một biến ngẫu nhiên

Ta nói biển ngẫu nhiên g(X) là hàm của X

= Laux (Ai) = Ệ 8(x)dux (x),

Thành thử (1.19) đúng cho trường hợp g là hàm đơn giản.