SKKN Khai thác yếu tố trung điểm trong bài Toán hình học

- Chứng minh sự bằng nhau, song song, thẳng hàng,đồng quy… - Biết được yếu tố trung điểm có nhiều trong các bài toán : Chứng minh, dựng hình, quĩ tích, cực trị… - Vận dụng được nhiều k

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ĐỀ TÀI:

"KHAI THÁC YẾU TỐ TRUNG ĐIỂM TRONG BÀI TOÁN HÌNH

HỌC"

Phần I Mở đầu

I lý do chọn đề tài

Toán học là bộ môn khoa học mang tính trừu tượng và lôgíc cao,đồng thời còn là môn học công cụ hỗ trợ đắc lực cho việc học tập các môn học khác của chương trình phổ thông Hình học là phân môn quan trọng của Toán học vừa rèn luyện khả năng đo đạc, tính toán, suy luận lôgíc vừa phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh.Khi nắm chắc kiến thức và học giỏi hình học nó còn có tác dụng làm cho các em phát huy được tính độc lập sáng tạo,linh hoạt trong cách tìm lời giải cho các bài toán nói chung và nó còn có ý nghĩa thực tiễn rất cao trong việc vận dụng kiến thức vào cuộc sống sau này Qua nhiều năm trực tiếp giảng dạy và bồi dưỡng học sinh khá, giỏi tôi rút ra được kinh nghiệm thực tế là: Việc bồi dưỡng HSG không đơn thuần chỉ là cung cấp cho các em các dạng toán từ cơ bản đến nâng cao mà phải biết rèn luyện khả năng sáng tạo, tư duy trừu tượng và suy luận lôgíc – phải biến những điều đó thành kỹ năng và cao hơn là hình thành phương pháp giải toán, học toán, ứng dụng kiến thức toán thế nào cho hiệu quả Muốn đạt được những điều

đó trước hết người thầy giáo phải nắm chắc bản chất của từng loại toán, từ đó vừa phân loại vừa liên kết được từng dạng với nhau đó chính là phương pháp dạy và học toán nói chung cũng như việc bồi dưỡng học sinh giỏi toán nói riêng Trong rất nhiều những dạng toán mà tôi đã dày công nghiên cứu, tập hợp trên hai mươi năm làm nghề dạy học qua rất nhiều tài liệu và các kênh thông tin khác nhau từ SGK trong chương trình đến các loại tài

liệu tham khảo, đề thi các như : Toán về phần nguyên, Toán về diện tích, Toán về

thẳng hàng, Đồng qui,Bất đẳng thức, Cực trị…, từ việc ban đầu là tâp hợp thành

những dạng toán sau đó liên kết chúng để hình thành kỹ năng, phương pháp dạy và học toán như tôi đã trinh bày ở trên

Khai thác yếu tố trung điểm trong bài toán hình học là một đề tài mà tôi muốn

xâydựng một phương pháp học mới để đạt được những yêu cầu sau đây:

- Sử dụng thành thạo kẻ đường phụ trong bài toán có yếu tố trung điểm

- Chứng minh sự bằng nhau, song song, thẳng hàng,đồng quy…

- Biết được yếu tố trung điểm có nhiều trong các bài toán : Chứng minh, dựng hình, quĩ tích, cực trị…

- Vận dụng được nhiều kiến thức khi giải một bài toán đó là cách hay nhất để ôn cũ biết mới và hình thành kỹ năng tư duy cho học sinh

II THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU.

Thuận lợi : Trong những năm gần đây chất lượng giáo dục được nâng lên rõ rệt, các nhà

trường chú trọng vào việc đổi mới phương pháp dạy và học đặc biệt quan tâm hơn đến học sinh nhất là coi trọng năng lực tự học của các em

Môn Toán là môn học mà học sinh rất thích, có nhiều em học rất giỏi đó chính là lợi thế rất lớn để giáo viên có thể tập trung được tâm huyết và trách nhiệm cũng như lòng yêu nghề của mình

Việc dạy cho các em học kiến thức cơ bản trong chương trình rồi từ đó hình thành phương pháp học bằng việc đưa vào những chuyên đề toán thông qua các hệ thống tài liệu tham khảo dưới sự hướng dẫn của giáo viên cũng rất thuận lợi

Các kỳ thi HSG ngoài sự quan tâm chỉ đạo của các cấp quản lý giáo dục còn thu hút được sự quan tâm của đông đảo PHHS Với hệ thống đề thi ngày càng phù hợp, vừa sát chương trình

Khó khăn: Với đặc thù vùng nông thôn, điều kiện kinh tế khó khăn, vì vậy việc quan

tâm đến học hành còn hạn chế cả về tinh thần và vật chất dẫn đến hạn chế việc học hành của các em đặc biệt là môn toán.Chinh vì vậy càng cần phải rèn luyện, bồi dưỡng nhằm giúp cho các em học sinh khả năng tự học, tự tìm tòi, sáng tạo trong việc học tập, nghiên cứu để chiếm lĩnh tri thức nhân loại, tích lũy kinh nghiệm cuộc sống mai sau Vì thế càng khiến tôi tâm huyết tìm tòi, nghiên cứu để giảng dạy có hiệu quả cao nhất

PHẦN II NỘI DUNG

A PHƯƠNG PHÁP CHUNG

Trong đề tài này do khuôn khổ, giới hạn của đề tài tôi chỉ đưa ra một số dạng cơ bản , một số bài tập khó và nâng cao về bài toán có yếu tố trung điểm, ở đây tôi không đưa ra nhiều cách giải mà chỉ minh hoạ chỉ ra đường lối, phương pháp , thói quen thường gặp ở bậc THCS Đó là khi gặp bài toán có yếu tố trung điểm ta nghĩ ngay đến việc tạo ra đường phụ theo một trong các hướng sau:

+ Hướng 1: Lấy thêm đoạn thẳng mới để cùng với đoạn đã cho có chung trung điểm từ

đó sử dụng tính chất hai đoạn thẳng có chung trung điểm ở lớp 7, hoặc tính chất của hình bình hành ở lớp 8

+ Hướng 2: Lấy thêm trung điểm thứ hai để tạo ra đường trung bình trong tam giác,

trong hình thang, trong tứ giác nếu có nhiều đường trung bình liền nhau càng tốt, từ đó sử dụng các tính chất của các đường trung bình này

+ Hướng 3: Nếu trung điểm đó là trung điểm của cạnh huyền của tam giác vuông đăc

biệt lại là cạnh huyền chung của nhiều tam giác vuông thì ta kẻ thêm các đường trung tuyến thuộc cạnh huyền này để sử dụng tính chất đường trung tuyến thuộc cạnh huyền trong tam giác vuông

+ Hướng 4: Nếu trung điểm đó là trung điểm của dây cung của đường tròn thì ta kẻ ngay

đường kính của đường tròn đi qua trung điểm đó để sử dụng tính chất của đường kính đi qua trung điểm của dây cung trong đường tròn

Sau đây tôi xin giới thiệu một số bài toán minh họa cho những kinh nghiệm mà tôi đã

có được trong những năm trực tiếp làm nhiệm vụ giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi

B MỘT SỐ BÀI TOÁN QUEN THUỘC TRONG CHƯƠNG TRÌNH.

Trong chương trình toán 7 khi nghiên cứu các trường hợp bằng nhau của tam gíac để giúp học sinh nắm vững kỹ năng ,vận dụng thành thạo kiến thức ta giới thiệu cho học sinh các bài toán sau:

Bài toán 1: Đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác thì song song với cạnh còn

lại và có độ dài bằng nửa cạnh đó

Ta hướng dẫn cho học sinh sử dụng tính chất của trung điểm bằng cách: Trên tia đối của tia NM lấy điểm P sao cho NP = NM,

Khi đó hai đoạn AC và MP có chung trung điểm là N, từ các tính chất trung điểm chung ta có các cặp tam giác (ANM, CNP) và (AMP, MBC) bằng nhau dẫn đến hai đoạn

MP, BC song song và bằng nhau từ đó ta có điều cần chứng minh

Sau khi chứng minh xong, ta cũng cho học sinh chứng minh bài toán ngược lại Qua đó học sinh được hình dung tính chất đường trung bình của tam giác

Cũng như vây ta cho học sinh làm bài toán sau:

Bài toán 2: Trong tam giác vuông Chứng minh đường trung tuyến thuộc cạnh huyền

bằng nửa cạnh huyền

P N

M

C B

A

Ta cũng hướng dẫn cho học sinh tạo ra trung điểm M là trung điểm chung của hai đoạn

BC và AD

Khi đó sử dụng tính chất trung điểm chung ta chứng minh hai tam giác ABC và CDA bằng nhau để có hai đoạn BC và AD bằng nhau, từ đó ta có điều cần chứng minh của bài toán

Sau đó ta cũng cho hoc học sinh chứng minh bài toán ngược lại

Từ bài toán này ta cho học sinh chứng minh bài toán sau:

Bài toán 3: Chứng minh rằng trong một tam giác vuông có một góc bằng 60° khi và

chỉ khi cạnh kề góc đó bằng một nửa cạnh huyền

Để giải bài này ta sử dụng đường trung tuyến thuộc cạnh huyền AM Từ việc xét tam giác cân MAB khi có góc B bằng 60° suy ra MAB là tam giác đều và ngược lại, từ cạnh

AB bằng nửa cạnh BC dẫn đến tam giác MAB đều dẫn đến góc B bằng 60°

Cũng từ bài toán 3 ta lại có bài toán sau:

Bài toán 4: Một tam giác có một góc bằng 60° mà hai cạnh kề góc này có một cạnh

bằng một nửa cạnh kia thì đó là tam giác vuông

B

Ta có thể hướng dẫn cho học sinh làm bài này như sau:

Ta lấy điểm D sao cho A là trung điểm của BD xét đặc điểm của tam giác CBD với trung tuyến CA và các quan hệ đã cho ta sẽ có điều cần chứng minh

Hoàn toàn tương tự ta cho học sinh lớp 7 làm các bài toán sau:

Bài toán 5: Cho tam giác ABC vuông tại A có AM là trung tuyến Chứng

minh góc BAM lớn hơn góc CAM khi và chỉ khi cạnh AB bé hơn cạnh AC

Hướng làm: Xét trên hình của bài toán 2, ta thấy: Việc so sánh góc BAM với góc

CAM cũng như cạnh AB với cạnh AC ta đi so sánh góc ADC với góc DAC và cạnh CD với cạnh AC của tam gíac ACD ( Sử dụng quan hệ cạnh và góc đối diện trong tam giác)

Bài toán 6: Chứng minh rằng: trong một tam giác độ dài đường trung tuyến luôn bé

hơn nửa tổng hai cạnh còn lại

Hướng làm: Cũng tương tự trên hình của bài toán 2, sử dụng bất đẳng thức trong tam

giác của tam giác ACD ta sẽ có điều cần chứng minh

Đến đây ta khẳng định giá trị to lớn của tính chất hai đoạn thẳng có chung trung điểm

Từ việc sử dụng tính chất của hai đoạn thẳng có chung trung điểm ta đã chứng minh tính chất đường trung bình của tam giác, tứ đó ta cũng chứng minh tính chất đường trung bình của hình thang, tính chất “ Đường trung bình của tứ giác”

Bài toán 7: Chứng minh đường trung bình của hình thang song song với cạnh đáy và

có độ dài bằng nửa tổng hai đáy

Hướng làm: Xét thêm trung điểm I của đường chẻo AC,Ta có IM,IN là các đường trung

bình của các tam giác ADC vầ ABC

B A

I

N M

B

C A

D

Khi đó MI, NI là các đường trung bình của các tam giác ACD và ABD đông thời xet quan hệ ba cạnh của tam giác MNI ta có điều cần chứng minh.

Từ các bài toán 7 và bài toán 8 ta cho học sinh làm bài sau:

Bài toán 9: Chứng minh rằng: Một tứ giác là hình thang khi và chỉ khi đoạn thẳng nối

trung điểm hai cạnh đối bằng nửa tổng hai cạnh còn lại

Cũng với tính chất đường trung bình của tam giác, ta có bài toán sau:

Bài toán 10: Cho tứ giác ABCD có M, N, P, Q lần lượt là trung điểm các cạnh AB,

BC, CD, DA Chứng minh tứ giác MNPQ là hình bình hành

Việc giải bài toán này không khó với học sinh lớp 8 còn với học sinh lớp 7 ta thay đổi một số tên gọi cho phù hợp thì bài này trở nên khá hấp dẫn, vì với học sinh lớp 7 việc chứng minh bài toán này đã phải sử dụng khá nhiều kiến thức: Tính chất đường trung bình của tam giác, đường thẳng song song, hai đoạn thẳng song song và bằng nhau, hai tam giác bằng nhau,

Từ bài toán này học sinh có thêm một tính chất hình học:

Các “đường trung bình của tứ giác” gặp nhau tại trung điểm của chúng

Cũng từ bài toán 10 ta có bài toán tổng quát hơn sau:

Bài toán 11: Cho tứ giác ABCD, gọi M, N, P, Q, E, F, G, H lần lượt là trung điểm của

các đoạn: BC, DA, AB, CD, MA, MB, NB, NC

Chứng minh các đường MN, PQ, EF, GH đồng quy

C CÁC BÀI TOÁN NÂNG CAO VÀ PHÁT TRIỂN

I BÀI TOÁN CHỨNG MINH

Bài toán 12: Cho tam giác ABC, dựng về phía ngoài các tam giác vuông cân tại A là

ABM và ACN Chứng minh rằng đường thẳng chứa trung tuyến AI của tam giác ABC cũng chứa đường cao của AH của tam giác AMN

Hướng làm: Đây là bài toán khá khó đối với học sinh lớp 7, và bài toán này lại được

gặp ở lớp 8, nên ở lớp 7 ta dùng ngôn ngữ sau:

Do đã có trung điểm I của BC nên ta nghĩ đến việc tạo ra I là trung điểm chung của hai đoạn, cụ thể là trên tia đối của tia IA lấy điểm D sao cho I là trung điểm của AD

A

Khi đó từ tính chất trung ôiểm chung I của hai đoạn AD , BC ta có được hai đoạn CD và

AB song song và bằng nhau từ đó ta có được hai tam giác ACD, MAN bằng nhau, sử dụng các góc bằng nhau của hai tam giác này và tính chất các góc tại đỉnh A ta có được

AH vuông góc với MN

Từ bài toán này ta có bài toán sau:

Bài toán 13: Cho tam giác ABC, dựng về phía ngoài tam giác các hình vuông ABDE và

ACHF, vẽ hình bình hành AEQF,

Chứng minh ba đường QA, HB, DC đồng quy

Hướng làm: Theo bài 12 ta đã có QA vuông góc với BC, ta chỉ cần chứng minh BH

vuông góc với QC và CD vuông góc với QB (bằng cách xét cho các tam giác AQC , CBH bằng nhau và các tam giác AQB, BCD bằng nhau) khi đó QA, HB, DC chứa ba đường cao của tam giác QBC nên ba đường QA, HB, DC đồng quy

Tương tự như vậy ta có các bài toán sau:

Bài toán 14: Cho tam giác ABC có M là trung điểm cạnh BC,Dựng về phía ngòai các

hình vuông ABDE, ACHF có tâm là I, J

Chứng minh tam giác MIJ vuông cân

Hướng làm: Nhìn vào hình vẽ ta thấy hai tam giác AEC và ABF bằng nhau

⇒ hai đoạn EC, BF bằng nhau và vuông góc với nhau mà MI, MJ là các đường trung bình của hai tam giác BEC và CBF nên ta chứng minh được hai đoạn MI, MJ băng nhau

và vuông góc với nhau

Từ bài toán này ta có loạt các bài toán sau:

Bài toán 15 :Cho hình bình hành ABCD, về phía ngoài hình bình hành các tam giác

ABM vuông cân tại M; ACN vuông cân tại N; BDP vuông cân tại P; CDQ vuông cân tại

I

Hướng làm: Từ kết quả bài toán 14 ta có các tam giác IMN, INQ, IQP, IPM đều

vuông cân tại I từ đó suy ra tứ giác MNQP là hình vuông

Từ bài toán này ta lại đưa ra bài toán sau:

Bài toán 16: Cho hình bình hành ABDC, về phía ngoài hình bình hành các hình

vuông ABEF, ACMN, DBPQ, CDKL, Gọi S, G, R, H lần lượt là tâm của các hình vuông trên

Chứng minh rằng tứ giác SGHR là hình vuông

Tiếp tục bài toán trên, Nếu tứ giác ABCD không phải là hình bình hành mà là một tứ giác bất kỳ thì liệu tứ giác SGHR có tính chất gì không? Ta có bài toán sau:

Bài toán 17: Cho hình tứ giác ABCD, về phía ngoài tứ giác dựng các hình vuông

ABMN, ADEF, DCGH, BCPQ, Gọi V, S, J, K lần lượt là tâm của các hình vuông trên Chứng minh rằng KS = VJ và KS ⊥ VJ

B

C A

D

M F

E

Q

K L N

P

G

H R

S

Hướng làm: Do có V, S, J, K là trung điểm của các đường chéo hình vuông nên để sử

dụng đường trung bình của tam giác ta xét thêm trung điểm I của AC Từ kết quả bài toán 14 ta có IV, IK vuông góc và bằng nhau cũng như vậy hai đoạn IS, IJ cũng vuông góc và bằng nhau Từ đó hai tam giácIKS và IVJ bằng nhau Suy ra hai đoạn thẳng KS và

VJ bằng nhau và vuông góc với nhau

Đối với bài toán này việc vẽ đường phụ là quan trọng.ngoài việc biết khai thác yếu tố trung điểm như đã nêu học sinh cần áp dụng kiến thức về hai tam giác bằng nhau, kiến

B A

P

Q

M N

thức về tam giác cân, tam giác đều , đã được học vào giải bài toán.Từ đó học sinh mới

tư duy và tìm tòi lời giải Giáo viên không nên đưa ra lời giải mà phải hướng dẫn để học sinh dần dần tìm lời giải cho mỗi bài toán

Bài toán 18: Cho tam giác ABC trên các cạnh AB, AC lấy các điểm M, N sao cho

BM = CN, gọi E, F là trung điểm các đoạn BC, MN Chứng minh EF song song với phân giác góc A

Hướng làm: Trong bài toán này đã có hai trung điểm M, N nên ta nghĩ đến việc lấy

thêm một trung điểm nữa để cùng với hai trung điểm đã cho tao ra các đường trung bình của tam giác sẽ giúp ta giải bài toán, cụ thể như sau:

Gọi I là trung điểm của BM khi đó IE, IF là đường trung bình của các tam giác BCM và MBN, Từ tính chất đường trung bình của tam giác và giả thiết của bài toán ta có tam giác IEF cân tại I Từ đặc điểm các góc của tam giác IEF và các góc tại đỉnh A ta có được EF song song với phân giác của góc BAC

Ta biết từ bài toán này chúng ra có thể đưa ra nhiều yêu cầu khá hay như:

+ Chứng minh đường thẳng MN tạo với hai đường thẳng AB, AC những góc bằng nhau + Khi M,N thay đổi chứng minh trung điểm của đoạn MN luôn nằm trên một đường cố định

Bài toán 19: Chứng minh rằng trong một tam giác Trọng tâm, Trực tâm và Tâm

đường tròn ngoại tiếp cùng nằm trên một đường thẳng ( Đường thẳng Ơ le).

Hướng làm: Có rất nhiều cách chứng minh bài toán này, các cách đều sử dụng tính

chất của trung điểm để tạo ra đường trung bình của tam giác để chứng minh: Khoảng cách từ trực tâm đến mỗi đỉnh luôn gấp đôi khoảng cách từ tâm đường tròn ngoại tiếp đến cạnh đối diện với đỉnh đó (HA = 2 OM)

A

B

MN

E

FI

C

M I

K

O

G H

C B

A